View
266
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
1/9
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
2/9
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
3/9
.
Inicialmente, neste capítulo, foi explicado que a
resposta de um sistema
LIT
a uma excitação qual-
quer consta de duas partes: componente natural e
componente forçado ou de regime permanente. Os
sistemas nos quais a resposta natural desaparece com
o tempo são denominados sistemas estáveis.Quando
isso não acontece, o sistema é instável. Depois dessa
análise, foram apresentados os sinais de entrada mais
comumente utilizados: o degrau, a rampa, a parábola
e o impulso, que é um modelo teórico, mas muito
importante, de excitação do sistema. A partir daí foi
iniciado o estudo da dinâmica dos sistemas propria-
mente dita. Iniciou-se pelos sistemas de 1
ª
ordem,
ilustrado por vários exemplos e seguiu-se com uma
coleção de problemas propostos. Depois, foi apre-
sentada a dinâmica dos sistemas de 2ª ordem. Vimos
que, contrariamente ao que ocorre com os sistemas
de 1ª ordem, cujo comportamento é bastante uni-
forme, o comportamento dos sistemas de 2ª ordem
varia radicalmente com o valor dos parâmetros que
apresentam. Por isso, foi necessário o estabeleci-
mento de uma classificação prévia, em sistemas (a)
superamortecidos, (b) criticamente amortecidos e
(c) subamortecidos. Foi, então, feito um estudo por-
menorizado dos sistemas de cada item dessa classi-
ficação, sempre acompanhada de vários problemas
resolvidos. Estudamos especialmente a resposta ao
degrau, que é um sinal de teste muito importante,
particularmente para os sistemas reguladores. Apre-
sentamos algumas fórmulas que facilitam o cálcu-
lo da resposta impulsiva e da resposta ao degrau.
Examinamos, ainda, os sistemas de 3ª ordem, que
também são muito frequentes. Acreditamos, assim,
que o cálculo da resposta a qualquer excitação para
sistemas de qualquer ordem ficou suficientemente
esclarecido. .•
A velocidade de rotação em radls de um rotor em
várias situações é dada pelas seguintes funções do
tempo, a partir de t = O:
(a) m t) = 10e-
5t
(b) m t) = 100(1 - e - o . o
Sf
(c )
m t) = -50e-
21
Faça, para cada caso, um esboço de coem função do
tempo, indicando a velocidade inicial, a velocidade
final e a constante de tempo.
@ Consideremos um motor de corrente contínua (c . c .)
considerado como sistema de 1ª ordem, cuja en-
trada é a tensão aplicada e a saída é a velocidade
de rotação m t) em rpm. Para uma tensão de 20 V,
a velocidade final adquirida pelo motor é de 500
rpm. Além disso, verificou-se que decorrem 25
5
para que a rotação atinja 316 rpm. Determine a
função de transferência do motor. Escreva tam-
bém a equação da rotação (em rpm), em função
do tempo. .
Observação: Note que 316 rpm é 63,2% da velo-
cidade de rotação final do motor.
G) O motor elétrico do problema anterior está fun-
. cionando há algum tempo com velocidade de regi-
me quando é subitamente desligado pela abertura
de uma chave. Determine a equação da velocidade
em rpm, a partir do instante em que foi desligado.
Quanto tempo decorre até a parada completa que
se admite ocorrer 5 constantes de tempo depois de
desligado?
8Um sistema possui uma função de transferência
G (s)
= 20/ 5
+
25). Determine a constante de tem-
po, o tempo de subida e o tempo de acomodação.
Qual a constante de ganho? Qual o valor final da
resposta a um degrau unitário?
G)
O
diagrama de blocos da Figura 6.36 representa
um servomotor de c.c .: V é a tensão de armadura
em volts;
Q
é a velocidad~ de rotação em rad/s.
(a) Qual a constante de tempo desse motor (em
segundos)?
(b) Qpal a resposta a um degrau de tensão de 20 V
(em radlsegundo)?
(c) Faça um esboço da velocidade em função do
tempo.
(d) Qual é, nesse caso, a velocidade final do motor
em rpm (1 radls = 9,55
rpm ),
Q 5)
+
l im I Z I I D Diag rama de blocos .
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
4/9
Um bloco de massa M
=
1 kg pode deslizar sobre
uma plataforma horizontal, mas fica sujeito na
base a um atrito viscoso de coeficiente 0,1 Ns/m.
