View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Juros compostos
No sistema de capitalização composta, os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após um tempo t de capitalização, temos:
M = C·∙(1 + i)t
M é o montante
C é o capital inicial
i é a taxa de juros
t é o tempo de capitalização
M = C + J J = M – C
J é o juros
A taxa i deve ser expressa na mesma medida de tempo de t.
A taxa i deve ser escrita na forma decimal.
10% = 0,1 3% = 0,03 2,5% = 0,025
Importante:
Taxa ao mês Tempo em meses
Taxa ao ano Tempo em anos
Ex:
Um capital de R$ 200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o montante desta aplicação após 90 dias. (Considere (1,02)3 = 1,06)
Dados:
C = R$ 200,00
i = 2%
t = 90 dias
M = C·∙(1 + i)t
M = 200·∙(1 + 0,02)3
M = 200·∙(1,02)3
M = 200·∙1,06
M = R$ 212,00
= 0,02
= 3 meses
(Loterj). Ken aplicou R$ 25.000,00 a juros compostos de 1,4% ao mês durante dois meses. O valor dos juros foi: (A) R$ 26.640,28. (B) R$ 820,40. (C) R$ 692,48. (D) R$ 704,90. (E) R$ 1.640,28. Dados:
C = R$ 25.000,00 i = 1,4% t = 2 meses
M = C·∙(1 + i)t M = 25.000·∙(1 + 0,014)2 M = 25.000·∙(1,014)2 M = 25.000·∙1,028196
M = R$ 25.704,90 J = M – C J = 25.704,90 – 25.000
J = R$ 704,90 = 0,014
JUROS SIMPLES
Profº Cláudio Mendes
Juros é a remuneração de um capital em um determinado período de tempo determinado.
Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira.
Juros simples O juros sempre incidirá sobre o capital inicial.
Montante é o capital inicial acrescido do rendimento obhdo durante o período de aplicação.
Taxa de juros: é o índice que determina a remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, meses, anos, etc.)
Montante (ou valor futuro)
Capital inicial (ou valor presente)
Período de aplicação
Taxa de juros no período
Juros acumulado no período
100tiCJ ⋅⋅
= JCM +=
Dados necessários:
M
C
t
i
J
Dados:
C = R$ 10.000,00
t = 6 meses
i = 3% a. m.
100tiCJ ⋅⋅
=
Determine o valor dos juros simples a serem pagos em um empréshmo no valor de R$ 10.000,00 pelo prazo de seis meses, sabendo-‐se que a taxa cobrada foi de 3% a.m.?
100tiCJ ⋅⋅
=
10063000.10 ⋅⋅
=J
100000.180
=J
008001 ,.$RJ =
100tiCJ ⋅⋅
=100
tiCJ ⋅⋅=
100tiCJ ⋅⋅
=
Qual o valor do montante de uma aplicação de R$ 4.000,00 após um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 0,6 % ao mês? a) R$ 4.182,00. b) R$ 4.332,00. c) R$ 4.432,00. d) R$ 4.512,00. e) R$ 4.492,00.
Dados: C = R$ 4.000,00 t = 18 meses
i = 0,6% a. m.
100186,0000.4 ⋅⋅
=J
100tiCJ ⋅⋅
=
100200.43
=J
=J 432,00
M = C + J
M = 4.000 + 432
M = R$ 4.432,00
100tiCJ ⋅⋅
=100
tiCJ ⋅⋅=
100tiCJ ⋅⋅
=
Numa compra de R$ 750,00, um cliente deu um cheque pré-‐datado para 90 dias no valor de R$ 795,00. A taxa de juros simples cobrada foi: (A) 2% ao mês. (B) 1,8% ao mês. (C) 0,2% ao mês. (D) 0,18% ao mês. (E) 3% ao mês.
Dados: C = R$ 750,00 t = 3 meses
M = R$ 795,00
M = C + J
795 = 750 + J
795 – 750 = J
R$ 45,00 = J
100tiCJ ⋅⋅
=
100375045 ⋅⋅
=i
100225045 i⋅
=
i⋅= 22504500
i=22504500
i% =2
Números inteiros
Profº Cláudio Mendes
Conjunto dos números inteiros:
Números Zero Números Negahvos Posihvos
..., -‐3, -‐2, -‐1 1, 2, 3, ... 0
Z = {...,-‐3,-‐2,-‐1,0,1,2,3,...}
OBSERVAÇÕES: 1 -‐ Os números inteiros aumentam da esquerda para direita, ou seja: 6 > 4 -‐ 2 < 1 -‐5 < 0 3> -‐5 -‐5 < -‐1 2 -‐ O zero não é posigvo nem negagvo.
