Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma Introdução às Geometrias Euclidiana e Afim

Clculo e Estimao de Invariantes Geomtricos:

Uma Introduo s Geometrias Euclidiana e Afim

Publicaes Matemticas

Clculo e Estimao de Invariantes Geomtricos:

Uma Introduo s Geometrias Euclidiana e Afim

Maria Andrade PUC-Rio

Thomas Lewiner PUC-Rio

impa 28o Colquio Brasileiro de Matemtica

Copyright 2011 by M. Andrade e T. Lewiner

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Srgio R. Vaz

28o Colquio Brasileiro de Matemtica

Cadeias de Markov e Teoria do Potencial - Johel Beltrn Clculo e Estimao de Invariantes Geomtricos: Uma Introduo s

Geometrias Euclidiana e Afim - M. Andrade e T. Lewiner De Newton a Boltzmann: o Teorema de Lanford - Srgio B. Volchan Extremal and Probabilistic Combinatorics - Robert Morris e Roberto

Imbuzeiro Oliveira Fluxos Estrela - Alexander Arbieto, Bruno Santiago e Tatiana Sodero Geometria Aritmtica em Retas e Cnicas - Rodrigo Gondim Hydrodynamical Methods in Last Passage Percolation Models - E. A. Cator

e L. P. R. Pimentel Introduction to Optimal Transport: Theory and Applications - Nicola Gigli Introduction to Stochastic Variational Analysis - Roger J-B Wets Introduo Aproximao Numrica de Equaes Diferenciais Parciais Via

o Mtodo de Elementos Finitos - Juan Galvis e Henrique Versieux Matrizes Especiais em Matemtica Numrica - Licio Hernanes Bezerra Mecnica Quntica para Matemticos em Formao - Brbara Amaral,

Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra Cunha Multiple Integrals and Modular Differential Equations - Hossein Movasati Nonlinear Equations - Gregorio Malajovich Partially Hyperbolic Dynamics - Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez

Hertz e Ral Ures Processos Aleatrios com Comprimento Varivel - A. Toom, A. Ramos, A.

Rocha e A. Simas Um Primeiro Contato com Bases de Grbner - Marcelo Escudeiro

Hernandes

ISBN: 978-85-244-317-0 Distribuio: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ E-mail: [email protected] http://www.impa.br

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Para PietroM.A.C.S.

Para DeboraT.L.

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Sumario

1 Introducao 71.1 Objetos Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Contextos de Modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Tecnicas de Mudanca de Contexto . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Teorema da Funcao Implcita . . . . . . . . . . 111.4.2 Processos de Amostragem . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Processos de Reconstrucao . . . . . . . . . . . 13

1.5 Nocao de Invariancia Discreta . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Geometria Euclidiana: Curvas 152.1 Modelos Euclidiano de Curvas . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Curvas Parametricas Regulares . . . . . . . . . 152.1.2 Curvas Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Curvas Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Mudanca de Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Vetor Tangente; Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . 242.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Formula de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Geometria Euclidiana: Superfcies 313.1 Modelos Euclidianos de Superfcies . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Superfcie Parametrica Regular . . . . . . . . . 313.1.2 Superfcie Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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4 Sumario

3.1.3 Complexos Simpliciais . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Mudanca de Contextos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Plano Tangente; Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2 Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Primeira Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1 Comprimento de Curva na Superfcie . . . . . . 483.4.2 Area de uma Regiao em uma Superfcie . . . . 48

3.5 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Aplicacao Normal de Gauss . . . . . . . . . . . 493.5.2 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.3 Calculo das Curvaturas . . . . . . . . . . . . . 543.5.4 Formula de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Geometria Afim: Curvas 614.1 Invariancia Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Modelos de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Curvas Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1 Comprimento de Arco Afim . . . . . . . . . . . 694.3.2 Vetores Tangente e Normal Afins . . . . . . . . 714.3.3 Curvatura Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.4 Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.5 Estimadores a partir do Polgono Parabolico . 77

4.4 Curvas Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.1 Exemplos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . 804.4.2 Simplificacao: Transformacao A . . . . . . . . . 804.4.3 Formulas Simplificadas . . . . . . . . . . . . . 82

4.5 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Geometria Afim: Superfcies 855.1 Estrutura Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Superfcies Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Curvas Assintoticas . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.2 Primeira Forma Fundamental Afim . . . . . . . 905.2.3 Vetores Co-normal e Normal Afins . . . . . . . 915.2.4 Curvaturas Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.5 Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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Sumario 5

5.3 Interpretacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3.1 Formula de Minkwoski Afim . . . . . . . . . . 96

5.4 Cubica Osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5 Superfcies Implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.1 Metrica Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.5.2 Co-normal Afim e Normal Afim . . . . . . . . . 1015.5.3 Curvaturas Afins . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5.4 Exemplos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . 1045.5.5 Reducoes Geometricas e

Formulas Simplificadas . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Mudanca de Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.7 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Conclusao 1176.1 Problemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Aplicacoes em Computacao Visual . . . . . . . . . . . 1196.3 Desafios Atuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

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Captulo 1

Introducao

Os objetos geometricos sao hoje modelados de diversas maneiras:parametrizacao por funcoes diferenciais, conjunto de pontos satisfa-zendo um sistema de equacoes, amostragem de parametros dentro declasses de formas, interpolacao dentro de imagens no computador.Cada um destes contextos pode facilitar ou dificultar o uso de certasgeometrias: descritiva, diferencial, integral ou discreta.

Classificar e reconhecer objetos geometricos e usualmente feitoatraves do calculo de invariantes, sendo essas medidas as ferramen-tas geometricas do contexto. Porem, quando se for tentar reconhecerque uma superfcie discreta faz parte de uma classe (por exemplo, desuperfcie mnima), e necessario estimar invariantes discretos com-paraveis aos invariantes da geometria diferencial.

Isso e uma tarefa difcil nesta diversidade de contextos, mas temmuitas aplicacoes, pois ajuda a complementar o processamento deimagens e a modelagem assistida por computador com os conheci-mentos da geometria diferencial.

A aproximacao de medidas invariantes de forma calculavel nocomputador e numericamente estavel ja apresenta alguns desafios.Precisa-se ainda mostrar que essas medidas convergem para os in-variantes diferenciais. Finalmente, garantir que cada estimador sejatambem invariante e que portanto preserva sua caracterstica geome-trica torna o problema mais sutil e interessante.

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8 1.1. Objetos Geometricos

Este livro pretende apresentar algumas definicoes de invariantesusuais tanto no contexto diferencial como no contexto discreto. O en-foque do curso sera no plano e superfcies no espaco tridimensional,afim de facilitar o acompanhamento deste e de poder incluir resul-tados discretos, pois ainda ha poucos estudos sobre hipersuperfciesdiscretas mais gerais.

Alem dos invariantes Euclidianos, ja bastante estudados, apresen-taremos invariantes afins. Por um lado, isso permite ilustrar conceitosconhecidos num caso mais crtico, em termos de intuicao geometrica eestabilidade numerica. Por outro lado, os invariantes afins sao temasde pesquisas atuais com muitas aplicacoes originais a serem desen-volvidas, em particular, nas areas de visao computacional e reconhe-cimento de formas em duas e tres dimensoes.

1.1 Objetos Geometricos

Entendemos por objeto geometrico um conjunto contnuo de pontosno espaco Rn. Neste livro, limitaremos aos casos n = 2 e n = 3,ou seja, objetos no plano R2 e no espaco R3. Alem de continuidade,exigiremos do conjunto a propriedade de variedade, isto e de ter umadimensao.

Mais precisamente, um objeto geometrico S e uma variedade dedimensao d se ele e localmente equivalente ao espaco vetorial Rd:para qualquer ponto p S, existe uma bola B de Rn tal que B S eequivalente a uma bola B de Rd. E importante notar que a dimensaod e a mesma para todos os pontos p. Se d = 1 e n = 2, chamamos Sde curva planar, e se d = 2 e n = 3 entao S e chamada de superfcie.Serao os dois casos abordados neste texto.

A nocao de equivalencia do paragrafo anterior varia dependendodo contexto de estudo. Para estudar as propriedades topologicasusa-se geralmente a nocao de homeomorfismo (existe uma funcao fcontnua de inversa contnua entre BS e B). Para estudos de geome-tria diferencial, sera necessario uma equivalencia com difeomorfismo(a funcao f precisa ser de classe Ck ou C). No caso da geometriadiscreta, ainda nao foi desenvolvido uma nocao de equivalencia unicacomum aos diversos estudos, e algumas equivalencias discretas seraodiscutidas neste livro.

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Captulo 1. Introducao 9

1.2 Medidas Invariantes

A etimologia da palavra geometria significa medir a terra, e defato os primeiros estudos geometricos descrevem metodos para medirobjetos. A medicao consiste em associar a um objeto (ou a partedeste objeto) um numero (ou nos estudos mais recentes uma estruturamatematica) de forma reprodutvel.

Existe mais de uma nocao da forma como a operacao de medirpode ser reproduzida, cada nocao gerando uma geometria diferente:geometria Euclidiana, afim, projetiva, etc. Por exemplo, a geometriaEuclidiana define medidas que podem ser extradas de um objetorgido, e reproduzidas com resultado equivalente no mesmo objetoapos movimentos rgidos: translacoes, rotacoes e simetrias.

Essas formas foram caracterizadas por Felix Klein no final doseculo XIX no seu programa de Erlangen associando a cada geo-metria um grupo de transformacoes que um objeto S pode sofrer.A geometria Euclidiana estuda as propriedades sob a acao do grupodos movimentos rgidos, enquanto a geometria afim abrange todasas transformacoes afins, ou seja incluindo cisalhamento. Neste livro,chamaremos (por um leve abuso de linguagem) de geometria afim ageometria equiafim, incluindo transformacoes afins que preservem aforma de area no plano, e a forma de volume no espaco.

Uma vez escolhida uma geometria, e o grupo G de transformacoesassociadas, uma medida geometrica m e invariante pelo grupo Gse S,A G,m(A(S)) = m(S). Tipicamente, medidas numericas(m(S) R) como o comprimento e a curvatura sao invariantes.Quando a medida gera uma estrutura como um vetor, uma matrizou um tensor, a medida geralmente nao e invariante. Por exem-plo no caso Euclidiano, a direcao do vetor tangente a uma curvavaria quando a curva sofre uma rotacao. Porem, essa variacao esimples de prever quando a rotacao e conhecida. Uma medida m ecovariante se S,A G,m(A(S)) = A(m(S)), e contravariante seS, A G,m(A(S)) = AT (m(S)). O vetor tangente e covariante,e o vetor normal, dual do vetor tangente, e portanto de natureza con-travariante. No caso Euclidiano, as transformacoes sao auto-adjuntas(essencialmente matrizes ortogonais AT = A), portanto a distincaoe menos relevante, mas sera mais clara no caso afim.

