Formulação do Problema Direto. Estrutura Exemplos – Movimento uniformemente acelerado – Ajuste...

Formulação do Problema Direto

Estrutura• Exemplos

– Movimento uniformemente acelerado– Ajuste de rede– Perfilagem Sísmica Vertical– Sísmica de Reflexão

• Refletor plano paralelo• Refletor plano inclinado (Perpendicular ao strike)

– Determinação Epicentral– Sinal Climático

• Perturbação Abrupta• Perturbação Linear

– Gravimetria• Bacia Triangular• Bacia Trapezoidal

– Magnetometria• Separação regional-residual• Esfera

Movimento uniformemente acelerado

Cálculo da aceleração da gravidade

Problema Geofísico

Movimento uniformemente acelerado

• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre efeito da aceleração da gravidade

• A massa experimenta um movimento uniformemente acelerado

• As observações são medições da posição da massa em diferentes instantes no decorrer de sua trajetória

Movimento uniformemente acelerado

t0

t1

t4

t3

t6

t7

t2

t5

Movimento uniformemente acelerado

• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre efeito da aceleração da gravidade

• A massa experimenta um movimento uniformemente acelerado

• As observações são medições da posição da massa em diferentes instantes no decorrer de sua trajetória

Movimento uniformemente acelerado

• Sabe-se que uma massa atirada para cima sofre efeito da aceleração da gravidade

• A massa experimenta um movimento uniformemente acelerado

• As observações são medições da posição da massa em diferentes instantes no decorrer de sua trajetória

Movimento uniformemente acelerado

z

t

Movimento uniformemente acelerado

Parametrização

Desconsiderando a resistência do ar, o movimento de uma massa atirada para cima pode ser descrito em termos da:

• Posição inicial S0 da massa

• Velocidade inicial V0 com que a massa foi atirada

• Aceleração da Gravidade g

Movimento uniformemente acelerado

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como:

20000 5,0),,( tgtVSgVSz

20000 5,0),,( tgtVSgVSz

Movimento uniformemente acelerado

Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como:

= 0

= 0

Relação funcional

Movimento uniformemente acelerado

Nessas condições, a relação entre a posição da massa em diferentes instantes e os parâmetros S0, V0 e g pode ser escrita como: = 0

200 5,0),( tgtVgVz

Relação funcional

Movimento uniformemente acelerado

Problema DiretoSendo assim, para posições em diferentes instantes:

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

200 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:

Problema Direto

200 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

ppz A)(

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:

Problema Direto

200 5,0),( NNN tgtVgVz

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

vetor de dados preditos

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:

Problema Direto

200 5,0),( NNN tgtVgVz

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

vetor de parâmetros

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:

Problema Direto

200 5,0),( NNN tgtVgVz

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

matriz de sensibilidade

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:

Problema Direto

200 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

matriz de sensibilidade

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:derivada (sensibilidade) do dado predito 1

em relação ao parâmetro 1

Problema Direto

ppz A)( 2

00 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

matriz de sensibilidade

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:derivada (sensibilidade) do dado predito 1

em relação ao parâmetro 2

Problema Direto

ppz A)( 2

00 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

. . .

211001 5,0),( tgtVgVz

222002 5,0),( tgtVgVz

matriz de sensibilidade

Sendo assim, para posições em diferentes instantes:derivada (sensibilidade) do dado predito N

em relação ao parâmetro 2

Problema Direto

ppz A)( 2

00 5,0),( NNN tgtVgVz

Movimento uniformemente acelerado

NormaPara quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

)()()( pzzpzzp obsTobs

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

NormaPara quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

)()()( pzzpzzp obsTobs

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

NormaPara quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

)()()( pzzpzzp obsTobs

Função escalar e que depende dos parâmetros

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

ppz A)(

Movimento uniformemente acelerado

NormaPara quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

)()()( pzzpzzp obsTobs

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

ppz A)(

pzpzp obsTobs AA)(

Movimento uniformemente acelerado

NormaPara quantificar a diferença entre os dados observados e os dados preditos é comum utilizar a norma L2:

)()()( pzzpzzp obsTobs

g

V

tt

tt

tt

gVz

gVz

gVz

NNN

0

2

222

211

0

02

01

5,0

5,0

5,0

),(

),(

),(

ppz A)(

pzpzp obsTobs AA)(

N

ii

obsi pzzp

1

2)]([)(

Perfilagem Sísmica Vertical

Cálculo da velocidade sísmica (vertical) dos materiais ao redor do poço

Problema Geofísico

Perfilagem Sísmica Vertical

• Uma fonte localizada na superfície do poço gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores localizados dentro do poço

• As observações são medições do tempo de chegada da primeira onda em cada receptor

Perfilagem Sísmica Vertical

Fonte

Receptor

Poço

Perfilagem Sísmica Vertical

• Uma fonte localizada na superfície do poço gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores localizados dentro do poço

• As observações são medições do tempo de chegada da primeira onda em cada receptor

Perfilagem Sísmica Verticalt

z

Perfilagem Sísmica Vertical

Parametrização

Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a subsuperfície é formada por uma sucessão de camadas homogêneas, o tempo gasto para uma onda atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Espessura s de cada camada

• Velocidade v em cada camada

Perfilagem Sísmica Vertical

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre o tempo gasto para uma onda atingir um receptor e os parâmetros s e v em cada camada pode ser escrita como:

j

jj v

s

v

s

v

svst

2

2

1

1),(

Perfilagem Sísmica Vertical

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

16 ),(

v

s

v

s

v

s

v

s

v

s

v

svst

Tempo até osexto receptor

Perfilagem Sísmica Vertical

s1

s5

s2

s3

s4

v1

v2

v3

v4

v5

s6 v6

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

16 ),(

v

s

v

s

v

s

v

s

v

s

v

svst

Perfilagem Sísmica Vertical

Como as espessuras s são conhecidas, uma vez que representam o espaçamento entre a fonte e o primeiro receptor e entre receptores adjacentes:

Relação funcional

j

jj v

s

v

s

v

svst

2

2

1

1),(

j

jj v

s

v

s

v

svt

2

2

1

1)(

Perfilagem Sísmica Vertical

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

N

NN v

s

v

s

v

svt

2

2

1

1)(

2

2

1

12 )(

v

s

v

svt

1

11 )(

v

svt

Perfilagem Sísmica Vertical

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

N

NN v

s

v

s

v

svt

2

2

1

1)(

2

2

1

12 )(

v

s

v

svt

1

11 )(

v

svt

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

Perfilagem Sísmica Vertical

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

N

NN v

s

v

s

v

svt

2

2

1

1)(

2

2

1

12 )(

v

s

v

svt

1

11 )(

v

svt

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

Perfilagem Sísmica Vertical

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( vttvttv obsTobs

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

Perfilagem Sísmica Vertical

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( vttvttv obsTobs

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

Perfilagem Sísmica Vertical

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( vttvttv obsTobs

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

vtvtv obsTobs BB)(

Perfilagem Sísmica Vertical

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( vttvttv obsTobs

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

vtvtv obsTobs BB)(

Perfilagem Sísmica Vertical

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( vttvttv obsTobs

NNN vsvsvs

vsvs

vs

vt

vt

vt

2211

2211

11

2

1

)(

)(

)(

vvt B)(

vtvtv obsTobs BB)(

N

ji

obsj vttv

1

2)]([)(

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

Cálculo da profundidade do embasamento e da velocidade da camada sobrejacente

Problema Geofísico

• Uma fonte localizada na superfície gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores que também são localizados na superfície

• As observações são medições do tempo de chegada da onda refletida em cada receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

Fonte

Receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

R1 R2 R3

arenito

embasamento

R4 R5 R6

• Uma fonte localizada na superfície gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores que também são localizados na superfície

• As observações são medições do tempo de chegada da onda refletida em cada receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

Fonte

Receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

tem

po

R1 R2 R3

R1 R2 R3

arenito

embasamento

R4 R5 R6

R4 R5 R6

Parametrização

Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a camada sobre o embasamento é homogênea, isotrópica e plano-paralela, o tempo gasto para uma onda refletida atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Espessura h da camada• Velocidade v da camada• Distância x entre a fonte e o receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre o tempo de chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v e x em cada receptor:

2

2

2

2 4),(

v

h

v

xvht i

i

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

Fonte

Receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

tem

po

R1 R2 R3R4 R5 R6

2

2

2

2 4),(

v

h

v

xvht i

i h

v

R1 R2 R3R4 R5 R6

embasamento

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

2

2

2

21

1

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

22

2

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

2 4),(

v

h

v

xvht N

N

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

2

2

2

21

1

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

22

2

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

2 4),(

v

h

v

xvht N

N

22

222

221

2

1

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)2()(

)2()(

),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

. . .

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

2

2

2

21

1

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

22

2

4),(

v

h

v

xvht

2

2

2

2 4),(

v

h

v

xvht N

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22

222

221

2

1

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)2()(

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),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

22

222

221

2

1

)2()(

)2()(

)2()(

),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

22

222

221

2

1

)2()(

)2()(

)2()(

),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

22

222

221

2

1

)2()(

)2()(

)2()(

),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

ppt B)(

ptptp obsTobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

22

222

221

2

1

)2()(

)2()(

)2()(

),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

ppt B)(

ptptp obsTobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

Sísmica de Reflexão(Refletor plano-paralelo)

22

222

221

2

1

)2()(

)2()(

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),(

),(

),(

vhvx

vhvx

vhvx

vht

vht

vht

NN

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ptptp obsTobs BB)(

N

ji

obsj pttp

1

2)]([)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

Cálculo da profundidade e mergulho do embasamento e também da velocidade da

camada sobrejacente

Problema Geofísico

• Uma fonte localizada na superfície gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores que também são localizados na superfície

• As observações são medições do tempo de chegada da onda refletida em cada receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

Fonte

Receptor

R1 R2 R3

arenito

R4 R5 R6

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

embasamento

• Uma fonte localizada na superfície gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de receptores que também são localizados na superfície

• As observações são medições do tempo de chegada da onda refletida em cada receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

Fonte

Receptor

tem

po

R1 R2 R3R4 R5 R6

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

R1 R2 R3

arenito

R4 R5 R6

embasamento

Parametrização

Considerando raios sísmicos sem curvatura e que a camada sobre o embasamento é homogênea e isotrópica, o tempo gasto para uma onda refletida atingir um receptor pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Espessura h ao longo do perfil sísmico• Velocidade v da camada• Distância x entre a fonte e o receptor• Mergulho β do embasamento

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre o tempo de chegada de uma onda refletida e os parâmetros h, v, x e β em cada receptor:

senxhv

h

v

xvht ii

iiii 4

4),,(

2

2

2

2

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

Fonte

Receptor

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

tem

po

R1 R2 R3R4 R5 R6

R1 R2 R3R4 R5 R6

embasamento

vh1 h2 h3 h4 h5 h6

senxhv

h

v

xvht ii

iiii 4

4),,(

2

2

2

2

β

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

. . .

senxhv

h

v

xvht 112

21

2

21

11 44

),,(

senxhv

h

v

xvht 222

22

2

22

22 44

),,(

senxhv

h

v

xvht NN

NNNN 4

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2

2

2

2

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

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),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

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senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

. . .

senxhv

h

v

xvht 112

21

2

21

11 44

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senxhv

h

v

xvht 222

22

2

22

22 44

),,(

senxhv

h

v

xvht NN

NNNN 4

4),,(

2

2

2

2

Problema DiretoSendo assim, para todos os receptores:

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

. . .

senxhv

h

v

xvht 112

21

2

21

11 44

),,(

senxhv

h

v

xvht 222

22

2

22

22 44

),,(

senxhv

h

v

xvht NN

NNNN 4

4),,(

2

2

2

2

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

ppt B)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

ppt B)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

ppt B)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

ptptp obsTobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

ppt B)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

ptptp obsTobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pttpttp obsTobs

ppt B)(

Sísmica de Reflexão(Refletor inclinado – perpendicular ao strike)

