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INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS
INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA
CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO
RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA
CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO
RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA
INTRODUÇÃO
Com a chave no lado esquerdo o capacitor recebe carga da bateria.
Chave no lado direitoo capacitor se descarregaatravés da lâmpada.
dxxfetxetxet
tTH
xtt
)(1
)()(0
0
0
RESPOSTA GERAL: CIRCUITO DE PRIMEIRA ORDEM
0)0(; xxfxdt
dxTH
IncluIindo a condição inicialno modelo do capacitor (tensão)ou no indutor (corrente):
Resolvendo a equação diferencial, usando o fator de integração, tem-se:
dxxfetxetxt
t
TH
xttt
)(1
)()(0
0
0
0)0();()()( xxtftaxtdt
dx
t
e
/*
É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.
É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.
CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM COMFONTES CONSTANTES
0)0(; xxfxdt
dxTH
0
)()( 0
tt
THTH eftxftx
0tt
A forma da solução é:
021 ;)(0
tteKKtxtt
Qualquer variável do circuito éda forma:
021 ;)(0
tteKKtytt
Somente os valores das constantes K1, K2 podem mudar
TRANSIENTE
TEMPOCONSTANTE
EVOLUÇÃO DO TRANSIENTE E A INTERPRETAÇÃO DA CONSTANTE DE TEMPO
VISÃO QUALITATIVA:MENOR CONSTANTE DE TEMPOMAIS RÁPIDO O TRANSITÓRIODESAPARECE
Erro menor que 2% Transiente é zeroa partir deste ponto
Descarrega de 0.632 do valorInicial em uma constante de tempo
Tangente atinge o eixo x no valor da constante de tempo
CRTH
CONSTANTE DE TEMPO
vS
R S a
b
C
+
vc
_
Carga em um capacitor
THCC
TH vvdt
dvCR
O modelo:
0)0(, CSS vVv
Assume
A solução pode ser escrita como:
t
SSC eVVtv
)(
CRTH
transiente
Para efeitos práticos, o capacitor é“carrregado” quando o transitórioé insignificante.
0067.0
0183.00498.0135.0
5
432
368.0
t
et
dt
dvC C
S
SC
R
vv
0S
SCc
R
vv
dt
dvC
: KCL@a
ASSUME FIND 2)0(.0),( SVvttv
)(tv @KCL USE 0.t FORMODEL
0)()(
tdt
dvC
R
Vtv S
2/)0( SVv condition initial
PASSO 1 CONSTANTE DE TEMPO
fydt
dy
PASSO 2 ANÁLISE DO ESTADO INICIAL
value)state(steady ,t and 0for
IS SOLUTION
1
21 0,)(
Kv(t)
teKKtvt
NO ESTADO INICIAL A SOLUÇÃO É UMACONSTANTE. A DERIVADA É ZERO.
SVK
1
values)statesteady (equating
fKfydt
dy 1 THEN ISMODEL THE IF
PASSO 3 USO DA CONDIÇÃO INICIAL
1221 )0()0(
0
KvKKKv
t
AT
fvK )0(2 2/2/)0( 2 SS VKVv
0,)2/()(
teVVtv RC
t
SS :ANSWER
EXAMPLE
sVtvtdt
dvRC )()(
R/*
)(ti
0),( tti FIND0t FORKVL USE MODEL.
Rv
Lv)(ti
KVL
)()( tdt
diLtRivvV LRS
0)0()0()0(
0)0(0
iii
it
inductor
CONDITIONINITIAL
PASSO 1R
Vtit
dt
di
R
L S )()( R
L
PASSO 2 ESTADO INICIALR
VKi S 1)(
PASSO 3 CONDIÇÃO INICIAL
21)0( KKi
R
Lt
S eR
Vti 1)( :ANS
EXAMPLE
)0();(
0,)(
211
21
xKKxK
teKKtxt
0t FORKCL MODEL.
