GeometriaS

Uma abordagem geral

Índice

1. Geometria Euclidiana

2. Geometria Hiperbólica2.1. Postulados da Geometria Hiperbólica2.2. Características da Geometria Hiperbólica

2.2.1. Rectas2.2.2. Triângulos2.2.3. Círculos

3. Modelos de Geometria Hiperbólica3.1. Modelo do Semi-plano de Poincaré3.2. Modelo do Disco de Poincaré3.3. Modelo de Klein - Beltrami3.4. Um comparativo gráfico entre modelos3.5. Outras dimensões

3.5.1. A Pseudoesfera3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D3.5.3. Modelos materiais

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Εὐκλείδης

Euclides de Alexandria

(aprox.300 a.C.)

http://www.ebook3000.com/Euclid-s-Elements-of-Geometry_34614.html

Para fazer download dos “Elementos” de Euclides:

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1. Geometria Euclidiana

5 Postulados de

Euclides

O Axioma das Paralelas

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Uma representação gráfica

1. Geometria Euclidiana

2. Supor que:

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, existe uma infinidade de rectas paralelas à recta m.”

Geometria Esférica, Elíptica ou Riemanniana.

Geometria Hiperbólica

As novas geometrias nascem das sucessivas tentativas de deduzir o axioma das paralelas a partir dos outro quatro axiomas.Há duas formas de negar a afirmação de Euclides:

1. Supor que:

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, não existe uma única recta paralela à recta m.”

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2. Geometria Esférica e Hiperbólica

- As geodésicas são linhas rectas.

- A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º (Curvatura Zero)

- A área de um triângulo é dada por:

Área [ABC]= base*altura/2

- Há triângulos semelhantes com tamanhos diferentes.

“Por um ponto P exterior a uma recta r, num mesmo plano, passa uma e só uma única recta paralela à recta r.”

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1. Geometria Euclidiana

- A geodésica é uma curva ao longo de um círculo máximo.

- A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180º. (Curvatura Positiva)

- A área de um triângulo na superfície esférica de raio R é dada por

Área [ABC] = R2.(α + β + γ - )

- Não existem triângulos semelhantes pois, por terem ângulos internos iguais, nãoformam necessariamente triângulos com a mesma forma.

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, não existe uma única recta paralela à recta m.”

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Geometria Esférica

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, existem infinitas rectas paralelas à recta m.”

Postulado 1: Por dois pontos diferentes pode ser traçada uma, e só uma, recta

hiperbólica.

Postulado 2: Uma recta hiperbólica pode estender-se indefinidamente em ambas as

direcções sem que os seus pontos extremos se toquem.

Postulado 3: Pode desenhar-se um círculo usando qualquer ponto como centro, e

qualquer medida como raio.

Postulado 4: Todos os ângulos rectos são iguais entre si.

Postulado 5: Pelo ponto P, que não pertence a uma recta hiperbólica, podem ser

traçadas pelo menos duas rectas hiperbólicas paralelas a P.

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2.2. Postulados da Geometria Hiperbólica

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Conjunto de rectas que, passando pelo mesmo ponto, são todas paralelas à linha mais escura.

As geodésicas na superfície hiperbólica podem ser representadas por linhas rectas ou por arcos de círculo, dependendo do modelo utilizado e da posição dos pontos na superfície.

2.2.1. Rectas

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A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que 180º.A diferença é denominada defeito.

2.2.2. Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Na geometria euclidiana dois triângulos podem ser semelhantes e não serem congruentes. Isto é impossível na geometria hiperbólica, onde triângulos semelhantes têm de ser rigorosamente iguais.

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Verificamos que, apesar de não haver um limite para o comprimento dos ladosde um triângulo, há um limite para o valor da respectiva área.

Na internet podemos encontrar um applet que calcula a área de triânguloshiperbólicos no disco de Poincaré, considerando R=1.

Área de Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

A área de um triângulo hiperbólico é proporcional ao seu defeito e é dada por:

Área[ABC] = R2. ( - - - )

http://www.geom.uiuc.edu/java/triangle-area/

Podemos também usar um applet da Wolfram

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Na geometria hiperbólica, uma circunferência terá sempre um perímetro

maior do que uma circunferência Euclidiana com o mesmo raio!!!