)4()2()(

)4()2()(

)4()2()(

),,(

),,(

),,(

22

222

22

2

112

12

1

22

11

senxhvhvx

senxhvhvx

senxhvhvx

vht

vht

vht

NNNNNN

ptptp obsTobs BB)(

N

ji

obsj pttp

1

2)]([)(

Determinação Epicentral

Cálculo das coordenadas de um epicentro

Problema Geofísico

• Um terremoto gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de estações sismográficas localizadas na superfície

• As observações são medições da diferença entre o tempo de chegada das ondas P e S em cada estação

Determinação Epicentral

Determinação Epicentral

superfície

Determinação Epicentral

superfície

fonte do terremoto

Determinação Epicentral

superfície

fonte do terremoto

estação sismográfica

• Um terremoto gera ondas, que se propagam em subsuperfície e são detectadas por um arranjo de estações sismográficas localizadas na superfície

• As observações são medições da diferença entre o tempo de chegada das ondas P e S em cada estação

Determinação Epicentral

Determinação Epicentral

superfície

fonte do terremoto

estação sismográfica

A

B

C

Determinação Epicentral

tempo

estaçãosismográfica

A

B

C

∆tA

∆tB

∆tC

onda S

onda P

Determinação Epicentral

estaçãosismográfica

A

B

C

∆t

Parametrização

Considerando raios sísmicos sem curvatura, que a profundidade do terremoto pode ser desprezada e que o meio é homogêneo e isotrópico, a diferença de tempo entre as ondas P e S em uma determinada estação pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Velocidades vP e vS

• Coordenadas x e y da estação• Coordenadas x0 e y0 da estação

Determinação Epicentral

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre a diferença de tempo de chegada das ondas P e S e os parâmetros vP, vS, x, y, x0, e y0 em uma estação:

21

])()[(11

),( 20

2000 yyxx

vvyxt ii

SP

i

Determinação Epicentral

Determinação Epicentral

fonte do terremoto

estação sismográfica

B

C

superfície

A

21

])()[(11

),( 20

2000 yyxx

vvyxt ii

SP

i

(xA, yA)

(xB, yB)

(xC, yC)(x0, y0)

vP vS

Problema DiretoSendo assim, para todas as estações:

Determinação Epicentral

. . .

21

])()[(),( 20A

20A00A yyxxyxt

21

])()[(),( 20B

20B00B yyxxyxt

21

])()[(),( 20C

20C00C yyxxyxt

SP vv

11

Problema DiretoSendo assim, para todas as estações:

. . .

Determinação Epicentral

21

])()[(),( 20A

20A00A yyxxyxt

21

])()[(),( 20B

20B00B yyxxyxt

21

])()[(),( 20C

20C00C yyxxyxt

SP vv

11

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

Problema DiretoSendo assim, para todas as estações:

. . .

Determinação Epicentral

21

])()[(),( 20A

20A00A yyxxyxt

21

])()[(),( 20B

20B00B yyxxyxt

21

])()[(),( 20C

20C00C yyxxyxt

SP vv

11

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Determinação Epicentral

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

)()()( pttpttp

obsTobs

ppt B)(

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Determinação Epicentral

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

)()()( pttpttp

obsTobs

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Determinação Epicentral

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

)()()( pttpttp

obsTobs

ptptp

obsT

obs

BB)(

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Determinação Epicentral

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

)()()( pttpttp

obsTobs

ptptp

obsT

obs

BB)(

ppt B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

Determinação Epicentral

21

21

21

])()[(

])()[(

])()[(

),(

),(

),(

20C

20C

20B

20B

20A

20A

00C

00B

00A

yyxx

yyxx

yyxx

yxt

yxt

yxt

)()()( pttpttp

obsTobs

ppt B)(

ptptp

obsT

obs

BB)(

2

CC

2

BB

2

AA )()()()( pttpttpttp obsobsobs

Cálculo da amplitude e do tempo em que ocorreu uma perturbação climática

Problema Geofísico

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

• Uma mudança abrupta no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço

• As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura predita pelo campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

t

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

t

T

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

T

t

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

t0

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

T

t

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

t0

o tempo é positivo em direção ao presente

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

mudança abrupta na temperatura

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

a mudança abrupta na temperatura, induzida por uma perturbação climática, propaga-se

em subsuperfície

• Uma mudança abrupta no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço

• As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura do campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