RETA NUMÉRICA
Sinais iguais Somar e repehr o sinal (+4) + (+5) = +9 (–4) + (–5) = –9
Adição de números inteiros
Sinais diferentes Subtrair e repehr o sinal do maior número (–4) + (+5) = +1 (+4) + (–5) = –1
Subtração de números inteiros
Subtrair números inteiros corresponde a adicionar o oposto:
(+5) – (+6) = 5 – 6= –1
(–5) – (+6) = –5 – 6 = –11
(–5) – (–6) = –5 + 6 = 1
(+5) – (–6) = 5 + 6 = 11
Mulhplicação de números inteiros
(+5) . (+8) = 40
(+5) . (–8) = – 40
– 40 (–5) . (+8) =
(–5) . (–8) = 40
Divisão de números inteiros
(+20) : (+4) = 5
(+20) : (–4) = – 5
– 5 (–20) : (+4) =
(–20) : (–4) = 5
Os números -‐2, -‐1 e (-‐2)·∙(-‐1) ocupam na reta numérica abaixo as posições indicadas, respechvamente, por quais letras? a) P, Q, S b) Q, P, P c) R, S, R d) S, R, Q
Considerando 0 a origem:
R = +1
S = +2
Q = -‐1
P = -‐2 (-‐2) ·∙ (-‐1) = + 2 = S
(Correios) Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e mínima registrada em um lugar. Num dia de inverno em Berlim (Alemanha), a temperatura mínima registrada foi de –3ºC e a temperatura máxima foi de 2ºC. Qual foi a amplitude térmica registrada nessa cidade? A) 5ºC B) 1ºC C) 6ºC D) –5ºC E) –1ºC
Temperatura máxima: 2º C
Temperatura mínima: –3º C
Amplitude térmica: 2 – ( – 3 ) = 2 + 3 = 5º C
PORCENTAGEM
Profº Cláudio Mendes
Porcentagem
A resolução de problemas envolvendo porcentagem é equivalente a resolução de problemas com frações cujo denominador é 100
(Correios) Um produto é oferecido pelo preço de R$ 3.245,00 à vista e por R$ 3.829,10 para pagamento parcelado. O percentual de acréscimo no valor à vista é de a) 15,5 %. b) 20,5 %. c) 16 %. d) 18 %. e) 19,8 %.
Acréscimo: 3.829,10 – 3.245,00 = R$ 584,10
3.245 584,10
100% x%
3.245x = 58.410 58.410 3.245
= 18% x =
(Eletrobrás) Uma empresa aérea que opera, semanalmente, 60 vôos entre o Brasil e os Estados Unidos, solicitou autorização para aumentar em 15% o número semanal de vôos entre os dois países. Se essa autorização for concedida, quantos vôos semanais a referida empresa aérea realizará entre o Brasil e os Estados Unidos? (A) 9 (B) 15 (C) 56 (D) 69 (E) 96
60 vôos x vôos
100% 15%
100x = 60 ·∙ 15 100x = 900
900 100
x = 9 vôos x =
Total de vôos:
60 + 9 = 69
(Loterj) Uma mercadoria, que custava um valor A (em reais), sofreu dois acréscimos consecuhvos de 10% e, em seguida, sobre o valor obhdo, sofreu uma redução de 10%, passando a custar um valor B (em reais). Podemos dizer que o valor B, tomando o valor A como referência, é maior: A) 7,5%. B) 8,0 %. C) 8,9%. D) 10%. E) 12,2%.
Valor arbitrário A = 100 100 + 10% = 100 + 10 = 110 110 + 10% = 110 + 11 = 121
121 – 10% = 121 – 12,1 = 108,9
108,9% – 100% = 8,9%
Valor B
(ANAC) 60% de 60% de 60% de uma quanhdade representam a seguinte porcentagem dessa quanhdade: (A) 21,6%; (B) 24,8%; (C) 32,4%; (D) 42,8%; (E) 44,4%.
Valor arbitrário: A = 100
60% de 100 = 60
60% de 60 = _60_ ·∙ 60 = 3.600 = 36 100 100
60% de 36 = _60_ ·∙ 36 = 2.160 100 100
= 21,6
PROBABILIDADE
Profº Cláudio Mendes
Problemas do 1º grau
Profº Cláudio Mendes
(Petrobras) Somando dois números inteiros e consecuhvos, o resultado encontrado é 131. O maior desses números é:
(A) 65 (B) 66 (C) 67 (D) 68 (E) 69
Números consecuhvos: x x + 1
x + x + 1 = 131
2x + 1 = 131 2x = 131 – 1
2x = 130
x = 130 2
66
65 x =
x + 1 =
(Correios-‐2008) Ricardo usa a Internet em horários e dias em que é cobrada uma taxa única a cada vez que faz uma conexão. Assim, gasta mensalmente R$25,00 com o provedor e mais R$3,00 por acesso (conexão). No úlhmo mês, conectou a Internet várias vezes e pagou R$85,00. Se esse mês ele conectar o dobro de vezes do mês passado, quanto ele pagará?
