Graficos e Funcoes

Gráficos e Funções

Alex Oliveira

Daone Silva

Noção de Função

O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Vejamos alguns exemplos:

o Número de litros de gasolina e preço a pagar.

Nesse caso, temos:

P = 2,30x, lei da função ou fórmula matemática da função.

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Números de litros Preço a pagar

1 2,30

2 4,60

3 6,90

x 2,30x

Noção de Função

o A distância percorrida em função do tempo.

Teremos:

D = 90t, lei da função ou equação da função.

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Tempo(h) 1 2 3 t

Distância(km) 90 180 270 90t

Noção de Função

o A máquina de dobrar

o Nesse caso, temos:O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x.

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DobrarEntrada Saída123

3,55x

2467

102x

Noção de Função

Observe que em ambos os casos, o preço apagar e a distância percorrida sãodeterminados em função do número delitros e do tempo, respectivamente. Onde:

o P = 2,30x

P é a variável dependente.

x é a variável independente.

o D = 90t

D é a variável dependente.

t é a variável independente.

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Vamos praticar...

Um cabeleireiro cobra R$12,00 pelo corte para clientes comhora marcada e R$10,00 sem hora marcada. Ele sempre atendepor dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e umcerto número variável de clientes sem hora marcada. Qual a leique fornece a quantia Q arrecadada por dia em função de x.

RESPOSTA: Como o cabeleireiro trabalha com um número fixo de 6clientes com hora marcada por dia e cada cliente desse tipo paga R$12,00pelo serviço, há uma arrecadação fixa de R$72,00 (resultado damultiplicação de 6 por R$12,00). De maneira semelhante, para cada xclientes sem hora marcada atendidos, como cada um paga R$10,00, elearrecada 10x (resultado da multiplicação de x por R$10,00). Perceba queessa última quantia arrecadada é variável, pois depende do número declientes atendidos sem hora marcada. Portanto, se chamarmos de Q aquantia total arrecadada, a lei da função que representa a quantiaarrecadada em relação a um certo número x de clientes sem hora marcadaé obtida pela soma das quantias variável e fixa, ou seja:

Q = 10x + 72

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Vamos praticar...

• Qual a quantia arrecadada num dia em

que foram atendidos 16 clientes?

Q = 10.10 + 12.6 Q = 100 + 72 Q = 172

A quantia arrecadada neste dia foi R$172,00.

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Vamos praticar...

• Qual foi o número de clientes atendidos numdia em que foram arrecadados R$212,00?

O x representa a quantidade de clientes sem horamarcada, logo o número de clientes atendidos seráa quantidade fixa de clientes com hora marcadamais a quantidade de clientes sem hora marcada.

212 = 10x + 72 10x = 212 - 72 10x = 140

x = 140/10 x = 14 (quatorze sem hora marcada)

C = 14 + 6 C = 20

20 clientes no total foram atendidos nesse dia.

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Noção de função em conjuntos

Vejamos a noção de função junto à nomenclatura deconjuntos. Exemplo:

• Dados A e B, usando o diagrama de flechas devemos associarcada elemento de A a seu triplo em B.

Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa por y = 3x.

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-1.

0.

1.

2.

. -6

. -3

. 0

.3

.6

x A y B

-1 -3

0 0

1 3

2 6

A B

Noção de função em conjuntos

Observa-se que para que tenhamos uma

função de A em B:

• Todos os elementos de A têm correspondentes

em B;

• A cada elemento de A corresponde um único

elemento em B.

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Vamos praticar...

Dados os conjuntos A e B, determine quais representamuma função de A em B.

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0.

4.

.2

. 3

.5

A B

2.

5.

10.

20.

. 1

. 0

. 2

A B-2.

-1.

0.

1.

2.

. 0

. 1

. 4

.8

.16

A B

Vamos praticar...

Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:

o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.

o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Observamos que há elementos em B que tem 2correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,temos uma função de A em B.

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-2.

-1.

0.

1.

2.

. 0

. 1

. 4

.8

.16

A B

Vamos praticar...

Trataremos o diagrama de flechas abaixo:

o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.

o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Observamos que há um elemento em B que tem 3correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,temos uma função de A em B.

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2.

5.

10.

