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Integral indefinido de funções de variável real. 1. A definição e as propriedades do integral indefinido. Definição 1. Seja a função )(xf definida num intervalo I (limitado ou não limitado). A função derivável )(xF , definida no intervalo I , diz-se primitiva da função )(xf
em I se para qualquer Ix∈ temos )()(' xfxF = . Exemplo 1:
1) 3
)(3x
xF = é primitiva de 2)( xxf = , porque Rxxx
xF ∈∀=
= ,
3)( 2
'3' .
2) xoscxF −=)( é primitiva de xensxf =)( porque,
RxsenxosxcxF ∈∀=−= ,)()( '' .
3) 34)( xxF = é primitiva de 3 23
4)(
xxf = porque
( ) { }0\,3
4
3
14
3
14444)(
3 2
3
21
3
1
31
31
3 Rxx
xxxxxxF ∈∀=⋅=⋅=′
=
′
=
′=′
−−.
Teorema 1. Se )(xF é uma primitiva para a função )(xf em I , então
)()( RCCxF ∈+ também é primitiva para )(xf . Definição 2. O conjunto das todas primitivas da função )(xf no intervalo I diz-se
integral indefinido da função )(xf sobre I e escreve-se ∫ dxxf )( .
Assim dizer que a função )(xF pertence ao conjunto ∫ dxxf )( equivale a afirmar que
)()( xfxF =′ ou, em notação diferencial , que dxxfxdF )()( = . Portanto se )(xF é uma primitiva para a função )(xf em I , então
RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,,)()( . (1)
Nesta designação )(xf chama-se função sob o sinal soma ou função a integrar;
dxxf )( , expressão sob o sinal soma, e o sinal ∫ , sinal de integração ou sinal soma.
Portanto o integral indefinido representa uma família de funções
)()( RCCxFy ∈+= .
Nota 1. Na designação do integral indefinido o símbolo dx não é inútil. Ele indica a variável de integração. Por exemplo, se sob o sinal de integração temos a expressão senyx ⋅ , então sem explicações suplementares não sabemos qual é a variável de integração. Mas das
designações ∫ ⋅⋅ dxsenyx e ∫ ⋅⋅ ydsenyx vemos que no primeiro caso y toma um
valor fixo e x no segundo caso.
Portanto RCCsenyx
xsenydx ∈+=∫ ,2
2
, ∫ ∈+−= RCCyxxsenydy ,cos .
2
Nota 2. Segundo a definição a fórmula (1) devia ser escrita na forma
{ }RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,:)()( . Na prática as chavetas omitem-se, mas se
considera que em ambas partes da igualdade (1) temos conjuntos de funções. Nota 3. A constante C de (1) deve tomar todos os valores de R , mas pode ser representada em qualquer forma, por exemplo, 21 CC + , Cα , Cln e outras. O integral indefinido goza de propriedades: 1º A derivada de um integral indefinido é igual a função a integrar, isto é, se
)()( xfxF =′ , então ( ) ( ) )()()( xfCxFdxxf =′+=′
∫ .
2º RCIxCxFxdF ∈∈+=∫ ,,)()( .
3º ( ) Ixdxxfdxxfd ∈=∫ ,)()( .
4º Se as funções )()( 21 xfexf têm primitivas em I , então a função )()( 21 xfxf ±
tem primitiva em I e ∫∫∫ ±=± dxxfdxxfdxxfxf )()())()(( 2121 .
5º ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( , com constk = .
6º Se )(xF e )(xG são duas primitivas da função )(xf num intervalo I então )(xF e
)(xG diferem por uma constante em I , isto é, CxGxF =− )()( (ou CxGxF += )()( ). É útil recordar as regras seguintes:
R1. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCaxFa
dxaxf ∈∈+=∫ ,,)(1
)( .
R2. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCbxFdxbxf ∈∈++=+∫ ,,)()( .
R3. Se ,)()( CxFdxxf +=∫ então RCIxCbaxFa
dxbaxf ∈∈++=+∫ ,,)(1
)( .
Exemplo.
∫∫ ∫∫ =−+
+=−+
+ xdxsendxx
xdxdxxsenx
x 4352
32)43
52
32(
=+⋅++⋅+=−+
+= ∫∫ ∫ Cxxx
xdxsendxx
xdx 4cos4
13)52ln(
2
13
2243
52
132
2
Cxxx ++++= 4cos4
3)52ln(
2
32 .
3
2. Tabela dos integrais.
Da definição resulta que a operação de determinação do integral indefinido, denominada integração, é inversa a operação de derivação. Portanto para as fórmulas básicas da tabela das derivadas escritas na forma )()( xfxF =′ deduziremos as fórmulas correspondentes de integração escritas na forma
RCIxCxFdxxf ∈∈+=∫ ,,)()( , obtendo uma tabela dos integrais.
1. .0 Cdu =⋅∫
2. 1,1
1
−≠++
=+
∫ αα
αα C
uduu .
2¹. .1 Cudu +=⋅∫
3. .ln Cuu
du +=∫
4. .ln
Ca
adua
uu +=∫
4¹. .Ceude uu +=∫
5. .cos Cudusenu +−=∫
6. .cos Csenuduu +=∫
7. .cos2
Ctguu
du +=∫
8. .2
Cctguusen
du +−=∫
9. .cosln Cutgudu +−=∫
10. .ln Csenuctgudu +=∫
11. .Cchudushu +=∫
12. .Cshuduchu +=∫
13. .2
Cthuuch
du +=∫
14. .2
Ccthuush
du +−=∫
15. .11
22C
a
uarcctg
aC
a
uarctg
aau
du +−=+=+∫
16. .ln2
122
Cau
au
aau
du ++−=
−∫
17. .arccos22
Ca
uC
a
uarcsen
ua
du +−=+=−
∫
18. .arccos22
Ca
uC
a
uarcsen
ua
du +=+−=
−−∫
4
19. .ln 2
2Ckuu
ku
du +±+=±
∫
20. .secsec Cudutguu +=∫
21. .coscos Cecuductguecu +−=∫
22. .cos 2 Ccthuduuech +−=∫
23. .sec 2 Cthuduuh +=∫
Nesta tabela u pode ser considerado como uma variável ou uma função. Caso u é função temos dxxuxud )()( ′= . 3. Métodos de integração. 3.1. Integração imediata. O problema de integração é muito mais difícil do que o problema de calcular a derivada de uma função. O problema consiste em ausência de fórmulas para calcular um integral de um produto ou de um quociente de duas funções e de uma função composta. Todos estes problemas devem ser tratados separadamente. Cada vez o cálculo de um integral começa com as perguntas: há alguma semelhança entre a função sob o sinal de integração e alguma função da tabela dos integrais? Se não há semelhança: é possível transformar a função para obter a semelhança com alguma função da tabela? Portanto aqui não falamos de um método de integração mas de uma tentativa de integrar. Cálculo dos integrais com utilização directa das fórmulas da tabela dos integrais é denominado integração imediata. Exemplo 2. 1)
∫ ∫∫ ∫∫∫ =−−+=−−+=−−+ −−−dxxdxx
x
dxxdxdx
xx
xxdx
x
xxx 22
3
22
3
2
3
32)3
21
(32
.34
ln21
3
2
12ln
2
212
12
Cxx
xx
Cxx
xx ++++=+
−−
−−+=
−−
2)
.)4(4
1)4()4cos(
4
1
4
)4()4cos()4cos( Cxsenxdx
xdxdxx +===∫ ∫ ∫
3)
∫ ∫ +=+= +++ .)1(2 1211 222
Cetdedtte ttt
5
3.2 Integração por substituição de variável num integral indefinido. Em muitos casos a substituição de variável de integração permite-nos passar para a integração imediata.