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10 1.3. Contextos de Modelagem

1.3 Contextos de Modelagem

Um objeto geometrico e facilmente definido de forma literal. Porexemplo, um crculo C e usualmente definido a partir do seu centroc e seu raio r como o conjunto de pontos do plano a distancia rde c. Usando coordenadas cartesianas, isso pode ser escrito comoC = {(x, y) R2, (x cx)2 + (y cy)2 = r2}. Definindo a funcaof : R2 R por f(x, y) = (x cx)2 + (y cy)2 r2, temos que acurva C = f1({0}). De forma geral, as definicoes literais conduzema` objetos definidos como pre-imagens de {0} por uma funcao f :Rn R, chamada de funcao implcita. Esse contexto de modelagemimplcita e mais usado nas aplicacoes. Porem, ele nao garante apropriedade de variedade. Por exemplo, para f(x, y) = xy, f1({0})e a uniao das duas retas x = 0 e y = 0, e a vizinhanca da origemnao e equivalente a um segmento de reta. O teorema de Sard garanteque, se f e suficientemente diferenciavel, f1({z}) e uma variedadepara quase todos os valores de z.

Para garantir a propriedade de variedade de um objeto S, ou seja,que S e localmente equivalente a uma bola de Rd, e possvel definiro objeto a partir das equivalencias locais. As funcoes que garan-tem essas equivalencias sao chamadas de parametrizacoes locais. Nocaso mais simples, o objeto inteiro e definido por uma unica parame-trizacao. O objeto e chamado de grafico se essa unica parametrizacaopode ser escrita de forma a ser a identidade nas d primeiras coordena-das. A grande vantagem desta modelagem, chamada de modelagemparametrica, e a possibilidade de calcular diretamente derivadas noobjeto a partir das derivadas usuais em Rd. Essa estrutura dife-renciavel e a base de calculo de varias medidas invariantes, chamadasde invariantes diferenciaveis.

A fim de simplificar os calculos, o objeto pode ser definido a par-tir de poucas parametrizacoes locais, cujas imagens cobrem amplaspartes do objeto. Para simplificar ainda mais, essas parametrizacoespodem ser escolhidas dentro de famlia a parametro de funcoes, comofuncoes polinomiais. Com um numero finito de funcoes, cada umadefinida por um conjunto finito de parametros, obtemos um modeloque pode ser representado no computador, chamado de modelo pa-rametrico discreto. As relacoes entre as imagens de cada funcao saodescritas matematicamente atraves do conceito de complexo celu-

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lar. Na pratica, os modelos mais usados usam funcoes lineares comimagens simpliciais: curvas poligonais (cada funcao parametriza umsegmento de reta) no plano ou superfcies trianguladas no espaco.

Finalmente, e possvel tambem modelar as superfcies implcitasf1({0}) no computador descrevendo f por um conjunto discreto deparametros. Os modelos implcitos discretos sao muito similares emestrutura aos modelos parametricos discretos do objeto de dimensaon em Rn+1 definido por {(p, f(p)), p Rn}. Esse contexto pode serdescrito como uma particao do espaco Rn em regioes onde as funcoesf sao definidas. A particao e geralmente obtida por um reticuladoregular (por exemplo grade) na regiao do espaco Rn que contem oobjeto, e cada funcao f e definida na sua celula do reticulado a partirde elementos comuns a`s celulas vizinhas, a fim de garantir uma funcaoimplcita globalmente contnua.

1.4 Tecnicas de Mudanca de Contexto

Para os contextos implcitos e parametricos nao discretos, medidasinvariantes, covariantes ou contravariantes sao geralmente calculadasusando calculo infinitesimal, ou seja, usando integracao ou diferen-ciacao. A diferenciacao e facilmente definida no caso parametrico, eusamos este como base para definir os invariantes diferenciais. Apre-sentamos na presente secao tecnicas para estender essas definicoesentre contextos diferentes.

1.4.1 Teorema da Funcao Implcita

A passagem local do contexto grafico ao contexto implcito e trivial,pois dada a parametrizacao de um grafico fp(xd) = (xd, g(xd)) comg : B Rd R, podemos definir o objeto fp(B) de forma implcitapor f1i ({0}) com fi(xd, y) = y g(xd).

A passagem no outro sentido, do implcito ao parametrico, e ga-rantido pelo teorema da funcao implcita:

Teorema 1.1 (Teorema da Funcao Implcita). Seja S = f1({0})uma variedade implcita, onde f : Rd+1 R e uma funcao dife-renciavel. Considere p S tal que f(p) 6= 0, portanto, existe

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12 1.4. Tecnicas de Mudanca de Contexto

uma coordenada z tal que fz(p) 6= 0. Entao existem uma vizi-nhanca Vp de p e uma funcao suave g : U Rd R tal queS Vp = {(xd, z) Rd+1,xd U, z = g(xd)}.

Em outras palavras, qualquer variedade implcita e localmente ografico de uma funcao g. Usando a relacao f(xd, g(xd)) = 0, as deri-vadas de g podem ser deduzidas das derivadas de f . Em particular,temos que gx(xd) = fx(p)fz(p) , com p = (xd, g(xd)). Isso permite usaro calculo diferencial dos invariantes no caso parametrico no contextoimplcito.

1.4.2 Processos de Amostragem

Os processos de amostragem descrevem as mudancas dos contextosnao discretos para os contextos discretos. Do ponto de vista ma-tematico, isso corresponde a restringir as funcoes, parametrizacoesou funcoes implcitas, a um numero finito de elementos dentro deum conjunto a parametro de funcoes. Esse processo nem sempre epossvel, e os processos de amostragem sao frequentemente associadosaos problemas de aproximacao. Por isso o calculo no caso discreto egeralmente chamado de estimacao.

Os processos de amostragem aparecem naturalmente com dadosreais no computador. Por exemplo, uma fotografia digital e umafuncao implcita discreta que corresponde a uma medicao de luz pormedias locais. Essas medias constituem um processo de amostragema partir da distribuicao de luz real contnua. Porem, nesses casosreais, o erro de aproximacao, em particular se contar as derivadas, emuito difcil de quantificar.

A abordagem usual de geometria discreta consiste em definir ope-racoes discretas que aproximem as operacoes dos contexto nao dis-creto. Por exemplo, no caso de medida, e desejavel que medidasfeitas no contexto discreto convirjam para as medidas do caso di-ferenciavel quando o erro de aproximacao da amostragem va parazero. Essas nocoes sao delicadas de aplicar, porque sao apenas resul-tados assintoticos, e porque os processos de amostragem que permi-tem formalizar essas analises (em particular as -amostragens) naosao facilmente realizaveis na pratica.

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1.4.3 Processos de Reconstrucao

Os processos de reconstrucao consistem em mudar entre contextosdiscretos, tipicamente do contexto implcito discreto para o modeloparametrico discreto. Existem varios metodos, dependendo do tipode reticulado usado no modelo implcito discreto, da ordem de di-ferenciabilidade desejado para o modelo parametrico discreto e doerro de aproximacao suposto. O metodo mais tradicional e o Mar-ching Cubes, que define em cada celula de uma grade regular umaaproximacao por triangulos da superfcie implcita.

Os processos de re-amostragem, ou seja, mudar a quantidadede funcoes, a reparticao das suas imagens, ou ainda, o conjunto defuncoes admissveis tambem correspondem a uma mudanca de con-textos discretos. Esses processos geralmente usam um modelo inter-mediario nao discreto ajustado ao dado discreto.

1.5 Nocao de Invariancia Discreta

Em cada um dos contextos acima podem ser definidos grupos detransformacoes, e portanto invariantes discretos. Enquanto os invari-antes nos contextos nao discretos sao estreitamente relacionados, osinvariantes nos contextos discretos envolvem construcoes especficasque nao correspondem alem dos casos assintoticos.

Alem disso, o grupo de transformacoes em certos contextos saodifceis de ser definido, em particular no caso mais usado que sao asimagens digitais, ou seja, o caso implcito discreto com medidas inva-riantes usando grade regular alinhada com os eixos. Uma rotacao dagrade nao a deixa alinhada com os eixos. Para usar as mesmas medi-das, e necessario re-amostrar a funcao implcita numa grade alinhadacom os eixos. Para chamar essas medidas de invariantes, precisariagarantir que o processo de re-amostragem e invariante tambem.

Mesmo com essas dificuldades, a definicao de invariantes discretostem um enorme potencial de aplicacoes em reconhecimento de for-mas, processamento de objetos complexos, visao computacional 2d e3d. O presente livro apresenta alguns calculos no caso diferenciavelEuclidiano e diferenciavel afim, e discreto afins.

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Captulo 2

Geometria Euclidiana:Curvas

Neste captulo estudaremos curvas diferenciaveis e discretas em R2 esuas propriedades geometricas.

2.1 Modelos Euclidiano de Curvas

2.1.1 Curvas Parametricas Regulares

Uma curva e dita diferenciavel se ela pode ser descrita (parametri-zada) por funcoes diferenciaveis. Porem, isto nao implica que o de-senho (traco) de uma curva seja suave. Isso ocorre no caso regular.Nesta subsecao, vamos estudar curvas diferenciaveis em R2, mais pre-cisamente curvas regulares. Alem disso, conceituaremos alguns tiposde curvas como por exemplo: curvas simples, periodica e fechada.

Definicao 2.1. Uma curva diferenciavel parametrizada e dada poruma aplicacao diferenciavel : I R2, onde I e um intervalo real.

A palavra diferenciavel na definicao acima significa que e umaaplicacao que leva cada t I em um ponto (t) = (x(t), y(t)) R2tal que as funcoes reais x(t), y(t) sao diferenciaveis.

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16 2.1. Modelos Euclidiano de Curvas

O conjunto imagem C da aplicacao , dada por

C = {(x(t) , y(t)) , t I}e chamado traco de . A aplicacao e dita uma parametrizacao deC e denotaremos t o parametro da curva .

Caso I = (a, b), entao os pontos limites (a) e (b) , caso existam,sao chamados pontos inicial e final de . Se (a) = (b) dizemos que e uma curva fechada. Uma curva : R R2 e dita periodica seexiste um numero real > 0, tal que

(t) = (t+ ) ,t R.O menor numero 0 tal que a equacao acima e satisfeita e chamadode perodo.

A curva : I R2 e dita simples se a aplicacao for injetiva,isto e, se (t1) = (t2) , com t1, t2 I, entao t1 = t2. Em outraspalavras, nao tem auto-intersecoes.

Seja P um ponto em uma curva C. Dentre todas as retas pas-sando por P existe uma reta que melhor aproxima a curva, tal retae chamada de reta tangente. O vetor (t) =(x(t), y(t)) e chamadode vetor tangente da curva em t.

Figura 2.1: Curva com cuspide.

Exemplo 2.2. A aplicacao : R R2 dada por (t) = (t3, t2)com t R e uma curva suave diferenciavel parametrizada cujo tracoesta esbocado na figura 2.1. Note que (0) = (0, 0) , isto e o vetortangente e nulo para t = 0.

Exemplo 2.3. A aplicacao : R R2 dada por (t) =(t, |t|) , t R,nao e uma curva diferenciavel parametrizada, pois |t| nao e dife-renciavel em t = 0.

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Captulo 2. Geometria Euclidiana: Curvas 17

Figura 2.2: Curva com auto-intersecao.

