MATEMÁTICA IIIAULA 24:

POLINÔMIOS – PARTE I

EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL

VOLUME 5

OSG.: 102480/16

01. A) P(x)=(40 – 2x) (40 – 2x)x P(x) = x (40 – 2x)2

P(x) = 4x3 – 160x2 + 1600x

B) P(x) = x (40 – 2x)2

P(10) = 10 (40 – 20)2

P(10) = 10(400) P(10) = 4000 cm3.

02. Como o polinômio é de grau 1, devemos ter: k + 5 = 0 e 6 – m = 0 ⇒ k = –5 e m = 6

Logo, P(x) = 3x + (6 + 5) ⇒ P(x) = 3x + 11Portanto, P(11) = 33 + 11 = 44

Resposta: E

03. Fazendo x = 1 e x = –1, obtemos, respectivamente:I) 310 = A

0 + A

1 + A

2 + ... + A

20

II) 110 = A0 – A

1 + A

2 – ... + A

20

De (I) – (II), obtemos:310 – 1 = 2A

1 + 2A

3 + ... + 2A

19

Portanto,

A A A1 3 19

103 1

2+ + + =

−...

A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por S aq

qn

n

=−−

1

1

1. Assim, a soma da PG da alternativa A é S10

10 10

13 1

3 1

3 1

2= ⋅

−−

=−

.

Resposta: A

04. Fazendo x – 2 = y, ou seja, x = y + 2, obtemos:y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 = (y + 2)4

y4 + 4y3 · 1 + 6y2 · 12 + 4y · 13 + 14 = (y + 2)4

(y + 1)4 = (y + 2)4

Logo:y + 1 = y + 2 ⇒ 1 = 2 ouy + 1 = – (y + 2) ⇒ 2y = – 3 ⇒ y = –3/2 ⇒ x = – 3/2 + 2 = ½

Portanto, xx =

=

= =1

2

1

2

1

2

2

2

1

21

2

Resposta: A

05. Devemos ter:(x + a)2 – (x – b)2 = 8x +8[(x +a) + (x – b)] [(x + a) – (x – b)] = 8x + 8 [2x + (a – b)] [a + b] = 8x + 8 2(a + b) x + (a + b) (a – b) = 8x + 8

Usando a igualdade de polinômios, devemos ter:2(a + b) = 8 ⇒ a + b = 4 e(a + b) (a – b) = 8 ⇒ 4 (a –b) = 8 ⇒ a – b = 2

Portanto, a + b = 4

Resposta: B

OSG.: 102480/16

Resolução – Matemática III

06. Temos que:I) P(1) = 0 ⇒ 1 + a + b + c = 0II) P (–x) + P(x) = 0 ⇒ –x3 + ax2 – bx + c +x3 + ax2 + bx + c = 0 ⇒ 2ax2 + 2c = 0x2 + 0

Usando a igualdade de polinômios, obtemos:a = 0 e c = 0 ⇒ 1 + 0 + b + 0 = 0 ⇒ b – 1

Logo, P(x) = x3 – x2

Portanto, P(2) = 8 – 4 = 4

Resposta: C

07. Como P(x) apresenta n + 1 termos, se n ímpar, n + 1 é par. Logo, P(x) apresenta um número par de termos. Daí, obtemos:P(–1) = –1 + 1 – 1 + 1 – ... –1 + 1 – 1 + 3P(1) = (–1 + 1) + (–1 + 1) + ... + (–1 + 1) + (–1 + 3)P(1) = 0 + 0 + ... + 0 +2P(1) = 2

Resposta: C

08. P(x) – x = p(x –1)kx2 + kx + 1 – x = k(x –1)2 + k(x – 1) + 1kx2 + (k – 1) x + 1 = kx2 – 2kx + k + kx – k + 1kx2 + (k – 1) x + 1 = kx2 – kx +1

Usando a igualdade de polinômios devemos ter:k – 1 = –k ⇒ 2k = 1 ⇒ k =1/2

Resposta: C

09. Temos que:I) P(–1) = 0 ⇒ – a + b – c +2 = 0

II) P(x) – P (–x) = x3 ⇒ ax3 + bx2 + cx + 2 – [–ax3 + bx2 – cx + 2] = 0 ⇒ 2ax3 + 2cx = 0x3 + 0x

Usando a igualdade de polinômios, obtemos:2a = 0 e 2c = 0 ⇒ a = 0 e c = 0 ⇒ b + 2 = 0 ⇒ b = –2

Logo, P(x) = –2x2 + 2Portanto, P(1) = 0 e P(2) = – 6

Resposta: B

10. Temos:

x

x

a

x

bx c

x x

x

x x x

x x x

3

3 2

3

2

2

4

11

1 1

4

1 1

1 1

++

= ++

+ +− +

⇒

++( ) − +( ) =

+( ) − +( ) ++ − +( ) + +( ) +( )+( ) − +( )a x x x bx c

x x x

2

2

1 1

1 1

Pata todo real x ≠ – 1, temos:x3 + 4 = (x3 + 1) + a (x2 – x + 1) + (x + 1) (bx + c)

Fazendo x = 0, x = 1 e x = 2, obtemos:I) 4 = 1 + a + c ⇒ a + c = 3II) 5 = 2 + a + 2b + 2c ⇒ a + 2b + 2c = 3III) 12 = 9 + 3a + 3(2b + c) ⇒ 3a + 6b + 3c = 3 ⇒ a + 2b + c = 1

De (II) – (III), obtemos:c = 3 – 1 = 2 ⇒ a + 2 = 3 ⇒ a = 1Daí, 1 + 2b + 2 =1 ⇒ b = – 1Portanto, a + b + c = 1 – 1 + 2 = 2

Resposta: D

CINTHIA: – Rev.: LSS10248016-pro-Aula 24 - Polinômios – Parte I.