Teorema 2. Se a função ,,,: RJIJIu ⊂→ é derivável no intervalo I e a função
RJf →: admite a primitiva F no intervalo J ( RJF →: ) então a função
)())(( ' xuxuf ⋅ admite primitiva no intervalo I e
∫ ∈+=′ .,))(()())(( RCCxuFdxxuxuf . (2)
A fórmula (2) é denominada fórmula de substituição de variável num integral indefinido. Exemplo 3.
1) Calcular ∫ +dx
x
x5
2
)3(.
Efectuemos a mudança de variável 3−= tx ; então dtdx= . Com aplicação da fórmula (2), obtemos:
∫∫∫∫∫ ∫ =+−=+−=+−=− −−−−−− dttdttdttdttttdtt
ttdt
t
t 543543
5
2
5
2
96)96(96)3(
.4
92
2
1
49
36
2 432
432
Cttt
Cttt +−+−=+−
+−
−−
=−−−
Fazendo a substituição inversa 3+= xt obtemos
.)3(4
9
)3(
2
)3(2
1
)3( 4325
2
Cxxx
dxx
x ++
−+
++
−=+∫
Nota 4. Por vezes é preferível escolher a mudança de variável sob a forma )(xt ϕ= em vez de )(tx ψ= .
2) Calcular ∫+− 623 2 xx
dx.
Transformando, primeiramente, o trinómio de sob radical temos
+
−=
+−
−=+−=+−9
17
3
132
9
1
3
13)2
3
2(3623
2222 xxxxxx .
Denotamos xdtdxt =−= ,3
1 e obtemos
=+++=+
=
+
−
=+−
∫∫∫ Ctt
t
dt
x
dx
xx
dx
9
17ln
3
1
9
173
1
9
17
3
13
1
623
2
222
6
CxxxCxx ++−+−=++
−+−= 23
2
3
1ln
3
1
9
17
3
1
3
1ln
3
1 22
.
3.3. Integração por partes num integral indefinido.
Teorema 3. Se as funções )()( xvexu são deriváveis no intervalo RI ⊂ e neste intervalo a função )()( xuxv ′⋅ tem primitivas, então e a função )()( xvxu ′⋅ tem primitivas no intervalo I e
∫ ∫ ′⋅−⋅=′⋅ dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()( . (3)
A fórmula (3) é denominada fórmula de integração por partes num integral indefinido. Exemplos.
1) Calcular ∫ dxxarctg .
Denotando dxdvarctgxu == , temos .,1 2
xvx
dxdu =
+= Por conseguinte,
=+
−⋅=+
−⋅= ∫∫∫ 2
2
2 1
)(2
1
1 x
xdarctgxx
x
xdxarctgxxdxxarctg
Cxnlarctgxxx
xdarctgxx ++−⋅=
++
−⋅= ∫2
2
2
12
1
1
)1(
2
1.
2) Calcular ∫ xdxex cos .
Denotando dxxdveu x cos, == temos senxvdxedu x == , . Por conseguinte,
dxesenxsenxexdxe xxx
∫∫ ⋅−=cos
Aplicamos mais uma vez o método de integração por partes ao último integral: dxsenxdveu x == , , então xvdxedu x cos, −== .
Por conseguinte
( ) .coscos)cos()cos(cos xdxexesenxedxexxesenxexdxe xxxxxxx
∫∫∫ −+=−−−−=
Designando ∫= xdxeI x cos temos .cos IxesenxeI xx −+= Daqui vem
.2/)cos( CxesenxeI xx ++= Nota 5. Quando determinamos v a partir do seu diferencial dv, podemos tomar uma constante arbitrária, visto que ela não figura no resultado final (o que é fácil de verificar, substituindo na igualdade (3) v por Cv + ). Portanto é preferível escolher esta constante igual a zero ( 0=C ). Integração por partes emprega-se frequentemente ao cálculo de integrais de seguintes classes de funções:
a) função logarítmica, funções trigonométricas;
7
b) produto de um polinómio por uma função das classes de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas;
c) produto de uma função exponencial com outras funções. 4. Integração de funções racionais.
Definição 3. Função racional é qualquer função )(xf representável por um quociente
de dois polinomios, )(
)(
xQ
xP
n
m .
Podemos, supor sem restringir a generalidade, que estes polinómios não têm raizes comuns. Se o grau do polinómio ao numerador e inferior ao do denominador, diz-se que a fracção é regular. No caso contrário diz-se que ela é irregular. Se a fracão é irregular, dividindo o numerador por denominador (segundo a regra de divisão dos polinómios) pode-se representar a fracção inicial (iregular) como soma de um polinómio e uma fracção regular:
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxT
xQ
xP
nn
m += ,
em que )(xT é um polinómio e )(
)(
xQ
xR
n
uma fracção regular.
Exemplo 4.
1) 23
22
23
5
2
12842
2
12
xx
xxxx
xx
xx
−−++++=
−−+
;
2) 1
333
1
32
2
2
4
+−−+=
+− xx
xxx
xx
x.
