Introdução à Mecânica dos Materiais CóitCompósitos...

Introdução à Mecânica dos Materiais C ó it E t t iCompósitos Estruturais

Porf Arthur M B BragaPorf.  Arthur M. B. Braga

ENG 1704 – Mecânica dos Sólidos II

I. Materiais Compósitos

Referência: Daniel, I. M., and Ishai, O., Engineering Mechanics of Composite Materials, 2nd ed., Oxford University Press, 2005

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

• Materiais fabricados a partir de dois ou maisMateriais fabricados a partir de dois ou mais constituintes

• Nosso interesse:• Nosso interesse:– Compósitos estruturais reforçados por fibra (Matriz + Fibras)(Matriz + Fibras)

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

Matriz: agregar o reforço e distribuir tensõesMatriz: agregar o reforço e distribuir tensões

Tipos de Matrizes

Poliméricas Metálicas Cerâmicas Carbono/Grafite

Termoplásticos TermofixosTermoplásticos Termofixos

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

Matrizes Poliméricas

Mais utilizadas em compósitos 

iPoliméricas

Terrmoplásticas Termofixas

estruturais

Terrmoplásticas   Termofixas

ó iTermoplásticos Termofixos

Epóxi• Podem ser conformados várias vezes quando 

• Resistência a temperatura

• Insolúveis e infusíveis

Poliésteraquecidos• Recicláveis

infusíveis• Estrutura tridimensional com ligações crudzadas

Resinas Fenólicas

ligações crudzadas• Mais rígidos

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

Materiais de Reforço

Fibras Esferas Partículas Etc.

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

• Fibras– Vidro– CarbonoM t i– Metais

– Alumina– Boroo o– Aramida– Carbureto de SilícioQ /Síli– Quartzo/Sílica

– Grafite– Etc.Etc.

Materiais CompósitosMateriais Compósitos

• LaminadosLaminados

Unidericionais

Em ângulo (angle‐ply)

II. Materiais Anisotrópicos

Teoria da ElasticidadeTeoria da ElasticidadeEstática/Pequenas Deformações/Material Linear

T

1

0

jij ,

1

0

c

uu T

2

klijklij

ijjiij

c

uu

,,2

tensõesdetensor:

sdeformaçõedetensor:todeslocamenvetor:u

deelasticidadetensor:c

Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade

jiklijkljiij cc

Simetrias Menores

(27 componentes repetidas)

ijlkijkllkkl

jiklijkljiij

cc ( p p )

(18 componentes repetidas)

36 constantes independentes

Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade

Densidade de Energia de Deformação Elástica

ijklklijklijijij ccv 021

21)(

Densidade de Energia de Deformação Elástica

(         é positivo—definido)ijklklijklijijij 22)(

ijklklijklijvccv

)(,)( 2

( p )

klijijklklijkl

ijij

klijijkl cc (15 componentes repetidas)

21 constantes independentes

Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade

Notação de Voigt: JIJIJIJI sc Notação de Voigt:

ij I 111 111

JIJIJIJI sc

ij I11 11 1

22 22 2

33

22

11

3

2

1

33

22

11

3

2

1

33 33 3

23 32 4

13 31 5

13

23

33

5

4

3

13

23

33

5

4

3

22

13 31 5

12 21 6

12

13

6

5

12

13

6

5

22

Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade

Notação de Voigt: c Notação de Voigt:

111211131123113311221111161514131211 cccccccccccc

JIJI c

3312

2212

1112

3313

2213

1113

3323

2223

1123

3333

2233

1133

2222

11221111

36

26

16

35

25

15

34

24

14

33

23

13

22

1211

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

ccc

1312

2312

1313

23132323

56

46

55

4544

cc

ccc

cc

ccc

121266 cc

Simetrias do Tensor de ElasticidadeSimetrias do Tensor de Elasticidade

Notação de Voigt: c Notação de Voigt:

11615141312111 cccccc

JIJI c

3

2

1

36

26

16

35

25

15

34

24

14

33

23

13

22

1211

3

2

1

cc

cc

cc

ccc

5

4

3

56

46

36

55

45

35

44

3433

5

4

3

cc

ccc

6

5

66

5655

6

5

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Triclínico

161514131211 cccccc

36

26

16

35

25

15

34

24

14

33

23

13

22

1211

cc

cc

cc

ccc

56

46

36

55

45

35

44

3433

cc

ccc

c

66

5655

c

Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Monoclínico

15131211 00 cccc

35

25

15

33

23

13

22

1211

00

00

cc

ccc

46

55

35

44

33

00 cc

cc

66

55

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Ortorrômbico

131211 000ccc

33

23

13

22

1211

00

00

00

ccc

55

44

33

000

cc

c

66

55

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Tetragonal Classes

16131211 00 cccc

m4,4,4

16

16

33

13

13

11

1211

000

00 c

ccc

44

44

33

000

cc

c

66

44

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Tetragonal Classes

131211 000ccc

mmmmmm 4,24,422,4

33

13

13

11

1211

00

00

00

ccc

44

44

33

000

cc

c

66

44

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Trigonal (Romboédrico)  Classes

02514131211 ccccc

3,3

00

0025

25

14

14

33

13

13

11

1211

ccccc

0

14

25

44

44

33

cc

cc

c

2)( 1211

1444

cc

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetriaquartzo

Sistema Trigonal (Romboédrico) Classes

0014131211 cccc

mm 3,3,32

00

00

014

14

33

13

13

11

1211

cccc

00

1444

44

33

ccc

c

2)( 1211

1444

cc

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetriarochas, compósitos carbono‐epóxi

Sistema Hexagonal (Isotropia Transversal)

000131211 ccc

00

00

00

33

13

13

11

1211

ccc

000

44

44

33

cc

c

2)( 1211

44

cc

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Cúbico

121211 000ccc

11

12

12

11

1211

00

00

00

ccc

44

44

11

000

cc

c

44

44

c

Sistemas e Classes de SimetriaSistemas e Classes de Simetria

Sistema Isotrópico

12124412 0002 cccc

4412

12

12

4412

124412

00

00

00

22

ccccc

44

44

4412

000

cc

c

Cosntantes de Lamé:

44

44

cCosntantes de Lamé:

)1(2),21)(1( 4412 EcEc

Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990

Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990

Ref.: Auld, B. A., Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol I, 2nd ed., Krieger Publishing Company, 1990

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

3x3x

ijqjpipq aa

2x

ijqjpipq aa

ijklslrkqjpipqrs caaaac

1x2x

1x

a é uma matriz ortogonal de transformação (rotação)api é uma matriz ortogonal de transformação (rotação)

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Ex.: Rotação de um ângulo  em torno do eixo x3

33 xx Taa

x2x

0cossin

0sincos

a1x

2x1x

100

23131222112211

122211

2313122211

1222112211

cossin2sin2cos22

2cos2sin2

sincos2cos2sin2

2sin2cos22

3323132313

23131212

cossinsincos222

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

ijqjpipq aa

ijqjpipq aa

ijklslrkqjpipqrs caaaac

,232221

131211

aaaaaa

a Taa 1

333231 aaa

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

IPIP M

1121111131312

2

213

2

212

2

2111

22

22

22 aaaaaaaaa

4

3

2

32213122

3231

2221

31233321

3133

2123

32233322

3332

2322

3323

233

223

3222

232

222

3121

231

221

4

3

2

22

22

22

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaa

a

aaa

a

aaa

a

6

5

4

21122211

31123211

32213122

23112113

33113113

31233321

22132312

32133312

32233322

2313

1333

3323

2212

1232

3222

2111

1131

3121

6

5

4

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

IPIP N

1121111131312

2

213

2

212

2

2111 aaaaaaaaa

4

3

2

32213122

3231

2221

31233321

3133

2123

32233322

3332

2322

3323

233

223

3222

232

222

3121

231

221

4

3

2

222

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaa

a

aaa

a

aaa

a

6

5

4

21122211

31123211

32213122

23112113

33113113

31233321

22132312

32133312

32233322

2313

1333

3323

2212

1232

3222

2111

1131

3121

6

5

4

22

22

22

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

}]{[}{ M

}{]][][[}]{][[}{ 1 NcMcM

}]{[}{ c

}]{[}{ N

1]][][[][ NcMc

}]{[}{ c

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

A matriz de transformação        é ortogonal, logo pode‐se mostrar que a matriz é a transposta da matriz

][a1][ N ][Mque a matriz        é a transposta da matriz

TMN ][][ 1

][N ][M

portanto

TMM ]][][[][ TMcMc ]][][[][

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)Utilizando a notação reduzida (notação de Voigt)