Exemplo 2.4. A aplicacao definida por (t) =(t3 4t, t2 4) ,

com t R, e uma curva diferenciavel parametrizada nao injetiva, poistemos (2) = (2) =(0, 0) (ver Figura 2.2).

Figura 2.3: Crculo de raio 1.

Exemplo 2.5. A curva dada pela aplicacao : (0, 4pi) R2 com(t) =(cos(t), sen(t)) e uma curva diferenciavel, periodica e fechada,mas nao e injetiva, pois (pi) = (3pi) =(1, 0) (ver figura 2.3).Definicao 2.6. Seja : I R R2 uma curva diferenciavel para-metrizada. Dizemos que e regular se (t) 6= 0, t I. Casocontrario, o ponto (t) tal que (t) = 0 e singular.

2.1.2 Curvas Implcitas

Curvas implcitas podem ser descritas pela equacao f(x, y) = a, ondef : U R2 R. Assim, uma curva implcita e o conjunto de pontosC = {(x, y) U, f(x, y) = a} que satisfazem a equacao.

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18 2.1. Modelos Euclidiano de Curvas

Implicit curves and surfaces Hermite-Birkho interpolation with RBFs Hermite-RBFs implicits Final remarks

Implicit curves and surfaces

Let Rn be an open setand f : R be a C 1 function

If x M := f 1(0) we havef (x) = 0, then M is a C 1orientable (n 1)-manifoldsuch that f (x) TxM

Therefore, we can model a richclass of curves and surfaces bydesigning suitable functions f

But how?

Ives Macedo Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada

Hermite-Birkho interpolation of implicit surfaces

Figura 2.4: Curva de nvel intersecao do plano com a superfcie.

Dizer que uma curva implcita e regular e equivalente a afirmarque o vetor gradiente f = (fx, fy) e nao-nulo. Isso garante que acurva implcita e de fato uma variedade sem recorrer ao teorema deSard, e ainda permite usar o teorema da funcao implcita em qualquerponto. Esse ultimo teorema garante que a curva e localmente o graficode uma funcao. Porem, nem sempre e possvel descrever a curvainteira como um grafico, o crculo sendo o contra-exemplo mais usual(ver Figura 2.5).

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Figura 2.5: Crculo dado por uma funcao implcita.

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2.1.3 Curvas Poligonais

No caso discreto parametrico, a parametrizacao e definida a partirde um conjunto finito de parametros. Uma opcao e usar estes paradefinir uma equacao da curva, por exemplo os parametros podemser os coeficientes de polinomios definindo x(t), , y(t)). E o caso dascurvas spline, em particular as curvas de Bezier quando a base depolinomios e a base de Bernstein. Porem, seria muito limitante usarapenas curvas inteiramente descritas por um unico par de polinomios.Por isso, usa-se curvas polinomiais por parte

(t) =

(x0(t), y0(t)) , t [t0 = a, t1](x1(t), y1(t)) , t [t1, t2](x2(t), y2(t)) , t [t2, t3]

. . .(xk1(t), yk1(t)) , t [tk1, tk]

(xk(t), yk(t)) , t [tk, tk+1 = b],

onde xi e yi sao polinomios. Para a curva ser contnua, precisa ga-rantir que xi1(ti) = xiti e yi1(ti) = yiti para 1 i k. Pode-seimpor curvas de classe C1 impondo restricoes similares nas derivadasde xi e yi.

O caso mais simples de curva contnua e onde todos os polinomiossao de grau 1, ou seja ,curvas lineares por parte. Essa e inteira-mente definida pelas extremidades de cada parte (xi(ti), yi(ti)) para0 i k + 1 (com a convencao ou de curva fechada, ou que(xk+1(tk+1), yk+1(tk+1)) = (xk(tk+1), yk(tk+1))). Esse modelo decurva e chamado de polgono.

2.2 Mudanca de Contexto

Quando estudamos curvas no caso suave vimos que temos duas re-presentacoes: parametrica e implcita. E possvel ver uma curvaimplcita, localmente, como um grafico, isto e, como uma curva pa-rametrica, gracas ao teorema da funcao implcita, a saber

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20 2.2. Mudanca de Contexto

Implcito para parametrico

Teorema 2.7. [Teorema da Funcao Implcita] [Lag00] Sejam f : U R uma funcao de classe Ck(k 1), definida num aberto U R2, e(x0, y0) U tal que f(x0, y0) = c, fy(x0, y0) 6= 0. Entao existe umretangulo aberto I J, de centro (x0, y0), tal que f1(c) (I J)e um grafico de uma funcao g : I J, de classe Ck. Alem disso,gx(x) = fx/fy estas derivadas sendo calculadas no ponto (x, g(x)).

Em outras palavras, o teorema nos diz condicoes sobre as quaisuma relacao como f(x, y) = c define y como uma funcao de x. Asolucao e local no sentido que o tamanho do intervalo I pode sermenor do que o domnio da funcao f.

Parametrico contnuo para discreto

Figura 2.6: Aproximacao poligonal de curvas.

Alem disso, a partir de uma curva parametrica : I = [a, b] R2suave podemos obter uma curva poligonal da mesma. O metodo maissimples de aproximar por uma curva poligonal e o de poligonizacaouniforme, que consiste em dividir o intervalo I em n partes

a = t0 < t1 < t2 < < tn = b,e avaliar a curva nos pontos da particao ti, i = 0 n, com issoobtemos uma sequencia de pontos {pi}ni=0, com pi = (ti). Dizemosque a amostragem e uniforme quando ti = it, onde t = (ba)/n.

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Dessa forma obtemos uma representacao da curva usando umaamostragem pontual com amostras (ti) e utilizando interpolacao li-near reconstrumos uma aproximacao da curva . Para fazer a recons-trucao os pontos da amostragem devem estar ordenados corretamente(ver [GV03]).

Implcito contnuo para discreto

Figura 2.7: Casos do Marching Squares

Ja no caso de curvas implcitas C = {(x, y) R2; f(x, y) = 0} oprocesso e um pouco mais complexo, pois para tomarmos amostraspi, i = 1 n, e necessario encontrar n razes da equacao f(x, y) = 0,o que pode ser difcil a depender da funcao f . Para reconstruir acurva implcita basta seguir a seguinte estrategia

1. Se conhecido o domnio de f , entao o discretizamos e determi-namos uma matriz, digamos 10 10 pontos, Pij(xi, yj).

2. A cada tres pontos, definimos um triangulo.

3. Para cada ponto Pij(xi, yj) calculamos os valores da funcaozij = f(xi, yj).

4. Para cada triangulo observamos os sinais Vi = sinal(zij) emcada vertice e caso aja mudanca de sinal, pelo teorema do valorintermediario, temos que a curva passa pela aresta que e defi-nida a partir desses vertices. Se algum vertice Vk = 0, entao afuncao se anula exatamente em Vk.

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22 2.3. Comprimento de Arco

Considerando que apenas duas das possveis condicoes do item 4 acon-tecem, aproximamos a curva neste triangulo por um segmento de retaunindo os dois pontos obtidos.

Um metodo bastante conhecido para construir curvas a partirde amostras bidimensionais e o algoritmo Marching Squares (ver Fi-gura 2.7). Uma outra alternativa para a reconstrucao de curvas e usarspline que e uma curva definida por dois ou mais pontos de controle.

2.3 Comprimento de Arco

Nesta secao mostraremos como calcular o comprimento de arco entredois pontos de uma curva. Consideraremos a partir de agora apenascurvas regulares parametricas, mas vale ressaltar que todos os calculosexpostos aqui tambem e valido no caso implcito, pois localmente umacurva implcita e vista como um grafico.

Definicao 2.8. Seja t0 I, o comprimento de arco de uma curvaparametrizada regular : I R2, dada por (t) = (x(t) , y(t)) apartir do ponto t0, e definido por

L(t) = tt0

||(u)||du = tt0

x(u)2 + y(u)2du.

Como (t) 6= 0, L e uma funcao diferenciavel e dLdt

= ||(t)||. Se||(t)|| = 1, dizemos que esta parametrizada pelo comprimento dearco, entao, neste caso,

L(t) = tt0

dt = t t0.

Exerccio 2.9. Mostre que o comprimento de arco esta determinadode forma unica a menos de uma constante.

Exemplo 2.10. [Crculo de raio r] Seja a curva : [0, 2pi) R2dada por

(t) = (rcos(t), rsen(t)),

cujo traco e um crculo de raio r e centro na origem (0, 0). Observemosque,

(t) = (rsen(t), rcos(t)) e (t).(t) = 0 t.

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Isto significa que o vetor tangente e perpendicular ao raio. Notemosque (t) 6= 0, t [0, 2pi), logo podemos calcular o comprimento dearco do crculo que e dado por

L() = 2pi

0

||(t)||dt = 2pi

0

rdt = 2pir.

Seja : I R2 curva com parametro t, podemos reparametriza-la aplicando outro intervalo sobre I e usando a composicao como umanova curva. Mais precisamente, seja h : J I diferenciavel, ondeJ R intervalo aberto real, entao a reparametrizacao de e

= h : J R3, (s) = (h(s)), h(s) = t.

E facil verificar, usando a regra da cadeia, que (s) = (h(s)).dh(s)ds

.

Teorema 2.11. Toda curva regular pode ser reparametrizada paraobter velocidade unitaria.

Demonstracao: Seja uma curva regular definida em I. O com-primento de arco e definido por

s(t) = tt=a

||(u)||du,

pelo teorema fundamental do calculo temos que

ds

dt= ||(t)|| > 0.

Usando o teorema do valor medio, segue que s e estritamente cres-cente em I. Portanto, e injetiva. Logo, s tem inversa na sua imagem,a qual denotaremos por t(s) e suas respectivas derivadas estao rela-cionadas da seguinte forma

dt

ds(s) =

1ds/dt(t(s))

> 0.

Seja (s) = (t(s)). Entao

|(s)| = ||(t(s))|| dtds

(s) = 1.

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24 2.4. Vetor Tangente; Vetor Normal

No caso discreto, o comprimento de uma curva poligonal e ape-nas a soma dos comprimentos de cada segmento da curva poligonal[(xi(ti), yi(ti)), xi+1(ti+1), yi+1(ti+1))]. De fato, isso corresponde adefinicao inicial dada por Riemann do comprimento de arco de umacurva nao discreta convexa e o supremo dos comprimentos de todasas curvas poligonais inscritas nela.

2.4 Vetor Tangente; Vetor Normal

Caso parametrico

Seja : I R2 curva parametrizada pelo comprimento de arco.Vamos denotar por t(s) o vetor tangente (s) , ou seja, t : I R2e um vetor diferenciavel e ||t|| = 1. Existem somente dois vetoresortogonais a t. Definimos entao n(s) = Jt(s) , onde J : R2 R2 e arotacao de 90 graus no sentido anti-horario. O vetor n(s) e chamadode normal da curva (s) em s. Com esta escolha temos n : I R2 ediferenciavel e satisfaz

||n(s) || = 1, t(s) ,n(s) = 0 e det(t(s) ,n(s)) = 1,s I.

Figura 2.8: Vetores tangentes e normais.