Por conseguinte a integração de uma fracção irregular reduz-se a integração de um polinómio e uma fracção regular. Como a integração de um polinómio não representa dificuldades o nosso trabalho consiste em integrar as fracções racionais regulares. 4.1. Decomposição das funções racionais em fracções elementares. Na álgebra demonstram-se : Teorema 4. Qualquer polinómio, cujos coeficientes são números reais, pode ser representado na forma
sk tss
trk
rrn qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()( 2
112
21121 ++++−−−= ααα . (4)
onde kααα ,...,, 21 são as raizes reais do polinómio;
nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++∈∈ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 .
A expressão (4) diz-se decomposição do polinómio em factores do primeiro e segundo grau.
8
Teorema 5. Se a fracção )(
)(
xQ
xP
n
m é regular e o polinómio )(xQn é na forma (4), então
esta fracção pode ser representada num modo unívoco na forma
+−
++−
++−
++−
+−
++−
=k
k
r
r
kr
r
r
r
n
m
x
C
x
C
x
B
x
B
x
A
x
A
xQ
xP
)(......
)(...
)(...
)(
)( 1
22
1
11
1
2
2
1
1
αααααα
s
ss
tss
tt
sst
tt
qxpx
VxU
qpx
VxU
qxpx
NxM
qxpx
NxM
)(......
)(...
22
11
112
112
11
1
11
++
+++
+++
++++
+++
+++
+ ; (5)
com 04
,,,...,,,,,...,,,...,,...,2
111111 <−∈ jj
isstt qp
eRqpqpVUNMBAss
α para todos
sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .
A expressão (5) representa o desenvolvimento de uma fracção regular em fracções elementares. Ela tem significado para qualquer kx ααα ,...,, 21≠ . Os coeficientes
stVAA ,...,, 21 calculam-se pelo método dos coeficientes indeterminados:
1) Multiplicamos ambas partes do (5) por )(xQn e de fazemos as operações de
multiplicação e redução na parte direita obtendo uma igualdade entre dois polinómios; 2) igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau de x obtemos um sistema de equações lineares em relação a
stVAA ,...,, 21 ,
3) resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientes
stVAA ,...,, 21 .
Exemplo 5. Desenvolver a fracção racional regular xxx
x
44
12835
3
++−
em fracções
elementares. Representemos o denominador em produto de factores (ver (4)). 222435 )2()44(44 +=++=++ xxxxxxxx . Segundo o teorema 5 obtemos:
22235
3
)2(244
128
+++
+++=
++−
x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x.
Multiplicando ambas as partes por 22 )2( +xx obtemos
xEDxxxCBxxAx )()2()()2(128 2223 ++++++=− ou
AxECxDBACxxBAx 4)2()24()(128 2343 ++++++++=− . Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:
9
−=
=+
=++=
=+
.124:
,02:
,024:
,8:
,0:
0
1
2
3
4
Ax
ECx
DBAx
Cx
BAx
Resolvendo este sistema obtemos 16,6,8,3,3 −====−= EDCBA e por conseguinte
22235
3
)2(
166
2
833
44
128
+−+
+++−=
++−
x
x
x
x
xxxx
x.
4.2. Integração de fracções racionais elementares. Na decomposição de funções racionais em fracções elementares (ver (5)) podemos evidenciar quatro tipos de fracções elementares:
T1. ;α−x
A
T2. );,1(,)(
Nrrx
Ar
∈>− α
T3. ;04
,2
2
<−
+++
qp
qpxx
BAx
T4. ;04
,,1,)(
2
2
<−∈>
+++
qp
Nrrqpxx
BAxr
Os integrais das fracções de tipos T1 e T2 são imediatos:
T1: .ln)(
CxAx
xdAdx
x
A +−=−−=
− ∫∫ ααα
α
T2: .))(1(1
)()()(
)( 1
1
Cxr
AC
r
xAxdxAdx
x
Ar
rr
r+
−−−=+
+−−=−−=
− −
+−−
∫∫ αααα
α
T3: Para integrar uma fracção de terceiro tipo separamos o quadrado perfeito em denominador:
.42
222 q
ppxqpxx +−
+=++
Substituindo 22
42aq
pet
px −=−=+ vem .
2dtdxe
ptx =−=
Por conseguinte
10
=+
−++
=+
+−=
+++
∫∫∫∫ 2222222 22
at
dtApB
at
tdtAdt
at
BAp
Atdx
qpxx
BAx
=+
−++
= ∫∫ 2222 2
2
2 at
dtApB
at
tdtA =+
−+++
∫∫ 2222
22
2
)(
2 at
dtApB
at
atdA
.2
1
2ln
2
1
2ln
2222 C
a
p
a
xarctg
a
ApBqpxx
AC
a
tarctg
a
ApBat
A +
+
−+++=+
−++=
T4: Calculemos o integral de uma fracção de quarto tipo. Analogamente como acima
.42
222 q
ppxqpxx +−
+=++ 22
42aq
pet
px −=−=+
.2
dtdxep
tx =−=
Por conseguinte
.)(2)()(
2)( 2222222 ∫∫∫∫ +
−++
=+
+−=
+++
rrrr at
dtApB
at
tdtAdt
at
BAp
Atdx
qpxx
BAx
Para calcular o primeiro integral fazemos a substituição )(2
1 22 atddtt += .
Então
.))(1(2
1)()(
2
1
)(
)(
2
1
)( 122
2222
22
22
22C
atratdat
at
atd
at
tdtr
r
rr+
+−=++=
++=
+ −
−
∫∫∫
Calculemos o segundo integral .)( 22
2
∫ + rat
dta Escrevemos o segundo integral na forma
.)(
122
2
2 ∫ + rat
dta
a
Na continuação fazendo em numerador a substituição 2222 tata −+= obtemos:
=+
−++=
+−+=
+=
+ ∫∫∫∫∫ dtat
t
adt
at
at
adt
at
tat
aat
dta
aat
dtarrrrr )(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)( 22
2
222
22
222
222
222
2
222
2
=+
−+
= ∫∫ − dtat
t
adt
ata rr )(
1
)(
1122
2
21222 (*)
Calculemos o segundo integral aplicando a integração por partes:
∫∫ −= VdUUVUdV .
Fazendo
rat
tdtdVtU
)(,
22 +==
obtemos
11
,dtdU =
.)(
1
)1(2
1
)(
)(
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
2
1
)( 12222
22
22
2
2222 −+⋅
−=
++=
+=
+=
+= ∫∫∫∫ rrrrr atrat
atd
at
td
at
tdt
at
tdtV
Portanto na continuação temos:
(*)= =
+−−
+−−
+ ∫∫ −−− 12212221222 )(22
1
))(22(
1
)(
11rrr at
td
ratr
t
adt
ata
.)(22
32
))(22(
11221222
Cat
dt
r
r
atr
t
a rr+
+−−+
+−= ∫ −−
Obtemos a fórmula de recorrência
Cat
dt
r
r
atr
t
aat
dtrrr
+
+−−+
+−=
+ ∫∫ −− 122122222 )(22
32
))(22(
1
)( (6)
que permite diminuir o grau da expressão do denominador no integral ∫ + rat
dt
)( 22.
