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Harmônicas: Conceitos e Definições
Prof. Origa
www.feis.unesp.br/laqee
Conteúdo
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Harmônicas?
Harmônicas (Conceitos e Definições)
www.feis.unesp.br/laqee
Distorções Harmônicas são fenômenos associados com deformações nas
formas de onda das tensões e correntes em relação à onda senoidal.
Parâmetros idealizados:
Harmônicas (Conceitos e Definições)
www.feis.unesp.br/laqee Rede de distribuição com 12000 consumidores
Harmônicas (Constatações)
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Composição Harmônica de um Sinal
Uma analogia sonora ...
ACORDE: sinal composto
acorde é composto por NOTAS MUSICAIS
(Sinal elétrico)
(Componentes harmônicas do sinal elétrico)
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Cálculo das Componentes Harmônicas
Teorema de Fourier:
2
11
h
hho φth.senFφωtsenFFF(t)
F0 - componente constante;
F1, φ1- amplitude e ângulo de fase da componente fundamental;
Fh, φh- amplitude e ângulo de fase da h-ésima componente harmônica.
1768 to 1830
harmônicas
fundamental
função contínua e periódica pode ser representada por um somatório de
componentes senoidais e uma componente constante (1822).
(Mesma frequência do sinal original)
(frequências múltiplas do sinal original)
sinal original
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Análise Harmônica do Sinal
Determinação das amplitudes e fases das componentes senoidais (fundamental e harmônicas)
Determinação da amplitude da componentes contínua
)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh
h
h
1
0
h
h
hh thsenFAtF1
0 )()( h - ordem harmônica
22
hhh BAF )BA(tg hhh
1
Polar
Cartesiana
Relações:
Parâmetros
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dtthsenBthAdtAdttF
t
t
t
t
t
t
h
h
hh .)()cos(.).(1
0
t
t
o dttFA ).(1
)]()cos([)(1
0 thsenBthAAtF hh
h
h
Definição:
Tem-se:
Componente Constante: Ao
Análise Harmônica do Sinal
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Tt
t
h
h
hh
Tt
t
dt.)thcos().th(senB)th(cosAdt).thcos(A1
2
0
Multiplicando por cos(ht ) e integrando no período (T), tem-se:
t
t
dt).thcos().t(F
)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh
h
h
1
0Definição:
00 Tt
t
dt).thcos(A Primeiro termo:
Análise Harmônica do Sinal
Coeficiente: Ah
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t
t
h )t(d).thcos().t(FA 2
Tt
t
h
Tt
t
h
Tt
t
h dt.A
dt).th(sen(A
dt).th(cosA2
212
2
Tt
t
h dt).thcos().th(senB
t)nm(sent)nm(sen)tncos().tm(sen 2
1
02
1
dt.t)nmcos(t)nm(sen
Tt
t
)tn(sen)tncos().tn(sen 22
1
Terceiro termo:
Segundo termo:
m≠n:
m=n: 022
1
dt.)tn(sen
Tt
t
T.A
dt).thcos().t(F h
t
t2
então:
Análise Harmônica do Sinal
Coeficiente: Ah
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t
t
h )t(d).t.h(sen).t(F.B 2
t
t
dt).th(sen).t(F
Tt
t
h
h
hh
Tt
t
dt.)thcos().th(senA)th(senBdt).th(senA1
2
0
Multiplicando por sen(ht ) e integrando no período (T), tem-se:
)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh
h
h
1
0Definição:
Analogamente:
Análise Harmônica do Sinal
Coeficiente: Bh
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Análise Harmônica do Sinal (Resumo)
t
t
o dttFA ).(1
t
t
h tdthtFA )().cos().(2
t
t
h tdthsentFB )()..().(.2
h
h
hh thsenFAtF1
0 )()(
22
hhh BAF
)(1
hhh BAtg
Sinal original F(t) ( tensão ou corrente ):
Determinar:
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Análise Harmônica do Sinal (Propriedades)
função f(x) ímpar quando f(-x) = - f(x) função f(x) é par, quando f(-x) = f(x)
cos (-hx) = cos (hx) sin (-hx) = - sin (hx)
t
t
h )t(d).thcos().t(FA 2
t
t
h )t(d).th(sen).t(FB 2
)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh
h
h
1
0
Sabendo-se que: Ah = 0 para F(t) ímpar (série com termos em senos)
Bh = 0 para F(t) par (série com termos em cossenos)
)(1
hhh BAtg F(t) ímpar φh = 0
F(t) par φh = ± π/2
• Se f(x + π) = −f(x), só existem coeficientes de índice ímpar.