Analogamente, para a matriz de flexibilidade (compliance)

}]{[}{ s

A transformação éA transformação é:

TNsNs ]][][[][

e }]{[}{ s

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico 

000131211 ccc

00

00

00

33

13

13

11

1211

ccc

000

44

44

33

cc

c

2)( 1211

44

cc

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico Epóxi reforçado por fibras de carbono

1x1

PLano Isotrópico

3x

2x2

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Exemplo:Material Transversalmente IsotrópicoExemplo: Material Transversalmente Isotrópico Epóxi reforçado por fibras de carbono (AS‐3501)

00

00

00

50.650.6

5.1424.75.14

GPa00

00

10.70161

][

c

63.3010.7

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

Rotação de 45° em torno do eixo 1Rotação de 45 em torno do eixo 1

22220001

][a

2222022220][a

000001

000

000

110

21210

21210

001

22

00

22

00

001

02121

02121

000

][M

22

22

22

2200

00

00

00

Transformação de Coordenadas

Rotação de 45° em torno do eixo 1

Transformação de Coordenadas

Rotação de 45 em torno do eixo 1

Acoplamento entre tensões normais e deformações

TMcMc ]][][[][

0037.087.687.65.14

normais e deformações cisalhantes

GP00

00

6.366.36

2.540.402.54

][

GPa

74.10

37.506.40

][

c

37.5

Transformação de Coordenadas

Rotação de 45° em torno do eixo 1

Transformação de Coordenadas

Rotação de 45 em torno do eixo 1

00

00

0.434.43

5.116.23

0.596.23

6.234.92

1-121 Pa10

36700

20800

0103

0.43

00.430.59

00.435.11

04.436.23

][][

cs

2083.67

3.67208

00

00

00

00

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

l ã2x

Acoplamento entre tensão normal e deformação cisalhante (distorção)

2

( ç )

0

00

00

224

14

23

12

22

12

12

11

2

1

ss

ss

ss

ss

2x3x4

000

000

000

0000

2

44

24

24

24

33

23

24

23

22

14

12

12

4

3

2

sssss

sss

sss

sss

00

00

00

00

00

55

56

56

55

6

5

ss

ss

212

234 10432 3x

2234 10432 2

III. Propriedades (Micromecânica)

Material IsotrópicoMaterial Isotrópico

Relação Constitutiva( ili d d h i E )

11 0001 EEE

(utilizando as constantes de engenharia:  E, )

3

2

1

3

2

1

000100010001

EEEEEEEEE

5

4

3

5

4

3

010000001000

GG

66 100000 G

)1(2 EG )1(2 EG

Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)

Compósito reforçado por fibras

2x

1x1x

3x

Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x

1xRelação constitutiva

3x

11312111 000 sss

3

2

1

332313

232212

131211

3

2

1

000000

ssssss

5

4

55

44

5

4

000000000000000

ss

6666 00000 s

Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x

Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)

1x

3x

2

1

3332221112

3331222111

2

1

000100010001

EEEEEEEEE

5

4

3

13

23

3322231113

5

4

3

0100000010000001

GG

EEE

6126 100000 G

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Constantes elásticas do compósito podem ser obtidas aConstantes elásticas do compósito podem ser obtidas a partir de ensaios de tração nas três direções principais de simetria do material

0,0 654321 2x

1x3x 1

131

13

2

131312121111 E

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

CisalhamentoCorpo de Prova de Iosipescu (cisalhamento puro)Norma ASTM D 7078‐05: V‐Notch Rail Shear Test 

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cisalhamento

P

Equilíbrio  de forças e momentos no espécime

P

ARBR

ARBR M

BRAR

2bL

BA

bL

0 LRbR BA PRR BA

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

PLPbbL bL

Corpo de Prova cisalhamento puro

bLPbbL

PL

p

bLPb

P

2Pb

Diagrama de Esforço Cortante

2Pb

Diagrama de Momento Fletor

2Pb

Fletor

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas2x

Medida da Deformação 1xCisalhante

)45( Extensômetros

)45( Extensômetros

)45()45(2 126

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

CisalhamentoCisalhamento

6 AP

6612

6 )45()45(

G

Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x

Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)

1x

3xSimetria

2

1

3332221112

3331222111

2

1

000100010001

EEEEEEEEE

5

4

3

13

23

3322231113

5

4

3

0100000010000001

GG

EEE

6126 100000 G

Material Ortotrópico (ortorrômbico)Material Ortotrópico (ortorrômbico)2x

Relação Constitutiva(utilizando as constantes de engenharia)

