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GABARITO
1Matemática E
Matemática E – Extensivo – V. 6
Exercícios
01) a) P(1) é sempre igual à soma dos coeficientes de P(x).b) P(0) é sempre igual ao termo independente de P(x).c) P(2) é a raiz de P(x), pois P(2) = 0.
a) P(1) = 1³ + 7 . 1² − 17 . 1 −2 P(1) = 1 + 7 − 17 − 2 P(1) = −11b) P(0) = 0³ + 7 . 0² − 17 . 0 − 2 P(0) = 0 + 0 − 0 − 2 P(0) = −2c) P(2) = 2³ + 7 . 2² − 17 . 2 − 2 P(2) = 8 + 28 − 34 − 2 P(2) = 0
02) D
Com 24 dólares é fixo para 30 min, então 24 é termo independente. Mas pagamos 3 dólares para cada hora e excedemos os 30 min, ou seja, o valor da hora extra é dado por 3x, em que x é o número de horas que excede 30 min.
Portanto, a expressão que relaciona o valor da utilização da bicibleta é:
f(x) = 3x + 24
03) V – V – V – F
(V) Para m = − 3 P(x) = ((−3)² − 9)x³ + ((−3) + 3)x² + ((−3) + 7)x − 2 P(x) = 0x³ + 0x² + 4x − 2 P(x) = 4x − 2 ⇒ grau 1(V) Para m = 3 P(x) = (3² − 9)x³ + (3 + 3)x² + (3 + 7)x − 2 P(x) = 0x³ + 6x² + 10x − 2 P(x) = 6x² + 10x − 2 ⇒ grau 2(V) Para que P(x) tenha grau zero devemos ter P = –2,
ou seja, (m2 – 9)x2 + (m + 3)x2 + (m + 7)x = 0 Daí concluímos que:
m i
m ii
m iii
2 9 0
3 0
7 0
− =+ =+ =
( )
( )
( )
Note que não existe m tal que satisfaça simultanea-mente (i), (ii) e (iii).
Portanto, P(x) nunca terá grau zero.(F) Como queremos somar os coeficientes, logo: m² − 9 + m + 3 + m + 7 − 2 ⇒ m² + 2m − 1 Vamos supor que a soma dos coeficientes dê −6,
logo:
m² + 2m − 1 = −6 m² + 2m + 5 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara: Δ = 2² − 4 . 1 . 5 Δ = 4 − 20 Δ = −16
Observe que Δ = −16, sendo assim a equação não possui raízes reais. Logo, a soma dos coeficientes nunca poderá ser −6.
04) 1024 e 1
P(x) = (3x − 1)10
Soma dos coeficientes: P(1) = (3 . 1 − 1)10
P(1) = 210
P(1) = 1024
Termo independente: P(0) = (3 . 0 − 1)10
P(0) = (−1)10
P(0) = 1
05) A
Expressão custo da primeira empresa. P1(n) = 350 000 + 100 000n
Expressão custo da segunda empresa. P2(n) = 150 000 + 120 000n
Equação que torna indiferente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas.