)()(
tiR
tvIS
)(tv
)()( tdt
diLtv )()( tit
dt
di
R
LIS
PASSO 1
PASSO 2 SS IKIi 1)(
PASSO 3 210)0( KKi
R
Lt
S eIti 1)( :ANS
0)0( i :CONDITIONINITIAL
R
L
PROBLEMA
0t FORMODEL
2
)()(
R
tvti
É MAIS SIMPLES DETERMINAR ATRAVÉSDO MODELO DE TENSÃO
0t FOR STATESTEADY IN CIRCUIT INITIAL CONDITIONS
VvVkk
kvC 4)0(4)12(
63
3)0(
0)(
)(
||;0)(
)()(
2121
P
P
R
tvt
dt
dvC
RRRR
tvt
dt
dvC
R
tv
kkkRP 26||3
sFCRP 2.0)10100)(102( 63 PASSO 1
PASSO 2 0)( 1 Kv
PASSO 3 VKVKKv 44)0( 221
0],[4)( 2.0
tVetvt
0],[3
4)( :ANS 2.0
tmAeti
t
0,)( 21
teKKtit
0),( ttvO FIND
C
1R
2R
KCL USE 0.t FORMODEL
0)()(0)( 2121
cCCC vt
dt
dvCRR
RR
vt
dt
dvC
sFCRR 6.0)10100)(106()( 6321 PASSO 1
)(3
1)(
42
2)( tvtvtv CCO
PASSO 20,)( 21
teKKtv
t
C 01 K
CONDIÇÃO INICIAL. CIRCUITO NO ESTADO INICIAL t<0
)0(Cv V)12(
9
6
][88)0( 221 VKKKvC PASSO 3
0],[8)( 6.0
tVetvt
C
0],[3
8)( 6.0
tVetv
t
O
EXEMPLO
)(tvc DETERMINE
)0();(
0,)(
1211
21
iKKvK
teKKtv
C
t
C
0),(1 tti FIND
KVL USE 0.t FORMODEL
0)(18 11 ti
dt
diL
L
0)()(9
11
1 titdt
di
)0();(
0,)(
12111
211
iKKiK
teKKtit
PASSO 1 s9
1
PASSO 2 01 K
CONDIÇÃO INICIALCORRENTE NO INDUTOR PARA t<0
)0(1 i
CIRCUITO NO ESTADO INICIAL
AV
i 112
12)0(1
PASSO 3
][1)0()0( 22111 AKKKii
0],[][)( 991
1
tAeAeti t
t
:ANS
)(1 ti
Lv
EXEMPLO
CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM
EQUAÇÃO BÁSICA
Simples Nó: Uso KCL
Ri Li Ci
0 CLRS iiii
)();()(1
;)(
0
0
tdt
dvCitidxxv
Li
R
tvi CL
t
tLR
SL
t
t
itdt
dvCtidxxv
LR
v )()()(
10
0
Diferenciando
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S 1
2
2
Malha simples: Uso KVL
Rv
Cv
Lv
0 LCRS vvvv
)();()(1
; 0
0
tdt
diLvtvdxxi
CvRiv LC
t
tCR
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S2
2
SC
t
t
vtdt
diLtvdxxi
CRi )()()(
10
0
EXEMPLO LYRESPECTIVE FOR EQUATIONAL DIFFERENTI THE WRITE ),(),( titv
0
00)(
tI
tti
SS
Si
MODEL O PARA RLC PARALELO
dt
di
L
v
dt
dv
Rdt
vdC S 1
2
2
0;0)( ttdt
diS
01
2
2
L
v
dt
dv
Rdt
vdC
Sv
00
0)(
t
tVtv S
S
MODELO PARA RLC SÉRIE
dt
dv
C
i
dt
diR
dt
idL S2
2
0;0)( ttdt
dvS
02
2
C
i
dt
diR
dt
idL
A RESPOSTA DA EQUAÇÃO
)()()()( 212
2
tftxatdt
dxat
dt
xd
EQUATION
THE FOR SOLUTIONS THESTUDY WE
solutionary complement
solution particular
:KNOWN
c
p
cp
x
x
txtxtx )()()(
0)()()( 212
2
txatdt
dxat
dt
xdc
cc
SATISIFES
SOLUTIONARY COMPLEMENT THE
SE A FUNÇÃO FORÇADA É UMA CONSTANTE
solution particular a is 2
)(a
AxAtf p
Axadt
xd
dt
dx
a
Ax p
ppp 22
2
2
0 :PROOF
)()(
)(
2
txa
Atx
Atf
c
FUNCTION FORCING ANY FOR
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
EXEMPLO
0)(16)(8)(4 2
2
txtdt
dxt
dt
xd
