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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Introdução aos Métodos Numéricos
Métodos Numéricos paraMecânica dos Fluidos
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Bibliografia: J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics',
SpringerVerlag Berlin Heidelberg New York, 1997.
Introdução aos Métodos Numéricos
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
O que é?Resolver as Equações de conservação computacionalmente
É não linear em U;A pressão não tem derivada temporal;A equação acima não tem solução geral;Só é possível resolver usando computadores.
Mecânica dos Fluidos Computacional CFD
Introdução aos Métodos Numéricos
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Possibilidades e Limitações
Estudo de escoamento sobre um automóvel
audi TT
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Possibilidades e Limitações
Escoamentos turbulentos
Simulação Numérica Direta – DNStodas as escalas
Simulação de Grandes Escalasapenas as grandes escalas modelos para pequenas escalas
Simulação com Média de Reynoldsmodelos para turbulência
Introdução aos Métodos Numéricos
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Possibilidades e Limitações
Simulação Numérica Direta – DNS
Tempo 100 horas Cray90
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Possibilidades e Limitações
Simulação Numérica Direta DNS
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Possibilidades e Limitações
Simulação de Grandes Escalas – LES
tempo computacional menor
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Possibilidades e Limitações
Simulação deGrandes
Escalas – LES
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Possibilidades e Limitações
Simulação com Média de Reynolds – RANS
Tempo de simulaçãomenor do que LES
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Possibilidades e Limitações
Simulação com Média de Reynolds – RANS
Introdução aos Métodos Numéricos
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Introdução aos Métodos Numéricos
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Componentes:
Modelo MatemáticoMétodo de DiscretizaçãoCoordenadasMalha NuméricaAproximações FinitasMétodo de SoluçãoCritério de Convergência
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Modelo Matemático
Primeiro passo para qualquer método numérico
Definir as equações diferenciais ou integrodiferenciais e as condições iniciais e de contorno.
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Método de Discretização
Aproximação das equações por um sistema de equações algébricas em pontos discretos no espaço e tempo.
Métodos mais comuns:Método dos Volumes FinitosMétodo dos Elementos FinitosMétodo das Diferenças Finitas
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Coordenadas
As equações podem ser escritas em diferentes formas, dependendo do sistema de coordenadas:
Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas, Curvilíneas,Ortogonais, Curvilíneas não Ortogonais;Fixas ou Móveis Ex.: simulação de choque com
pássaro.A escolha do tipo de coordenadas depende do tipo do
escoamento a ser estudado
Introdução aos Metodos Numéricos
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Malha Numérica
A posição discreta na qual as variáveis serão calculadas são definidas como malha numérica (representação geométrica do domínio).
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Malha Numérica
Malha Estruturada
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Malha Numérica
Malha Estruturadaem blocos
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Malha Numérica
Malha não Estruturada
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Malha Numérica
Malha não Estruturada
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Aproximações Finitas
Selecionar as aproximações que serão utilizadas no processo de discretização:
Diferenças Finitas: aproximações para as derivadas;Volumes Finitos: aproximações para as integrais de
volume e de superfície;Elementos Finitos: funções e funções peso.
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Método de Solução
Depende do problema:
Elíptico;Parabólico;Hiperbólico;Misto.
Técnicas iterativas.
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Critério de Convergência
Quando existem métodos iterativos para solução do problema é necessário definir um critério de convergência.
Este critério deve ser escolhido de tal forma que se obtenha eficiência e precisão.
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Propriedades:
ConsistênciaEstabilidadeConvergênciaConservaçãoLimitaçãoFactibilidadePrecisão
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Consistência
A solução encontrada deve convergir para a solução das equações, quando a distância entre os pontos da malha tenderem para zero.
Erro de truncamento: dx^n, dt^n
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Estabilidade
Um método é dito estável quando ele não amplifica os erros que aparecem durante o processo de simulação numérica.
Erros: arredondamento, truncamento.
Método de Von Neumann: utilizado para verificar a estabilidade de um método.
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Convergência
Um método é dito convergente quando a solução das equações discretizadas tendem para a solução exata quando a distância entre os pontos da malha tendem para zero.
Lax Equivalence Theorem:Consistência + Estabilidade = Convergência
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Conservação
Já que estamos simulando numericamente equações de conservação, estas equações devem ser respeitadas local e globalmente.
Ex.: entrada e saída de fluido em dutossimulação de escoamento sobre perfis aerodinâmicosetc...
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Limitação
As soluções numéricas devem estar dentro de certos limites físicos.
Ex.:Densidade, energia cinética da turbulência > 0;Concentração de substância > entre 0% e 100%Distribuição de temperatura numa placa;etc...
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Factibilidade
Modelos de fenômenos que são difíceis de serem tratados diretamente (turbulência, combustão, escoamento multifásico), devem ser desenvolvidos para garantir soluções físicas realísticas.
Ex.: Escoamento sobre um cilindro.
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Precisão
Soluções numéricas de escoamentos e transferência de calor são soluções aproximadas.
Além de erros que podem aparecer no desenvolvimento e implementação do código (BC) temos erros de:
Modelagem : modelo numéricoDiscretização : sol. exata das eq. usadas e a sol. obtidaConvergência : solução exata e solução iterativaUm erro pode cancelar outro > malhas
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Método de Discretização:
Diferenças FinitasVolumes FinitosElementos FinitosEspectrais
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Método das Diferenças Finitas
É o método mais antigo para solução de EDP;Introduzido por Euler no século 18;É o mais fácil de ser utilizado em geometrias simples*;Aproximações das derivadas são obtidas através da
expansão em série de Taylor ou aproximação polinomial;Desvantagem: conservação, restrição a geometrias
simples*.* fronteiras imersas
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Método dos Volumes FinitosUtiliza a forma integral das equações;O domínio é dividido em volumes de controle contíguos e
as equações de conservação são aplicadas a cada um deles;
As integrais de superfície e de volume são aproximadas por formulas de quadratura;
Pode acomodar qualquer tipo de malha, é conservativo, fácil de programar;
Difícil de se obter alta ordem pois possuem dois níveis de aproximação: interpolação e integração.
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Método dos Elementos Finitos
É parecido com o método dos volumes finitos, com a diferença que as equações são multiplicadas por uma função peso antes de serem integradas em todo o domínio;
O domínio é dividido em elementos discretos que podem ser quadriláteros ou triângulos;
Geometrias complicadas, malhas são facilmente refinadas;
Método dos paineis: Michael George Maunsell
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Métodos Espectrais
Podem ser utilizados quando tratamos de escoamentos que possuem contornos periódicos;
As equações são discretizadas no espaço de Fourier e as derivadas obtidas são exatas;
Ex.:Escoamento sobre um cilindro (2D);transição;etc...
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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Possibilidades e limitações dos métodos numéricos;Componentes;Propriedades;Métodos de discretização.
Resumo:
Introdução aos Métodos Numéricos
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