Caso implcito

Ja no caso da curva C ser definida implicitamente, ou seja, a curva edada por C = {(x, y) R2; f(x, y) = c}, temos que a principal ideiapara encontrarmos estes elementos geometricos e usarmos o teoremada funcao implcita o qual garante que localmente a curva pode servista como um grafico e a partir da utilizar o caso de curvas pa-rametricas para obter essas propriedades.

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Vamos admitir que o vetor gradiente f = (fx, fy) e nao-nulo.Podemos supor sem perda de generalidade que fy 6= 0, entao existeum intervalo aberto J R e uma funcao g : J R tal que a curvalocalmente e dada como um grafico {(x, g(x));x J}. Agora, pelaparte inicial sabemos como calcular os vetores tangentes e normaisno caso parametrico, ou seja, temos as formulas dos elementos t e n.Por um lado, observemos que tais formulas sao dadas em funcao deg, mais precisamente

t = (1 + g2x)1/2(1, gx),

n = (1 + g2x)1/2(gx, 1),

que apenas sabemos sua existencia e nao a conhecemos. Por outrolado, sabemos calcular as relacoes entre as derivadas de f e g. Logo,

t = (f2x + f2y )1/2(fy,fx),

n = (f2x + f2y )1/2(fx, fy).

2.5 Curvatura

A curvatura indica o quanto a curva muda a direcao. Podemos expres-sar essa direcao como uma base positiva de R2 a partir de elementosgeometricos da curva.

Caso parametrico

Uma maneira de medir como o traco se curva e observar como a base{t(s) ,n(s)} associada a cada ponto varia quando nos movemos aolongo da curva. Esta mudanca pode ser controlada pelo significadodas derivadas de t(s) e n(s) . Diferenciando as expressoes

||t||2 = ||n||2 = 1 e t(s) ,n(s) = 0,

obtemos

t(s) , t(s) = n(s) ,n(s) = 0 et(s) ,n(s)+ t(s) ,n(s) = 0.

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26 2.5. Curvatura

Portanto, o vetor t(s) esta na direcao de n(s), isto e, existe umafuncao diferenciavel : I R2, tal que t(s) = (s) n(s) ou ainda(s) = t(s) ,n(s). O numero real (s) e chamado de curvatura dacurva em s I. Entao, temos

t(s) = (s) n(s) e n(s) = (s) t(s) .Notemos que |(s) | = ||t(s) || = ||(s) || que e o valor absoluto

da aceleracao da curva . Como ||(s) || = 1,s I, esta aceleracaoe centrpeta e nao tangencial. Por outro lado,

(s) = t(s) ,n(s) = (s) , J(s) = det((s) , (s)) ,e entao o sinal de (s) informa sobre a orientacao da base formadapelo vetor velocidade e a aceleracao da curva. Isto e, se (s) > 0entao a curva muda sua direcao no sentido anti-horario e se (s) < 0no sentido horario.

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Figura 2.9: Sinais da curvatura.

Uma forma simples de ver o que acabamos de falar e o seguinte,suponhamos que estamos viajando de Itabaiana para Aracaju pelaBR 235 que a representaremos pela curva C, fixemos um sentidono qual a curva C e percorrida, neste caso dizemos que a curva eorientada, entao podemos colocar um sinal na curvatura para indicarse estamos virando a` direita () ou a` esquerda (+) (ver Figura 2.9).

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Podemos ainda dar outra interpretacao geometrica para a curva-tura da curva C. Seja P um ponto em C e seja r a reta tangente dacurva em P, existe um crculo que e tangente a` reta tangente em P eque melhor aproxima a curva tal crculo chamamos de crculo oscula-dor, a curvatura nesse ponto e dada como o inverso do raio, ou seja,quanto maior o raio do crculo no ponto P menor sera a curvaturanesse ponto.

Exemplo 2.12 (Crculo). Seja : [0, 2pi] R2 uma parametrizacaodo crculo dado por

(t) = c+ r(cos

(t

r

), sen

(t

r

))cujo centro e o ponto c R2 e raio r > 0. Se tomarmos t0 = 0, temos

s(t) = t

0

||(u) ||du = rt, t (0, 2pi].

Reparametrizamos por (s) = c+ r(cos(sr

), sen

(sr

)), da

t(s) = (s) = 1r

(cos(sr

), sen

(sr

)),

n(s) = J(s) =(cos

(sr

),sen

(sr

)),

entao (s) = 1/r, s R.

Exerccio 2.13. Seja : I R2 uma curva regular definida por(t) =(x(t) , y(t)) , nao necessariamente parametrizada pelo compri-mento de arco. Mostre que a curvatura de em t I e dada por

=x(t) y(t) x(t) y(t)

(x2 + y2)3.

Exerccio 2.14. Seja a elipse definida por (t) =(acos(t) , bsen(t)),com t I R. Mostre que = ab/(a2sen2(t) + b2cos2(t))3/2.

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28 2.6. Formula de Minkowski

Caso implcito

No caso em que a curva e definida por uma funcao f(x, y) = cimplcita, vimos que localmente ela pode ser vista como um grafico{x J ; (x, g(x))}, entao nesse caso o nosso trabalho reduz a utilizaro caso parametrico e obter a curvatura em funcao de g. Utilizando osresultados das relacoes das derivadas das funcoes f e de g, temos

= fxxf2x 2fxyfxfy + fyyf2x

(f2x + f2y )3/2.

Exerccio 2.15. Considere o crculo de raio r dado pela seguintefuncao f(x, y) = x2 + y2 r2. Mostre que

t = r1(y,x), n = r1(x, y), = r1.

2.6 Formula de Minkowski

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Figura 2.10: Variacao da curva.

Seja : (a, b) R2 curva, fechada, convexa, parametrizada pelocomprimento de arco e seja

P (u, t) = (u) + tn(u),

variacao de , onde t [0, T ], n e o vetor normal de .

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Como

Pu = u + tnu = u + sdn.u = u tku = (1 tk)u,Pt = n,

temos que PuPt = (1 tk)u n, logo ||PuPt|| = (1 tk)||u||,onde k e a curvatura da curva . Da,

|Bt| = |B|+ bv=a

T0

(1 tk)||u||dsdu

= |B|+ TL() T2

2

ba

kdu,

onde L() e o comprimento da curva , B e a regiao interna limitadapela curva e |B| e a area da regiao B.

2.7 Discussao

Nesse captulo vimos as primeiras ilustracoes dos problemas de mu-danca de contexto de modelagem. Enquanto o calculo de invariantesdiferenciais e facilmente expresso nas curvas parametricas, nao temequivalentes diretos no caso discreto. Uma opcao e recorrer a` apro-ximacao, seja por curvas discretas polinomiais onde as derivadas saodefinidas por manipulacao algebrica no computador, seja passandopelo caso implcito, expressando as derivadas atraves do teorema dafuncao implcita e estimando-as por aproximacao numerica.

Outra opcao consiste em usar a geometria do modelo de curvasimplcitas. No caso, as derivadas sao nulas ao longo de cada segmentodo polgono, e nao definidas nos seus vertices. Podemos interpretarisso como curvas onde o comprimento esta concentrado nas arestas,e a curvatura e concentrada nos vertices, separando os invariantes portipo: invariantes envolvendo uma derivada nos elementos de dimensao1 (segmentos de reta), e invariantes envolvendo duas derivadas noselementos de dimensao 0 (um vertice e equivalente a uma bola emR0 = {0}). Essa observacao sobre as dimensoes esta na base dosestimadores atuais, usando calculo exterior (formas diferenciais) nocaso discreto [CSM03, TLHD03].

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Captulo 3

Geometria Euclidiana:Superfcies

Este captulo tem por objetivo estudar superfcie regular e a partirda sua definicao obtermos as propriedades geometricas como planotangente, vetor normal e curvaturas os quais sao fundamentais paradar continuidade no nosso trabalho. Alem disso, falaremos tambemde algumas possibilidades de mudanca de ponto de vista geometrico.A principal referencia que utilizamos ao longo deste captulo foi olivro do Manfredo [DC76].

3.1 Modelos Euclidianos de Superfcies

Vemos exemplos de superfcies todos os dias, como pneus, baloes,bolas de futebol, latas, por exemplo. Uma superfcie regular em R3 eobtida tomando pedacos do plano, deformando-os e colando-os entresi de tal forma que a figura resultante nao tenha pontas, arestas ouauto-intersecoes.

3.1.1 Superfcie Parametrica Regular

A definicao seguinte descreve a propriedade mencinada acima de umamaneira mais formal.

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32 3.1. Modelos Euclidianos de Superfcies

Definicao 3.1. Um subconjunto S R3 e uma superfcie regularse, para cada p S, existe uma vizinhanca V de p em R3 e umaaplicacao : U V S de um aberto U de R2 sobre V S tal que

1. e diferenciavel.

2. e um homeomorfismo. Como e contnua pela condicao 1,isto significa que tem inversa 1: V S U que e contnua.

3. Para todo p U a diferencial dp : R2 R3 e injetiva.

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Figura 3.1: Definicao de superfcie.

Escrevendo em coordenadas, (u, v)={x(u,v) , y(u,v) , z(u,v)},podemos dizer que e diferenciavel e equivalente a dizer que asfuncoes x, y e z sao diferenciaveis.

A ultima condicao da definicao equivale a u v 6= 0, ou seja,os vetores u = u e v =

v sao linearmente independentes.

A aplicacao e chamada de parametrizacao em p. Ela tem omesmo papel que a parametrizacao da curva para superfcies, porema expressao de pode variar de regiao para regiao permitindo maistipos de superfcies. A vizinhanca V S de p e chamada vizinhancacoordenada e as variaveis u, v sao denominadas coordenadas locais deS.

Exemplo 3.2. Consideremos a esfera unitaria dada por

S2 = {(x, y, z) R3 x2 + y2 + z2 = 1}.

Afirmamos que S2 e uma superfcie regular.

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Captulo 3. Geometria Euclidiana: Superfcies 33

De fato, seja a aplicacao x1 = (x, y,

1 (x2 + y2)), (x, y) U,onde R2 = {(x, y, z) R3/z = 0} e U = {(x, y) R2, (x2 + y2 < 1)}.Vamos verificar as condicoes da definicao.

1. Como x2 + y2 < 1, a funcao

1 (x2 + y2) tem derivadasparciais contnuas de todas as ordens em U .

2. Verifica-se, facilmente, que x1 e bijetiva e que x11 e a restricaoda projecao contnua (x, y, z) = (x, y) ao conjunto x1(U). As-sim, x11 e contnua em x1(U).

3.(x, y)(u, v)

= 1.

Agora vamos definir outras parametrizacoes para cobrir a esferatoda. Seja x2 : U R2 R3 dada por

x2 = (x, y,

1 (x2 + y2)), (x, y) U.

Como no caso anterior mostra-se que x2 e uma parametrizacao e alemdisso, x1(U) x2(U) cobre a esfera menos o equador

{(x, y, z R3;x2 + y2 = 1, z = 0)}.

