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Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x y
0 -1
0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que
essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ax + b > 0 x >
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ax + b > 0 x <
y > 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Exercícios
FUNÇÕES DO 1º GRAU
1.(UFU-MG) No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y=3-x e y= kx+t, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente:
a. 2 e 1 b. -2 e 1 c. 2 e 0 d. -1/2 e 0
e. 1/2 e 0
2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico
a. f(x)= -x+2 b. f(x) = -x/2 + 1 c. f(x)= -x/2 + 2 d. f(x)=4x
e. f(x)= -x
3. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a. y= x/3 b. y=-x/3 + 1 c. y= 2x d. y= x/3 +1 e. y= -x
4. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
a. a = 0 ; b = 0 b. a > 0 ; b > 0 c. a < 0 ; b > 0 d. a > 0 ; b = 0 e. a > 0 ; b < 0
5. ( UFMA ) A representação da função y = -3 é uma reta :
a. paralela aos eixo das ordenadas b. perpendicular ao eixo das ordenadas c. perpendicular ao eixo das abcissas d. que intercepta os dois eixos e. nda
6. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :
a. a < 2 b. a < 0 c. a = 0 d. a > 0 e. a = 2
7. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?
a. y = 2x - 3 b. y = - 2x + 3 c. y = 1,5 x + 3 d. 3y = - 2x e. y = - 1,5x + 3
8. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é :
a. - 13/5 b. 22/5 c. 7/5 d. 13/5 e. 2,4
9.( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
a. 0 b. 2 c. 3 d. 4 e. -1
10. ( FUVEST - SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é :
a. f(x)= x-3 b. f(x)= 0,97x c. f(x)=1,3x d. f(x)=-3x e. f(x)= 1,03x
11. ( UFRN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para x = -1 é:
a. 3 b. 4 c. -7 d. -11 e. nda
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b . Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é :
a. 0 b. 2 c. -5 d. -3 e. -1
13. ( UFPE ) Seja y = ax + b onde a e b são números reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a alternativa que indica a representação desta função:
14.( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas condições:
a. m = 2t b. t = 2m c. m = t d. m + t = 0 e. m - t=4
15. ( MACK-SP ) O ponto P pertence ao gráfico cartesiano da função dada por f(x) = -x + 30. A somas das coordenadas de P é:
a. 30 b. negativa se x < 30 c. sempre negativa d. zero se x = 30 e. impossível de ser determinada com a informação dada.
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando , chamado discriminante, a saber:
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.
Função Quadrática
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º - > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)y < 0 x1 < x < x2
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
2º - = 0
quando a > 0
quando a < 0
3º - < 0
quando a > 0
quando a < 0
FUNÇÕES DO 2º GRAU
1. (ACAFE - SC) - A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:
a. 0 b. 1
c. 2 d. 3 e. 4
2. (PUC - MG) - O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é:
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
3. (CEFET - PR) - O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é:
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
4. (UEL-PR)- Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a:
a. 5/6 b. 31 /14 c. 83/12 d. 89/18 e. 93/12
5. (MACK - SP) - O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; então k pode ser:
a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4
6. (PUC - SP) - O número de pontos comuns aos gráficos das funções f(x) = x2 - 2 e g(x) = - x2 - 4 é:
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
7. (UFCE) - Considere a função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
a. vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); b. f possui dois zeros reais e distintos; c. f atinge um máximo para x = 1; d. gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. e. nda
8. (UFGO) - Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) é:
a. {0; 1 } b. {- 1 ; 0} c. {1 } d. {- 2; 3} e. {3; 4}
9. (PUC - RS) - A imagem da função f: IR IR, definida por f(x) = x2 - 1, é o intervalo:
a. [-1; ºº ) b. (-1;ºº ) c. [0; ºº ) d. (-°° ;-1) e. (-ºº ;-11 ]
10. (UEPG - PR) - Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto - imagem é:
a. {y E IR/y 4} b. {y E IR/-4<y<4} c. {y E IR/y>4} d. {y E IR/y 4} e. R
11.(FGV - SP) - O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é:
a. 3250 b. 3750 c. 4000 d. 4500 e. 4950
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