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Sinais discretos ( sistemas de medição com conversor A/D )
N
n
h )thcos().t(FN
A1
2
N
n
h )th(sen).t(FN
B1
2
N - Número de amostras no período T N
Tt
N
n
h t)thcos().t(FA1
2
N
n
h tthsentFB1
)().(2
t
t
h dtthtFA ).cos().(2
t
t
h dtthsentFB ).().(2
Análise Harmônica do Sinal
Analógico Digital
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2
2
0
2
2
0
0 .1.11
).(1
T
T T
T
dtdtT
dttFT
A
Obter as componentes harmônicas do sinal
Coeficiente: Ao
Descrição analítica:
1)( tF
-0,5 ≤ t ≤ 0
0 < t ≤ 0,5
1)( tF
0oA
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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2
0
0
2
2
2
).cos().cos(.12
)cos().(2
T
T
T
T
h dtthdtthT
dtthtFT
A
Coeficiente: Ah
2
0
0
2
)(12
)(12
T
Th thsen
hTthsen
hTA
0hA
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
)cos(12
)cos(12
).().(.12
)().(2
T
T
T
T
T
T
h
thhT
thhT
dtthsendtthsenT
dtthsentFT
B
Coeficiente: Bh
)cos(12
hh
Bh
para h ímpar
0hB para h par
hBh
4
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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...
5
)5(
3
)3()(
4)(
tsentnestsentF
Representação analítica em função das componentes harmônicas
)cos(12
hh
Bh
para h ímpar
0hB para h par
hBh
4
0hA0oA
)]th(senB)thcos(A[A)t(F hh
h
h
1
0
h
h
hh thsenFAtF1
0 )()( 22
hhh BAF
0)0(1
hh Btg
Polar
Cartesiana
hh BF
)(1
hhh BAtg
...
5
)5(
3
)3()(
4)(
tsentnestsentF
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
)(4
)( tsentf
)3
)3()((
4)(
tsentsentf
)
5
)5(
3
)3()((
4)(
tsentsentsentf
)9
)9(
7
)7(
5
)5(
3
)3()((
4)(
tsentsentsentsentsentf
Recomposição do sinal:
...
7
)7(
5
)5(
3
)3()(
4)(
tsentsentnestsentF
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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Sinal Composto
...
7
)7(
5
)5(
3
)3()(
4)(
tsentsentnestsentF
Espectro harmônico
% F
un
da
men
tal
h – ordem harmônica
Representação do sinal :
Cálculo das Componentes Harmônicas -01
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Obter as componentes harmônicas do sinal de tensão
mm
VdtdttsenVV
0
/2
0 .0).(2
2T
t
t
o dttvV ).(1
Descrição analítica:
)t(senV)t(v m
0)( tv
0 ≤ t ≤ π/ω
π/ω < t ≤ 2π/ω
Componente média:
Cálculo das Componentes Harmônicas -02
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00
112
dt.t)h(sent)h(senV
dt).thcos()t(senVA mmh
02
2
22
2 000
1
tcosVdt.tsen
Vdt).tcos()t(senVA mm
m
2
)ba(sen)ba(sen)bcos()a(sen
para h ímpar e h≠1 0hA
)1).(1(
4
2 hh
VA m
h
para h par
para h=1
)h(
)hcos(
)h(
)hcos(VA m
h1
11
1
11
2
01
1
1
1
2
)h(
t)hcos(
)h(
t)hcos(VA m
h
t
t
h tdthtFA )().cos().(2
Componente Ah:
Cálculo das Componentes Harmônicas -02
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00
112
dt.t)hcos(t)hcos(V
dt).th(sen)t(senVB mmh
2
)bacos()bacos()b(sen)a(sen
0
1
1
1
1
2
)h(
t)h(sen
)h(
t)h(senVB m
h
01
1
1
1
2
)h(
)h(sen
)h(
)h(senVB m
h
22
2
221
2 000
1mmm
m
Vtsent
Vdt.tcos
Vdt).t(sen)t(senVB
t
t
h tdthsentFB )().().(2
para h=1
para h≠1
Componente Bh:
Cálculo das Componentes Harmônicas -02
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)1).(1(
2
hh
VA m
h
(para h par)
21
mVB
mV
V 0
)]()cos([)(1
0 thsenBthAVtv hh
h
h
máxNh
h
mmm )th(cos)h(
V)t(sen
VV)t(v
22 1
12
2
...)t(cosV
)t(cosV
)t(cosV
)t(senVV
)t(v mmmmm
635
24
15
22
3
2
2
...)tsen(6V
)tsen(4V
)tsen(V
)t(senVV
)t(v mmmmm 235
22
15
222
3
2
2
h
h
hh thsenFAtF1
0 )()( 22
hhh BAF )BA(tg hhh
1
Composição:
Resultados obtidos:
Então:
Cálculo das Componentes Harmônicas -02
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)t(senVV
)t(v mm 2
)t(senV
)t(senVV
)t(v mmm
22
3
2
2
)t(senV
)t(senV
)t(senVV
)t(v mmmm
24
15
2
22
3
2
2
)t(sen
V)t(sen
V)t(sen
V)t(sen
VV)t(v mmmmm
26
35
2
24
15
2
22
3
2
2
Recomposição do sinal:
...)2sen(635
2)2sen(4
15
2)22sen(
3
2)(
2)(
t
Vt
Vt
Vtsen
VVtv mmmmm
Cálculo das Componentes Harmônicas -02
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Valor eficaz (RMS - Root Mean Square) de sinal variável e periódico de tensão ou corrente:
É o valor constante equivalente associado mesma quantidade de potência em uma carga.