2.2.4. Círculos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Sendo r o raio do círculo, , a medida do

perímetro e da área são dadas por:

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Uma circunferência hiperbólica é o lugar geométrico

dos pontos cuja distância hiperbólica a um ponto

fixo chamado centro é constante.

P = 2πsinh(r)

A = 4πsinh2(r/2)A = 2πR2 (cosh2(r/R - 1)

P = 2πRsinh(r/R)

3. Modelos de Geometria Hiperbólica

Foram desenvolvidos quatro principais modelos para a Geometria Hiperbólica.

Semiplano Superior de Poincaré: toma como plano um semiplano aberto doplano euclidiano.

Disco de Poincaré: representa o plano como o interior de um círculo e as rectascomo arcos de circunferência ortogonais à fronteira do disco ou diâmetros domesmo.

Projectivo de Klein – Beltrami : Representa o plano como o interior de umcírculo e as rectas como cordas desse círculo.

de Lorenz ou Hiperbolóide: Neste caso, usamos uma folha de um hiperbolóidede revolução. Os pontos são classes de equivalência de vectores que satisfazemuma determinada forma quadrática e as rectas resultam da intersecção de certosplanos com o hiperbolóide. Não vamos explicitar este modelo.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

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Este modelo baseia-se no semiplano superior

.

Trata-se de um modelo que:

• é conforme, isto é, preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

Esta forma de projecção é denominada Projecção Estereográfica.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Hiperbólica:

As barras verticais indicam

a distância euclidiana.

http://www.quantum-immortal.net/math/hyperbolic.php#parallel

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em:

As geodésicas são linhas curvas.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Applet para desenhar linhas no semiplano superior de Poincaré (internet):

http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/uhp/uhpjava.html

Construções no Semiplano Superior: NonEuclid

Linha perpendicular ao eixo dos xx;

Linha que intersecta o eixo dos xx não perpendicular a este;

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Linha paralela ao eixo dos xx e círculos tangentes ao eixo dos xx: horociclos.

Arcos que intersectam o eixo dos xx, mas não na perpendicular: equidistantes.

Círculos que não intersectam o eixo dos xx : são círculos na geometria de

Lobachevsky.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

• Ângulos da superfície mantidos no mapa Mapa conforme

• Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Como calcular uma área neste modelo?

Verificamos o que já tinhamos escrito nas características da geometria hiperbólica:

A área de uma região depende do seu defeito.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Transformações

Translação

Rotação

3.2. Disco de Poincaré

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Formalmente, o Disco de Poincaré é definido como o conjunto de todos os

pontos de um disco unitário aberto

Trata-se de um modelo que:

• é conforme, isto é, preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

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3.2. Disco de Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Hiperbólica:

As barras verticais indicam

a distância euclidiana.

http://www.josleys.com/article_show.php?id=83#formule

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em:

As geodésicas são geralmente linhas curvas, embora possam ser rectas emalguns casos.

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Para desenhar linhas no Disco de Poincaré(wolfram)

3.2. Disco de Poincaré

B

l

t

nm

- l é um arco de raio infinito.

- m e n são concorrentes

- l e n são estritamente paralelas.

- l e m seriam assimptoticamente

paralelas se se tocassem na fronteira do

disco

- m e n são ambas paralelas a l (e a t)

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• Ângulos: medidos através do ângulo formado pelas

tangentes aos arcos no ponto de intersecção.

• Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

3.2. Disco de Poincaré

Construções no Disco de Poincaré: http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html

Área de um triângulo no Disco de Poincaré

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3.2. Disco de Poincaré

Todos os triângulos usados nesta pavimentação têm a mesma área...

Outras pavimentações

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3.2. Disco de Poincaré

Círculos hiperbólicos

Círculo, seu centro e raios.Uma circunferência dentro do disco de Poincaré que não passe pelo centro O do disco terá como imagem, na superfície, outra circunferência.

Construções no Disco de Poincaré: NonEuclid

Um ser vivendo dentro de um universo

hiperbólico seria totalmente incapaz de

perceber, unicamente através dos seus

sentidos, que vive num espaço tão

curioso visto de fora.