Exemplo 6.
Calcular xdxxx
xxxxx∫ ++
−++++44
12412435
23456
.
Resolução. O grau do polinómio no numerador é superior ao grau do polinómio no denominador. Dividindo os polinómios obtemos:
xxx
xx
xxx
xxxxxx
44
1281
44
124412435
3
35
23456
++−++=
++−+++++
.
O desenvolvimento em fracções elementares da fracção regular obtida é
22235
3
)2(
166
2
833
44
128
+−+
+++−=
++−
x
x
x
x
xxxx
x.
Portanto
∫ ++−+++++
dxxxx
xxxxxx
44
124412435
23456
= =++
−++∫ dxxxx
xx )
44
1281(
35
3
( =+−+
+++−+= ∫ dx
x
x
x
x
xx )
)2(
166
2
8331
222
dxx
xdx
x
xdx
xdxx ∫∫∫∫ +
−++++−+=
222 )2(
166
2
833)1( .
12
Calculemos separadamente os integrais obtidos.
1
2
2
)1()1()1()1( C
xxdxdxx ++=++=+ ∫∫ ;
∫∫ +== 2ln333
Cxx
dxdx
x;
=+
+++=
++
+=
++
∫∫∫∫∫ 28
2
)2(
2
3
28
23
2
8322
2
222 x
dx
x
xd
x
dx
x
xdxdx
x
x
32
22
82ln
2
3C
xarctgx +++= ;
Para o quarto integral, com a aplicação da fórmula de recorrência (6)
(com 22 2 == aer ), obtemos:
=+
−+
=+−
∫∫∫ 222222 )2(16
)2(6
)2(
166
x
dx
x
xdxdx
x
x =
+−
++
∫∫ 2222
2
)2(16
)2(
)2(
2
6
x
dx
x
xd
=
++
+⋅−
+−= ∫ 22
1
)2(22
116
2
3222 x
dx
x
x
x
422 222
1
)2(28
2
3C
xarctg
x
x
x+
+
+−
+−= .
Finalmente obtemos:
+−−++=++
−+++++∫ 21
2
35
23456
ln32
)1(
44
1244124CxC
xdx
xxx
xxxxxx
32
22
82ln
2
3C
xarctgx ++++ =+
+
+−
+− 422 222
1
)2(28
2
3C
xarctg
x
x
x
+−+= xx
ln32
)1( 2
−++22
82ln
2
3 2 xarctgx
=+−+
−+
− Cx
arctgx
x
x 22
4
2
4
2
322
+−+= xx
ln32
)1( 2
−++22
42ln
2
3 2 xarctgx C
x
x ++
+2
432
.
Nota 6. O esquema de cálculo do integral indefinido de uma função racional é seguinte: 1. a) Se o grau do numerador é superior ao do denominador, representemos a função
como soma de um polinómio e uma fracção regular )(
)()(
)(
)(
xQ
xRxT
xQ
xP
nn
m += , e
executemos o ponto 2.
13
b) Se o grau do numerador é inferior ao do denominador, isto é, a função dada é
uma fracção regular de forma )(
)(
xQ
xR
n
, então executemos o ponto 2.
2. a) Representemos o polinómio )(xQn em produto de factores de primeiro e segundo
grau.
b) Desenvolvemos a fracção regular )(
)(
xQ
xR
n
em fracções elementares com
coeficientes indeterminados e determinemos os valores dos coeficientes. 3. O integral da função dada é soma dos integrais de todos termos do desenvolvimento da função.
14
5. Integração de certas classes de funções transcendentes. A função de forma
),...,(
),...,(),...,(
1
11
n
nn uuQ
uuPuuR = , (*)
onde P e Q são polinómios de variáveis nuu ,...,1 (isto é, P e Q são de forma n
n
n
kn
k
kkkkk uua ...1
1
1 1...
,...,∑≤++
) diz-se função racional de variáveis nuu ,...,1 .
Se na fórmula (*) as variáveis nuu ,...,1 são funções de variável x
nixu ii ,...,2,1),( == ϕ , então a função ))(),...,(( 1 xxR nϕϕ diz-se função racional de
)(),...,(1 xx nϕϕ .
Por exemplo a função
3
2
324
214)(
−++++=
xx
xxxf é função racional de 32 32 e ,1 , −+ xxxx , isto é,
)32 , ,1,()( 32 −+= xxxxRxf .
Aqui 43
214321 4
24),,,(
uu
uuuuuuR
+++
= , com
343
221 32 e ,1 , −==+== xuxuxuxu .
5.1. Integrais de tipo dxxsenxR∫ )cos,( .
Definição 4. A expressão
++++== ∑=+
xsenaxasenxaaxxsenaxsenxPn
ji
jiijn
220011000
0
coscos)cos,(
+++++++ xaxsenxaxxsenaxsenaxaxsenxa 303
212
221
330
20211 coscoscoscoscos
xaxsenxaxxsenaxsena n
nn
nn
nn
n coscoscos 01
1,11
1,10 ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ −−
−− , (7)
com { }nnji ,1,...,2,1,0, −∈
diz-se polinómio em xesenx cos de grau n .
Denotamos
)cos,(
)cos,()cos,(
xsenxP
xsenxPxsenxR
m
n=
e consideramos o integral
dxxsenxR∫ )cos,( . (8)
Mostremos que o integral (8) pode ser reduzido a um integral de uma função racional
pela mudança de variável tx
tg =2
.
15
Efectivamente, como se sabe
21
21
cos,
21
22
2
2
2 xtg
xtg
xx
tg
xtg
senx+
−=
+=
e então 2
2
2 1
1cos,
1
2
t
tx
t
tsenx
+−=
+= .
Além disso 21
2,2
t
dtdxarctgtx
+== .
Finalmente obtemos 22
2
2 1
2
1
1,
1
2)cos,(
t
dt
t
t
t
tRdxxsenxR
+
+−
+= ∫∫ , isto é, um integral
de uma função racional.
Exemplo 7. Calcular ∫ + senx
dx
1.