1x

133312221111

00010001

EEEEEE

3x

4

3

2

23

3322231113

3332221112

4

3

2

00100000010001

GEEE

EEE

6

5

4

12

13

3

6

5

4

100000010000

GG

22

23

33

32

11

13

33

31

11

12

22

21 ,,EEEEEE

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

EnfoqueMicromecânico: determinação das constantesEnfoque Micromecânico: determinação das constantes elásticas do compósito a partir das propriedades dos seus constituintes (matriz e fibras)

Seção transversal de compósitos reforçados por fibra unidirecionais

Fração volumétrica: 0,4 Fração volumétrica: 0,7

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Hipótese: fibra e matriz são de materiais homogêneos, 

fE ‐Módulo de Elasticidade da Fibra

isotrópicos, elásticos e lineares

mE ‐Módulo de Elasticidade da Matriz

fG ‐Módulo de Cisalhamento da Fibra

Fibra

f ‐ Coeficiente de Poisson da Fibra

f

mG ‐Módulo de Cisalhamento da Matriz

f Coeficiente de Poisson da Fibra

m ‐ Coeficiente de Poisson da Matriz

fV Fração Volumétrica da FibrafV ‐ Fração Volumétrica da Fibra

mV ‐ Fração Volumétrica da Matriz fm VV 1Matriz

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

2fibdl d24totalvolume

fibradevolumeld

V ff

l

lfd

785,04

max

fVMáxima fração volumétrica:  ld f

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas 

3x

2x

x

2x

3x1x

1x2x

3x

Célula Unitária 1x

2x

Modelo Micromecânico

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cálculo de E11

1x2x P P

mfmm

ff

fm VVAAAA 111 )(

ffmf

mff

fmmmfmff

ff VVAAAVAAAV 111)(,)(

f

f

ff

f

fmf

f

VVEEE 1

1

1

1

1

111

11

11

mfff EVEVE )1(11

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cálculo de 12

1x2x 2h

2h

mf hhh hhVhhV mmff ,

mf

mf

hhh

hhhh fff 11

mmff ,

hhh

hhh mmffmf 11

2

hh mf 2 )1( VV hhm

mf

f

1

2 )1(12 fmff VV

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cálculo de E222

2x2h

2

1x2h

2

m

mf

fm

mf

f hE

hE

hhhh 22222

f hhhhh mmff

mf

VEVEEE

E

)1(22

m

m

f

f

Ehh

Ehh

hh

22 mmff )(

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cálculo de G126

2x6

6

61x

6

6 6

2m

2mh

2

ffh

2mh

mmff hhW

2m

W

m

Determinação das Constantes ElásticasDeterminação das Constantes Elásticas

Cálculo de G12

mmff hhW

hh)1( mmff

mmff VVh

hhh

W

)1(66

12

6m

mf

f

VG

VGG

ff

mf

VGVGGG

G

)1(12

mmff VGVG )1(

Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)

2 6

Material Ortotrópico

x2x 1

6

6

1x1

2 6

6

Direções Principais de 11EQ

0 QQ

Simetria do Material

2222

2112

1111 1

EQ

EQ

6

2

1

66

22

1211

6

2

1

00

QQQQ

221211212112

211222

11

1EEQQ

Q

1266

21122112 11GQ

Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)

26

x2x 1

6

6

1x1

26

6

11612111 QQQ

6

2

66

2622

6

2

QQQ

Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)

26

x2x 1

6

6

1x1

26

6

TTT

][][][]][[][

22

22

22

][ mnmnmnnm

T

QQT

]][[][]][[][][][][

22

2][nmmnmn

mnmnT

cosmTTQTQ ]][][[][

sincos

nm

Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)

26

x2x 1

6

6

1x1

26

6

6622

224

1222

114

22

6622

224

1222

114

11

42

42

QnmQmQnmQnQ

QnmQnQnmQmQ

223366

222212

31211

316

6622

2222

1244

1122

12

)(2)()(

4)(

QnmmnQQmnQQnmQ

QnmQnmQmmQnmQ

66222

221222

121122

26

6622

22123

12113

26

)()()(

)(2)()(

QnmQQnmQQnmQ

QnmmnQQnmQQmnQ

Estado Plano de Tensão (2D)Estado Plano de Tensão (2D)