No instante
t
=
0, é aplicada uma força de im-
pacto muito intensa (10.000 N), mas de curta
duração (0,01 s). Essa força pode ser considerada
como sendo um impulso. Qual o valor desse im-
pulso? Qual a velocidade
v(t)
do bloco a partir
de
t
= O?
Qual a resposta a uma rampa unitária do sistema
cujafunção de transferência é G (s) = 5/(s + 2)?
Informação: Um sistema de P ordem com função
A • Y(s) K
de transferência -- = - - tem como resposta
U (s) s+ a
à
rampa unitária
(U(s)
= ~):
s
y(t) =
K {t -
~ 1- e - a , ) }
a a
Qual a resposta do sistema representado pelo diagra-
ma de blocos da FIgura 6.37, a uma rampa unitária?
U{s
y{s
+
_ Diagrama
de blocos.
No circuito da FIgura 6.38 se tem um amplificador
operacional associado a dois resistores e um capa-
citor:
(a) Determine a função de transferência
G (s ) = ~(5).
~(5)
(b) Indique o valor do ganho K (constante de gan-
s
ho de frequência zero).
(c) Indique o valor da constante de tempo do circuito.
(d) Calcule a resposta do sistema
(v,(t))
para o caso
em que a entrada é um degrau unitário de ten-
são
V I
(t )) = h(t) .
Calcule a resposta a um degrau unitário do sistema
cuja função de transferência é dada abaixo.
G(s)
=
20 5+1)
5+4) 5+5)
A resposta de determinado sistema a um degrau
unitário aplicado no instante t = ° é:
Capítulo 6 Resposta dinâmica dos sistemas lineares 93
V,{t)
5000
1 kQ
Amp.op.
+
__ C_ir..;.c_ui_to_. _
Um bloco retangular de massa M = 2 kg pode
deslocar-se sobre um plano horizontal, estan-
do sujeito apenas a um atrito viscoso de coeficiente
B
= 0,5
N/ mls).
Inicialmente em repouso, essebloco é
submetido a uma força horizontal de 1.000 N durante
um intervalo de 0,01 s.Qual a velocidade inicial?Qual
a coastante de tempo desse sistema? Supondo que ele
esteja praticamente em repouso depois de 5 constan-
tes de tempo, qual a distância total percorrida?
Sugestão: Considere a ação sobre o bloco como
sendo um impulso de valor 1.000 . 0,01 = 10 Ns.
Um rotor, como o indicado na Figura 6.39, pode
girar em torno dtj' seu eixo, sujeito apenas ao atri-
to viscoso nos mancais. O momento de inércia do
rotor é de] = 0,05 kg' m
2
e o coeficiente de atrito
viscoso é
~ o +
~l = 0,02 Nrn/(radls). A velocidade
de rotação inicial do rotor é n o = 1.200 rpm. De-
termine a resposta de velocidade do sistema. Qual
a constante de tempo do sistema?
_..;._R_o_to_r_. _
®
Um bloco de massa M = 1 kg pode deslizar so-
bre uma plataforma horizontal, mas fica sujeito na
base a um atrito viscoso de coeficiente 0,1 Ns/m.
No instante
t
=
0, é aplicada uma força de impacto
muito intensa (10.000 N), mas de curta duração
(0,01 s). Essa força pode ser considerada como
se fosse um impulso. 011al o valor desse impulso?
Qual a velocidade
v t)
do bloco a partir de
t
= O?
v(t) = lOe-
t
se n(2 t)
Determine a função de transferência desse siste-
ma e desenhe cuidadosamente o gráfico de
·v(t)
em.
função do tempo.
A resposta de determinado sistema a um degrau
unitário aplicado no instante t = Oé:
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
5/9
.
v( t) = 1 0e-
1
c os (2 t)
Det~rmine a função de transferência desse siste-
ma e desenhe cuidadosamente o gráfico de
v( t)
em
função do tempo.
@
Sendo a função de transferência de um sistema
Y(s) 1 00
--=
U (s) /
+ 65+ 25
(a) Calcule a resposta desse sistema a um degrau
unitário.
(b) Verifique se o gráfico da Figura 6.40 descreve
corretamente a resposta do problema.