0
2
0 0
2 .)(..1
..1
dttsenIR
dtiRdtivP mca
2
0 0
211RIdt.I.Rdt.I.VPcc
ccca PP
22
211
0
2
0
2 mmmrms
Idt.
)tcos(Idt.)tsenI(I
Valor Eficaz de um Sinal Não Senoidal
2
2
0
2 ..)(1
. rmsmca IRdttsenIRP
constante
senoidal
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0
21dtiI rms
1
22
0
1
22
0 )(2 h
RMS
h
h
hrms VV
VVV
Equipamentos de Medida
Valor Eficaz de um Sinal Não Senoidal
h
h
hh thsenIIti1
0 )()(
1
22
0
1
22
0
1
2
2
0 )(22 h
RMS
h
h
h
h
hrms II
II
III
periódica
analogamente
Valor eficaz
verdadeiro
( True – rms )
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Quantificação das Componentes Harmônicas
Define-se:
Valor eficaz do sinal :
Sinal elétrico genérico :
Distorção harmônica individual :
Distorção harmônica total :
h
h
hh thsenFAtF1
0 )()(
100.(%)1F
FDI h
100.(%)1
2
2max
F
F
DT
h
h
h
1
22
02h
hrms
FFF
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Componentes Simétricas ( revisão )
2
1
0
2
2
1
1
111
a
a
a
c
b
a
F
F
F
.
αα
αα
F
F
F
Teorema de Fortescue ( Componentes simétricas ):
c
b
a
a
a
a
F
F
F
.
αα
αα
F
F
F
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
Em relação a Fase A:
Matricial: 012abc TFF
abc012 FTF1
Um sistema trifásicos desequilibrados pode ser representado por três sistemas equilibrados com diferentes
sequencias de fases.
210 aaaa FFFF
210 FFFF bbbb
210 cccc FFFF
21
2
0 aaab FαFαFF 2
2
10 aaac FαFαFF 210 aaaa F F FF o1201
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Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
)32()(
)32()(
)0()(
11
11
11
tsenFtF
tsenFtF
tsenFtF
C
B
A
)322(
)322(
)02(
22
22
22
tsenF
tsenF
tsenF
)03(
)03(
)03(
33
33
33
tsenF
tsenF
tsenF
)324(
)324(
)04(
44
44
44
tsenF
tsenF
tsenF
...)325(
...)325(
...)05(
55
55
55
tsenF
tsenF
tsenF
Seq. 1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h
Positiva √ √ √
Negativa √ √ √
Zero √ √ √
Distribuição Sequencial:
Sinal trifásico:
h
h
hhA thsenFtF1
)0()(
h
h
hhB thsenFtF1
)3/2()(
h
h
hhC thsenFtF1
)3/2()(
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• Valor RMS por fase e no neutro
• DT(%) e DI(%) por fase
• Distribuição sequencial das harmônicas
h FA(pu) ΦA(O) FB(pu) ΦB(O) FC(pu) ΦC(O)
1 1,84 9,54 1,85 -111,6 1,86 129,2
3 1,26 -157,0 1,24 -159,3 1,28 -158,9
4 0,08 57,1 0,03 83,9 0,01 -2,5
5 0,49 26,4 0,45 148,8 0,48 -90,8
7 0,13 122,1 0,12 -35,3 0,11 -124,2
9 0,17 -105,3 0,20 -97,1 0,24 -95,1 Valores de pico das componentes harmônicas
Sinal trifásico:
Obter:
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
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1
2
2h
hrms
FF
Valores eficazes de distorções harmônicas totais
FA(A) FB(A) FC(A)
RMS (A) 1,62 1,62 1,64
1
22
02h
hrms
FFF
A,,,,,,,F A
rms 62311701304900802618412
1 222222
A,F C
rms 6431
Valor eficaz na fase A:
Valor eficaz na fase B:
Valor eficaz na fase C:
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
A,,,,,,,F B
rms 61512001204500302418512
1 222222
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ChBhAhNh FFFF
Corrente no Neutro (pico):
Corrente no neutro fund. (h=1): A,,,,,,,F oooo
N 0,148050212986161118515498411
Corrente no neutro (h=3):
Corrente no neutro (h=4):
Corrente no neutro (h=5):
A,,,,F oooo
N 4158779,39,1582813,1592410,1572613
AF oooo
N 6,59112,05,201,09,8303,01,5708,04