Propriedades Elásticas no Planop(Lâmina de Material Ortotrópico)

12122211 ,,, GEE 12122211 ,,,

66122211 ,,, QQQQ

)()()()()()( QQQQQQC d Lâ i )(),(),(),(),(),( 662616122211 QQQQQQCada Lâmina

IV. Placas Laminadas

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

2x

bah ,Placas Finas

 z

h

1xb

a

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Plano x1z

Teoria Clássica

)()(

),(),,(1

21211

xxwzxxuxwzxxuzxxu

z

),(),,( 21212 xxwzxxu

1xw

x

90°1x

wz1

x1u w

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

wPlano x2z

Teoria Clássica

)()(

),(),,(2

21212

xxwzxxuxwzxxvzxxu

z

),(),,( 2121 xxwzxxuz

22 x

w

90°2x

wz2

v wx2

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Campo de Deslocamentos

),(),,(),(),,(

221212

121211

xwzxxvzxxuxwzxxuzxxu

p

),(),,( 21213 xxwzxxu

Campo de Deformações

2

21

2

11

11 x

wzxu

xu

2

22

2

22

22

wvuuu

xwz

xv

xu

21121

2

2

16 2

xxwz

xv

xu

xu

xu

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Definindo‐se

12

06

2

02

1

01 e,,

xv

xu

xv

xu

21

2

622

2

221

2

1 2e,,xx

wkxwk

xwk

As deformações podem reescritas na forma:

0 k

6

2

1

06

02

1

6

2

1

kkk

z

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Campo de deformações ao longo da espessuraCampo de deformações ao longo da espessura

(linear e contínuo)

02

01

2

1

kk

zz

06

6k

21 ou xx

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

 z

Lâmina j

2x

1xjz

hjh

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Tensões na Lâmina  j ( j = 1,2, ..., N)j ( j , , , )

2

1)(

26)(

22)(

12

)(16

)(12

)(11

)(2

)(1

QQQQQQ

jjj

jjj

j

j

1)(

16)(

12)(

1101

)(16

)(12

)(11

6)(

66)(

26)(

16)(

6

kQQQQQQ

QQQjjjjjj

jjjj

6

2

1

)(66

)(26

)(16

)(26

)(22

)(12

161211

06

02

1

)(66

)(26

)(16

)(26

)(22

)(12

161211

kkk

QQQQQQQQQ

zQQQQQQQQQ

jjj

jjj

jjj

jjj

66626166662616 kQQQQQQ

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Tensões na Lâmina  j ( j = 1,2, ..., N)j ( j , , , )

}{][}{][}{ )(0)()( kQzQ jjj }{][}{][}{ kQzQ

jj

jj

hzz

hz

22 jj zzz

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Campo de tensões ao longo da espessuraCampo de tensões ao longo da espessura

(linear por partes e descontínuo)

z }{][}{][}{ )(0)()( kQzQ jjj

}{

21 ou xx

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Esforços Generalizadosç

dNN h

2 11

  zdzNN

h

2

6

2

6

2

1N2N

1x2x

1N N6N N12N6N

6N

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Esforços Generalizadosç

dMM h

2 11

  zdzzMM

h

26

2

6

2

1M2M

1x2x

2M1M2

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Esforços Generalizadosç

dMM h

2 11

  zdzzMM

h

26

2

6

2

1x2x

6M M66M

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

Esforços Generalizadosç

N hzj

jhN

jj 2)(

)(12 11

j hz j

j

h

dzdzNN

jj1 2 )(6

)(2

26

2

6

2

N hz

j

jh

dzzdzzMM

jj 2)(

2

)(12

2

1

2

1

j hz jh

dzzdzzMM

jj1 2 )(6

22

6

2

6

2

Teoria Clássica de Placas LaminadasTeoria Clássica de Placas Laminadas

0

11612111612111 BBBAAAN

06

02

662616662616

262212262212

6

2

kDDDBBBBBBAAABBBAAA

MNN

6

2

1

662616111111

262212111111

161211111111

6

2

1

kkk

DDDBBBDDDBBBDDDBBB

MMM

66626161111116 k

)6,2,1,(1

)(

qpQhAN

j

jpqjpq

1j

N

j

jpqjjpq QhzB

1

)(2

N hh 3212

N

j

jpq

jjjpq Q

hhzD

1

)(32

1212