(A) R$180,00 (B) R$170,00 (C)R$145,00 (D)R$120,00 (E)R$154,00
x = nº de conexões
25 + 3 ·∙ 40 = 3x = 85 – 25
3x = 60
x = 20 conexões
Valor para 40 conexões:
= 25 + 120 =
= R$ 145,00
(Eletrobras) Segundo relatório do China Internet Network Center, divulgado em julho de 2009, a China possui 384 milhões de internautas. O número de internautas com menos de 30 anos supera em 9 milhões o dobro do número de internautas com 30 anos ou mais. Quantos milhões de internautas, com 30 anos ou mais, existem na China? (A) 118 (B) 125 (C) 131 (D) 208 (E) 253
x = internautas com menos de 30 anos y = internautas com 30 anos ou mais x + y = 384
x = 2y + 9
2y + 9 + y = 384
3y = 384 – 9
3y = 375 y = 375 3
= 125
(BNDES) Certa marca de café é comercializada exclusivamente em embalagens de 250 g ou de 400 g. Se um consumidor dessa marca comprar uma embalagem de cada, gastará, ao todo, R$ 3,30. Se, em vez disso, esse consumidor comprar o correspondente a 900 g em embalagens desse café, pagará, ao todo, R$ 4,60. A diferença, em reais, entre os preços das embalagens de 400 g e de 250 g é (A) 0,80 (B) 0,70 (C) 0,60 (D) 0,50 (E) 0,40
x = embalagens de 250 g y = embalagens de 400 g
x + y = 3,30
900 g = 2x + y = 4,60
x = 4,60 – 3,30 = R$ 1,30
x + y = 3,30
1,30 + y = 3,30 y = 3,30 – 1,30
y = R$ 2,00 Diferença: 2 – 1,30 = R$ 0,70
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Profº Cláudio Mendes
Uma progressão geométrica (P. G.) é uma sequência numérica ordenada de forma que cada termo, a parhr do segundo, é igual ao termo anterior mulhplicado a um valor constante, denominado razão. Ex:
(2, 4, 8, 16, 32, 64)
(81, 27, 9, 3, 1)
razão 2
razão 1/3
Seja a sequência:
( )na,...,a,a,a,a 4321
1a 2a
3a
na
n
q
= 1º termo = 2º termo
= 3º termo
= úlhmo termo (ou termo procurado)
= nº de termos
= razão = 2
3
1
2
aa
aa
=
32512 =−=−aa 32512 =−=−aa
1
2
aa
Observe a sequência:
( )1024256641641 ,,,,,S=
Temos: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
1641
3
2
1
aaa
q = 4
n = 6 6aan = = 1024
2
3
aa
A razão da P. G. é:
1
2
aa
==14
==416
4
4
11
−⋅= nn qaa
Último termo de uma P.G. ou termo procurado
Primeiro termo da P.G.
Número de termos da P.G.
Razão
Termo Geral de uma P. G.
A medida do lado, o perímetro e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Qual a área do quadrado?
Lado do quadrado: x
Perímetro do quadrado: x + x + x + x = 4x Área do quadrado: x ·∙ x = x2
Sequência: (x, 4x, x2)
xx
xx
44 2
= 16 = x
Área do quadrado = 162 = 256 u2
(correios-‐RJ) Considere a seqüência numérica (1, 3, 9, ...). O séhmo termo dessa seqüência é: a) 144. b) 288. c) 243. d) 729. e) 576.
Dados:
a1 = 1
q = 3
an = a7 = ?
n = 7
Termo geral da P. G.
an = a1 ·∙ qn -‐ 1
a7 = 1 ·∙ 37 -‐ 1
= 1 ·∙ 36
= 1 ·∙ 729
729
a7 a7
a7 =
Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o úlhmo termo é 375. O primeiro termo dessa PG é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Dados:
a1 = ?
q = 5
an = a4 = 375
n = 4
Termo geral da P. G.
an = a1 ·∙ qn -‐ 1
375 = a1 ·∙ 54 -‐ 1
= a1 ·∙ 53
= a1 ·∙ 125
a1
375 375
375 125
=
3 = a1
PROPORÇÕES
PROFº CLÁUDIO MENDES
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
dc
ba=
dcba ÷=÷
meios
extremos
meios
extremos
96
32=
Na proporção:
Os extremos são:
Os meios são:
2 e 9
3 e 6
“Dois está para três assim como seis está para nove”
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Ex:
96
32= 6392 ⋅=⋅
x12
34=
3124 ⋅=x
364 =x
436
=x
9=x
1014
55=
+x
( ) 514510 ⋅=+x705010 =+x
507010 −=x
2010 =x
1020
=x
2=x
÷
×
×
Em um jardim, existem rosas e margaridas. Para cada 5 rosas, existem 2 margaridas. Se o número total de flores for igual a 168, quantas rosas e quantas margaridas têm o jardim? Para cada 7 flores existem 5 rosas. Então, para 168 flores haverá x rosas.