P1 = P2
350 000 + 100 000n = 150 000 + 120 000n . (10–3) 350 + 100n = 150 + 120n
06) C
P(x) = (a − 2)x³ + (1 − b)x + (c − 3) Q(x) = 2x³ + (3 + b)x − 1
Logo: a − 2 = 2 ⇒ a = 4 1 − b = 3 + b ⇒ b = −1 c − 3 = −1 ⇒ c = 2
GABARITO
2 Matemática E
07) a = 4 e b = 8
P(x) = (a + b − 12)x² + (2a − b)x + 2a − b
Se P(x) é identicamente nulo, logo todos os seus coe-ficientes são iguais a zero. Temos:
a + b − 12 = 0 ⇒ a + b = 12 (i) 2a − b = 0 (ii)
Montando um sistema com (i) e (ii) e solucionando pelo método da adição, temos:
a b
a b
a
a
+ =− =
=
=
12
2 0
3 12
4 ⇓ a + b = 12 ⇒ 4 + b = 12 ⇒ b = 8
08) V = x3 + 8x2 + 15x
5 + x3 + x
x
x ( 3 + x ) ( 5 + x )V=
(3x + x ) ( 5 + x )2V=
V = 15x + 3x2 + 5x2 + x3
V = x3 + 8x2 + 15x
09) 66
P(x) = ax² + (b + c)x − 2a − 3x² + 3cx + 3b + 1 P(x) = (a − 3)x² + (b + c + 3c)x + (−2a + 3b + 1) P(x) = (a − 3)x² + (b + 4c)x + (−2a + 3b + 1)
Como P(x) é idêntico a Q(x), temos:
a − 3 = 10 ⇒ a = 13
−2a + 3b + 1 = 29 −2 . 13 + 3b + 1 = 29 −26 + 3b + 1 = 29 3b = 54 ⇒ b = 18
b + 4c = 158 18 + 4c = 158 4c = 140 ⇒ c = 35 Portanto, a + b + c = 13 + 18 + 35 = 66
10) D
(x² + x − 2) . (x − 4) − (x + 1) . (x² − 5x + 3) = x³ + x² − 2x − 4x² − 4x + 8 − (x³ − 5x² + 3x + x² − 5x + 3) = x³ − 3x² − 6x + 8 − (x³ − 4x² − 2x + 3) = x³ − 3x² − 6x + 8 − x³ + 4x² + 2x − 3 = 0x³ + 1x² − 4x + 5
Logo, a = 0, b = 1, c = −4 e d = 5. Temos que b + d = 1 + 5 = 6.
11) C
P(x) − P(−x) = x³
ax³ + bx² + cx + 2 − (−ax³ + bx² − cx + 2) = x³ ax³ + bx² + cx + 2 + ax³ − bx² + cx − 2 = x³ 2ax³ + 2cx = x³
Logo: 2a = 1 ⇒ a = −
12
e 2c = 0 ⇒ c = 0
Temos: P(−1) = −a + b − c + 2 = 0 b = a + c − 2
b = −
12
+ 0 − 2
b = −
32
P(1) = −
12
− −
32
+ 0 + 2 = 1
P(2) = 8 . −
12
+ 4 . −
32
+ 2 . 0 + 2 = 0
12) D
V = 10 000 . 1,5 V = (10 000 + 100) (1,50 – 0,01) V = (10 000 + 100 . 2) (1,50 – 0,01 . 2) (10 000 + 100 . 3) (1,50 – 0,01 . 3) V = (10 000 + 100 . x) (1,50 – 0,01 . x)
Segue,
V = (10 000 + 100 x ) ( 1,5 – 0,01 . x )
V = 15 000 – 100x + 150x – x2
V = 15 000 + 50x – x2
GABARITO
3Matemática E
13) A
P(x) = (ax² − 2bx + c + 1)5
P(1) = 32 (a . 1² − 2b . 1 + c + 1)5 = 32 (a − 2b + c + 1)5 = 32
a − 2b + c + 1 = 325
a − 2b + c + 1 = 2 (i)
P(0) = 0 (a . 0² − 2b . 0 + c + 1)5 = 0 (c + 1)5 = 0
c + 1 = 05
c + 1 = 0 c = − 1 (ii)
P(−1) = 0 (a . (−1)² − 2b . (−1) + c + 1)5 = 0 (a + 2b + c + 1)5 = 0
a + 2b + c +1 = 05
a + 2b + c + 1 = 0 (iii)