T

tt0

medidas da temperatura ao longo

do poço

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

T

tt0

temperatura

prof

undi

dade

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

T

tt0

temperatura

prof

undi

dade

campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

T

tt0

sinal climático

prof

undi

dade

0

Parametrização

Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço infinito e homogêneo, o sinal climático em uma determinada profundidade pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Difusividade térmica λ• Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática• Amplitude A da perturbação climática• Profundidade z dentro do poço

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre o sinal climático em uma determinada profundidade e os parâmetros λ, t’ e A é dada por:

'41)',(

t

zerfAtAT i

i

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

T

tt0

sinal climático

prof

undi

dade

0

z

z

t'A

λ

'41)',(

t

zerfAtAT i

i

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

. . .

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

'41)',( 1

1t

zerfAtAT

'41)',( 2

2t

zerfAtAT

'41)',(

t

zerfAtAT N

N

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

. . .

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

'41)',( 1

1t

zerfAtAT

'41)',( 2

2t

zerfAtAT

'41)',(

t

zerfAtAT N

N

)]'4(1[

)]'4(1[

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)',(

)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

. . .

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

'41)',( 1

1t

zerfAtAT

'41)',( 2

2t

zerfAtAT

'41)',(

t

zerfAtAT N

N

)]'4(1[

)]'4(1[

)]'4(1[

)',(

)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pTTpTTp

obsTobs

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

)]'4(1[

)]'4(1[

)]'4(1[

)',(

)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pTTpTTp

obsTobs

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

)]'4(1[

)]'4(1[

)]'4(1[

)',(

)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

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tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

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)]'4(1[

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2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

)()()( pTTpTTp

obsTobs

)]'4(1[

)]'4(1[

)]'4(1[

)',(

)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

)()()( pTTpTTp

obsTobs

)]'4(1[

)]'4(1[

)]'4(1[

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)',(

)',(

2

1

2

1

tzerfA

tzerfA

tzerfA

tAT

tAT

tAT

NN

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Abrupta)

N

ii

obsi pTTp

1

2)()(

Cálculo da amplitude e do tempo em que ocorreu uma perturbação climática

Problema Geofísico

Sinal Climático(Perturbação Linear)

• Uma mudança linear no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço

• As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura predita pelo campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Linear)

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

t

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

t

T

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

T

t

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

t0

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

T

t

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

t0

o tempo é positivo em direção ao presente

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

mudança linear na temperatura

Sinal Climático(Perturbação Linear)

subsuperfície

T

tt0

t0 tempo em que ocorreu a perturbação climática

a mudança linear na temperatura, induzida por uma perturbação climática, propaga-se

em subsuperfície

• Uma mudança linear no clima gera uma perturbação na temperatura da superfície, que se propaga em subsuperfície e é detectada por um sensor movido ao longo de um poço

• As observações são medições da diferença entre a temperatura ao longo do poço e a temperatura do campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Linear)

Sinal Climático(Perturbação Linear)

T

tt0

medidas da temperatura ao longo

do poço

Sinal Climático(Perturbação Linear)

T

tt0

temperatura

prof

undi

dade

Sinal Climático(Perturbação Linear)

T

tt0

temperatura

prof

undi

dade

campo térmico regional

Sinal Climático(Perturbação Linear)

T

tt0

sinal climático

prof

undi

dade

0

Parametrização

Considerando que a subsuperfície é um semi-espaço infinito e homogêneo, o sinal climático em uma determinada profundidade pode ser descrito em termos dos parâmetros:

• Difusividade térmica λ• Tempo t’ decorrido desde a perturbação climática• Amplitude A da perturbação climática• Profundidade z dentro do poço

Sinal Climático(Perturbação Linear)

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre o sinal climático em uma determinada profundidade e os parâmetros λ, t’ e A é dada por:

'4exp

'4

2

'4'4

21)',(

22

t

z

t

z

t

zerfc

t

zAtAT iiii

i

Sinal Climático(Perturbação Linear)

Sinal Climático(Perturbação Linear)T

tt0

z

t'A

λ

'4exp

'4

2

'4'4

21)',(

22

t

z

t

z

t

zerfc

t

zAtAT iiii

i

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

Sinal Climático(Perturbação Linear)

'4 tzii

. . .