Fazemos a mudança de variável tx
tg =2
.
Então ,1
22t
tsenx
+= e
21
2,2
t
dtdxarctgtx
+== . Portanto
=+=+
=++
=
++
+=+ ∫∫ ∫∫∫
− dttt
dt
tt
dt
t
tt
dt
senx
dx 2
22
2
2
)1(2)1(
221
2
1
21
1
2
1
.
21
2
1
2C
xtg
Ct
++
−=++
−=
Nota 7. A mudança de variável considerada resolve o problema de integração para qualquer expressão de forma )cos,( xsenxR e é chamada mudança de variável universal para a integração de expressões trigonométricas. Na realidade esta mudança de variável conduz frequentemente às funções racionais muito complicadas. Por vezes é preferível não utilizar a mudança de variável universal para a integração de expressões trigonométricas, mas recorrer a outros métodos que conduzam mais rapidamente ao resultado.
1) Se o integral é da forma dxxsenxR cos)(∫ , então fazendo a mudança de variável
dtxdxtsenx == cos, obtemos um integral na forma dttR∫ )( .
2) Se o integral é da forma xdsenxxR∫ )(cos , então fazendo a mudança de variável
dtsenxdxtx =−= ,cos obtemos um integral na forma dttR∫− )( .
3) Se o integral é da forma dxtgxR )(∫ , efectuando a mudança de variável
21,,
t
dtdxarctgtxttgx
+=== obtemos .
1)()(
2t
dttRdxtgxR
+= ∫∫
4) Se a função a integrar é da forma )cos,( xsenxR em que xesenx cos apenas figuram nas potencias pares, empregando a mudança de variável
16
22
2
2
22
22
2
1,
11,
1
1
1
1cos,
t
dtdx
t
t
xtg
xtgxsen
txtgxttgx
+=
+=
+=
+=
+== obteremos
um integral de uma função racional.
Exemplo 8. Calcular dxsenx
x∫ +3
cos5
.
Resolução. Este integral reduz-se facilmente a um integral na forma dxxsenxR∫ cos)( .
∫∫ ∫∫ =+
−=+
=+
=+
xdxsenx
xsenxdx
senx
xxdx
senx
xdx
senx
xcos
3
)1(cos
3
)(coscos
3
cos
3
cos 222245
Efectuemos a mudança de variável ,tsenx= então dtxdx=cos e na continuação temos:
∫ ∫ ∫ =
++−+−=
++−=
+−= dt
ttttdt
t
ttdt
t
t
3
642173
3
12
3
)1( 232422
=+
+−+−= ∫ ∫∫∫∫ 3642173 23
t
dtdtdttdttdtt
=+++−+−= Cttttt
3ln64212
73
34
234
Csenxsenxxsenxsenxsen +++−+−= 3ln64212
7
4
1 234 .
5) Analisemos o caso xxsenxsenxR nm cos)cos,( = em que nem são números inteiros. Aqui consideremos três casos.
a) xdxxens nm cos∫ , em que pelo menos um dos números nem é impar.
Suponhamos, para fixar as ideias, que n é impar. Fazemos 12 += pn e transformamos o integral:
.cos)1(cos)(cos
coscoscoscos
22
212
xdxxsenxensxdxxxens
xdxxxensxdxxensxdxxens
pmpm
pmpmnm
−==
===
∫∫
∫∫∫+
Efectuemos a mudança de variável
dtxdxtsenx == cos, . Substituindo estas expressões obtemos
dtttxdxxens pmnm )1(cos 2−= ∫∫ ,
isto é, um integral de uma função racional.
17
Exemplo 9. Calcular .cos45xdxxsen∫
=−=
===
∫
∫∫∫senxdxxx
senxdxxxsensenxdxxxsenxdxxsen
422
4224445
cos)cos1(
cos)(coscos
Substituindo dtsenxdxtx =−= ,cos temos
.cos9
1cos
7
2cos
5
19
1
7
2
5
12
)2()21()1(
975
975864
864442422
Cxxx
Ctttdttdttdtt
dttttdttttdttt
+−+−=
=+−+−=−+−=
=+−−=+−−=−−=
∫∫∫
∫∫∫
b) xdxxens nm cos∫ , em que nem são números pares não negativos.
Fazemos qnpm 2,2 == e aplicamos as fórmulas
.2cos2
1
2
1cos,2cos
2
1
2
1 22 xxxxsen +=−= (9)
.2cos2
1
2
12cos
2
1
2
1cos22 dxxxxdxxens
qp
qp
∫∫
+
−
=
Efectuando as operações indicadas, obtém-se um desenvolvimento segundo as potências pares e impares de x2cos . Os termos que contêm potências impares podem ser integrados como indicámos no caso a). No que respeita aos termos que contêm potências pares, aplicamos, sucessivamente, a fórmula (9), a fim de baixar o grau destas potencias. Procedendo desta maneira, chega-se, finalmente, a termos de forma
∫ kxdxcos que se integra facilmente.
Exemplo 10.
=
++
=++
=+=
+=
∫ ∫ ∫ ∫
∫∫∫
xxdxdxdxdxxx
dxxdxxxdx
2cos2cos24
1)2cos2cos21(
4
1
)2cos1(4
12cos
2
1
2
1cos
22
22
4
.48
12
2
3
4
14
8
1
2
12
4
1
4cos2
1
2
12
4
14cos
2
1
2
12
4
1
CxsenxsenxCxsenxxsenx
xxddxxsenxxdxxsenx
+
++=+
+++=
=
+++=
+
++
= ∫ ∫∫
18
c) Se os dois expoentes são pares e se um deles pelo menos é negativo, o método indicado no caso b) não tem efeito. Neste caso é necessário fazer ttgx= (ou tctgx= ). Exemplo 11.