20.

. 1

. 0

. 2

A B

Vamos praticar...

Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:

o Observamos que para os elemento de A, há umcorrespondente em B.

o Entretanto, há um elemento de A que corresponde amais de um único elemento de B. Sendo assim,essa característica NÃO permite existir uma função deA em B.

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0.

4.

.2

. 3

.5

A B

Vamos praticar...

Podemos concluir então que:

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2.

5.

10.

20.

. 1

. 0

. 2

A B-2.

-1.

0.

1.

2.

. 0

. 1

. 4

.8

.16

A B

É uma função É uma função

0.

4.

.2

. 3

.5

A B

Não é uma função

Domínio

Dada uma função f de A em B, o conjunto Achama-se domínio da função, pois representaas entradas para a função f. Ou seja, osvalores que podem ser usados na função. Odomínio da função indicaremos por D(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

A B

Contradomínio

Dada uma função f de A em B, o conjunto B chama-secontradomínio da função, pois representa as possíveissaídas para a função f. Ou seja, os possíveisresultados para quando aplicamos um valor do x dodomínio na função. O contradomínio da funçãoindicaremos por CD(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

.1

.3

.5

A B

Imagem

Dada uma função f de A em B, o conjunto de todosos valores de y obtidos através de x é chamado deconjunto imagem da função f. Ou seja, ele é oresultado de f(x), que representa os valores reaisobtidos quando aplicamos um x do domínio nafunção e é indicado por Im(f).

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0.

1.

2.

3.

.0

.2

.4

.6

A B

.1

.3

.5

Componentes de uma função

Para caracterizar uma função é necessário

conhecer seus três componentes: o domínio

A, o contradomínio B e a regra que associa

cada elemento de A apenas a um único

elemento y = f(x) de B.

Nos dados anteriores, o domínio é A = {0; 1;

2; 3}, o contradomínio é B = {0; 1; 2; 3; 4; 5;

6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto

imagem é dado por Im(f) = {0; 2; 4; 6}.

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Vamos praticar...

Considere g uma função de A em B, para aqual A = {1; 3; 4}, B = {3; 9; 12} e g(x) é o triplode x para todos x A.

• Construa o diagrama de flechas da função;

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1.

3.

4.

.3

.9

.12

A B

Vamos praticar...

• Determine D(g), CD(g) e Im(g);o De acordo com o diagrama de flechas dado, o conjunto A representa o

conjunto de todos os valores reais de x que podem ser aplicados nafunção, caracterizando-se assim o domínio. Logo, D(g) = {1; 3; 4}.

o De forma semelhante, o conjunto B representa o conjunto de todos ospossíveis valores que podem ser resultados da aplicação de x nafunção, caracterizando-se assim o contradomínio. Logo, CD(g) = {3; 9;12}.

o Obtemos o conjunto imagem através da aplicação dos valores de x dodomínio da função em g. Como g(x) = 3x, aplicando:o x = 1, g(1) = 3.1 g(1) = 3

o x = 3, g(3) = 3.3 g(3) = 9

o x = 4, g(4) = 3.4 g(4) = 12

Assim, Im(g) = {3; 9; 12}

Perceba que, neste caso, o conjunto imagem da função é igual aocontradomínio. Isto nem sempre é verdadeiro, apenas em casos especiaiscomo este!

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Vamos praticar...

• Determine g(3);

Como g(x) = 3x, então para g(3), usa-se x = 3,

pois o 3 representa o valor que substituirá x,

assim:

g(3) = 3.3 g(3) = 9

• Determine x para o qual g(x) = 12.

Como g(x) = 3x, e segundo o enunciado para

g(x) utilizaremos 12, então:

g(x) = 3x 12 = 3x x = 12/3 x = 4

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Funções definidas por fórmulas

• No início vimos uma correspondência

entre o número de litros e o preço a pagar

expressa por:

P = 2,30x

• Essa função pode ser expressa pela

fórmula matemática:

y = 2,30x ou f(x) = 2,30x

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Funções definidas por fórmulas

Numa indústria, o custo operacional de umamercadoria é composto de um custo fixo deR$300,00 mais um custo variável de R$0,50 porunidade fabricada. Vamos expressar, por meio deuma fórmula matemática, a função do custooperacional.o Seja f(x) o custo operacional de uma mercadoria e x o

número de unidades fabricadas. Como a indústriacobra um custo de R$0,50 por unidade fabricada, ocusto para x unidades fabricadas é 0,50x (o produto).Ela também cobra uma custo fixo de R$300,00 nafabricação. Assim, o custo operacional é dado somada parte variável com a fixa, f(x) = 0,50x + 300.