21

1111

221)',(

eerfcAtAT

22

2222

221)',(

eerfcAtAT

2

221)',(

NeerfcAtAT N

NNN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

Sinal Climático(Perturbação Linear)

. . .

21

1111

221)',(

eerfcAtAT

22

2222

221)',(

eerfcAtAT

2

221)',(

NeerfcAtAT N

NNN

'4 tzii

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

Problema DiretoSendo assim, para diferentes profundidades:

Sinal Climático(Perturbação Linear)

. . .

21

1111

221)',(

eerfcAtAT

22

2222

221)',(

eerfcAtAT

2

221)',(

NeerfcAtAT N

NNN

'4 tzii ppT B)(

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pTTpTTp

obsTobs

Sinal Climático(Perturbação Linear)

ppT B)( '4 tzii

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

ppT B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pTTpTTp

obsTobs

Sinal Climático(Perturbação Linear)

'4 tzii

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

ppT B)( '4 tzii

)()()( pTTpTTp

obsTobs

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Linear)

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

)()()( pTTpTTp

obsTobs

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Linear)

ppT B)( '4 tzii

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

)()()( pTTpTTp

obsTobs

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

pTpTp

obsT

obs

BB)(

Sinal Climático(Perturbação Linear)

N

ii

obsi pTTp

1

2)()(

2

22

21

2)]()21[(

2)]()21[(

2)]()21[(

)',(

)',(

)',(

122

111

2

1

NeerfcA

eerfcA

eerfcA

tAT

tAT

tAT

NNN

N

ppT B)( '4 tzii

Cálculo da profundidade do embasamento

Problema Geofísico

Gravimetria(Bacia Triangular)

• O relevo do embasamento sob uma bacia sedimentar produz uma anomalia na Aceleração da Gravidade

• As observações são medições da componente vertical da Anomalia de Gravidade

Gravimetria(Bacia Triangular)

Gravimetria(Bacia Triangular)

Modificado de Allen e Allen (2005)

Gravimetria(Bacia Triangular)

Modificado de Allen e Allen (2005)

Gravimetria(Bacia Triangular)

bacia

• O relevo do embasamento sob uma bacia sedimentar produz uma anomalia na Aceleração da Gravidade

• As observações são medições da componente vertical da Anomalia de Gravidade

Gravimetria(Bacia Triangular)

Parametrização

Considerando que o pacote sedimentar e o embasamento são homogêneos, a anomalia de gravidade pode ser descrita em termos dos parâmetros:

• Contraste ρ de densidade dos sedimentos• Relevo do embasamento

Gravimetria(Bacia Triangular)

Gravimetria(Bacia Triangular)g

posição

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um

polígono triangular

Gravimetria(Bacia Triangular)

Cujo formato é definido pelas coordenadas do

vértice inferior

(x, z)

g

posição

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, x e z é dada por uma função:

),(),( zxfGzxg ii

Gravimetria(Bacia Triangular)

Que pode ser baseada, por exemplo, no trabalho de Talwani (1959)

Gravimetria(Bacia Triangular)

(x, z)

g

x

z

ρ

),(),( zxfGzxg ii

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

. . .

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(),( 11 zxfGzxg

),(),( 22 zxfGzxg

),(),( zxfGzxg NN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

. . .

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(),( 11 zxfGzxg

),(),( 22 zxfGzxg

),(),( zxfGzxg NN

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

. . .

