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Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos

TEORIA

DE

ERROS

FÍSICA EXPERIMENTAL III

“ A Ciência está escrita nestegrande livro colocado semprediante dos nossos olhos – oUniverso – mas não podemos lê-losem aprender a linguagem eentender os símbolos em termosdos quais está escrito. Este livroestá escrito na linguagemmatemática ” – Galileu Galilei

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

1. Introdução – O Método Científico

2. Algarismos Significativos

3. Precisão do Instrumento de Medida

4. Prefixos do SI e Notação Científica

5. Critérios de Arredondamento

6. Operações com Algarismos Significativos

MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

7. Teoria de Erros

8. Propagação de Erros

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Definir e/ou indentificar o problema

Formar uma hipótese

Fazer observações (Medidas

de grandezas físicas)Testar hipótese/Fazer experimentos

Organizar e analisar dados

(Tratamento de Dados)

Os experimentos e observações

suportam a hipótese?

Sim!

Fazer conclusõesPublicar resultados

NãoErro nos experimentos?

Novos experimentos

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1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO

O Método Científico

4

A person with a

watch knows what

time it is.

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Filosofia básica no laboratório

1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO

A person with two

watches is never

sure.

1. Introdução – O Método Científico

2. Algarismos Significativos

3. Precisão do Instrumento de Medida

4. Prefixos do SI e Notação Científica

5. Critérios de Arredondamento

6. Operações com Algarismos Significativos

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7. Teoria de Erros

8. Propagação de Erros

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7. TEORIA DOS ERROS

Definições

Neste sentido, os erros podem ser divididos em trêstipos:

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Como vimos, todas as medidas que realizamos trazemconsigo um erro associado ou ao instrumento de medida ouao processo de medição, ou a ambos.

a) erros sistemáticos;

b) erros aleatórios;

c) erros de escala.

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7. TEORIA DOS ERROS

Definições

Erro sistemático ( ∆∆∆∆xSIS): ocorrem quando todos osvalores medidos são muito maiores ou muito menores doque o valor real esperado.

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Erro aleatório ( ∆∆∆∆xALE): quando da ausência de errossistemáticos, ocorrem quando alguns dos valores medidossão muito maiores e outros muito menores do que o valorreal esperado.

Erro de escala ( ∆∆∆∆xESC): ocorrem sempre, e estãoassociados aos instrumentos de medida utilizados noprocesso de medição.

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7. TEORIA DOS ERROS

Como minimizar os diferentes tipos de erros

Em relação ao erro sistemático ( ∆∆∆∆xSIS), a únicaalternativa para resolver a sua existência é refazer asmedidas experimentais já realizadas.

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Já em relação ao erro aleatório ( ∆∆∆∆xALE), estes devem sertratados com técnicas estatísticas.

Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticascondições, calcular a média e os respectivos desvios destasmedidas.

Por fim, o erro de escala ( ∆∆∆∆xESC) é inerente ao processode medição e, portanto sempre devem ser considerados.

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ESCALEMAX xxx ∆+∆=∆

Como expressar o erro

7. TEORIA DOS ERROS

Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deveconter o valor do erro associado a ela.

G = [M(G) ± ∆M)] UG ⇒ Grandeza

M ⇒ Medida

ΔM ⇒ Erro da

medida

U ⇒ Unidade

Como os erros sistemáticos implicam na repetição doprocesso de medida, a expressão do erro de uma medidadeve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala.

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∑=

⋅=N

iix

Nx

1

1

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7. TEORIA DOS ERROS

Como minimizar o erro aleatório: o valor médioUma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N

vezes o procedimento de medição.

Quando isto é feito o resultado da medida é apresentadoem termos do valor mais provável (valor médio ) e dosdesvios (desvio médio e desvio padrão ).

Definimos então o valor mais provável de uma grandeza(valor médio ) como a média aritmética de N medidasrealizadas com a mesma confiabilidade.

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xxx ii −=∆

Desvio de uma medida é a diferença entre o valor obtidona i-ésima medida e o valor mais provável da grandeza.

Por sua vez, desvio absoluto de uma medida é o módulodo seu desvio .

xxx ii −=∆

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7. TEORIA DOS ERROS

DesviosA partir da definição de valor médio , definimos os

conceitos de desvio de uma medida e desvio absoluto .

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Desvio médio de uma medida é a média aritmética dosdesvios absolutos .

Com a definição de desvio médio indicamos que oresultado de N medidas de mesma confiabilidade é expressona forma

∑=

∆⋅=∆N

iix

Nx

1

1

xxx ∆±=

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7. TEORIA DOS ERROS

Desvio médio

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O desvio padrão de uma medida fornece uma idéia dadispersão das medidas em torno do seu valor médio .

O resultado de N medidas de mesma confiabilidadetambém pode ser expresso na forma

( )∑=

∆⋅−

=N

iix x

N 1

2

1

1σ

xxx σ±=

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7. TEORIA DOS ERROS

Desvio padrão

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( ) xALEx σ=∆

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7. TEORIA DOS ERROS

Desvio padrão e erro aleatório

Como vimos, tanto o desvio médio como o desviopadrão de uma medida são obtidos a partir de uma análiseestatística sobre os dados obtidos a partir de N medidas demesma confiabilidade.

Desta forma, estes desvios podem ser associados aoerro aleatório, já definido anteriormente.

Como o desvio padrão está associado à dispersão dosvalores obtidos, damos preferência a ele como expressão doerro aleatório.