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Vamos praticar...

Uma firma que conserta televisores cobra umataxa fixa de R$40,00 de visita e mais R$20,00,por hora de mão de obra. Então o preço que sedeve pagar pelo conserto de um televisor édado em função do número de horas detrabalho. Determine essa função.

o Seja f(x) o preço a ser pago pelo conserto do televisor ex o número de horas trabalhadas. Como a firma cobraR$20,00 por hora trabalhada, o custo para x horastrabalhadas é de 20x (o produto). Há também uma taxafixa de R$40,00 de visita. Logo, o custo total é dado pelasoma da parte variável com a fixa, f(x) = 20x + 40

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Vamos praticar...

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Vamos praticar...

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Domínio de uma função real

Vimos que em uma função há três

componentes: domínio, contradomínio e

lei da função.

Às vezes, porém, é dada somente a lei da

função, sem que A e B sejam citados. Assim

para que possamos usar algum valor na

função é necessário saber se ele pertence

ao domínio da função.

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Domínio de uma função real

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Domínio de uma função real

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Domínio de uma função real

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Domínio de uma função real

• Devemos considerar o intervalo que satisfaz aambas ao mesmo tempo. Então faremos aintersecção de x 7 e x 2.

• Assim, teremos como domínio o intervalo (2, 7] ou 2 x 7.

• Logo, D(f) = {x R | 2 x 7}

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7

2

2 7

Vamos praticar...

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Vamos praticar...

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Vamos praticar...

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2

3

2 3

Para que serve mesmo o domínio de uma função?

Como vimos o domínio de uma função representa asentradas para a função, ou seja, os valores que podem serusados na função. Façamos um paralelo entre essadefinição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo:

Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmosx como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornaum resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte dodomínio da função (liquidificador).

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Para que serve mesmo o domínio de uma função?

Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a

função liquidificador não poderá processar

esse x (pedra), NÃO sendo possível obter

f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte

do domínio da função (liquidificador).

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Para que serve mesmo o domínio de uma função?

Concluímos então que, o domínio de uma

função serve para sabermos que

valores x podem ser usados na

função f para obtermos f(x).

Exercendo, assim, uma importância

fundamental no estudo de funções.

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Gráfico de uma função

• Em livros, revistas e jornais frequentemente

encontramos gráficos e tabelas que

procuram retratar uma determinada

situação.

• Esses gráficos e tabelas, em geral,

representam FUNÇÕES, e por meio deles

podemos obter informações sobre a

situação que retratam, bem como sobre as

funções que representam.

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Gráfico de uma função: Definições

1. O Gráfico facilita à análise de dados,

que, muitas vezes, estão dispostos em

planilhas ou tabelas complexas.

2. Gráficos, consiste em recursos visuais

que facilitam a compreensão dos dados

expostos.

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Gráfico de uma função

• O gráfico de uma função auxilia na análise

da variação de duas (ou mais) grandezas

quando uma depende da outra.

• Analisemos o gráfico a seguir um gráfico

que mostra pontos de consumo de água

em uma residência (em porcentagem).

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Analisando gráficos

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Analisando gráficos

Analisando o gráfico, vemos que:

• O lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água;

• A bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o tanque;

• A bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água;

• Desta lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água.

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Vamos Praticar?

(Adaptado de Enem 2007) Explosões solares emitem

radiações eletromagnéticas muito intensas e ejetam,

para o espaço, partículas carregadas de alta energia,

o que provoca efeitos danosos na Terra. O gráfico

seguinte mostra o tempo transcorrido desde a

primeira detecção de uma explosão solar até a

chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus

respectivos efeitos na Terra.

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Vamos Praticar?

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Vamos Praticar?