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(),( 11 zxfGzxg

),(),( 22 zxfGzxg

),(),( zxfGzxg NN

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Triangular)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

2

1

2

1

zxfG

zxfG

zxfG

zxg

zxg

zxg

NN

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

N

ii

obsi pggp

1

2)()(

Cálculo da profundidade do embasamento

Problema Geofísico

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

• O relevo do embasamento sob uma bacia sedimentar produz uma anomalia na Aceleração da Gravidade

• As observações são medições da componente vertical da Anomalia de Gravidade

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

crosta

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

crosta

estiramento

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

crosta

falhamento normal

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

subsidência

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

baciasedimentar

• O relevo do embasamento sob uma bacia sedimentar produz uma anomalia na Aceleração da Gravidade

• As observações são medições da componente vertical da Anomalia de Gravidade

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)g

posição

Parametrização

Considerando que o pacote sedimentar e o embasamento são homogêneos, a anomalia de gravidade pode ser descrita em termos dos parâmetros:

• Contraste ρ de densidade dos sedimentos• Relevo do embasamento

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)g

posição

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um

polígono trapezoidal

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)g

posiçãoCujo formato é definido pela profundidade dos

vértices inferiores

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função:

),(),( 2121 zzfGzzg ii

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

Que pode ser baseada, por exemplo, no trabalho de Talwani (1959)

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)g

posição

z1 z2ρ

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

. . .

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

. . .

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

. . .

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

Gravimetria(Bacia Trapezoidal)

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

N

ii

obsi pggp

1

2)()(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Determinação da localização de um dipolo em subsuperfície

Problema Geofísico

Magnetometria(Dipolo)

• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético

• O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e produz um campo resultante

• As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

Magnetometria(Dipolo)

Magnetometria(Dipolo)

Magnetometria(Dipolo)

O corpo adquire magnetização

Magnetometria(Dipolo)

E produz um campo magnético

• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético

• O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e gera um campo resultante

• As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

Magnetometria(Dipolo)

Magnetometria(Dipolo)

Campo Geomagnético

Campo do corpo

Magnetometria(Dipolo)

O campo resultante é uma soma vetorial

• Um corpo magnetizado em subsuperfície produz um campo magnético

• O campo magnético produzido é uma grandeza vetorial, que é somado ao campo Geomagnético e gera um campo resultante

• As observações são medições da intensidade do campo magnético resultante na superfície (Anomalia de Campo Total)

Magnetometria(Dipolo)

Magnetometria(Dipolo)B

posição

Parametrização

Considerando que a rocha encaixante é não-magnética, que o campo geomagnético é constante, que a magnetização é induzida e que o corpo pode ser aproximado por um dipolo, a anomalia de campo total pode ser descrita em termos dos parâmetros:

• Suscetibilidade magnética χ do corpo• Componentes Bx, By e Bz do campo geomagnético• Coordenadas x, y e z do dipolo

Magnetometria(Dipolo)

g

posição

A bacia sedimentar pode ser aproximada por um

polígono trapezoidal

Magnetometria(Dipolo)

g

posiçãoCujo formato é definido pela profundidade dos

vértices inferiores

Magnetometria(Dipolo)

Relação funcional

Nessas condições, a relação entre a anomalia de gravidade em uma determinada posição e os parâmetros ρ, z1 e z2 é dada por uma função:

3

M

B

B

B

z

y

x

Magnetometria(Dipolo)

HB )1(0

HM

BM)1(0

g

posição

z1 z2ρ

Magnetometria(Dipolo)

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

. . .

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

Magnetometria(Dipolo)

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

. . .

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

Magnetometria(Dipolo)

Problema DiretoSendo assim, para diferentes posições:

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

. . .

),(),( 211211 zzfGzzg

),(),( 212212 zzfGzzg

),(),( 2121 zzfGzzg NN

Magnetometria(Dipolo)

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Magnetometria(Dipolo)

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

ppg B)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Magnetometria(Dipolo)

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Magnetometria(Dipolo)

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Magnetometria(Dipolo)

NormaA norma L2 entre os dados observados e os dados preditos é dada por:

)()()( pggpggp obsTobs

ppg B)(

pgpgp obs

Tobs BB)(

N

ii

obsi pggp

1

2)()(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

21

212

211

21

212

211

zzfG

zzfG

zzfG

zzg

zzg

zzg

NN

Magnetometria(Dipolo)