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III Workshop de Álgebra da UFG – CAC Sobre homomorfismos de aneis
Fabíola Ribeiro Borges - fabiolaerogerio@hotmail.com
Wagner Santana dos Santos- wagner-go@hotmail.com
Igor dos Santos Lima (Orientador) - igor.matematico@gmail.com
Resumo
O presente trabalho visa discutir alguns conceitos sobre
homomorfismos de aneis, demonstrar algumas de suas propriedades e
dar uma demonstração do Primeiro Teorema do Isomorfismo para
aneis. Tais conceitos são considerados fundamentais no estudo da
Teoria de Galois. Este trabalho é parte do estudo de teoria de aneis na
disciplina de Álgebra II cursada este semestre.
Preliminares
Definição: Sejam (A, +, • ) e (B , +, •) aneis. A função f : A → B é um homomorfismo de aneis se, e somente se:
∀ a, b ∈ A f ( a + b ) = f( a ) + f ( b );
∀ a, b ∈ A f ( ab ) = f (a) f (b).
Exemplos: Para quaisquer aneis (A, +, • ) e (B , +, • ), a aplicação, f : A
→ B, f (x) = 0b ∈ A é um homomorfismo de aneis, visto que:
f (a + b) = 0B = 0B + 0B = f(a) + f(b);
f (ab) = 0B = 0B0B = f(a)f(b).
Proposições:
1) Sejam dois aneis A e B, e f : A → B um homomorfismo de aneis,
então temos que:
f (0A) = 0B
f (- a) = - f (a)
f (a - b) = f (a) – f(b)
Essas propriedades são válidas pelo fato de que f é um homomorfismo
do grupo aditivo A no grupo aditivo B.
2) Se f : A → B é homomorfismo sobrejetivo de aneis e supondo que A
possua unidade, tem-se que:
f (1A) é a unidade de B.
Demonstração
∀ b ∈ B, como f é sobrejetora, tem-se que b = f (a), para algum a ∈ A.
Logo:
b · f (1A) = f (a)f(1A) = f (a ·1A) = f(a) = b.
De maneira análoga temos que f (1A) · b = b, portanto f (1A) é unidade
de B.
Se a ∈ A é inversível, então f (a) também o é com (f (a))-1 = f (a-1).
Demonstração
f (a)f(a-1) = f(a · a-1) = f(1A) = 1B
f (a-1)f(a) = f(a-1 · a) = f(1A) = 1B
Logo, f (a-1) = (f(a))-1
Núcleo de um homomorfismo de aneis
Definição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis. Núcleo de f ou
Ker(f) é dado pelo subconjunto de A:
Ker(f) = {x ∈ A| f(x) = 0B}.
Proposição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis, então Ker(f) é
um subanel de A.
Demonstração
Se a,b ∈ Ker(f), então f(a) = f(b) = 0B e f(a - b) = f(a) – f(b) = 0B e como
f(ab) = f(a) f(b) = 0B0B = 0B, logo a – b e ab ∈ Ker (f) e que mostra que
Ker(f) é subanel de A.
Observação: Ker(f) é um ideal de A.
Isomorfismos de aneis
Um homomorfismo de aneis f : A → B é um isomorfismo, se ele é
bijetivo.
Note que a aplicação inversa também é um isomorfismo, conforme
enunciaremos na Proposição abaixo.
Proposição: Seja f : A → B um homomorfismo de aneis.
Então f -1 : A → B também é um homomorfismo de aneis.
Demonstração
Sabemos que A e B são também grupos aditivos. Logo f : A → B
isomorfismo implica que f -1 : A → B é isomorfismo de grupo aditivo.
Resta verificar que f- -1 preserva produto, isto é,
f- -1 (cd) = f --1 (c) f- -1 (d), ∀ c, d ∈ B.
Sejam c e d ∈ B. Como é sobrejetora, existem a e b ∈ A tais que:
c = f(a) e d = f(b). Isto é, a = f -1 (c) e b = f -1(d).
Portanto,
f -1(cd) = f -1 (f(a)f(b)) = f -1(f(ab)) = ab = f-1(c) f-1(d).
Quando existe um isomorfismo entre dois aneis A e B, dizemos que eles
são isomorfos.
Notação: A ≈ B.
Um isomorfismo f : A → A é dito um automorfismo do anel A.
Proposição 3: (1º Teorema dos Isomorfismos de aneis)
Se f : A → B é um homomorfismo sobrejetivo de aneis e I = Ker(f),
então os aneis A/I e B são isomorfos. A aplicação g : A/I → B dada por
g(a + I) = f(a) é um isomorfismo.
Demonstração:
Primeiramente observarmos que se a ≡ b (mod I), ou seja, se a + I = b
+ I então a – b ∈ I e f(a - b) = 0, assim temos que f (a) = f (b). Como,
g((a + I) + (b + I)) = g((a + b) + I) = f (a + b) = f(a) + f(b) = g(a + I) +
g(b + I) e
g((a + I)(b + I)) = g( ab + I ) = f( ab ) = f( a ) f( b ) = g(a + I) g(b + I),
assim, g é um homomorfismo.
Concluindo temos, a + I ∈ Ker (g) ⇔ g(a+I) = 0 ⇔ f(a) = 0 ⇔ a ∈
I=Ker(f), assim, g é injetiva. Como Im(g) = Im(f) temos que: g: A/I →
B é um isomorfismo de aneis.
Referências
ANDRADE, José Fernandes Silva. Tópicos Especiais em Álgebra. Rio de Janeiro:
SBM, 2013.
GARCIA, Arnaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de álgebra. 6.ed. Rio
de Janeiro: IMPA, 2012.
DANTAS, Natanael Oliveira. Estruturas Algébricas. São Cristovão:
Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2009.
DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 4.ed.
Reform, São Paulo: Atual, 2003.
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