Substituindo (ii) em (i) e (iii): a − 2b + c + 1 = 2 a − 2b − 1 + 1 = 2 a − 2b = 2 (iv)
a + 2b + c + 1 = 0 a + 2b − 1 + 1 = 0 a + 2b = 0 (v)
Montando um sistema linear com (iv) e (v):
a b
a b
a
a
− =+ =
==
2 2
2 0
2 2
1 ⇓
a − 2b = 2 ⇒ 1 − 2b = 2 ⇒ b = −
12
Portanto, a + b + c = 1 −
12
– 1 = −
12
14) D
f(0) = a . 03 – 02 + 12 . 0 + b = 450 b = 450
f(8) = a . 83 – 82 + 12 . 8 + b = 994 512a – 64 + 96 + 450 = 994 512a + 482 = 994 512a = 994 – 482 512 a = 512 a = 1
Logo, f(x) = x3 – x2 + 12x + 450
Então,
f(12) = (12)3 – ( )12 2 + 12 12. + 450
f(12) = 1728 + 450 f(12) = 2178
15) D
f(x) = (x + b)³, desenvolvendo (x + b)³: f(x) = x³ + 3bx² + 3b²x + b³
Como f(x) = x³ − 6x² + mx + n, temos que: 3b = −6 ⇒ b = −2
3b² = m ⇒ 3 . (−2)² = m ⇒ m = 12
b³ = n ⇒ (−2)³ = n ⇒ n = − 8
Temos m = 12 e n = −8
16) a = b = 1
a
xb
xsoma de fração
( ) ( )−+
+1 1 =
212
xx( )−
a x b x
x x( ) ( )( ) . ( )+ + −− +
1 11 1
= 2
12
xx( )−
ax a bx b
x+ + −−( )2 1
= 2
12
xx( )−
(a + b)x + (a − b) = 2x
a b
a b
a
a
+ =− =
==
2
0
2 2
1 ⇓ a + b = 2 ⇒ 1 + b = 2 ⇒ b = 1
17) A = C = −
12
e B = −
12
x
x x( ) . ( )− +1 12 =
Ax
Bx Cx
soma de fração
( ) ( )−+
++1 12
x
x x( ) . ( )− +1 12 =
A x Bx C xx x
. ( ) ( ) . ( )( ) . ( )
2
2
1 11 1
+ + + −− +
x
x x( ) . ( )− +1 12 =
Ax A Bx Bx Cx Cx x
2 2
21 1+ + − + −
− +( ) . ( )
x
x x( ) . ( )− +1 12 = ( ) ( ) ( )
( ) . ( )A B x C B x A C
x x+ + − + −
− +
2
21 1
GABARITO
4 Matemática E
x = (A + B)x² + (C − B)x + (A − C)
Logo:
A + B = 0 ⇒ A = −B (i) C − B = 1 ⇒ C = 1 + B (ii) A − C = 0 ⇒ A = C (iii)
De (i) e (iii) temos que C = −B. Substituindo em (ii): C = 1 + B −B = 1 + B −1 = 2B
B = −
12
A = −B
A = − −
12
A = −
12
A = C
C = −
12
18) B
(x + a)3 – (x – b)3
x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 – (x3 – 3x2b + 3xb2 – b3)
x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 – x3 + 3x2b – 3xb2 + b3
(3a + 3b)x2 + (3a2 – 3b2)x + (a3 + b3) 9x2 – 63x + c
Logo,
3 3 9 3 3
3 3 63 212 2 2 2
3 3
a b a b a b i
a b a b ii
a b c iii
+ = ⇒ + = ⇒ = −− = − ⇒ − = −
+ =
( )
( )
( ))
Substituindo (i) em (ii), obtemos:
(3 – b)2 – b2 = –21
9 – 6b + b2 – b2 = –21 –6b = –21 – 9 –6b = –30 .(–1) 6b = 30
b = 306
b = 5 Substituindo b = 5 em (i), teremos:
a = 3 – 5 = – 2
Assim,
a3 + b3 = c (–2)3 + (5)3 = c –8 + 125 = c c = 117
Portanto,
|a + |b| – c| = |–2 + |5| – 117| = = |–2 + 5 – 117| = |–114| = 114
19) D