AF oooo
N 5,31055,08,9048,08,14845,04,2649,05
Corrente no neutro (h=7):
Corrente no neutro (h=9):
AF oooo
N 3,123060,02,12411,03,3512,01,12213,07
AF oooo
N 6,98608,01,9524,01,9720,03,10517,09
h Pico (A) Fase (graus)
1 0,050 148,0
3 3,779 -158,4
4 0,112 59,6
5 0,055 -31,5
7 0,060 -123,3
9 0,608 -98,6
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
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H Neutro (A)
1 0,05
3 3,78
4 0,11
5 0,06
7 0,06
9 0,61
RMS(A) 2,71
Correntes no Neutro e nas Fases (RMS):
2,71 A
1,62 A
1,62 A
1,64 A
FA(A) FB(A) FC(A)
RMS (A) 1,62 1,62 1,64
1
2
2h
hrms
FF
Componentes de sequencia zero
Componentes de sequencias positiva e negativas
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
A,,,,,F N
rms 71,261006006011078305,02
1 222222
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100.(%)1F
FDI h
H DIA(%) DIB(%) DIC(%)
1 100,0 100,0 100,0
3 68,5 67,0 68,8
4 4,3 1,6 0,5
5 26,6 24,3 25,8
7 7,1 6,5 5,9
9 9,2 10,8 12,9
Distorções harmônicas individuais
%5,68100.84,1
26,1(%) ADIDI(%) (h=3):
DI(%) (h=4):
DI(%) (h=5):
DI(%) (h=7):
DI(%) (h=9):
%0,67100.85,1
24,1(%) BDI %8,68100.
86,1
28,1(%) CDI
%3,4100.84,1
08,0(%) ADI %6,1100.
85,1
03,0(%) BDI %5,0100.
86,1
01,0(%) CDI
%6,26100.84,1
49,0(%) ADI %3,24100.
85,1
45,0(%) BDI %8,25100.
86,1
48,0(%) CDI
%1,7100.84,1
13,0(%) ADI %5,6100.
85,1
12,0(%) BDI %9,5100.
86,1
11,0(%) CDI
%2,9100.84,1
17,0(%) ADI %8,10100.
85,1
20,0(%) BDI %9,12100.
86,1
24,0(%) CDI
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
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DTA(%) DTB(%) DTC(%)
74,5 72,4 74,9
Distorções harmônicas totais
100.(%)1
2
2max
F
F
DT
h
h
h
Distorção harmônica total na fase A (%): %5,74100.84,1
17,013,049,008,026,1(%)
22222
ADT
Distorção harmônica total na fase B (%): %4,72100.85,1
20,012,045,003,024,1(%)
22222
BDT
Distorção harmônica total na fase C (%): %9,74100.86,1
24,011,048,001,028,1(%)
22222
CDT
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
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Componentes simétricas
c
b
a
a
a
a
F
F
F
.
αα
αα
F
F
F
2
2
2
1
0
1
1
111
3
1
A,,,,,,,FF oooo
oao 0,148020)21298616111851549841(3
1
A,,,,,,FF oooooo
a 9,8885,1)1201.21298611201.6111851549841(3
11
h Fo φo F+ φ+ F- φ-
1 0,02 148,0 1,85 -88,9 0,01 72,9
3 1,26 -158,4 0,00 -20,4 0,03 -63,1
4 0,04 59,6 0,02 77,7 0,03 42,8
5 0,02 -31,5 0,01 91,0 0,47 28,1
7 0,02 -123,3 0,12 20,9 0,03 142,8
9 0,20 -98,6 0,03 -167,9 0,02 77,0
A,,,,,,FF oooooo
a 9,7201,0)1201.21298611201.6111851549841(3
12
Componentes sequencias da fundamental (h=1):
Componentes sequencias para (h=3):
A,,,,,FF oooo
oao 4,15826,1)915828131592410,157261(3
1
A,,,,,FF oooo
a 4,2000,0)1201.91582811201.31592410,157261(3
11
A,,,,,FF oooo
a 1,6303,0)1201.91582811201.31592410,157261(3
12
Repetir processo de cálculo para as demais componentes harmônicas (h=4; h=5;h=7;h=9):
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
www.feis.unesp.br/laqee
Conjunto de retificadores de onda completa com filtro capacitivo.
Concentração sequencial
Correntes de alimentação
Ir=1,62A
Is=1,61A
It=1,65A
DHTr=75%
DHTs=73%
DHTt=75%
Harmônicas em Sistemas Trifásicos Simétricos
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