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7. TEORIA DOS ERROS

Exemplo

Considere que a medição do comprimento L de objetosidênticos, realizada com o auxílio de uma réguacentimetrada, forneceu as seguintes leituras mostradas natabela abaixo.

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7. TEORIA DOS ERROS

Cálculo com a ajuda de planilha

Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmenteconseguimos determinar:

a) o valor médio do comprimento do objeto;

b) os desvios de cada medida em relação ao valormédio;

c) os desvios absolutos de cada medida em relação aovalor médio;

d) o desvio médio destas medidas;

e) o desvio padrão destas medidas.

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7. TEORIA DOS ERROS

Cálculo com a ajuda de planilha

Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmenteconseguimos determinar:

cmL 3,0=σ

cmL 2,0=∆

cmL 0,241=

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Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partirda equação abaixo.

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7. TEORIA DOS ERROS

Erro percentual

É frequente no laboratório realizarmos medidas degrandezas das quais existe um valor de referência, um valoresperado

Para o cálculo de E% usamos as regras dearredondamento definidas anteriormente.

100% ⋅−

=REF

REFMED

x

xxE

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7. TEORIA DOS ERROS

Erro relativo

Por sua vez, como todas as medidas são obtidas comseus respectivos erros, é interessante determinar qual opeso deste erro frente ao valor expresso da medida.

Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equaçãoabaixo.

( )100% ⋅∆=

MED

MED

x

xER

Para o cálculo de ER% usamos as regras dearredondamento definidas anteriormente.

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Num dado experimento, medimos a aceleração dagravidade e obtemos

( ) 2/05,089,9 smg ±=

10081,9

08,0100

81,9

81,989,9% ⋅=⋅

−=E

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7. TEORIA DOS ERROS

Exemplo: cálculo do erro percentual

Queremos determinar o erro percentual e o erro relativodesta medida.

%8% =E

Para determinar o valor do erro percentual, usamos ovalor medido para g (9,89 m/s2) e o valor de referência para g(9,81 m/s2)

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Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor de gobtido no processo de medida ( 9,89 m/s2), além do erroobtido no mesmo processo ( 0,05 m/s2).

( ) 2/05,089,9 smg ±=

%5,0% =E%510089,9

05,0% =⋅=ER

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7. TEORIA DOS ERROS

Exemplo: cálculo do erro relativo

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HIPÓTESES:

a) Não existem erros sistemáticos.

b) Façamos apenas uma medida (N = 1).

Neste caso, levamos em conta apenas erros de escala, os quais são

inerentes ao processo de medida e sempre devem ser considerados.

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7. TEORIA DOS ERROS

1. Introdução – O Método Científico

2. Algarismos Significativos

3. Precisão do Instrumento de Medida

4. Prefixos do SI e Notação Científica

5. Critérios de Arredondamento

6. Operações com Algarismos Significativos

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7. Teoria de Erros

8. Propagação de Erros

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MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

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8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS

Cálculo de erros em medidas indiretas

Como já vimos, medidas indiretas são obtidasefetuando-se operações matemáticas a partir de medidasobtidas diretamente do experimento.

Geralmente a grandeza física de interesse ( medidaindireta ) está relacionada matematicamente com outrasgrandezas físicas ( medidas diretas ).

Isto significa que existe uma fórmula relacionando agrandeza associada à medida direta com as grandezasassociadas às medidas indiretas .

( )nxxxYY ,..., 21= Y ⇒ Grandeza associada

à medida indireta

xi⇒ Grandezas associadas à

medidas diretas

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nn

xx

Yx

x

Yx

x

YY ∆⋅

∂∂++∆⋅

∂∂+∆⋅

∂∂=∆ ...2

21

1

Na fórmula acima ∆∆∆∆x1, ∆∆∆∆x2,...∆∆∆∆xn são os erros relativos acada medida direta x i.

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8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS

Erros como diferenciais

O erro associado à medida indireta Y (∆∆∆∆Y) é calculado apartir da diferencial da função Y(x1,x2,…xn).

Em outras palavras, tratamos o erro como sendoequivalente a diferencial de uma função matemáticaconhecida de múltiplas ( n) variáveis.

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Em um experimento de eletricidade medimosdiretamente as grandezas diferença de potencial elétrica (V)entre os terminais de um resistor e corrente elétrica (I) queflui através dele, cada uma delas com seu respectivo erroexperimental.

Sabemos que a potência elétrica dissipada nesteresistor ( P) e a resistência elétrica do resistor ( R) são dadasrespectivamente por

( ) IVIVP ⋅=, ( )I

VIVR =,

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8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS

Exemplo

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Conhecidos os valores de V e ∆∆∆∆V e de I e ∆∆∆∆I, comocalcular os erros da potência elétrica ∆∆∆∆P e da resistênciaelétrica ∆∆∆∆R?

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8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS

Exemplos

Usamos o conceito de propagação de erros eencontramos

∆+∆⋅=∆⋅+∆⋅=∆I

I

V

VPIVVIP

∆+∆⋅=∆⋅+∆⋅=∆I

I

V

VRI

I

VV

IR

2

1

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Vejamos como calcular estes erros associados com aajuda de uma planilha de cálculo.

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8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS

Exemplo numérico com ajuda de planilha de cálculo

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Operação com Algarismos significativos

Consulte na sua apostila:

Pratique resolvendo exercícios!

I.6.e. Outras Operações Matemáticas.

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