Axx x
Bx
Cx x cx x x
−+ +
+−
= − −+ + −
23 2 1
92 5 32
2
3 2
( )( ) ( )( )( )
Ax x B x xx x x
Cx x Cx x x
− − + + ++ + −
= − −+ + −
2 2 1 33 2 1
92 5 3
2
2
2
3 2
2 4 2 3
2 5 3
9
2 5 3
2 2
3 2
2
3 2
Ax Ax x Bx Bx B
x x x
Cx x C
x x x
− − + + + ++ + −
= − −+ + −
(2A + B)x2 + (–A – 4 + B)x + (2 + 3B) = Cx2 – 9x – C
Daí, temos:
2
4 9 5
2 3 1 3 2
A B C i
A B B A
B C C B iii
+ = +− − + = − ⇒ − = −
+ = − − ⇒ = − −
( )
.( ) ( )
Substituindo (iii) em (i), obtemos:
2A + B = –3B – 2 2A + 4B = –2 (÷2) A + 2B = –1
Assim,
A B iv
B A v
+ = −− = −
2 1
5
( )
( )
Somando (iv) e (v), obtemos:
3B = –6
B = −63
B = –2
Substituindo B = –2 em (iv), teremos:
A + 2 . (–2) = –1 A = –1 + 4 A = 3
GABARITO
5Matemática E
Substituindo A = 3, B = –2 em (i), teremos:
C = 2 . 3 – 2 C = 6 – 2 C = 4
Portanto,
A + B + C = 3 – 2 + 4 = 7 – 2 = 5
20) D
4x + 3x + 52
–4x + 2x + 22
5x + 7 R(x)
2x x – 12–
2
Do enunciado temos:
f(g(x)) = r(x) f–1(f(g(x))) = f–1(r(x)) g(x) = f–1(r(x))
Vamos calcular a inversa de f(x):
f(x) = 2x + k y = 2x + k x = 2y + k x – k = 2y
y = x k−2
f–1(x) = x k−2
Daí, temos:
g(x) = 5 72
x k+ −
Queremos g(x) ≥ 10, então:
5 72
x k+ − ≥ 10
5x + 7 – k ≥ 20 5x ≥ 20 – 7 + k
x ≥ 135+ k
Como a solução é S = {x ∈ R / x ≥ 3}, então
135+ k = 3
13 + k = 15 k = 15 – 13 k = 2
21) 07
01. Correta. Usando binômio de Newton, encontramos: P(x) = (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.02. Correta. Raiz x = –1 tem multiplicidade 4.04. Correta. K(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 3
K(x) = ( )( )
xP x
+1 4
+ 2
P (x)
y
x–1
y
x1
2
O mínimo de K(x) = 2.08. Incorreta. P(x) . (x – 1)2 = (x + 1)4 . (x – 1)4 = (x2 – 1)4
= x8 – 4x6 + 6x4 – 4x2 + 1,
que não admite termo em x5.
22) Ex x x x x x x
x x x
5 4 3 2 2
3 4 3
0 0 3 0 1 0 1
0
+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ −
− + ⋅ +
x x
x x x
x x x
3
3 2
3 2
3
3 0 1
0
+ −
− + ⋅ +
− + ⋅ +
− + +
+ + ⋅ −
− ⇒
3 1
3 0 3
2
2
2
x x
x x
x reesto
23) D
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
7 9 2 1
2 6
8 9
2
+ − + + + +
− − − − −
− − + + ⇓
+ +
qquociente
x x
x x
x
resto
− + +
+ +
+⇓
6 2 9
6 12 6
14 15
2
2
GABARITO
6 Matemática E
24) B
(x + 1) ( x – 2 ) = x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2
Segue,
x x x x x
x x x x
x x
3 2 2
3 2
2
2 5 6 2
2 3
3 6
3
+ − − − −
− + + + ⇒
− −
−
quociente
3
xx x2 3 6
0
+ +
Logo, q(x) = x + 3.