FREQUENCYNATURAL
ANDRATIO DAMPING EQUATION,
STICCHARACTERI THE DETERMINE
COEFICIENTE DA SEGUNDA DERIVADA
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
2nn2
0422 ss
EQUATION STICCHARACTERI
RAZÃO DE DECAIMENTO, FREQ. NATURAL
2 n
5.0
A EQUAÇÃO HOMOGÊNEA
0)()()( 212
2
txatdt
dxat
dt
xd
0)()(2)( 22
2
txtdt
dxt
dt
xdnn
FORM NORMALIZED
2
11
22
2
22
a
aa
aa
n
nn
ratio damping
frequency natural (undamped)
n
02 22 nnss
EQUATION STICCHARACTERI
ANALISE DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA
0)()(2)( 22
2
txtdt
dxt
dt
xdnn
FORM NORMALIZED
02
)(22
nn
st
ss
Ketx
iff solution a is
stst Kesdt
xdsKet
dt
dx 22
2
;)( :PROOF
stnnnn Kesstxt
dt
dxt
dt
xd)2()()(2)( 222
2
2
02 22 nnss
EQUATION STICCHARACTERI
roots)distinct and (real :1 CASE 1tsts eKeKtx 21
21)( roots) conjugate(complex :2 CASE 1
d
nn
js
js
21
tAtAetx ddt sincos)( 21
tjttjst dndn eeee )( :HINTtjte dd
tj d sincos
roots) equal and (real 1 :3 CASE ns
tnetBBtx 21)(
)022()02( 22 nnn
st
sANDss
te
iff solution is :HINT
tsts eKeKtx 2121)(
frequency noscillatio dampedd
*12)( KKtx real
tj
d
deKtxjs
KK )(1
*12 Re2)(
2/)( 211 jAAK ASSUME
1
0)()(
2
222
2222
nn
nnn
nnn
s
s
s
(modes of the system)
factor damping
EXEMPLO
0)(4)(4)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
0442 ss
EQUATION STICCHARACTERI
0)2(044 22 sss
242 nn 142 n
system 3) (case damped critically a is this
t
st
etBBtx
etBBtx2
21
21
)()(
)()(
DETERMINAR A FORMA DA SOLUÇÃO GERAL
0)(16)(8)(4 2
2
txtdt
dxt
dt
xd
0)(4)(2)(2
2
txtdt
dxt
dt
xd
242 nn 5.022 n
system 2) (case dunderdampe
325.0121;1 2 ndn
tAtAetx
tAtAetxt
ddt
3sin3cos)(
sincos)(
21
21
3103)1(42 22 jssss
Raizes reais e iguaisRaizes complexas conjugadas
CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDOSUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO
PROBLEMA
FCHLR
RLC
2,2,1 WITH CIRCUIT PARALLEL
01
2
2
L
v
dt
dv
Rdt
vdC 02
2
C
i
dt
diR
dt
idL
042
1
02
2
2
2
2
2
v
dt
dv
dt
vd
v
dt
dv
dt
vd
016
3)
4
1(
4
1
222 s
ss
2
1
4
1;
2
1 nn
tAtAetv
t
c 4
3sin
4
3cos)( 21
4
4
3
4
11
2
11 2 nd
FFFCHLR
RLC
2,1,5.0,1;2 WITH CIRCUIT SERIES
EQUAÇÃO HOMOGÊNEA
022
2
C
i
dt
di
dt
id
valuesreplace& L/:
CC nn 22;1
C=0.5 subamortecidoC=1.0 criticamente amortecidoC=2.0 superamortecido
Classificar a resposta paraum dado valor de C
4
1
EXEMPLOFCHLR 5
1,5,2 VvAi CL 4)0(,1)0(
t
L dt
dvCidxxv
LR
v
0
0)0()(1
011
2
2
vLCdt
dv
RCdt
vd
015.22 ss
EQUATION STICCHARACTERI
25.1;1 n
2
5.15.2
2
4)5.2(5.2 2
s
tt eKeKtv 5.02
21)(
To determine the constants we need
)0();0( dt
dvv
Vvvv CC 4)0()0()0( 0t KCL AT