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Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a

perturbação por ondas de rádio geradas em uma

explosão solar:

a) dura mais que uma tempestade magnética.

b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar.

c) chega à Terra depois da perturbação por raios X.

d) tem duração maior que a da perturbação por

raios X.

Resolução

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FALSA! Podemos perceber que a duração T das ondas

de rádio é tal que 1min<T<10h e a tempestade magnética

tem duração de, aproximadamente, dez dias.

Duração inferior à 10 h Duração de, aproximadamente10 dias

a)

Resolução

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Percebe-se, que este item ressalta a necessidade

de sabermos analisar gráficos que NÃO ESTÃO EM

ESCALA, deixando assim de confiarmos apenas na

nossa percepção visual de comprimento, e

passando analisar cuidadosamente todas as

informações de um gráfico!

ATENÇÃO!

Resolução

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Diferença na Chegada é um pouco maior que 1 dia!

FALSA! Pelo esquema acima, analisando cuidadosamente o

eixo horizontal do gráfico percebemos que as perturbações

por ondas de rádio chegam na Terra, aproximadamente, um

dia antes do plasma solar.

b)

Resolução

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Diferença na Chegada é menor que 1 minuto!

FALSA! Pode-se perceber pelo esquema acima

que as perturbações por ondas de rádio e de raios

X chegam, praticamente, simultaneamente à Terra.

c)

Resolução

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d) VERDADEIRA. Percebam que a perturbação por raio X tem

duração de pouco mais de dez minutos, enquanto as

perturbações por ondas de raio dura algumas horas.

d)

Duração de pouco mais de 10 min.

Duração superior à 1h.

Coordenadas cartesianas

• A notação (a,b) é usada para indicar o par

ordenado de números reais a e b, no qual o

número a é a primeira coordenada e o

número b é a segunda coordenada.

• Observe que os pares ordenados (3;4) e

(4;3) são diferentes, pois a primeira

coordenada de (3;4) é 3, enquanto a

primeira coordenada de (4;3) é 4.

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Sistema de Eixos Ortogonais

• Um sistema de eixos ortogonais é

constituído por dois eixos perpendiculares,

Ox e Oy, que têm a mesma origem O.

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Sistema de Eixos Ortogonais

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Sistema de Eixos Ortogonais

• Damos o nome de plano cartesiano a um

plano munido de um sistema de eixos

ortogonais.

• Os eixos ortogonais dividem o plano

cartesiano em quatro regiões chamadas

quadrantes. A figura a seguir ilustra melhor a

noção de quadrante.

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Sistema de Eixos Ortogonais

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Sistema de Eixos Ortogonais

• Usamos esse sistema para localizar pontos

no plano. Dado um ponto P desse plano,

dizemos que os números a e b são as

coordenadas cartesianas do ponto P, em

que a é a abscissa e b é a ordenada.

• Por exemplo, vamos localizar em um plano

cartesiano os pontos A(4;1), B(1;4), C(-2;-3),

D(2;-2), E(-1;0).

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Sistema de Eixos Ortogonais

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Construção de Gráficos de Funções

Para construirmos o gráfico de uma função

dada por y=f(x), com x ϵ D(f), no plano

cartesiano devemos:

1. Construir uma tabela com valores de x e y;

2. A cada par ordenado da tabela associar um

ponto do plano cartesiano;

3. Marcar o número suficiente de pontos, até

que seja possível esboçar o gráfico da

função.

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Exemplos

Vamos construir o gráfico da função dada por f(x)

= 2x+1, sendo o domínio D=(0,1,2,3,4).

Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para

termos uma noção do comportamento da função.

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x y = f(x)

0 1

1 3

2 5

3 7

4 9

Exemplos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 61

• Diante dos valoresda tabela podemosconstruir o gráficode f (gráfico aolado).

Exemplos

Vamos construir o gráfico da função dada porf(x) = 2x+1, sendo o domínio D = IR.

Façamos uma tabelados valores de x e f(x),para termos uma noção do comportamento dafunção.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 62

x y=f(x)

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

Exemplos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 63

• Diante dos valoresda tabela podemosconstruir o gráficode f (gráfico aolado).

Construção de Gráficos de Funções

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 64

R= Os domínios são diferentes

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 65

Vamos Praticar?