Utilizamos os planos xz e zy, definimos as seguintes parame-trizacoes:

x3(x, z) = (x,

1 (x2 + z2), z),x4(x, z) = (x,

1 (x2 + z2), z),

x5(y, z) = (

1 (y2 + z2), y, z),x6(y, z) = (

1 (y2 + z2), y, z),

que junto com x1 x2 cobre toda a esfera.Exerccio 3.3. Seja U R2 um conjunto aberto e seja f : U Raplicacao diferenciavel. O grafico de f e o seguinte conjunto

S = {(x, y, z) R3|(x, y) U, z = f(x, y)}.

Mostre que o grafico e uma superfcie regular.

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Mudanca de parametros

A definicao analtica de uma aplicacao f : S R definida sobre umasuperfcie regular e delicada. Uma forma natural de pensarmos sobreo seu significado seria escolher para cada p S uma parametrizacao.O problema e que tal ponto pode pertencer a duas ou mais parame-trizacoes e e necessario garantir que o valor de f(p) seja o mesmoem todas. Entao, e importante mostrarmos que isso nao depende dosistema de coordenadas escolhido. Neste sentido, podemos enunciaro seguinte resultado

Proposicao 3.4 (Mudanca de parametros). Seja p um ponto deuma superfcie regular S e sejam : U R2 S e : V R2 Sduas parametrizacoes de S tais que p (U) (V ) = W. Entao,a mudanca de coordenadas h = 1 : 1(W ) 1(W ) e umdifeomorfismo: h e diferenciavel e tem inversa diferenciavel h1.

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Figura 3.2: Mudancade parametros.

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Figura 3.3: Aplicacao diferenciavelentre duas superfcies regulares.

Definicao 3.5. Seja f : S R uma funcao definida em um subcon-junto aberto V de uma superfcie regular S. Entao, f e diferenciavelem p V se para alguma parametrizacao : U R2 S, comp (U) V, a composicao f : U R2 R e diferenciavel em1(p). A funcao f e diferenciavel em V se e diferenciavel em todosos pontos de V .

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Exemplo 3.6. O quadrado da distancia a um ponto fixo p0 R3e dada por f(p) = ||p p0||2, p S. Notemos que f e uma funcaodiferenciavel.

Definicao 3.7. Sejam S1e S2 duas superfcies regulares. Dizemosque uma aplicacao : V1 S1 S2 e diferenciavel em p V1, se,dadas parametrizacoes

1 : U1 R2 S1, 2 : U2 R2 S2,onde p 1(U1) e (1) 2(U2), a aplicacao

12 1 : U1 U2e diferenciavel em 11(p).

3.1.2 Superfcie Implcita

Definicao 3.8. Seja U R3 um conjunto aberto e seja f : U Raplicacao diferenciavel e seja a R. Dizemos que a e um valorregular de f se, para cada p U com f(p) = a, temos (df)p 6= 0, ouequivalentemente, f(p) 6= 0.

O proximo resultado mostra que a pre-imagem de um valor regulare uma superfcie regular.

Proposicao 3.9. Seja a R um valor regular de uma funcao dife-renciavel, onde U e um conjunto aberto de R3. Se S = f1(a) e umconjunto nao-vazio, entao S e uma superfcie.

Demonstracao: Basta utilizar o teorema da funcao implcita e ofato que todo grafico e uma superfcie regular.

Exemplo 3.10. O elipsoide x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1 e uma superfcie regular.De fato, e o conjunto f1(0), onde

f(x, y, z) =x2

a2+y2

b2+z2

c2 1

e uma funcao diferenciavel e 0 e um valor regular da funcao f , pois,fx = 2x/a2, fy = 2y/b2, fz = 2z/c2 se anulam simultaneamente ape-nas no ponto (0, 0, 0), que nao pertence a f1(0). Em particular, te-mos que a esfera e uma superfcie regular, basta tomar a = b = c = 1.

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Exerccio 3.11. Mostre que o paraboloide z = x2 + y2 e uma su-perfcie regular.

Exemplo 3.12. Seja : R3 R3 dada por (x, y, z) = (xa, yb, zc),onde a, b e c sao numeros reais nao-nulos. Temos que e diferenciavele que a restricao

S2

e uma aplicacao da esfera

S2 = {(x, y, z) R3/x2 + y2 + z2 = 1}

sobre o elipsoide

E2 ={

(x, y, z) R3/x2a2

+y2

b2+z2

c2= 1}.

3.1.3 Complexos Simpliciais

Esta subsecao introduz representacoes e mecanismos de geometriadiscreta para expressar superfcies de forma global. De uma certaforma, esses mecanismos criam uma base para mudancas de para-metros entre as regioes onde pode-se aplicar o teorema da funcaoimplcita. Para isto, introduzimos representacoes de superfcies dis-cretas em malhas triangulares, e mecanismos de gerar essas repre-sentacoes a partir de um sinal discreto.

O estudo global das superfcies requer frequentemente, ate na Ge-ometria Diferencial, abordagens menos fundamentadas no calculo emais nos processos construtivos. No caso discreto, as construcoes saoexpressas como algoritmos para adaptar-se ao computador.

Figura 3.4: Um complexo celular com vertices, arestas e faces.

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Complexo celular

A representacao discreta usual de superfcies e similar a` definicao desuperfcie regular (secao 3.1): colando pedacos de reta ou de plano,eventualmente deformados. A diferenca e que cada um dos pedacosnao se recobrem, mas sao postos lado a lado, colados pela fronteiradeles. Cada pedaco e chamado de celula, tendo dimensao 0, 1 ou 2 secorresponder a um ponto, um pedaco de reta ou um pedaco de planodeformado.

Definicao 3.13 (Celula). [LW69] Uma celula T de dimensao d e aimagem de um aberto limitado U de Rd por uma aplicacao bijetiva,contnua, de inversa contnua e estendvel ao bordo de U . O bordo deT e a imagem do bordo de U por .

A aplicacao modela a deformacao de cada pedaco T . A su-perfcie discreta e um conjunto de tais celulas justapostas, coladas nobordo delas (ver Figura 3.4). O bordo comum a duas celulas tem queser uma celula de dimensao menor, a saber

Definicao 3.14 (Complexo celular). Um complexo celular C e umconjunto de celulas disjuntas tais que o bordo de uma celula seja auniao de celulas de dimensao menores.

Complexo simplicial Casos invlidos

Figura 3.5: Um complexo simplicial e casos nao validos

Complexo simplicial

Essa definicao de complexo celular (finito mergulhado) permite repre-sentar a grande maioria das superfcies diferenciais de forma exata.Porem, apesar de discreta, esta representacao nem sempre pode serusada no computador, principalmente por causa da deformacao e

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da eventual complexidade do bordo. Por isso e comum usar um casoparticular de complexos celulares, mais simples, chamada de comple-xos simpliciais [BY98] (ver Figura 3.5). Neste caso, as celulas saosimplexos, que generalizam pontos, segmentos de reta, triangulos,tetraedros, etc.

Definicao 3.15 (Simplexo). Um simplexo T de dimensao d e o fechoconvexo de d+ 1 pontos em posicao geral.

O fecho convexo e o menor conjunto convexo contendo os pontos.Por exemplo, o fecho convexo de tres pontos no plano e o triangulotendo esses pontos como vertices. Os pontos precisam esta em posicaogeral (nao tendo tres pontos alinhados, quatro pontos coplanares)para evitar que o simplexo degenere.

Os simplexos de dimensao 0, 1 e 2 sao respectivamente chamadosde vertices, arestas e triangulos. Observe que as faces de dimensaod1 de um simplexo de dimensao d sao simplexos de dimensao d1,pois sao os fechos convexos de d dos d+ 1 pontos.

Exerccio 3.16. Verifique que um simplexo de dimensao d tem(dk

)faces de dimensao k.

Propriedade de variedade local

Para um complexo simplicial corresponder a uma superfcie (nao ne-cessariamente suave), nao pode haver simplexos de dimensao maiorou igual a 3, nem vertices ou arestas isolados (nao contidos no bordode outra celula). Cada ponto de um triangulo verifica a propriedadede variedade local. Para a aresta, ela pode ser considerada no meiode um pedaco de plano se ela pertencer exatamente ao bordo de doistriangulos.

Esta propriedade sera fundamental para os algoritmos de Mar-ching Cubes. Um vertice verifica a propriedade de variedade local sea uniao das arestas e dos triangulos em volta dele e conexa. Nestecaso, chamamos o complexo simplicial de malha triangular ou de su-perfcie discreta triangulada

Exerccio 3.17. Verifique que a condicao de variedade local para umvertice e valida apenas se as arestas em volta verifiquem a condicaode variedade local.

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3.2 Mudanca de Contextos

Implcito para parametrico

Introduzimos na secao anterior as definicoes de superfcies regula-res e discreta em R3. Um resultado fundamental para o estudo desuperfcies implcitas e o Teorema da Funcao Implcita, a saber

Teorema 3.18. [Teorema da Funcao Implcita] Sejam U R3 umaberto, p = (x0, y0, z0) U, a R e seja f : U R funcao dife-renciavel. Suponhamos que f(p) = a e fz(p) 6= 0. Entao existemuma vizinhanca V de (x0, y0) em R2 e uma vizinhanca W de z0 emR tal que V W U e uma funcao diferenciavel g : V W comg(x0, y0) = z0 tal que:

{p V W |f(p) = a} = {(x, y, g(x, y)) R3|(x, y) U}.

Em outras palavras, se fz(p) 6= 0, podemos utilizar a equacaof(x, y, z) = a para expressar z como uma funcao de x e y, em umacerta vizinhanca de p. Isto possibilita ver uma superfcie implcitaregular localmente como um grafico, ou seja, como uma superfcieparametrica. Notemos que nao conhecemos a funcao g do teoremada funcao implcita, mas podemos relacionar as derivadas da funcaof com as da g,

gx(x, y) = fx(p)fz)

,

gy(x, y) = fy(p)fz

,

gxx(x, y) = fxxfz

+ 2fxzfx

fz2

fzzfx2

fz3 , (3.1)

gxy(x, y) = fxyfz

+fyzfx + fyfxz

fz2

fyfzzfx

fz3 ,

gyy(x, y) = fyyfz

+ 2fyzfy

fz2

fzzfy2

fz3 ,

onde as derivadas de f sao calculadas em p.

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40 3.2. Mudanca de Contextos

Estas expressoes sao bastante uteis quando formos encontrar aspropriedades geometricas de superfcies implcitas.

Se quisermos passar do contexto de superfcies implcitas para ocaso discreto uma ferramenta muito conhecida e o algoritmo MarchingCubes que percorre as amostras da grade e gera uma triangulacaolocal da superfcie. Para isso, e necessario o estudo das funcoes mul-tilineares por partes, pois o algoritmo Marching Cubes [LC87] usa ainterpolacao trilinear.

Implcito contnuo para discreto

Podemos construir uma representacao discreta de superfcie a par-tir de um sinal discreto g[i, j, k] passa por interpolar o sinal g poruma funcao contnua (ou suave) f , e considerar a superfcie implcitadefinida por f . Veremos interpolacao, chamada de multilinear, quegera uma funcao f contnua (alem de C por partes), e permite umaconstrucao direta da superfcie discreta no computador.

