Uma abordagem geral

Índice

1. Geometria Euclidiana

2. Geometria Hiperbólica2.1. Postulados da Geometria Hiperbólica2.2. Características da Geometria Hiperbólica

2.2.1. Rectas2.2.2. Triângulos2.2.3. Círculos

3. Modelos de Geometria Hiperbólica3.1. Modelo do Semi-plano de Poincaré3.2. Modelo do Disco de Poincaré3.3. Modelo de Klein - Beltrami3.4. Um comparativo gráfico entre modelos3.5. Outras dimensões

3.5.1. A Pseudoesfera3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D3.5.3. Modelos materiais

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Εὐκλείδης

Euclides de Alexandria

(aprox.300 a.C.)

http://www.ebook3000.com/Euclid-s-Elements-of-Geometry_34614.html

Para fazer download dos “Elementos” de Euclides:

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1. Geometria Euclidiana

5 Postulados de

Euclides

O Axioma das Paralelas

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Uma representação gráfica

1. Geometria Euclidiana

2. Supor que:

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, existe uma infinidade de rectas paralelas à recta m.”

Geometria Esférica, Elíptica ou Riemanniana.

Geometria Hiperbólica

As novas geometrias nascem das sucessivas tentativas de deduzir o axioma das paralelas a partir dos outro quatro axiomas.Há duas formas de negar a afirmação de Euclides:

1. Supor que:

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, não existe uma única recta paralela à recta m.”

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2. Geometria Esférica e Hiperbólica

- As geodésicas são linhas rectas.

- A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º (Curvatura Zero)

- A área de um triângulo é dada por:

Área [ABC]= base*altura/2

- Há triângulos semelhantes com tamanhos diferentes.

“Por um ponto P exterior a uma recta r, num mesmo plano, passa uma e só uma única recta paralela à recta r.”

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1. Geometria Euclidiana

- A geodésica é uma curva ao longo de um círculo máximo.

- A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180º. (Curvatura Positiva)

- A área de um triângulo na superfície esférica de raio R é dada por

Área [ABC] = R2.(α + β + γ - )

- Não existem triângulos semelhantes pois, por terem ângulos internos iguais, nãoformam necessariamente triângulos com a mesma forma.

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, não existe uma única recta paralela à recta m.”

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Geometria Esférica

“Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, existem infinitas rectas paralelas à recta m.”

Postulado 1: Por dois pontos diferentes pode ser traçada uma, e só uma, recta

hiperbólica.

Postulado 2: Uma recta hiperbólica pode estender-se indefinidamente em ambas as

direcções sem que os seus pontos extremos se toquem.

Postulado 3: Pode desenhar-se um círculo usando qualquer ponto como centro, e

qualquer medida como raio.

Postulado 4: Todos os ângulos rectos são iguais entre si.

Postulado 5: Pelo ponto P, que não pertence a uma recta hiperbólica, podem ser

traçadas pelo menos duas rectas hiperbólicas paralelas a P.

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2.2. Postulados da Geometria Hiperbólica

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Conjunto de rectas que, passando pelo mesmo ponto, são todas paralelas à linha mais escura.

As geodésicas na superfície hiperbólica podem ser representadas por linhas rectas ou por arcos de círculo, dependendo do modelo utilizado e da posição dos pontos na superfície.

2.2.1. Rectas

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A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que 180º.A diferença é denominada defeito.

2.2.2. Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Na geometria euclidiana dois triângulos podem ser semelhantes e não serem congruentes. Isto é impossível na geometria hiperbólica, onde triângulos semelhantes têm de ser rigorosamente iguais.

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Verificamos que, apesar de não haver um limite para o comprimento dos ladosde um triângulo, há um limite para o valor da respectiva área.

Na internet podemos encontrar um applet que calcula a área de triânguloshiperbólicos no disco de Poincaré, considerando R=1.

Área de Triângulos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

A área de um triângulo hiperbólico é proporcional ao seu defeito e é dada por:

Área[ABC] = R2. ( - - - )

http://www.geom.uiuc.edu/java/triangle-area/

Podemos também usar um applet da Wolfram

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Na geometria hiperbólica, uma circunferência terá sempre um perímetro

maior do que uma circunferência Euclidiana com o mesmo raio!!!