.)(cos
)cos
cos
)cos(
cos46
6
246
6
224
6
4
dxxtgxtgdxx
xxsenxsendx
x
xxsenxsendx
x
xsen∫∫∫∫ +=+=+=
Fazemos .1
,,2t
dtdxarctgtxttgx
+===
Então .5
1
5
1
1
)1(
1)(
cos554
2
24
2
46
6
4
CxtgCtdttdtt
tt
t
dtttdx
x
xsen +=+==++=
++= ∫∫∫∫
6) Integrais de forma .,cos,coscos dxsenmxsennxnxdxsenmxnxdxmx ∫∫∫
Aplicando as formulas
);)cos()(cos(2
1coscos xnmxnmnxmx −++=
);)()((2
1cos xnmsenxnmsennxsenmx −++=
).)cos()(cos(2
1xnmxnmsenmxsennx +−−=
Substituindo e integrando obtém-se
;)(2
)(
)(2
)())cos()cos((
2
1coscos C
nm
xnmsen
nm
xnmsendxxnmxnmnxdxmx +
−−+
++=−++= ∫∫
;)(2
)cos(
)(2
)cos())()((
2
1cos C
nm
xnm
nm
xnmdxxnmsenxnmsennxdxsenmx +
−−−
++−=−++= ∫∫
.)(2
)(
)(2
)())cos()cos((
2
1C
nm
xnmsen
nm
xnmsendxxnmxnmdxsenmxsennx +
++−
−−=+−−= ∫∫
Exemplo 12.
a) ;2
cos
26
13cos)13(
2
16cos7 C
xxdxsenxxsenxdxxsen +−−=+= ∫∫
b) ;26
13
10
5)13cos5cos(
2
149 C
xsenxsendxxxxdxxsensen +−=−= ∫∫
c) ;6
3
14
7)3cos7cos(
2
12cos5cos C
xsenxsendxxxxdxx ++=+= ∫∫
19
5.2. Integração de funções transcendentes com aplicação de integração por partes. Consideremos, agora, os integrais
∫∫∫∫∫
∫ ∫∫
∫∫
;ln,,,arccos,)
;,,cos)
;,cos)
xdxxarcctgxdxxarctgxdxxxdxxarcsenxdxxc
dxexsennxdxxnxdxxb
sennxdxenxdxea
kkkkk
mxkkk
mxmx
com k inteiro positivo. ● Para calcular os integrais do grupo )a aplicaremos duas vezes integração por partes.
=== ∫ ∫ n
sennxdenxdxeI mxmx cos
Fazemos n
sennxV
n
sennxddVdxmedUeU mxmx ==== ,,, e aplicamos a fórmula
∫ ∫−= VdUUVUdV .
∫∫ =+=−=n
nxde
n
m
n
sennxesennxdxe
n
m
n
sennxe mxmx
mxmx cos
Agora fazemos n
nxV
n
nxddVdxmedUeU mxmx cos
,cos
,, ==== .
Na continuação temos:
.cos
coscos
2
2
2I
n
m
n
nxme
n
sennxexnxde
n
m
n
nxe
n
m
n
sennxe mxmxmx
mxmx
−+=
−
+= ∫
Por conseguinte .cos
2
2
2I
n
m
n
nxme
n
sennxeI
mxmx
−+=
E daqui resolvendo em relação a I obtemos:
,cos
2222C
nm
nxme
nm
sennxneI
mxmx
++
++
=
.)cos(
22C
nm
nxmnsennxeI
mx
+++= (10)
∫ sennxdxemx calcula-se analogamente.
Exemplo 13. ● Calcular ∫= senxdxeI x
1 ;
=−== ∫∫ )(cos1 xdesenxdxeI xx
Fazemos xVxddVdxedUeU xx cos),(cos,, ====
=−−=−−= ∫∫ ))(cos(coscos( senxdexexdxexe xxxx
20
Fazemos senxVsenxddVdxedUeU xx ==== ),(,,
).(cos senxdxesenxexe xxx∫−+−=
Por conseguinte .2
)cos(1
xsenxesenxdxeI
xx −== ∫
● Calcular ∫= xdxeI x cos2 ;
=== ∫∫ )(cos2 senxdexdxeI xx
Fazemos .),(,, senxVsenxddVdxedUeU xx ====
=+=−= ∫∫ ))(cosxdesenxesenxdxesenxe xxxx
Faemos .cos),(cos,, xVxddVdxedUeU xx ====
.coscos xdxexesenxe xxx
∫−+=
Por conseguinte .2
)cos(cos2
xsenxexdxeI
xx +== ∫
● Para calcular os integrais do grupo )b fazemos dxkxdUxU kk 1, −== e
respectivamente dxedVsennxdxdVnxdxdV mx=== ,,cos . Integrando por partes chegaremos ao um integral do mesmo tipo em que o valor do expoente de x é com uma unidade menor do que no integral inicial . Aplicando este método, sucessivamente, k vezes chegaremos ao integral em que 0=k . Evidentemente, o último integral é do quadro de integrais. Exemplo 14.
=−= ∫∫ )cos(22 xdxsenxdxx
Fazemos ;cos),cos(;2,2 xVxddVxdxdUxU −=−===
=+−=+−= ∫∫ )(2coscos2cos 22 senxdxxxxdxxxx
Fazemos ;),(;, senxVsenxddVdxdUxU ====
.cos22cos22cos 22 Cxxsenxxxdxsenxxsenxxx +++−=−+−= ∫
Nota 8. Empregando o cálculo destes dois tipos (a e b ) de integrais podemos calcular
integrais mais complicados: .,cos sennxdxexnxdxex mxkmxk
∫∫
Por exemplo calculemos ∫= nxdxexI mxk cos . Integrando por partes façamos
nxdxeVnxdxedVdxkxdUxUmxmxkk cos,cos;, 1
∫==== −
Por conseguinte 22
)cos(
nm
nxmnsennxeV
mx
++= , (ver (10)).
Então
21
.coscos
)cos(cos
1
22
1
2222
22
nxdxexnm
kmsennxdxex
nm
kn
nm
nxmnsennxex
nm
nxmnsennxedxnxdxexI
mxkmxkmxk
mxkmxk
−−
∫∫
∫∫
+−
+−
++=
=
++==
Os integrais obtidos são do mesmo tipo e o valor do expoente de x é com uma unidade menor do que no integral inicial. Aplicando este método, sucessivamente,
chegaremos aos integrais de tipo ∫∫ .,cos sennxdxenxdxe mxmx
Exemplo 15. Calcular .∫ senxdxxex
Utilizando os resultados do exemplo 13 e integrando por partes temos:
.2
)cos(,;,
xsenxesenxdxeVsenxdxedVdxdUxU
xxx −===== ∫
.cos2
1
2
cos
2
cos
2
1
2
cos
2
1
2
cos
cos2
1
2
1
2
cos
2
cos
2
cos
Cxexsenx
xe
Cxsenx
exsenx
exsenx
xe
xdxesenxdxexsenx
xe
dxxsenx
exsenx
xesenxdxxe
xx
xxx
xxx
xxx
++−=
=+++−−−=
=+−−=
=−−−=
∫∫
∫∫
● Para calcular os integrais do grupo )c façamos dxxdV k= e U , respectivamente, igual a uma das funções transcendentes, conforme o caso. Integrando por partes obteremos, finalmente, um integral de uma função algébrica. Exemplo 16. ● Calcular ∫ xdxx ln3 .