Fórmulas úteis:
)
K [ C D
-cu ( )]
) t
=
-7 1- -
e
sen C D
d
t
+
< 1 >
CD CD
d
_~ _ __ ._ _ _ _ c ~ - . -
0,6 0,8 1 1,2 1.4 1,6 1,8 tempo (s)
~~ Resposta ao de grau unitá rio.
Um bloco de massa Mligado por um amortecedor
e uma mola a uma parede fixa está sob a ação da
força
f t) ,
como indica a Figura 6.4l.
Dados: M = 1 kg; B = 20 N/(m/s); K = 64 N/m.
Sendo a força
f t)
= 160 h(t) = degrau de 160 N, de-
termine a função de transferência
G (s)
=
X(s ) / F (s) ,
o deslocamento e a velocidade em função do tem-
po, para o caso da força descrita. Qual a velocidade
máxima alcançada pelo móvel?
~ Diagrama de b loco s .
® Dado o sistema cu.i~função de transferência é
G(s )
=
Y(s)
=
1 2 s
+ 40
U(s ) /
+
1 0s+ 2 4
determine as constantes de tempo e as respostas ao
impulso e ao degrau unitários.
19 Determine a função de transferência G(s) = (V/s)/
V
1
(s)) do circuito indicado na Figura 6.42. Determi-
ne os polos e zeros e represente-os no plano s . Qyal a
resposta do sistema a um degrau unitário de tensão?
Dados numéricos:
R
=104Q'
C
=lOI IF
1 '1 [ '
R = 2 . 10
4
Q; R, = 10
5
Q
R
2
C
2
=
1
s
R
1
R
~ ~ ~
1
V
1
\
Ganho
Ka= -1
Amplificador
ideal
~~
_C_i_r~~u-it-O -. _
®
Sendo a função de transferência de um circuito
V
2
( s ) =
1__6____
V
1
( s )
/+105+ 1 60
(a) Calcule a resposta desse circuito a um degrau
unitário de tensão.
(b) Faça um esboço cuidadoso da curva de resposta
encontrada no item anterior.
Fórmulas úteis:
< 1 > =
a r c t a n ; )
Determine a resposta ao degrau unitário do sistema
indicado no diagrama de blocos da Figura 6.43.
U s
Y s
52+45 +35
~ Diagram a de blocos.
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
6/9
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
7/9
Determine a resposta ao impulso unitário do siste-
ma cuja função de transferência
é
obedecendo à seguinte sequência:
(a)Mostre que essa função de transferência pode
ser escrita como segue:
21
5 + 4
G l s = 5+ 4)2+ 9 + 5+4 2+ 9
b)
Mostre que a resposta ao impulso unitário re-
sulta:
g(t) = e-
41
(7sen(3t ) + cos(3 t))
~) Recorde
JJ m pOJJco d a trigaflam,gtrí~ g QlQ.tre
que e~? resposta pode agf @scrita sab a fgnr.a:
;g{ t
7,072 I ~ett 3t g, 13°)
Determine a resposta ao degrau unitário do
siste-
n:a cuja função de transferência é:
G s = , 5+25
5 + 85+ 25
Faça inicialmente o cálculo pelo desenvolvimen-
to em frações parciaise trB:mfôfft1a8a in @fsa de
:Captace .
Depeis, util iib € a f órQ lJ Jh dada a
seguir,
El.- sQuzid apara o
p~o
d e
.i.u~m,a. Cgm,
um
par de
pol o s comp lexas g um zero real.
Observação:
Sistema de 2
ã
ordem, subamortecido, com um zero
real em
-a
(ver Figura 6.49):
G(5 ) = K(5
+
a
52 + 20.5+
w
2
n
K( s
+
a )
A resposta ao degrau unitário nesse caso é dada
pela expressão vista anteriormente.
j(j)
o
51
x---------- j(j)d
Pa
8
a
~- - - - - - o, ~- L~- - - - - - - - - - - - - ~- - ~- - - - - - ~
-a
-a
90°
52
x---------- - j(j)d
~~' _P_o_l_o_s, _
_~ •__ •. , •• ~· __ c
()
Ka
1 p c . O
ai }
y
t
= ~
1- __
_ e -
sen
w,r +
c P
w
= .
com
< jl =
8 - 8 + 90
,I
1
P u =
) ( a -
a)2 + úl,~
8
=
arctan a
~ d a
8
1
= arctan
( : J
Determine a resposta ao degrau unitário do siste-
ma cuja função de transferência é:
G(5) = 25(5 + 1)
52 + 8s + 25
Faça inicialmente o cálculo pelo desenvolvimen-
to em frações parciais .ê-t 'B:I'l~ffi 'ffia8B:irn'€ F8íl:de
L-ap :a ce .