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3.2. Disco de Poincaré

Segundo ele, vive num universo

perfeitamente plano, no qual os seus

habitantes são vistos de fora como na

figura ao lado.

Mauritius Cornelius Escher

(1898 – 1972), Holanda

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3.2. Disco de Poincaré

Para saber mais sobre M.C.Escher e sua

ligação com a geometria hiperbólica

Sem ter formação matemática, Escher

conseguiu representar muitos conceitos

matemáticos da geometria euclidiana e não

euclidiana.

Muitos dos seus trabalhos são usados por

matemáticos para ilustrar exemplos.

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3.2. Disco de Poincaré

Circle Limit I

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3.2. Disco de Poincaré

Circle Limit II

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Circle Limit III

3.2. Disco de Poincaré

Esboço original

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Circle Limit IV

3.2. Disco de Poincaré

Mais Exemplos !!!

Note-se que as figuras parecem mais pequenas à medida que nos aproximamos da fronteira do disco, mas que têm o mesmo tamanho na Geometria do Plano Hiperbólico.

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Transformações

TranslaçãoRotação

3.2. Disco de Poincaré

Transformação Disco - Semiplano

Filme Transformação

Möbius

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Eugene Beltrami1835 – 1900, Italia

Felix Klein1849 – 1952, Alemanha

Modelo de Beltrami-Klein: obtém-se deformando a geometria hiperbólica do Disco

de Poincaré de modo a que as rectas hiperbólicas no disco de Poincaré (os arcos de

circunferência) se transformam em cordas.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Trata-se de um modelo que:

• não é conforme, isto é, não preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Métrica Disco de Poincaré:

Métrica modelo Klein-Beltrami:

A

B

U

V

As barras verticais indicam a distância euclidiana.O factor ½ é necessário para que a curvatura seja -1.

As geodésicas no modelo de Beltrami são as cordas euclidianas do disco unitário.

A dedução destas fórmulas pode ser vista aqui

Projecção Central

Curvatura positivaMeia esfera é projectada em todo o plano.

Curvatura negativaToda a superfície é projectada em parte do plano.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Neste exemplo,

- m e n são rectas divergentemente paralelas;

- l e m são assimptoticamente paralelas.

Este mapa só é conforme na origem, por isso é

denominado de não conforme - distorce ângulos e

medidas – e, assim, a medição de ângulos é muito

complicada.

Mas, existe um isomorfismo entre os modelos de Poincaré e Klein-Beltrami que

permite efectuar medições de ângulos com relativa facilidade....

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Este isomorfismo transforma ângulos do modelo de Beltrami em ângulos

congruentes no disco de Poincaré, bastando assim usar as rectas transformadas

no plano de Poincaré e tomar a medida euclidiana do ângulo de intersecção das

respectivas tangentes:

A transformação é feita

através da seguinte

fórmula:

3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.1. A pseudosfera

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D

• Espaço : esfera unitária;

• Linhas: arcos de círculo que intersectam a fronteira da

esfera unitária em ângulo recto;

• Planos: porções de esfera que intersectam a esfera

unitária em ângulo recto.

Imagens obtidas em http://mathworld.wolfram.com/

Para visualizar um visitante de um

museu hiperbólico!!!

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

Mas... como construir uma superfície hiperbólica num modelo sólido e

palpável???

Todas estas superfícies são conceptuais e é preciso não esquecer que, há

alguns anos, o uso do computador, com os seus programas de geometria, não

era prática corrente. Surgiram alguns modelos em papel, mas muito frágeis.

Os matemáticos esperavam o dia em que pudessem pegar numa superfície

hiperbólica da mesma forma como seguram numa esfera.

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

É neste contexto que surge Daina Taimina, matemática Letã que, num momento inspirado de uma tarde de 1977, se lembra de... Tricotar estas superfícies. Aqui vemos alguns exemplos do seu trabalho.

A pseudosfera,

palpável e nada frágil.

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

Paralelas Perpendiculares Triângulos

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

Para ter em casa

Manta

AlgasUm conjunto de planos hiperbólicos, tricotados, imitando recifes de coral

FIM

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