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Física I
Momento Linear – parte I (material de apoio a aula)
Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa
Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva
1
Objetivo da aula
• Momento linear
• Sistema de duas partículas: • Centro de massa
• Posição, velocidade e aceleração do centro de massa
• Sistema de muitas partículas
• Conservação do momento linear
Definir e discutir os conceitos sobre momento linear
2
Momento linear
Para colocar um corpo em movimento com uma dada velocidade Ԧ𝑣 sabemos, daexperiencia cotidiana, que o nosso esforço é maior quanto maiores forem a massa docorpo e o módulo da velocidade Ԧ𝑣
Momento linear
Para colocar um corpo em movimento com uma dada velocidade Ԧ𝑣 sabemos, daexperiencia cotidiana, que o nosso esforço é maior quanto maiores forem a massa docorpo e o módulo da velocidade Ԧ𝑣
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
𝑚Ԧ𝑎 = Ԧ𝐹Aceleração da partícula
Momento linear
Para colocar um corpo em movimento com uma dada velocidade Ԧ𝑣 sabemos, daexperiencia cotidiana, que o nosso esforço é maior quanto maiores forem a massa docorpo e o módulo da velocidade Ԧ𝑣
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
𝑚Ԧ𝑎 = Ԧ𝐹Aceleração da partícula
𝑚𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡= Ԧ𝐹
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Velocidade da partícula
Momento linear
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
Momento linear: vetor definido pelo produto entre a massa de uma
partícula e o seu vetor velocidade
Momento linear
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
Momento linear: vetor definido pelo produto entre a massa de uma
partícula e o seu vetor velocidade
O vetor momento linear tem a mesma direção e sentido
do vetor velocidadeUnidades no S.I.: Ԧ𝑝 = 𝑘𝑔.𝑚/𝑠
Momento linear
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
Momento linear
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡= Ԧ𝐹Segunda Lei de Newton:
Momento linear
𝑑
𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡= Ԧ𝐹Segunda Lei de Newton:
Segunda Lei de Newton: a taxa instantânea de variação do momento linear de uma partícula é igual à força total aplicada sobre ela
Momento linear
Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:
Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡= Ԧ𝐹Segunda Lei de Newton:
Ԧ𝐹 = 0 →𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡= 0 → Ԧ𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 A partícula tem velocidade
constante e executa um MRU
Segunda Lei de Newton: a taxa instantânea de variação do momento linear de uma partícula é igual à força
total aplicada sobre ela
Momento linear
X
https://an.wikipedia.org/wiki/Coix%C3%ADn#/media/Imachen:Cushion.jpg
ℎ ℎ
Momento linear
X
https://an.wikipedia.org/wiki/Coix%C3%ADn#/media/Imachen:Cushion.jpg
ℎℎ
𝑑 Ԧ𝑝
𝑑𝑡= Ԧ𝐹
Obs: O intervalo de tempo neste caso, é o intervalo de tempo da frenagem
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12
2° Lei de Newton para este sistema:
Força que atua na partícula 1devido à partícula 2
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12
𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡
= Ԧ𝐹21
2° Lei de Newton para este sistema:
Força que atua na partícula 1devido à partícula 2
Força que atua na partícula 2devido à partícula 1
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12
𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡
= Ԧ𝐹21
2° Lei de Newton para este sistema:
Força que atua na partícula 1devido à partícula 2
Força que atua na partícula 2devido à partícula 1
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21, 𝑃 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2
Momento total do sistema de duas partículas
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
O que podemos dizer sobre as forças Ԧ𝐹12 e Ԧ𝐹21?
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21
Pela 3° Lei de Newton Ԧ𝐹12e Ԧ𝐹21 constituem um par
de ação e reação= 0
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:
Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria
O que podemos dizer sobre as forças Ԧ𝐹12 e Ԧ𝐹21?
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21
Pela 3° Lei de Newton Ԧ𝐹12e Ԧ𝐹21 constituem um par
de ação e reação
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 0 O momento total do
sistema se conserva!
Num sistema isolado o momento total se conserva!