(Enem 2007. Adaptado) O gráfico da página

seguinte, obtido a partir de dados do Ministério

do Meio Ambiente, mostra o crescimento do

número de espécies da fauna brasileira

ameaçadas de extinção.

Se mantida, pelos próximos anos, a tendência

de crescimento mostrada neste gráfico, o

número de espécies ameaçadas de extinção em

2011 será igual a:

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Vamos Praticar?

a) 465.

b) 493.

c) 498.

d) 538.

e) 699.

Alternativas:

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Resposta

Se observarmos o comportamento do gráfico,

notaremos que este pode ser modelado por uma

função do 1º grau, da forma f(x) = ax+b.

Admitindo f(x) como o número de espécies

ameaçadas de extinção, e x como seus

respectivos anos. Podemos escrever a equação

da reta que passa por dois pontos: P1(1983;239)

e P2(2007;461).

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Resposta

A partir destes dados podemos formar um

sistema de equações. Como f(x) = ax+b.

L1

L2

Vamos resolver este sistema 2X2:

L2 = L2 - L1 222=24a a=9,25

ba

ba

2007461

1983239

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Resposta

Como já descobrimos o valor de a, podemos

encontrar, facilmente, o valor de b:

L1 239=1983*9,25+b b = - 18103,75

Desta forma a função que procurávamos é:

f(x)=9,25x-18103,75.

Basta descobrir o valor de f(2011):

f(2011) = 9,25*2011-18103,75 = 498

Logo a alternativa correta é a C

Função Crescente e Decrescente

De modo geral, analisando o gráfico de uma

função, podemos observar propriedades

importantes dela, tais como:

1. Onde ela é positiva (f(x)>0), onde ela é

negativa (f(x)<0) e onde ela se anula

(f(x)=0). Os valores de x nos quais ela se

anula (f(x)=0) são chamados de zero da

função f.

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Função Crescente e Decrescente

2. Onde ela é crescente (se x1<x2, então

f(x1)<f(x2)), onde ela é Decrescente (se

x1<x2, então f(x1)>f(x2)) e onde ela assume

um valor máximo ou um mínimo, se

existirem. Por exemplo, vamos considerar

o gráfico seguinte e analisá-lo no intervalo

(-6, 6).

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Função Crescente e Decrescente

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 72

Analisando o Gráfico

f é positiva em (-5,-1) e em (5,6);

f é negativa em (-6,-5) e em (-1,5);

f é nula em x=-5, x=-1 e x=5. Esses são os zerosda função

f é crescente em (-6,-3] e em [2,6);

f é decrescente em [-3,2];

O ponto com x=-3 é um ponto de máximo e f(x)=2 éo valor máximo de f;

O ponto com x=2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3é o valor mínimo de f.

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Vamos Praticar?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 74

• Um rapaz desafia seu pai para uma

corrida de 100m. O pai permite que o filho

comece 30 m à sua frente. Um gráfico

bastante simplificado dessa corrida é dado

a seguir:

Vamos Praticar?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 75

Vamos Praticar?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 76

• Pelo gráfico, quem ganhou a corrida e

qual foi a diferença de tempo?

Esta linha verde representa a corrida garoto, pois no tempo inicial a distância vale 30m

O pai chegou, aproximadamente, 14s após a largada

O garoto chegou, aproximadamente, 17s após a largada

R= Portanto o Pai

Ganhou a corrida com

3s de diferença!

Vamos Praticar?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 77

• A que distância do início o pai alcançou

seu filho?

70m

R= Como a ordenada do

ponto de intersecção

vale 70 m, logo o pai

ultrapassou o garoto

nesta distância.

Vamos Praticar?

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 78

• Em que momento depois do início da

corrida ocorreu a ultrapassagem?

10s

R= Como a abscissa do

ponto de intersecção

vale 10s, logo o pai

ultrapassou o garoto

neste momento.

Referências

• DANTE, L. R. Matemática: Ensino Médio. 1.ed. São Paulo:Ática, 2004.

• NIEDERAUER,J.Z. Funções. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/zips/funcoes1.zip>. Acessoem:19 maio 2012.

_______. Função. Disponível em: < http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx >. Acesso em:19 maio 2012.

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OBRIGADO!

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