Depois, t erifiEtM8 r€l6Hltftdo t:tti:l:i~
a
fÓ al a
indicada
l lH l
a
goterjQ.f.
3 1
Mostre que a resposta ao impulso unitário de um
sistema subamortecido de 2 ordem dotado de
um zero real (verFigura
6.50)
G (s)
=
K(s
+
a )
52 + -2as + w
2
n
K(5 + a
[ s +
c y y + w ~ J
é
dada pela expressão
()
Kp -cu ( )
g
t =
a
e .
sen
W, t +
8
ú) a
d
sendo
e 8a
=
arctan ( w )
a-a
júl
(3
~~P-o-lo-s- -----------------------------
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
8/9
·
.
1.
8
G (s )
=
Y(s )
=
1500
F(s)
X s
U(s )
i
+
26 1 s+ 1560
9
G (s ) = c,(GP3
+
1)
,
1 + G,G3
10
Reduzindo
os
fatores
comuns,
obtemos:
V
+
85+ 4)
§.
2
0,8
(5 + 1 )( s + 8) 5 +
2).
5 +
10,4
11
3
10
U s
Y s
S2
+ 4s + 10
1
5
2
+ 7s +
1,5
Y(5) 1600
G (s) = GPP3
-=
5
U (5)
(5 2
+
10 5
+
16 0)
1+ GP2H + G
j
G
2
G
3
G (s )
=
G,G/G 3 + G
4)
12
G (s ) = 12 (s) = 40
6
1 +
G ,G 2H j
+ G,G2G 3 + G,G2G 4
V, (s ) (r + 0,5)( s+ 1 )
Respostas selecionadas 327
1. (a) 10 rad/s; O; 0,2 s; (b) O; 100 rad/s; 20 s;
(c )
-50
rad/s; O ; 0,5 s.
y(t) = 0, 71 4[t - 0,0476(1 - e-
2lt
)]
9 (a) - 5 ~~5; b K g = 2; (c) 0,04 s; (d) v
2
= 2 ( I - e ] ) ,
1
G5 =---
5 + 0,04.
,
O) (t) = 500(1 - e - O ,0 4 ) rpm.
10 ~
=
5
m/s;
1:
=
4
s;
distância total
= 19 ,86
m.
3
O)(t)
= 5 0 0 e - O ,0 4 t
rpm; T(parada)
=
51:
=
125 s.
11 O) (t) = 1 . 2 0 0 e O , 4 t rpm; 2,5 s.
4 Constante de ganho K g = (20/25) = 0,8; cons-
tante de tempo 1: = 1/25 = 0,04 s; tempo de su-
bida
ts
= 2,2 1: = 0,088 s; tempo de acomodação
tac
= 4 1: = 0,16 s; valor final da resposta y(oo) =
0,8.
12 Impulso = 1006( t) ; v(t) = 100/
d
:.
14.
20/(? + 25 + 5).
15
10(5
+
1)/(5
2
+
25
+
5).
5
(a) 1:
=
1,111 s; (b)
O) (t) =
111,1(1 - e - O , 9 t ) rad/s; ve-
locidade final = 1.061 rpm. 16
6 Impulso = 100Ns; v(t) = 1 00 e-O ,lt.
7 G(s)
=
X(s ) = -,--~
~(s)
~ ~~
y(t) = 2 ,5[t - 0,5(1 - e-
2 t
)]
8/18/2019 Lista de Exercícios Cap. 6 Controle Essencial
9/9
328 CONTROLE ESSENCIAL
(
)
5
10 -4/ 2,5 -16/
X t = 2 - e + e
, 3 3 '
()
40 (
4t -16/).
vt= e e
3
v
=
6,3 mls no instante t = 0,116 s.
max
Resposta ao degrau unitário.
, ,
,
0,2 : : - ~--- -~-. - .. - - . - - -
, ,
,
, , ,
,
,
,
°
0,2
0 4
0,6 0,8
t s)
Amplitude
1,4 .- .. · T . . · · · ] · · - · - - : - · · - - l · · - · . r · - · · · ; - : . .
