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Fluxo de Potência via Método de Newton-Raphson
Joinville, 2 de Maio de 2013
Fluxo de Potência via Método de Newton-Raphson
Visão Genérica
Escopo dos Tópicos AbordadosSolução do Fluxo de Potência via método de Newton-Raphson
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema do fluxo de potência é de grande importância no planejamento, projeto e operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP);As principais grandezas elétricas obtidas via fluxo de potência são:– Tensões, módulo e ângulo em cada barra (nó);– Potência ativa e reativa em cada linha de transmissão ou
ramo;
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Solução do Fluxo de PotênciaConfinaremos os estudos utilizando somente:– Representação da rede na forma monofásica (sequência positiva)
(assume-se que o sistema é equilibrado e que todas as linhas de transmissão são tranpostas), geradores e cargas apresentam potência constante;
– Matriz de admitância;– Método de Newton-Raphson;
Para que o problema de fluxo de potência possa ser formulado, são necessárias informações como:– Impedâncias série e “shunt” das LTs;– Dados de transformadores: potências, impedâncias,
valores de taps;– Elementos como: capacitores, reatores, cargas, dentre
outros;4
Solução do Fluxo de PotênciaA partir da matriz de admitância, obtém-se:
– G: representa a condutância (siemens ou mho);– B: representa a susceptância (siemens ou mho);
As tensões e correntes em uma dada Barra i são dadas por:
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Solução do Fluxo de PotênciaA potência aparente em uma Barra i pode ser obtida via:
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Como:
Solução do Fluxo de PotênciaA potência aparente em uma Barra i pode se reescrita:
Separando as partes real e complexa, tem-se:
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Solução do Fluxo de PotênciaSeparando a parte real – na forma retangular:
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Separando a parte complexa – na forma retangular :
Solução do Fluxo de PotênciaDe forma alternativa, pode-se escrever também a potência na forma complexo-conjugada na forma Polar: :
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Separando as partes reais e complexas, na forma Polar:
Solução do Fluxo de PotênciaAs equações constituem as equações do fluxo de potência e fornecem os valores a serem calculados de potência para a barra i
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Solução do Fluxo de PotênciaComposição do balanço de potência nas barras do sistema:– Potência programada “scheduled”:
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Balanço de potência ativa.
Balanço de potência reativa.
Solução do Fluxo de PotênciaComposição do balanço de potência nas barras do sistema:– Erros ou “mismatches” :
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Balanço de potência ativa.
Balanço de potência reativa.
,P QΔ Δ
Solução do Fluxo de PotênciaBalanço de potência nas barras do sistema:
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Balanço de potência ativa.
Balanço de potência reativa.
Solução do Fluxo de PotênciaBalanço de potência nas barras do sistema:– Não havendo carga ou geração na barra i, os respectivos
termos podem ser zerados
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Cada barra do sistema possui as duas referidas equações para o balanço de potência.
Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência consiste em: dadas as equações de potência ativa e reativa, com as tensões desconhecidas:
Encontre P e Q que satisfaçam as condições de contorno do balanço de potência:
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Quatro grandezas associadas à barra i podem ser calculadas:– P, Q, |V| e δ:
No máximo existem duas equações iguais às do balanço de potência para cada barra:
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Se não houver potência programada (“scheduled”) P ou Qpara a barra i, os erros ou “mismatches” não podem ser definidos e os requisitos das respectivas condições de contorno não precisam ser satisfeitos:– Se , não é necessário satisfazer:
– Se , não é necessário satisfazer:
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, 0i schP =
, 0i schQ =
Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Desta forma, é necessário conhecer quais as variáveis podem ser eliminadas do problema para barra a fim de satisfazer as equações disponíveis:– Para isto, são definidos três tipos de barras que compõem
um SEP:– Para cada barra i, duas das quatro grandezas (P, Q, |V| e δ) são especificadas e as outras duas restantes devem ser determinadas;
– As grandezas são escolhidas de acordo com os seguintes tipos de barra:
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de carga ou PQ: – Não existe geração;– As potências ativa P e reativa Q são especificadas –
conhecidas via dados históricos, previsão de carga ou medições; Comumente somente P é conhecido e estipula-se um FP de 0,85 ou maior para estimar Q;
– Conhecidos os valores de P e Q programados, as condições de contorno podem ser definidas;
– As grandezas desconhecidas (a serem determinadas) são: |V| e δ
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de tensão controlada ou PV: – Qualquer barra do sistema em que a tensão pode ser
controlada;– São as barras de geração (P é controlado pela potência da
máquina primária) e V é controlada pela tensão de excitação do gerador, por exemplo;
– Havendo carga na barra, os erros ou “mismatches” de potência podem ser estabelecidos;
– Q do gerador necessário para manter a tensão controlada na barra não pode ser conhecido de antemão, assim calcula-se somente δ e em seguida Q; 20
Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de tensão controlada ou PV: – Após a solução do fluxo de potência, Q é determinado via
equação:
– Existem também outros tipos de barras onde a tensão pode ser controlada. Em tais barras, a potência ativa gerada é nula.
– Nas barras PV, P e V são especificados e δ é calculado no fluxo de potência. Somente depois Q é calculado. 21
Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barra de folga ou de referência ou Vδ ou Slack Bus ou Swing: – Serve para “fechar” o balanço de potência, assumindo
perdas em LTs, transformadores, capacitores, reatores que compõem a rede, pois as correntes em cada LT ou ramo não são conhecidas.
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Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barra de folga ou de referência ou Vδ ou Slack Bus ou Swing: – Após convergido o problema do fluxo de potência, as
perdas são atribuídas à barra de folga do sistema;– Determina-se assim P e Q da barra de folga. Tais
grandezas são “funções dependentes” do sistema, assim como Q das barras controladas e as Perdas no sistema;
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Resumo das equações do Fluxo de Potência:
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:É o mais utilizado para a solução de sistemas de equações algébricas não-lineares;Consiste em aplicar a série de Taylor, truncada no primeiro termo, no sistema de equações, a ser resolvido e por aproximações sucessivas, dado um valor arbitrário inicial, encontrar a solução do problema.
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:Equações a serem resolvidas:
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):
Para um sistema de 4 barras:
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):
Multiplica-se e divide-se pelas magnitudes das tensões para se obter um jacobiano mais simples e simétrico:
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):
Para um sistema de 4 barras:
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 2 equação para realização de aproximações sucessivas: exclui-se da barra de folga.
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Solução do Fluxo de Potência
1 1P e QΔ Δ
Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 3: após calculadas todas as grandezas ou variáveis de estado, calculam-se as “funções dependentes” do sistema, tais como Q das barras controladas, as Perdas no sistema e P e Q na barra de referência;
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Solução do Fluxo de Potência
Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson – última aula:Dado a equação algébrica:
Aplique a série de Taylor, e elimine os termos de ordem superior (trunque a série):
Assuma:
Com:32
Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson:Assuma:
Dado X0, a primeira aproximação é dada por:
Realizando sucessivas aproximações:
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Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson:Resolva:
Dado X0 =6, encontre a raíz mais próxima de X0:Passo 1:
Graficamente:
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Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoExemplo do método de Newton-Raphson:
Dado X0 =6, graficamente, tem-se a solução:
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Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoAlgoritmo no Matlab:
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Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoResposta no Matlab:
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