2.2.4. Círculos

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica

Sendo r o raio do círculo, , a medida do

perímetro e da área são dadas por:

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Uma circunferência hiperbólica é o lugar geométrico

dos pontos cuja distância hiperbólica a um ponto

fixo chamado centro é constante.

P = 2πsinh(r)

A = 4πsinh2(r/2)A = 2πR2 (cosh2(r/R - 1)

P = 2πRsinh(r/R)

3. Modelos de Geometria Hiperbólica

Foram desenvolvidos quatro principais modelos para a Geometria Hiperbólica.

Semiplano Superior de Poincaré: toma como plano um semiplano aberto doplano euclidiano.

Disco de Poincaré: representa o plano como o interior de um círculo e as rectascomo arcos de circunferência ortogonais à fronteira do disco ou diâmetros domesmo.

Projectivo de Klein – Beltrami : Representa o plano como o interior de umcírculo e as rectas como cordas desse círculo.

de Lorenz ou Hiperbolóide: Neste caso, usamos uma folha de um hiperbolóidede revolução. Os pontos são classes de equivalência de vectores que satisfazemuma determinada forma quadrática e as rectas resultam da intersecção de certosplanos com o hiperbolóide. Não vamos explicitar este modelo.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

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Este modelo baseia-se no semiplano superior

.

Trata-se de um modelo que:

• é conforme, isto é, preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

Esta forma de projecção é denominada Projecção Estereográfica.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Hiperbólica:

As barras verticais indicam

a distância euclidiana.

http://www.quantum-immortal.net/math/hyperbolic.php#parallel

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em:

As geodésicas são linhas curvas.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Applet para desenhar linhas no semiplano superior de Poincaré (internet):

http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/uhp/uhpjava.html

Construções no Semiplano Superior: NonEuclid

Linha perpendicular ao eixo dos xx;

Linha que intersecta o eixo dos xx não perpendicular a este;

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Linha paralela ao eixo dos xx e círculos tangentes ao eixo dos xx: horociclos.

Arcos que intersectam o eixo dos xx, mas não na perpendicular: equidistantes.

Círculos que não intersectam o eixo dos xx : são círculos na geometria de

Lobachevsky.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

• Ângulos da superfície mantidos no mapa Mapa conforme

• Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Como calcular uma área neste modelo?

Verificamos o que já tinhamos escrito nas características da geometria hiperbólica:

A área de uma região depende do seu defeito.

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3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Transformações

Translação

Rotação

3.2. Disco de Poincaré

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Formalmente, o Disco de Poincaré é definido como o conjunto de todos os

pontos de um disco unitário aberto

Trata-se de um modelo que:

• é conforme, isto é, preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

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3.2. Disco de Poincaré

Métrica Euclidiana:

Métrica Hiperbólica:

As barras verticais indicam

a distância euclidiana.

http://www.josleys.com/article_show.php?id=83#formule

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em:

As geodésicas são geralmente linhas curvas, embora possam ser rectas emalguns casos.

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Para desenhar linhas no Disco de Poincaré(wolfram)

3.2. Disco de Poincaré

B

l

t

nm

- l é um arco de raio infinito.

- m e n são concorrentes

- l e n são estritamente paralelas.

- l e m seriam assimptoticamente

paralelas se se tocassem na fronteira do

disco

- m e n são ambas paralelas a l (e a t)

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• Ângulos: medidos através do ângulo formado pelas

tangentes aos arcos no ponto de intersecção.

• Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

3.2. Disco de Poincaré

Construções no Disco de Poincaré: http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html

Área de um triângulo no Disco de Poincaré

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3.2. Disco de Poincaré

Todos os triângulos usados nesta pavimentação têm a mesma área...

Outras pavimentações

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3.2. Disco de Poincaré

Círculos hiperbólicos

Círculo, seu centro e raios.Uma circunferência dentro do disco de Poincaré que não passe pelo centro O do disco terá como imagem, na superfície, outra circunferência.

Construções no Disco de Poincaré: NonEuclid

Um ser vivendo dentro de um universo

hiperbólico seria totalmente incapaz de

perceber, unicamente através dos seus

sentidos, que vive num espaço tão

curioso visto de fora.