1,2 -----~- j [ . . - - . . (
j .
. L ~~~
, ,
1 .. -- .. (-.(.--.~
18. Constantes de tempo: 0,25 e 0,1667;
g(t) = 4(
_e
41
+ 4e-
6/
);
y(t) =
iC 1+
0,6e-
4t
- 1,6e-
6
/).
3
, ,
0,8 .- ...
~ - j - - r - - : - j - r - - +
0,6t-··· - - : - - - - - - i - - - - - - : - - - - - - - : - - - - - - ~ - - - - - - ~ · - - - - - : - - - - -
I
, , , , , ,
, , ,
, , ,
, , I , , , ,
I ::::::
- - - - - r - - - - - - ; - - - - - - - 1 - - - - - - : - - - - - - j - - - - -
I
-----~-----:----------- - - - - - - ; - - - --
19. Um zero na origem (5= O);polos: -1 e -10;
v
2
t) = (50 /9 )(e -e
10/)
para t ~ O.
°
0,5
1,5
2,5
3,5 tís
21.
y(t) =10 [1
-1 ,08g e-
s,
sen(11,62t
+
66,72°)J
y(t) =4[1 -1 ,02 4e-
2
sen(9t + 77,47°)].
r-
r
8 -10, 5 - 1 6 l
o t
=
2:: >01-
e + e
1 .1
26.
ç = 0,385; co = 13; co = 12; T, = 0,164;
T
= °
262' T
= °
8' M 'P = 27%.
ac
(unidades S.1.)
Esboço.
Resposta ao degrau unitário.
20.
22.
~
23. (a) F(5 ) = 40/(; + 95 + 48).
(b) 5
=
-4,5 ±j5,2 7.
1,2
(c) ç
=
0,65 subamortecido.
(d) g(t) =
7,5ge-
4
,51
sen(5,27t).
Resposta impulsiva.
Amplitude
10 -. - - - - - - -. -- -- -~- -- -- - -- - - -- - -- ~--- -- - - -- - -. - - -~--- - --
8 ------.--------~--------------~-----.---------~------
6 - - - - - - - - - - - - - - - i - - - - - - - - - - - - - - - i - - - - - - - - - - - - · - - - - - - - - -
4 ---- - - - -- - -- - -- ~-- - -- - - - - --- - --~--- - -- - - - - - - - - -~--- - --
2 - - - - -. - -. - - -; - - - - - - - - - - - - - - - ~- - - - - - -- - - - - - - - ~-- - - --
O - - -- - - . - - - - -- -- ; - :
- - - - - - - . - - - - .
- 2 - - - - - - - - - - -- - --~- - - - - - - - - - - - - - -~-- - - - - - - - - - - - - - ~-- - - --
, - 4 - - - - - - - . - - - - - - - j - - - - - - - - - - - - - - - j - - - - - - - - - - - - - - - j - - - - - -
- 6 ---------------:---------------:---------------:------
_8 . __~-.- __ ~ ... ~ _
- 10 --- ----.-- -- - - - j - - - - - - - -
- - - - - - - j - - - - - - - - . - - - - - .
j - - - - - -
Amplitude
1,4 - - · - - - - T · - - - · - T · - - - - - - r - - - - - - - - ; - - · - - - - - : - - - - - - -
27.
~ = 0,55;
Mp ::::
27%
T; :: ::
,45
( )
47,7
G s :: :: -c- _
i+ 5 ,76s+
47,7
1,5
1,5
1,5 t s)
24.
30.
y(t) = 1 -e -4t (cos(3t) - 7sen(3t))
sen(cot - 188,13°)
29. y(t) = 1 -1,4142
e:
sen(3t + 45°)
25.
(a)
F(5 )
= 20/(5
2
+ 65+ 20);
(b)
ç
=
0,67 e
1 :
=
0,33;
(c)M = 5,8% e
t
= 0,946;
p p
(d) co = 3,32 e
t
b = 0,694 (unidades S.1.);
d JU
(e) Esboço.
32.
y(t) = 2(1
_2 ,4e-
O
,5t
+ 1 ,5e-
t
-0, le-
3/
)
34.
y(t) = 1,0 - O,314e-lO
t
0,8 95e-O,6281 sen(6,293t +
50,4°).
Recommended