Lei de conservação associada a essa nova grandeza
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
Força que atua na partícula1 devido à partícula 2
Força externa totalque atua na partícula 1
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡
= Ԧ𝐹21 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Força que atua na partícula1 devido à partícula 2
Força externa totalque atua na partícula 1
Força externa total queatua na partícula 2
Força que atua na partícula2 devido à partícula 1
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡
= Ԧ𝐹21 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21 + Ԧ𝐹1
𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Repetindo o procedimento anterior:
Ԧ𝐹12 = − Ԧ𝐹21 : 3° Lei de Newton
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹1
𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Sistema de duas partículas
Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas
𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡
= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
𝑑 Ԧ𝑝2𝑑𝑡
= Ԧ𝐹21 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Para que o momento total de um sistema se conserve a resultante das forças externas
aplicadas no sistema precisa ser nula!
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹1
𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 = Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2
𝑒𝑥𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
: resultante das forças externas
Sistema de duas partículas
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Equação de movimento de uma única partícula de
momento 𝑃 sujeita a uma força externa Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Uma outra forma de olhar para o mesmo problema...
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Sistema de duas partículas
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Equação de movimento de uma única partícula de
momento 𝑃 sujeita a uma força externa Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Uma outra forma de olhar para o mesmo problema...
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1 Pensar em uma única partícula (fictícia) representativa de todo o sistema
Sistema de duas partículas
𝑑𝑃
𝑑𝑡= Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Equação de movimento de uma única partícula de
momento 𝑃 sujeita a uma força externa Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Pensar em uma única partícula (fictícia) representativa de todo o sistema
Centro de massa: é um ponto do espaço que determinamos a partir das posições das outras partículas do sistema, e que representa todo o
sistema, mas não é uma partícula.
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Como determinar a posição do centro de massa?
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝑝1 = 𝑚1
𝑑 Ԧ𝑟1𝑑𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Ԧ𝑝2 = 𝑚2
𝑑 Ԧ𝑟2𝑑𝑡
Como determinar a posição do centro de massa?
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝑝1 = 𝑚1
𝑑 Ԧ𝑟1𝑑𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Ԧ𝑝2 = 𝑚2
𝑑 Ԧ𝑟2𝑑𝑡
Como determinar a posição do centro de massa?
𝑃 =𝑑
𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)
Momento linear total do sistema
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝑝1 = 𝑚1
𝑑 Ԧ𝑟1𝑑𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Ԧ𝑝2 = 𝑚2
𝑑 Ԧ𝑟2𝑑𝑡
Como determinar a posição do centro de massa?
𝑃 =𝑑
𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)
𝑃 = 𝑀𝑑𝑅
𝑑𝑡,
𝑃 =𝑑
𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)
Momento linear total do sistema
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝑝1 = 𝑚1
𝑑 Ԧ𝑟1𝑑𝑡
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
Ԧ𝑝2 = 𝑚2
𝑑 Ԧ𝑟2𝑑𝑡
Como determinar a posição do centro de massa?
𝑃 =𝑑
𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)
𝑃 = 𝑀𝑑𝑅
𝑑𝑡,
𝑃 =𝑑
𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Vetor posição do centro de massa
𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2
Momento linear total do sistema
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Ԧ𝐹21
2
Ԧ𝐹12
Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡
Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡
1
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Como determinar a velocidade e aceleração do centro de massa?
𝑉 =𝑑𝑅
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Vetor velocidade do centro de massa
Ԧ𝐴 =𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑2
𝑑𝑡2𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Vetor aceleração do centro de massa
Centro de massa de um sistema de duas partículas
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
𝑂
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
𝑂
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗
Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗
𝑂
Ԧ𝑟1
Ԧ𝑟2
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗
Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗𝑅 =
𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)
2𝑚
𝑂
Ԧ𝑟1
Ԧ𝑟2
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗
Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗𝑅 =
𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)
2𝑚
𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)
2
𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗𝑂
Ԧ𝑟1
Ԧ𝑟2
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗
Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗
𝑅 =𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)
2𝑚
𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)
2
𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗
1
3𝐶𝑀
Centro de massa de um sistema de duas partículas
𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2
Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.
𝑦
4
𝑥
2
2
1
2
Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗
Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗
𝑅 =𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)
2𝑚
𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)
2
𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗
1
3𝐶𝑀
O CM localiza-se sobre a reta que une as duas partículas
O CM localiza-se mais próximo da partícula de maior massa
42
Fim da aula!
Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.
Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula.
Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente,leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.
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