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3.2. Disco de Poincaré

Segundo ele, vive num universo

perfeitamente plano, no qual os seus

habitantes são vistos de fora como na

figura ao lado.

Mauritius Cornelius Escher

(1898 – 1972), Holanda

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3.2. Disco de Poincaré

Para saber mais sobre M.C.Escher e sua

ligação com a geometria hiperbólica

Sem ter formação matemática, Escher

conseguiu representar muitos conceitos

matemáticos da geometria euclidiana e não

euclidiana.

Muitos dos seus trabalhos são usados por

matemáticos para ilustrar exemplos.

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3.2. Disco de Poincaré

Circle Limit I

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3.2. Disco de Poincaré

Circle Limit II

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Circle Limit III

3.2. Disco de Poincaré

Esboço original

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Circle Limit IV

3.2. Disco de Poincaré

Mais Exemplos !!!

Note-se que as figuras parecem mais pequenas à medida que nos aproximamos da fronteira do disco, mas que têm o mesmo tamanho na Geometria do Plano Hiperbólico.

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Transformações

TranslaçãoRotação

3.2. Disco de Poincaré

Transformação Disco - Semiplano

Filme Transformação

Möbius

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Eugene Beltrami1835 – 1900, Italia

Felix Klein1849 – 1952, Alemanha

Modelo de Beltrami-Klein: obtém-se deformando a geometria hiperbólica do Disco

de Poincaré de modo a que as rectas hiperbólicas no disco de Poincaré (os arcos de

circunferência) se transformam em cordas.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Trata-se de um modelo que:

• não é conforme, isto é, não preserva ângulos,

• não preserva distâncias,

• nem áreas de figuras.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Métrica Disco de Poincaré:

Métrica modelo Klein-Beltrami:

A

B

U

V

As barras verticais indicam a distância euclidiana.O factor ½ é necessário para que a curvatura seja -1.

As geodésicas no modelo de Beltrami são as cordas euclidianas do disco unitário.

A dedução destas fórmulas pode ser vista aqui

Projecção Central

Curvatura positivaMeia esfera é projectada em todo o plano.

Curvatura negativaToda a superfície é projectada em parte do plano.

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Neste exemplo,

- m e n são rectas divergentemente paralelas;

- l e m são assimptoticamente paralelas.

Este mapa só é conforme na origem, por isso é

denominado de não conforme - distorce ângulos e

medidas – e, assim, a medição de ângulos é muito

complicada.

Mas, existe um isomorfismo entre os modelos de Poincaré e Klein-Beltrami que

permite efectuar medições de ângulos com relativa facilidade....

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3.3. Modelo de Klein - Beltrami

Este isomorfismo transforma ângulos do modelo de Beltrami em ângulos

congruentes no disco de Poincaré, bastando assim usar as rectas transformadas

no plano de Poincaré e tomar a medida euclidiana do ângulo de intersecção das

respectivas tangentes:

A transformação é feita

através da seguinte

fórmula:

3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.4. Um comparativo gráfico entre modelos

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.1. A pseudosfera

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D

• Espaço : esfera unitária;

• Linhas: arcos de círculo que intersectam a fronteira da

esfera unitária em ângulo recto;

• Planos: porções de esfera que intersectam a esfera

unitária em ângulo recto.

Imagens obtidas em http://mathworld.wolfram.com/

Para visualizar um visitante de um

museu hiperbólico!!!

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

Mas... como construir uma superfície hiperbólica num modelo sólido e

palpável???

Todas estas superfícies são conceptuais e é preciso não esquecer que, há

alguns anos, o uso do computador, com os seus programas de geometria, não

era prática corrente. Surgiram alguns modelos em papel, mas muito frágeis.

Os matemáticos esperavam o dia em que pudessem pegar numa superfície

hiperbólica da mesma forma como seguram numa esfera.

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

É neste contexto que surge Daina Taimina, matemática Letã que, num momento inspirado de uma tarde de 1977, se lembra de... Tricotar estas superfícies. Aqui vemos alguns exemplos do seu trabalho.

A pseudosfera,

palpável e nada frágil.

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5.3. Modelos em Crochet

Paralelas Perpendiculares Triângulos

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3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

Para ter em casa

Manta

AlgasUm conjunto de planos hiperbólicos, tricotados, imitando recifes de coral

FIM

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