=
= ∫∫ 4
lnln4
3 xxdxdxx
Fazemos .4
,4
,,ln44 x
Vx
ddVx
dxdUxU =
===
Cxxx
dxxxx
x
dxxxx +−=−=−= ∫∫ 164
ln
4
1
4
ln
44
ln 443
444
.
22
● Calcular ∫ ⋅⋅ dxarctgxx .
=
⋅=⋅⋅ ∫∫ 2
2xdarctgxdxarctgxx
Fazemos .2
,2
,1
,22
2
xV
xddV
x
dxdUarctgxU =
=
+==
=+
−+−=+
−= ∫∫ dxx
xarctgxx
x
dxxarctgxx2
22
2
22
1
11
2
1
212
1
2
=+
+−= ∫∫ 2
2
12
1
2 x
dxdx
arctgxx.
2
1
2
1
2
2
Carctgxxarctgxx ++−
7. Integração de funções irracionais. Não é sempre possível representar o integral de uma função irracional através de funções elementares. Vamos estudar as funções irracionais cujos integrais podem ser reduzidos por mudança de variáveis às funções racionais que sabemos integrar.
7.1. Integrais de tipo dxdcx
bax
dcx
bax
dcx
baxR
s
r
n
m
∫
++
++
++
,...,, .
Consideremos o integral de forma
dxdcx
bax
dcx
bax
dcx
baxR
s
r
n
m
∫
++
++
++
,...,,
em que R é uma função racional de s
r
n
m
dcx
bax
dcx
baxx
++
++
,...,, .
Seja k o denominador comum das fracções s
r
n
m,..., , isto é, 11,..., rk
s
rmk
n
m == ,
com 11,...,rm inteiros. Fazemos a substituição
ktdcx
bax =++
.
23
Então cada potência fraccionaria de dcx
bax
++
pode ser representada por uma potência
inteira de t e por conseguinte a função a integrar transforma-se numa função racional de t .
Além disso dttdxtcta
bdtxdtcxtbaxt
dcx
baxk
kkkk )()( 'ϕϕ =⇒=
−−=⇒+=+⇒=
++
.
Porque )(tϕ é uma função racional de t resulta que )(tϕ ′ também é uma função racional de t . Por conseguinte
( ) dtttttRdxdcx
bax
dcx
bax
dcx
baxR rmks
r
n
m
)(,...,,,...,, '11 ϕ∫∫ =
++
++
++
, isto é, temos um
integral de uma função racional de t .
Exemplo 19. Calculemos dxx
x∫ −+
++132
4323
.
=−+
++=−+++
∫∫ dx
x
xdx
x
x
1)32(
4)32(
132
432
2
1
3
13
O menor denominador comum das fracções 3
1 e
2
1 é 6. Fazemos a substituição
dttdxt
xtx 56
6 32
332 =⇒
−=⇒=+ .
Substituindo no integral obtemos:
=−
+=−+=
−
+= ∫∫∫ dtt
ttdtt
t
tdtt
t
t
1
43
1
433
1)(
4)(3
575
3
25
2
16
3
16
que é um integral de uma fracção racional irregular. Dividindo o numerador por denominador e aplicando o método dos coeficientes indeterminados obtemos:
++++
−+++=
−++++=
−+
1
57
1
5
3
14
1
44
1
42
24
3
224
3
57
tt
t
tttt
t
ttttt
t
tt.
Na continuação temos:
24
=
++
+
+
++−+++=
++++
−+
+++=
++++
−+++=
∫∫∫
∫ ∫∫∫
2
1
4
3
2
1
2
3
2
17
1ln52
34
5
3
1
57
15
31231
57
1
5
3
143
2
23
5
2
24
2
24
td
t
t
tt
tt
dttt
t
t
dt
tdtdttdttdttt
t
tttt
=
+
+
++
+
+
++−+++= ∫∫ 2222
2
23
5
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
71ln5
2
34
5
3
t
td
t
td
tt
tt
=
+
+
++
+
+
++−+++= ∫∫ 2222
2
23
5
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
71ln5
2
34
5
3
t
td
t
td
tt
tt
( ) .3
1322313232ln
2
7
132ln5322
3324)32(
5
3
3
123)1ln(
2
71ln5
2
34
5
3
2
32
1
3
2
2
3
2
3
2
1ln
2
71ln5
2
34
5
3
663
636 5
22
35
2223
5
Cx
arctgxx
xxxx
Ct
arctgtttt
tt
Ct
arctgttt
tt
+++++++++
+−+++++++=
=++++++−+++=
=++
⋅+
+
++−+++=
Nota 9.
Se 1 ,0 == dc temos um integral de forma ( dxbaxbaxbaxR s
r
n
m
∫
+++ )(,...,)(, .
Se 1 ,0 ,0 ,1 ==== dcba temos um integral de forma ( dxxxxR s
r
n
m
∫ ),...,, .
25
Exercícios. 1) Calcular os integrais indefinidos utilizando as propriedades básicas e as fórmulas do quadro de integrais.
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+++
++−
+
++−+
+
+
+
+++
+++++
++
+−
+−
+++−−
−−+
+−
++−
−
++
+−−−+
+−
+++++−
;1 Resp. ;1
)18
;24
1
2 Resp. ; )17
;ln Resp. ;cos
)16
;)3cos3ln(3
1 Resp. ;
3cos3
3 )15
;77ln2
1 Resp. ;7 )14
;24
1 Resp. ;
4
2 )13
;ln2
12 Resp. ;
lnx 12)
;12ln Resp. ;12
32 )11
;13ln
)3( Resp. ;3 )10
; Resp. ; )9
; Resp. ; )8
;2ln2
Resp. ;4
22 )7
;22
Resp. ;8
)6
;10
10ln
102
1 Resp. ;
10 )5
;77
1 Resp. ;
7 )4
;67
3
13
3 Resp. ;
)2)(1( )3
;1
Resp. ; )2
342 Resp. ;)386( )1
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
4
22
2
2
2
33234
3 2
22
1
332
Cxdxx
x
Cxshx
xdxsh
Ctgxxsenx
dx
Cxdxx
xsen
Cdxx
Cx
arctgdxx
xarctg
Cxxdxx
x
Cxxdxx
x
Ce
dxe
Cthxxxdxcth
Cxtgxxdxtg
Cxxx
arcsendxx
xx
Cx
arcsenx
dx
Cx
x
x
dx
Cx
arctgx
dx
Cxxxxx
dxx
xx
Cn
nx
x
dx
Cxxxdxxx
xx
xxx
n
n
n
26
2) Calcular os integrais indefinidos usando uma mudança de variável conveniente.