Interpolacao trilinear por partes Seja g[i, j, k] sinal tridimensi-onal. A interpolacao local no cubo fi,j,k : [0, 1][0, 1][0, 1] R temque respeitar as restricoes {fi,j,k(ou, ov, ow) = g[i+ ou, j+ ov, k+ ow]para ouvw {0, 1}.

A interpolacao trilinear por partes e obtida definindo fi,j,k comoa unica cubica que respeite as restricoes acima

fi,j,k(u, v, w) = (1 u)(1 v)(1 w) g [ i , j , k ]+ u (1 v)(1 w) g [i+ 1, j , k ]+ (1 u) v (1 w) g [ i ,j + 1, k ]+ u v (1 w) g [i+ 1,j + 1, k ]+ (1 u)(1 v) w g [ i , j ,k + 1]+ u (1 v) w g [i+ 1, j ,k + 1]+ (1 u) v w g [ i ,j + 1,k + 1]+ u v w g [i+ 1,j + 1,k + 1].

Essa interpolacao conserva a propriedade de ser bilinear em qual-quer plano paralelo aos eixos, e linear em qualquer reta paralela aum eixo, garantindo a continuidade da interpolacao e a simplicidadeda solucao ao longo das arestas de cada cubo (ver Figura 3.6).

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Figura 3.6: Interpolacao trilinear dentro de um cubo pode ser feitapor combinacoes de varias interpolacoes lineares ao longo dos eixos.

O algoritmo Marching Cubes Com isso podemos explicar comoe feita a geracao de triangulos no Marching Cubes. Supondo queg[i, j, k] 6= 0, entao temos no maximo um vertice por aresta. Con-siderando um cubo por vez, temos que gerar triangulos ligando osvertices, com as restricoes de gerar uma malha triangular valida. Emparticular, os triangulos nao podem se intersectar, e eles tem que sejustapor corretamente com os triangulos vizinhos.

Existem casos simples, por exemplo, quando um canto do cubotem valor de g positivo e todos os outros negativos. Neste caso, exis-tem tres arestas do cubo saindo do canto positivo, indo para cantosnegativos, portanto apenas tres arestas do cubo vao ter vertices. Comapenas tres vertices, da para criar apenas um triangulo e o caso estaresolvido (ver Figura 3.7).

Pode-se dividir cada cubo em tetraedros e usar interpolacao ba-ricentrica, o que gera apenas 3 casos distintos [Blo94, Vel96]. Porem,a topologia da superfcie gerada nao depende mais apenas do sinaldiscreto g mas tambem da escolha (arbitraria) da decomposicao doscubos em tetraedros.

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42 3.2. Mudanca de Contextos

Figura 3.7: Casos basicos do algoritmo Marching Cubes.

No caso que uma funcao diferenciavel g tiver originada o sinalg (g[i, j, k] = g(i x, j y, k z)) e que g for conhecida, pode-se tambem refinar o reticulado ate que em cada cubo a topologiada superfcie seja simples [vGW94, LOdF02, PLLdF06]. Em teoria,este procedimento pode gerar um reticulado infinitamente denso (porexemplo numa superfcie com uma alca arbitrariamente pequena), oque nao e viavel no computador. Porem, com tecnicas de aritmeticaexata, e possvel isolar estes casos (ver Figura 3.8).

Figura 3.8: Reticulado adaptado para garantir a topologia do resul-tado: as partes vermelhas indicam regioes nao validadas.

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3.3 Plano Tangente; Vetor Normal

Nesta secao vamos definir plano tangente e o vetor normal em umasuperfcie regular.

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Figura 3.9: Plano tangente.

3.3.1 Plano Tangente

Podemos tambem considerar curvas desenhadas sobre a superfcie S.Mostraremos que, para cada p S, o conjunto de vetores tangentesa`s curvas parametrizadas de S, passando por p, constituem um plano,o qual denotaremos por TpS (plano tangente a superfcie em p).

Caso parametrico

Definicao 3.19. Uma curva parametrizada : I R R3 e umaaplicacao diferenciavel (t) = (x(t) , y(t) , z(t)) . Uma curva e de-senhada sobre S se para todo t I, existem funcoes u(t), v(t) dife-renciaveis, tais que (t) = (u(t), v(t)).

Definicao 3.20. Fixado (u0, v0) U R2, as curvas(t) = (u(t) , v0) ,(t) = (u0, v(t)) ,

sao chamadas as curvas coordenadas de em (u0, v0) U.

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44 3.3. Plano Tangente; Vetor Normal

Proposicao 3.21. Seja : U R2 S uma parametrizacao de umasuperfcie regular S e seja q U . O subespaco vetorial de dimensao2 , dq(R2) R3 coincide com o conjunto de vetores tangentes acurvas desenhadas sobre S passando em p.

Demonstracao: A demonstracao e deixada como exerccio, mas aideia esta na figura 3.9.

O plano tangente de S em p pode tambem ser visto como

Tp(S) = {v, v e tangente a S em p}.As coordenadas de um vetor w TpS na base associada a sao

determinadas da seguinte forma. Seja : (, ) U uma curvaem U dada por (t) = (u(t), v(t)) e seja (, ) S definida por(t) = (t), com (0) = q = 1(p). Entao

(0) =d

dt( )

= u(q)u(0) + v(q)v(0).

Assim, na base {u(q), v(q)} w tem coordenadas u(0), v(0).Vale notar que a nocao de plano tangente e transportada (preser-

vada) por aplicacoes diferenciaveis. Sejam S1 e S2 duas superfciesregulares e seja : V S1 S2 aplicacao diferenciavel. Seja p V,sabemos que todo vetor v TpS1 e o vetor velocidade (0) de umacurva diferenciavel : (, ) V com (0) = p. A curva = e tal que (0) = (p) e, portanto, (0) e um vetor tangente emT(p)S2.

Exerccio 3.22. Dado w, como acima, mostre que o vetor (0) naodepende da escolha de e que a aplicacao dp : TpS1 T(p)S2definida por dp(w) = (0) e linear.

Caso implcito

Suponhamos que a superfcie S seja dada por uma funcao implcitadiferenciavel f : R3 R tal que a seja um valor regular de f eS = f1(a), entao o plano tangente da superfcie e dado por

TpS = ker((df)p : R3 R),p S.

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De fato, se v TpS, entao existe uma curva : (, ) S tal que(0) = p e (0) = v. Portanto, (f )(t) = a,t, e por diferenciacaoem t = 0,

(df)p(v) = (f )(0) = 0.Portanto, v pertence ao nucleo de (df)p. Como TpS e ker((df)p) saosubespacos lineares de dimensao dois e um esta contido no outro,temos o resultado.

3.3.2 Vetor Normal

Suponhamos inicialmente que a superfcie regular S seja parametrica,entao podemos escolher para cada p (U), um vetor normal unita-rio, dado por

N(p) =u v||u v|| (p), p (U).

O vetor N(p) e chamado vetor normal a` superfcie em p.

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Figura 3.10: Vetor normal.

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46 3.4. Primeira Forma Fundamental

Se S = f1(a), onde a e um valor regular de f : R3 R, afir-mamos que o espaco tangente a` superfcie S no ponto p e o comple-mentar ortogonal da reta gerada f(p). De fato, seja v TpS, entaoexiste uma curva : (, ) S tal que (0) = p e (0) = v, logof (t) = a, o que implica

f(p), (0) = (f )(0) = 0,

o que mostra que f(p) e ortogonal a TpS. Isto quer dizer que ovetor normal em p e

N(p) =f(p)||f || .

3.4 Primeira Forma Fundamental

Nesta secao, estudaremos a primeira forma fundamental que permitemedir a area de regioes e o comprimento de curvas em superfcies.

O produto interno de R3 S induz em cada plano tangenteTpS de uma superfcie regular S um produto interno, indicado por , : TpS TpS R, que associa um numero real a cada par devetores (w1, w2) (TpS)2. A este produto interno, que e uma formabilinear simetrica, corresponde uma forma quadratica Ip : TpS Rdada por Ip(w) = w,wp = |w|2 0.Definicao 3.23. A forma quadratica Ip : TpS R e chamada deprimeira forma fundamental da superfcie S R3 em p S.

Caso parametrico

Vamos expressar Ip em termos da base {u, v} de TpS. Seja w TpS, entao existe uma curva diferenciavel : (, ) S dada por(t) = (u(t), v(t)) tal que (0) = p = (u0, v0) e (0) = w. Obte-mos os coeficientes da primeira forma fundamental

Ip((0)) = (0), (0)p= uu + vv, uu + vvp= u, upu2 + 2u, vpuv + v, vpv2

= Eu2 + 2Fuv +Gv2.

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Os valores das funcoes na expressao anterior sao calculadas em t = 0e os coeficientes

E(u0, v0) = u, u, F (u0, v0) = u, v e G(u0, v0) = v, vsao os coeficientes da primeira forma fundamental na base {u, v}de TpS. Fazendo p variar na vizinhanca coordenada correspondentea (u, v), obtemos que as funcoes E(u, v), F (u, v) e G(u, v) sao dife-renciaveis nessa vizinhanca.

Exemplo 3.24. Seja P R3 um plano passando por p0 = (x0, y0, z0)e contendo os vetores ortonormais w1 e w2. Entao uma parame-trizacao para P e

(u, v) = p0 + uw1 + vw2. (3.2)

Os coeficientes da primeira forma fundamental sao, para esse planoE = 1, F = 0 e G = 1.

Exerccio 3.25. Considere a esfera S2(r) centrada na origem e deraio r > 0. Sejam V = {(, ) ; 0 < < pi, 0 < < 2pi} e : V R3dada por

(, ) =(rsencos, rsensen, rcos) .

Mostre que e uma parametrizacao para S2(r), e que os coeficientesda primeira forma fundamental sao

E = r2, F = 0 e G = r2sen2.

Caso implcito

Consideremos a superfcie S = {(x, y, z) R3/f(x, y, z) = 0}, ondef e uma funcao suave. Seja p S tal que f(p) 6= 0, entao podemossupor, sem perda de generalidade, que fz(p) 6= 0. Isso implica, peloteorema da funcao implcita, que existe uma funcao suave g : U R2 R tal que a equacao z = g(x, y) descreve a superfcie S emuma vizinhanca de p, Vp, ou seja, nessa vizinhanca S e parametrizadacomo um grafico G = {(x, y, g(x, y))/(x, y) U}. Os coeficientes daprimeira forma fundamental no ponto p = (x, y, g(x, y)) sao

E =fz

2 + fx2

fz2 , F =

fxfy

fz2 e G =

fz2 + fy2

fz2 .

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48 3.4. Primeira Forma Fundamental

3.4.1 Comprimento de Curva na Superfcie

Agora mostraremos como a primeira forma fundamental esta relaci-onada com o comprimento de arco de curvas. Seja : J R Scurva parametrizada, vimos que o comprimento de arco e

s(t) = t

0

||(t)||dt = t

0

I((t))dt.

Se (t) = (u(t), v(t)) esta contida em uma vizinhanca coorde-nada correspondente a` parametrizacao (u, v), podemos calcular ocomprimento de arco de entre a t b por

s(t) = ba

E(u)2 + 2Fuv +Gv2dt.