x168
57=x168
57=
x168
57=
51687 ⋅=x8407 =x
7840
=x 120=x rosas
168 -‐120 = 48 margaridas
PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS
Profº Cláudio Mendes
(IBGE) Um pipoqueiro vende pipocas em sacos de dois tamanhos: o pequeno custa R$0,60 e o grande, R$1,00. Quanto ele recebeu, em reais, no úlhmo fim de semana, se vendeu 32 sacos grandes e 24 pequenos? (A) 43,20 (B) 44,40 (C) 46,40 (D) 48,20 (E) 54,40
Sacos grandes: 32 ·∙ 1 = R$ 32,00
Sacos pequenos: 24 ·∙ 0,60 = R$ 14,40
Total: 32 + 14,40 = R$ 46,40
(Eletrobrás) Sustentada pelo avanço da construção civil, a venda de cimento vem aumentando nos úlhmos meses. Certa loja de material de construção vendeu 5,2 toneladas de cimento em fevereiro, 0,7 tonelada a mais do que em janeiro. Ao todo, quantas toneladas de cimento essa loja vendeu nesses dois meses? (A) 9,1 (B) 9,4 (C) 9,7 (D) 10,2 (E) 10,3
Fevereiro vendeu 0,7 toneladas a mais que janeiro
Janeiro = 5,2 – 0,7 = 4,5 toneladas
Janeiro + fevereiro = 5,2 + 4,5 = 9,7 toneladas
(Correios-‐RJ) A quanha de R$ 720,00 foi dividida entre três pessoas, de tal forma que a primeira recebeu a metade, a segunda a terça parte e a terceira o restante. Assinale a alternahva que corresponde à fração do total recebido pela terceira pessoa. a) 2 / 3. b) 3 / 5. c) 1 / 5. d) 1 / 6. e) 2 / 7.
1ª pessoa = _1_ de R$ 720,00 2 2ª pessoa = _1_ de R$ 720,00 3 1ª pessoa + 2ª pessoa
_1_ 2
+ _1_ 3
_3_ 6
+ _2_ 6
_5_ 6
=
_1_ 6
_6_ 6
– _5_ 6
=
= Restante: 1 – _5_ 6 =
de R$ 720,00
de R$ 720,00
(BNDES)Um automóvel parte para uma viagem com o tanque cheio. Depois de percorrer 3/8 do percurso dessa viagem, seu tanque está com a metade do combus�vel inicial. Nesse momento, o motorista para em um posto de gasolina e coloca combus�vel correspondente a 1/3 da capacidade do tanque. Ao final da viagem o tanque estará: (A) vazio. (B) com 1/6 da sua capacidade. (C) com 1/4 da sua capacidade. (D) com 1/3 da sua capacidade. (E) com 1/2 da sua capacidade.
3/8 da viagem 1/2 tanque x 5/6 tanque
_1_ 2
·∙ x = _5_ 16
x =
21165
= _5_ 8
da viagem
Percorreu 3/8 da viagem faltam 5/8 da viagem
_1_ 2
+ _1_ 3
_5_ 6
=
_3_ 8
·∙ _5_ 6
_15_ 48
= _5_ 16
= ÷3 ÷3
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Conceito de probabilidade
Ex: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos como resultado um número par?
O dado tem 6 faces Nº casos possíveis = 6
Nº pares: 2, 4, 6 Nº casos favoráveis = 3
P(A) = Nº casos favoráveis Nº casos possíveis
= _3_ 6
= _1_ 2
= 50% ÷3 ÷3
(Petrobras) Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? (A) 1/9 (B) 1/4 (C) 5/9 (D) 5/18 (E) 7/36
Casos possíveis:
6 6 1º dado 2º dado
6 ·∙ 6 = 36
Casos favoráveis:
9
54, 45, 36, 63
10
55, 46, 64
11
65, 56
12
66
10
P = casos favoráveis casos possíveis = 10
36 = _5_
18 ÷2 ÷2
(Eletrobrás) Certo site pesquisou a nacionalidade de seus usuários e constatou que 50% moram nos EUA, 9%, no Brasil, 7%, na Inglaterra, 4%, no Canadá, e os demais, em outros países. Sorteando-‐se ao acaso um usuário desse site que não more nos EUA, a probabilidade de que ele more fora do Brasil é de: (A) 9% (B) 18% (C) 40% (D) 82% (E) 91%
Valor arbitrário: 100
Casos possíveis = não moram nos E. U. A. = 50
Brasil = 9 Fora do Brasil = 41
41 50 =
_82_ 100
= 82%
Casos favoráveis:
P = x 2 x 2
Recommended