;112
112ln Resp. ;
12 )15
;1
3ln
4
1 Resp. ;
34 )14
;3
3
3
1 Resp. ;
126
cos )13
;5
12912 Resp. ;
1
82 )12
;543 Resp. ;54
63 )11
;5
34
2
1 Resp. ;
232 )10
;3
72
3
7)137ln(
2
1 Resp. ;
137 )9
;11
ln1 Resp. ;1
)8
;2
11
2 Resp. ;
1 )7
;11
ln Resp. ;1
)6
;cos)5(cos5
2 Resp. ;
cos )5
;1)2(3
2 Resp. ;
1 )4
;2ln2lnln2lnln Resp. ;4ln
2ln )3
;)1ln(2223
2 Resp. ;1
1 )2
;11
)52(5
12
)52(
4
1 Resp. ;)52( )1
2
2
24
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
23
2
3
111210
Cx
x
xx
dx
Cx
x
xx
xdx
Csenx
arctgdxsenxxsen
x
Cx
arcsenxxdxxx
x
Cxxdxxx
x
Cx
arcsenxx
dx
Cx
arctgxxxx
xdx
Cx
xxdx
x
x
Carcsenxxx
x
dxx
Cx
x
xx
dx
Cxxdxx
xsen
Ceedxe
e
Cxxdxxx
x
Cxxxx
dxx
x
Cxx
dxxx
xx
x
x
+++−+
+
+−−
+−
+−−+−
++−−−−−−
−
++−+−
−
+−
−+
+−++−+−
+++−++
++−−−
++++
+−
++−+
++−
+
+−+−
++
+
+−++
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
27
3) Calcular os integrais indefinidos usando a fórmula de integração por partes num integral indefinido.
( ) ( )
.)1(2
Resp. ; )10
;ln Resp. ; 9
;11ln Resp. ;1ln )8
;144
1
2 Resp. ; )7
;22
1 Resp. ; )6
;4
1
2
ln Resp. ;
ln )5
;2ln2ln Resp. ;ln )4
;9
ln3
Resp. ;ln )3
;1
Resp. ; )2
;ln Resp. ;ln )1
2
223
2
222
22
2
223
22
332
Cxe
dxex
Cxsenctgxxxsen
dxx
Cxxxxdxxx
Cxx
xarcsenxarcsenx
dxxarcsenx
Cx
xarctgx
dxxarctgx
Cxx
xdx
x
x
Cxxxxxdxx
Cx
xx
dxxx
Ce
xdx
e
x
Cxxxdxx
xx
xx
++−
++⋅−⋅
++−++⋅++
+−+−⋅⋅
+−+⋅⋅
+−−⋅
++−⋅
+−⋅
++−
+−⋅⋅
−−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
4) Integrar as expressões racionais.
.22
3
22
3
2
4ln Resp. ;
86
6 )9
;2
1
2
1
1
)52(ln Resp. ;
)52)(1(
332 )8
;1
ln Resp. ;)1(
)7
;)1(
ln)1(2
34 Resp. ;
)1(
23 )6
;)2(
ln2
3 Resp. ;
44
8 )5
;1
2ln
1
1 Resp. ;
)2()1( )4
;)2(
)2(ln4
23 Resp. ;
4
8 )3
;)1()5(
)3(ln
8
1 Resp. ;
)5)(3)(1( )2
;1
)2(ln Resp. ;
)2)(1(
12 )1
2
2
24
3
232
2
2
22
2
2
23
2
2
23
2
3
5223
3
45
5
6
3
Cx
arctgx
arctgx
xdx
xx
x
Cx
arctgx
xxdx
xxx
xx
Cx
x
xx
dx
Cx
x
x
xdx
xx
x
Cx
x
xdx
xxx
x
Cx
x
xxx
dx
Cx
xxx
xxdx
xx
xx
Cxx
x
xxx
xdx
Cx
xdx
xx
x
+−++
+++
−
+−+−
+−+−−
−−
+++
++
+++
++
+−+−+−
−
+−−+
−−−
++−+++
−−+
+++
++++
+−
−−−
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
28
5) Integrar as expressões trigonométricas.
.2cos8
14cos
16
16cos
24
1 Resp. ;32 )18
;6
36
5
5
3 Resp. ;
3cos
2cos )17
;10
5
50
25 Resp. ;1510 )16
;4
2cos
16
8cos Resp. ;5cos3 )15
;3
cosln33
3332
3 Resp. ;
33 )14
;3
1 Resp. ; )13
;2
ln8
3
8
cos3
4
cos Resp. ; )12
;4
1
2
3ln3
2
1 Resp. ;
cos )11
;223
1 Resp. ;
cos )10
;5
1
3
2 Resp. ;
cos )9
;3
Resp. ; )8
;32
4
4
2
8
3 Resp. ; )7
;5
1
3
1 Resp. ;cos )6
;cos5
1cos
3
2cos Resp. ; )5
;3
1 Resp. ;cos )4
;3
2
52ln Resp. ;
cos748 )3
;82
ln2
1 Resp. ;
cos )2
;
22
22
ln4
1 Resp. ;
cos53 )1
3243
34
245
42
2
35
3
42
53
6
3
4
4
5332
535
33
Cxxxxdxxsenenxsens
Cx
senx
sendxxx
Cxsenxsen
xdxxsensen
Cxx
xdxxsen
Cxxx
tgx
tgx
tgdxx
tgx
tg
Cxctgxxctgxdxctg
Cx
tgxsen
x
xsen
x
xsen
dx
Cxtgxtg
tgxxtgxxsen
dx
Cxctgxtgtgxxxsen
dx
Cxtgxtgtgxx
dx
Cxctg
ctgxxsen
dx
Cxsenxsenx
xdxsen
Cxsenxsenxdxxsen
Cxxxxdxsen
Cxsensenxxdx
Cx
tg
xtg
xsenx
dx
Cx
tgxsenx
dx
Cx
tg
xtg
x
dx
+−−
++
++−
++−
+++−+
+
+++−
++−−
+−−+
+−+
+++
+−−
++−
+−
+−+−
+−
+−
−
+−
+
++
+−
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
π
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