3.4.2 Area de uma Regiao em uma Superfcie

Nesta subsecao, mostraremos a relacao entre os coeficientes da pri-meira forma fundamental e a area de uma regiao em uma superfcie.

Seja : U R2 S uma parametrizacao da superfcie S. Afuncao

||u v|| =EG F 2

representa a area do paralelogramo de lados u e v. Integrando esteelemento de area sobre a regiao de um plano que define a superfcietemos a area da superfcie.

Definicao 3.26. Seja R S uma regiao limitada de uma superfcieregular contida na imagem da parametrizacao : U R2 S.Entao a area de R e dada por

A(R) =

1(R)u vdudv .

Exerccio 3.27. Mostre que A(R) nao depende da escolha da para-metrizacao.

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3.5 Segunda Forma Fundamental

Estudaremos a segunda forma fundamental a qual permitira introdu-zir as curvaturas Gaussiana e media, estas dao informacoes sobre ocomportamento local da superfcie.

3.5.1 Aplicacao Normal de Gauss

A seguir, vamos estudar a aplicacao normal de Gauss. A variacaodesta da origem ao conceito de curvatura.

Caso parametrico

Seja : U R2 S uma parametrizacao da superfcie regular S.A aplicacao N : (U) S2 que toma seus valores na esfera

unitaria S2 = {(x, y, z) R3/x2 + y2 + z2 = 1} e chamada aplicacaonormal de Gauss.

Figura 3.11: A aplicacao de Gauss.

A sua derivada dNp : TpS TN(p)S e uma aplicacao linear.Como TpS e TN(p)S sao paralelos (perpendiculares a` mesma normal)podemos identifica-los, assim

dNp : TpS TpS.

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50 3.5. Segunda Forma Fundamental

Exemplo 3.28. Seja P = {(x, y, z) R3/ax+ by + cz + d = 0} umplano. O vetor normal em p P e dado por

N =1

a2 + b2 + c2(a, b, c)

e e constante, logo dNp = 0.

Exerccio 3.29. Mostre que a aplicacao dNp e auto-adjunta, isto edNpv, w = v, dNpw.Definicao 3.30. Seja p S e seja dNp : TpS TpS a diferencialda aplicacao de Gauss. O determinante de dNp e chamado curvaturaGaussiana K de S em p. A metade do traco de dNp e chamado decurvatura media H de S em p.

Definicao 3.31. A forma quadratica IIp : TpS TpS R, definidaem TpS por

IIp(v) = dNp(v), ve chamada segunda forma fundamental de S em p.

Vamos escrever a expressao da segunda forma fundamental nabase {u, v}. Seja (t) = (u(t), v(t)) uma curva parametrizada emS, com (0) = p. O vetor tangente a (t) em p e (t) = uu + vv

e a diferencial da aplicacao de Gauss

dN() = N(u(t), v(t)) = Nuu + Nvv .

Portanto,

IIp() = dNp(), = Nuu + Nvv, uu + vv= eu2 + 2fuv + gv2,

ondee = Nu, u, f = Nv, v e g = Nv, v.

Os coeficientes e, f e g sao chamados coeficientes da segunda formafundamental.

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Caso implcito

Notemos que os coeficientes e, f e g foram determinados a partirda parametrizacao de S. Podemos determina-los no caso em que asuperfcie e dada por uma funcao implcita S = f1(a). Isto seguediretamente do teorema da funcao implcita, pois localmente a su-perfcie S e vista como um grafico G = {(x, y, g(x, y))/(x, y) U} eusando as equacoes (3.1) obtemos

e = N, (0, 0, gxx) = fxxfz2 2 fxzfxfz + fzzfx2

fz2fz

2 + fx2 + fy2=

det(A1)f2z |f |

,

f = N, (0, 0, gxy) = fxyfz2 fzfyzfx fzfyfxz + fyfzzfx

fz2fz

2 + fx2 + fy2

=det(A2)f2z |f |

,

g = N, (0, 0, gyy) = fyyfz2 2 fyzfyfz + fzzfy2

fz2fz

2 + fx2 + fy2=

det(A3)f2z |f |

,

onde

A1 =

fxxfxzfxfxzfzzfzfx fz 0

, A2 =fxyfyzfyfxzfzzfzfx fz 0

e A3 =fyyfyzfyfyzfzzfzfy fz 0

.3.5.2 Curvatura

Daremos agora uma interpretacao geometrica da segunda forma fun-damental.

Definicao 3.32. Seja C uma curva regular na superfcie S passandopor p S, a curvatura de C em p, e cos() = n,N, onde ne o vetor normal a C e N e o vetor normal a S em p. O numeron = cos() e chamado a curvatura normal de C S em p.

A curvatura normal n e o comprimento da projecao do vetor nsobre o normal a` superfcie em p, com sinal dado pela orientacao Nde S em p.

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Figura 3.12: Curvatura normal.

A curvatura normal de C nao depende da orientacao de C, mastroca de sinal com uma mudanca de orientacao da superfcie.

Podemos dar uma interpretacao geometrica da segunda forma fun-damental IIp utilizando a curvatura normal. De fato, seja C S umacurva parametrizada pelo comprimento de arco (s), com (0) = p.Se indicarmos por N(s) a restricao do vetor normal N a` curva (s),teremos IIp((0)) = n(p).

Exerccio 3.33. Com a notacao acima, prove que a segunda formafundamental verifica IIp((0)) = n(p).

Como dNp e uma aplicacao auto-adjunta sabemos pelo teoremaespectral que existe uma base {e1, e2} ortonormal de TpS tal que

dNp(e1) = k1e1 e dNp(e2) = k2e2.

Definicao 3.34. O maximo k1 da curvatura e o mnimo k2 da cur-vatura sao chamadas curvaturas principais em p; as direcoes corres-pondentes, isto e, as direcoes dadas pelos autovalores e1 e e2 saochamadas direcoes principais em p.

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Figura 3.13: Interpretacao das curvaturas principais ( c wikipedia).

Em termos das curvaturas principais, as curvaturas Gaussiana emedia sao, respectivamente, dadas por

K = k1k2 e H =12

(k1 + k2).

As curvaturas principais podem ser interpretadas da seguinte ma-neira: dado p S, onde e definido um plano tangente e o vetor normalN, consideramos todos os planos que passam por p e contem N. Asintersecoes destes planos com a superfcie nos dao uma famlia de cur-vas, cujas curvaturas maxima e mnima sao as curvaturas principaisda superfcie.

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3.5.3 Calculo das Curvaturas

Vamos calcular as formulas explcitas para as curvaturas Gaussianae media de uma superfcie parametrizada regular, em funcao dos co-eficientes da primeira e da segunda forma fundamental.

Caso parametrico

Vimos na subsecao anterior que dpN : TpS TpS, assim podemosescrever Nu,Nv na base {u, v} do plano tangente TpS, ou seja,existem funcoes (ai,j)1i,j2 : R3 R tais que

Nu = a11u + a12v,Nv = a21u + a22v. (3.3)

Vamos encontrar os coeficientes ai,j em termos da base {u, v,N}.Tomando o produto interno de cada uma das igualdades da ex-

pressao (3.3) por u e v, obtemos

u,Nu = a11u, u+ a12u, v,v,Nv = a21v, u+ a22v, v,u,Nv = a21u, u+ a22v, u, (3.4)v,Nu = a11v, u+ a12v, v.

Como u,N = 0 = v,N, temos

u,Nu = uu,N,u,Nv = uv,N,v,Nv = vv,N.

Assim,

e = Nu, u = N, uu,f = Nu, v = N, uv = N, vu = Nu, v,g = Nv, v = N, vv.

Vamos obter, agora, os coeficientes (ai,j)1i,j2 em termos dee, f e g.

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Usando as equacoes (3.4), segue que

f = Nu, v = a11u, v+ a12v, v = a11F + a12G,f = Nv, u = a21u, u+ a22u, v = a21E + a22F,e = Nu, u = a11u, u+ a12v, u = a11E + a12F,g = Nv, v = a21u, v+ a22v, v = a21F + a22G,

onde E = u, u, F = v, u e G = v, v sao os coeficientesda primeira forma fundamental.

Em termos de matrizes

(e ff g

)=(a11 a12a21 a22

)(E FF G

).

Em particular temos(a11 a12a21 a22

)=

(e ff g

)(E FF G

)1.

Como (E FF G

)1=

1EG F 2

(G FF E

),

segue que

a11 =fF eGEG F 2 ,

a12 =gF fGEG F 2 ,

a21 =eF fEEG F 2 ,

a22 =fF gEEG F 2 .

Da, obtemos

K(p) = det(ai,j) =eg f2EG F 2 =

det(IIp)det(Ip)

.

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Calculando a curvatura, vimos anteriormente que k1 e k2 satisfa-zem

dN(v) = k(v) = kI(v), para algum v TpS {0},

onde I : TpS TpS e a aplicacao identidade. Por definicao deautovalores temos que a aplicacao linear dN = kI nao e invertvel.Logo,

det(a11 + k a12a21 a22 + k

)= 0.

Isto e equivalente a

k2 + k (a11 + a22) tr(A)

+ (a11a22 a12a21) det(A)

= 0,

aqui A = (ai,j)1i,j2.Como k1 e k2 sao as razes da equacao acima, obtemos

H =k1 + k2

2= 1

2tr(A) = 1

2eG 2fF + gE

EG F 2 .

Exemplo 3.35 (Plano). Vimos anteriormente que dN = 0. Logo,K = H = 0.

Exemplo 3.36 (Esfera). Consideremos a parametrizacao definidano exerccio 3.25. Temos que o vetor normal em cada ponto e

N = (sen()cos(), sen()sin(), cos()).

Verificamos que os coeficientes da segunda forma fundamental sao

e = r, f = 0 e g = rsen2().

Logo, as curvaturas Gaussiana e media, respectivamente, sao K =r2 e H = r1.

Exerccio 3.37. Verifique os calculos do exemplo anterior.

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Caso implcito

Vimos anteriormente como calcular os coeficientes da primeira e se-gunda formas fundamentais de uma superfcie dada por uma funcaoimplcita S = f1(a) e usando as definicoes das curvaturas Gaussianae media, temos que

K =det(A1) det(A3) det(A2)2

f2z |f |4

=

(fzzfyy f2yz

)f2x + (2fxyfzz + 2fxzfyz) fyfx(f2z + f2x + f2y

)2+

2 (fxzfyy + fxyfyz) fxfz +(fxxfzz fxz2

)fy

2(f2z + f2x + f2y

)2+2 (fxzfxy + fxxfyz) fyfz +

(fxxfyy fxy2

)fz

2(f2z + f2x + f2y

)2 ,

H =1

2|f |3(

det(A1)

(1+

f2yf2z

) 2 det(A2)

(fxfyf2z

))

+1

2|f |3(

det(A3)(

1+f2xf2z

))

=(f2y +f

2z )fxx + (f

2x+f

2z )fyy + (f

2x+f

2y )fzz

2|f |3

(fxfyfxy+fxfzfxz+fyfzfyz)|f |3 .