0)0()0()0(
dt
dvCi
R
vL
C
5)5/1(
)1(
)5/1(2
4)0(
dt
dv
2;255.02
421
21
21
KKKK
KK
0;22)( 5.02 teetv tt
RiLi Ci
0 CLR iii
PASSO 1 MODELO
PASSO 2
PASSO 3RAIZES
PASSO 4FORMA DASOLUÇÃO
PASSO 5: OBTER AS CONSTANTES
)0(),0( LC iv FIND GIVEN NOT IF
ANALIZARCIRCUITOt=0+
%script6p7.m%plots the response in Example 6.7%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0t=linspace(0,20,1000);v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)')title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')
USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA
SUPERAMORTECIDOSUPERAMORTECIDO
EXAMPLO FCHLR 04.0,1,6
VvAi CL 4)0(;4)0(
t
CvdxxiC
tdt
diLtRi
0
0)0()(1
)()(
0)(1
)(2
2
tiLC
tdt
di
L
R
dt
id
0)(25)(62
2
titdt
di
dt
id
02562 ss :Eq. Ch.6.062
5252
n
nn
432
100366js :roots d
)4sin4cos()( 213 tAtAeti t
Aii L 4)0()0(
)0( dt
di COMPUTE TO
)()( tdt
diLtvL
)0()0()0( CvRidt
diL 20)0(
dt
di
41 A
)4cos44sin4()(3)( 213 tAtAetit
dt
di t
24)4(320:0@ 22 AAt
0];)[4sin24cos4()( 3 tAtteti t
Rv Lv
Cv0 CLR vvv
t
CC dxxiC
vtdt
diLtRitv
0
)(1
)0()()()(
0];)[4sin224cos4()( 3 tVttetv tC
model
Form:
USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA%script6p8.m%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t))% and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t))% use a simle algorithm to estimate display timetau=1/3;tend=10*tau;t=linspace(0,tend,350);it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t));vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t));plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current')title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')
SUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO
EXEMPL0HLFCRR 2,1,1,10 21 AiVv LC 5.0)0(,1)0(
KVL
0)()()( 1 tvtiRtdt
diL
KCL
)()(
)(2
tdt
dvC
R
tvti
0)()()(
)(1
212
2
2
tvt
dt
dvC
R
tvR
dt
vdCt
dt
dv
RL
0)()(1
)(2
211
22
2
tv
LCR
RRt
dt
dv
L
R
CRt
dt
vd
0)(9)(6)(2
2
tvtdt
dvt
dt
vd 0962 ss :Eq. Ch.
162,3 nn
22 )3(096 sss :Eq. Ch.
tBBetv t21
3)(
Vvv c 1)0()0(
)0()0(
)0()0(
0
2 dt
dvC
R
vii
t
L
KCL AT
3)0( dt
dv
11)0( Bv
63)0(3)0( 22 BBvdt
dv
0;61)( 3 ttetv t
USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA
%script6p9.m%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)tau=1/3;tend=ceil(10*tau);t=linspace(0,tend,400);vt=exp(-3*t).*(1+6*t);plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)')title('CAPACITOR VOLTAGE')
CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDO
SecondOrder
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