Observacao 3.38. Notemos que ao permutarmos as variaveis x, y ez nas expressoes de K e H obtemos o mesmo resultado. Isto decorreda invariancia das curvaturas.

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3.5.4 Formula de Minkowski

Teorema 3.39. [Formula de Minkwoski] Seja um domnio noplano e seja S uma superfcie compacta, convexa parametrizada por(u, v) tal que S = (). Consideremos uma variacao dessa superfcieao longo do vetor normal, isto e, t(u, v) = (u, v) + tN(u, v), onde0 t T. Entao,

V ol(U) = V ol(U) + TArea() T 2

HdA+T 3

3

KdA,

onde U e a regiao limitada por S e U e a regiao limitada por St.Demonstracao: Seja : U R2 S uma parametrizacao deS e seja t : U [0, T ] R3 variacao da superfcie S, dada port(u, v) = (u, v) + tN(u, v),

Derivando com relacao a u, v e t a expressao t(u, v), obtemos

(t)u = u + tNu,(t)v = v + tNv,t = N.

Como {u, v} forma uma base para TpS, temos queNu = dN(u) = a11u + a12v,Nv = dN(v) = a21u + a22v.

Da,

(t)u (t)v = u v(1 + t(a11 + a22))+ t2(a11a22 a12a21)(u v)

Vimos anteriormente que 2H = a11 + a22 e K = a11a22 a12a21.Logo,

(t)u (t)v = (u v)(1 2tH + t2K),e usando o fato que k1 k2, obtemos

||(t)u (t)v|| = (1 2tH + t2K)||u v||,

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Portanto,

V ol(U) = V ol(U) +

Tt=0

||(t)u (t)v||dudvds

= V ol(U) +

Tt=0

||u v||dudvds

+

Tt=0

(2sH)||u v||dudvds

+

Tt=0

(s2K)||u v||dudvds

= V ol(U) + TA(s) T 2

HdA+T 3

3

KdA.

3.6 Discussao

Ao longo desse captulo estudamos superfcies regulares tanto pa-rametricas como implcitas, notamos que o teorema da funcao im-plcita e um resultado fundamental para obtermos as propriedadesgeometricas no caso implcito a partir do caso parametrico.

Alem disso, para construir uma representacao discreta da su-perfcie a partir de sinais discreto, vimos que o algoritmo MarchingCubes e muito util, mas tal algoritmo apresenta casos ambguos du-rante a extracao da malha, de forma que nem sempre tem a topologiacorreta e nem a malha converge para a superfcie.

Contando que os sinais podem ser ou positivo ou negativo em cadaum dois 8 cantos do cubo, temos 28 = 256 configuracoes basicas, re-dutveis a` 15 casos se tirar casos equivalentes por rotacao ou simetria.Porem, se incluirmos os sub-casos para garantir que a triangulacaocorresponda com a topologia da interpolacao tri-linear, isso gera 33casos bases derivados em mais de 730 por simetria [LLVT03]. Estacomplexidade tornou a busca por alternativas ao Marching Cubesoriginal [NY06].

As abordagens detalhadas anteriormente nao tem um formalismounico: funcoes multilineares permitem criar globalmente uma su-

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60 3.6. Discussao

perfcie discreta, ja para o estudo local para estimar invariantes geral-mente usa aproximacao, por exemplo atraves de interpolacao splines.Idealmente, usar-se-ia uma unica interpolacao para tudo, abrindo ocaminho para estudar categorias de interpolacao com as suas respec-tivas propriedades. Esta tendencia faz parte da pesquisa atual, masesta so comecando.

Existem ja alguns elementos simples para desenvolver teorias comeste objetivo. A abordagem mais antiga e de garantir convergenciadas construcoes: se refinarmos infinitamente o reticulado e se o sinal gconvergir (localmente ou uniformemente) para uma funcao implcitadiferenciavel, as curvaturas calculadas por splines convergem para ascurvaturas da superfcie implcita diferenciais? A topologia geradapelo Marching Cubes vai corresponder a` topologia da superfcie su-ave? A resposta e a priori positiva, apesar de requerer por enquantocondicoes de regularidade sobre g que nao sao necessarias no casodiferencial [MDSB02, BCM03, MT02].

Um outro problema e a invariancia da superfcie gerada. O pro-cesso de amostragem ao longo do reticulado nao e invariante pormovimentos rgidos, pois privilegia as direcoes paralelas aos eixos.Isto dificulta a analise de invariantes no caso implcito discreto.

Finalmente, uma abordagem recente e promissora consiste em pre-servar as relacoes entre a topologia e a geometria. Por exemplo, oteorema de Gauss-Bonnet estipula que a integral da curvatura Gaussi-ana numa superfcie sem bordo e igual a` 2pi, onde e a caractersticade Euler. Isto e valido nos complexos celulares definindo a curvaturaGaussiana como o deficit angular em cada vertice v: 2pii ondei sao os angulos em v dos triangulos tendo v na fronteira [Ban67].Porem, usando a estimativa da curvatura por splines e a caractersticade Euler dada pelo complexo simplicial resultando do Marching Cu-bes com interpolacao trilinear, esta relacao nao vale mais. Pode assimservir de criterio para construir uma teoria de interpolacao mais co-erente.

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Captulo 4

Geometria Afim:Curvas

Neste captulo veremos as propriedades geometricas invariantes portransformacoes afins em curvas, a saber os vetores tangente e normale a curvatura.

4.1 Invariancia Afim

Na geometria Euclidiana, as propriedades geometricas como veto-res tangente e normal em curvas sao covariantes por isometrias, ouseja, se aplicarmos uma isometria a curva temos que os novos vetorestangente e normal sao dados pela isometria aplicado a` curva inicial,ja a curvatura da curva e invariante, isto e, ela nao se altera porisometria. No entanto, tais propriedades geometricas nao sao invari-antes por transformacoes lineares em geral. Mas, se nos limitarmosas transformacoes lineares afins, Ax, x R2, que preservam areas, ouseja, det(A) = 1, obteremos invariantes afins.

Neste sentido, queremos encontrar propriedades geometricas Pque sao invariantes por transformacoes do grupo

x R2 7 Ax R2,onde A e uma matriz satisfazendo det(A) = 1.

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62 4.1. Invariancia Afim

Definicao 4.1. A geometria afim de curvas planas e o estudo das pro-priedades destas curvas invariantes por esse grupo de transformacoes.

Definicao 4.2. Uma propriedade P e dita invarinante por A seP(A(p)) = P(p), para todo p C, onde C e uma curva.

Observacao 4.3. O conjunto de transformacoes afins forma umgrupo com a operacao de composicao de funcoes.

!"#$%&"' ()$*+,$%&"' -+.$,$'/*01")23'

-+.$,$''*&"4/*01")23'

50+$,6$23*#"'

Figura 4.1: Transformacoes afins.

Propriedades Basicas de Transformacoes Afins

Transformacoes afins

1. levam retas em retas,

2. levam retas paralelas em retas paralelas,

3. preservam razao de comprimentos ao longo de uma reta dada.

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Captulo 4. Geometria Afim: Curvas 63

Transformacoes e Invariantes Euclidiana AfimTransformacoes

Rotacao ok okTranslacao ok ok

Escala uniforme okEscala nao-uniforme ok

Cisalhamento okInvariantes

Comprimento ok okAngulo ok

Paralelismo ok ok

Tabela 4.1: As transformacoes contidas nos grupos Euclidiano e afim,e alguns invariantes sob estes grupos.

Invariancia das Derivadas

Seja : I R2 curva regular e seja A : R2 R2 transformacaolinear afim. Se aplicarmos A em , isto e, A , temos que o ve-tor tangente na nova curva e A . Neste caso, a derivada e ditacovariante.

Agora se tivermos com uma curva implcita definida pelo conjuntoC = {(x, y) R2; f(x, y) = 0} e aplicarmos a transformacao linearafim em C, temos que

f(x, y) = 0 {(x, y) R2; f(x, y) = 0} A.{(x, y) R2; f(x, y) = 0} {A.(x, y) R2; f(x, y) = 0} {(u, v) R2; f(A1(x, y)T ) = 0},

da segue que a direcao do vetor normal da nova curva e dada porA1(fx, fy)T , o que implica que a direcao do vetor tangente e dadapor AT (fy, fx)T . Dizemos portanto que a derivada de f e contra-variante com respeito a aplicacao A se a direcao do vetor tangenteda nova curva for AT (fy, fx)T .

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64 4.1. Invariancia Afim

Conicas

Aqui temos por objetivo ilustrar figuras geometricas que sao afinscongruentes. O proximo conceito nos diz o sentido da congruenciaque estamos falando.

Definicao 4.4. Uma figura f1 e afim-congruente com uma figura f2se existe uma transformacao afim, nao necessariamente linear, queleva f1 em f2.

A relacao afim-congruente e uma relacao de equivalencia, em par-ticular temos que todos os triangulos sao afim-congurentes.

O proximo passo e mostrar que existem curvas que sao afim con-gruentes, tais curvas sao as conicas. As quais definiremos a seguir.

Definicao 4.5. Uma conica e um conjunto em R2 definido pelaequacao da forma

Ax2 +Bxy + Cy2 + Fx+Gy +H = 0, (4.1)

onde A,B,C, F,G,H sao numeros reais e A,B e C nao todos nulos.As tres formas de conica nao degeneradas sao elipses, parabolas e

hiperbolees. Uma conica nao degenerada e uma

hiperbole se B2 4AC > 0, parabola se B2 4AC = 0, elipse se B2 4AC < 0.

O numero = B2 4AC e chamado de discriminante da conica.O proximo resultado mostra a grande diferenca entre as geome-

trias Euclidiana e afim.

Proposicao 4.6. Temos as seguintes congruencias:

1. Qualquer elipse e afim-congruente ao crculo unitario centradona origem e raio dado por x2 + y2 = 1.

2. Qualquer hiperbole e afim-congruente a` hiperbole xy = 1.

3. Qualquer parabola e afim-congruente a` parabola y2 = x.

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Captulo 4. Geometria Afim: Curvas 65

Demonstracao: 1. Qualquer elipse e afim-congruente com a eli-pse na forma x

2

a2 +y2

b2 = 1, pois fazendo uma rotacao e translacaoobtemos tal forma. Agora consideremos a transformacao afim:

p : (x, y) 7(x1, y1) ,onde (

x1y1

)=(

1a 00 1b

)(xy

)da, x21 + y

21 = 1.

2. Qualquer hiperbole e afim-congruente com a hiperbole na formax2

a2 y2

b2 = 1, pois fazendo uma rotacao e translacao obtemostal forma. Agora consideremos a transformacao afim:

p1 : (x, y) 7 (x1, y1),onde (

x1y1

)=(

1a 00 1b

)(xy

)assim, x21 y21 = 1 = (x1 y1)(x1 + y1) = 1. Finalmente, apli-cando a transformacao afim p2 : (x1, y1) 7(x2, y2) , sendo(

x2y2

)=(

1 11 1

)(x1y1

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Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma Introdução às Geometrias Euclidiana e Afim