25) A
6 3 5 2 4 5 3 2
6 0 4
5 4 3 2 3
5 4 3
x x x x x x x
x x x
+ + − − + −
− + ⋅ + 2x
2
4 3 2
4 3 2
3
3 9 2 4 5
3 0 2
+ +
+ + − − +
− + ⋅ +
x
x x x x
x x x
9 4 5
9 6
3
3
x x
x x
− +
− +
2 5x+
Logo, Q(x) = 2x2 + x + 3. Portanto, o produto entre o maior e o menor dos coefi-
cientes é:
3 . 1 = 3
26) B
O grau do polinômio P(x) é: gr(P) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
27) C
Sabemos que P(x) = D(x) . Q(x) + R(x): P(x) = (x² + 4x + 7) . (x² + 1) + (x − 8) P(x) = x4 + x² + 4x³ + 4x + 7x² + 7 + x − 8 P(x) = x4 + 4x³ + 8x² + 5x − 1
Logo, o coeficiente de 8x² é 8.
28) B
Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.
29) B
P(x) = (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (−x + 2) P(x) = 6x4 + 2x² − 9x³ − 3x + 3x² + 1 − x + 2 P(x) = 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3
6 9 5 4 3 1
6 6 6 3 2 2
3 5 4 3
3 3
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
− + − + −
− + − + −
− + − +
− 22
2
2
2 4 3
2 2
2 3
2 2
1
x x
x x
x
x
− +
− +
− +−
30) B
x x x x x x
x x x x
x x
x x q
x
r
4 3 2 2
4 3 2 2
2
2
0 2 4 0 1
0 3
3 4
3 0 3
1
+ − + − + +
− + − −
− + − ⇓
+ +
−⇓
x x x
x x x
x
x
resto
2
2
0 3 1
1
3
1
2
+ − −
− + +
−− +
−⇓
31) D
x x x x x
x x x x
x x
3 2 2
3 2
2
0 1 1
1
2
+ ⋅ − + + +
− − − −
− − +
11
1
2
2
+ + +
− + ⇒
x x
x resto
Portanto, r(x) = – x + 2
GABARITO
7Matemática E
32) E
Basta fazer a divisão do polinômio x3 + 7x2 +14x + 8 por x + 1.
x x x x
x x
3 2
3 2 2
7 14 8 1
6
+ + + +
− − +
x xx
x x
x x
x
+
+ +
− −
+
8
14 8
6
8 8
2
2
6
6
0 0
− −8 8x
Portanto, a área é dada por A(x) = x2 + 6x + 8.
35) D
f(x) = x x xx x
3 2
2
4 43 2
+ − −+ +
f(x) = x – 2
3
y
A
y = x –2
O 2
–2
C
5
B
y – 3 = 0
x
Área do trapézio AOCB.
A = ( )5 2 32
7 32
212
+ ⋅=⋅= = 10,5
33) A
x x kx x x
x x x x
x k x
x x
k
3 2 2
3 2
2
2
2 3 3
3 1
3 3
3
3 1
− + − − +
− + − −
− + − −
− +
− −⇓
( )
( )
k − 3 − 1 = 0 ⇒ k − 4 = 0 ⇒ k = 4
34) a − b = 4
2x³ − ax² + bx + 2 = (2x² + 5x − 2) . (cx + d) + 0resto�
2x³ − ax² + bx + 2 = 2cx³ + 2dx² + 5cx² + 5dx − 2cx − 2d 2x³ − ax² + bx + 2 = 2cx³ + (2d + 5c)x² + (5d − 2c)x − 2d Logo:
2c = 2 ⇒ c = 1 −2d = 2 ⇒ d = −1 2d + 5c = −a ⇒ −2 + 5 = −a ⇒ a = −3 5d −2c = b ⇒ −5 − 2 = b ⇒ b = − 7 a – b = – 3 – (–7) = – 3 + 7 = 4
36) D
x4 + 4x³ + px² + qx + r = (x³ + 3x² + 9x + 3)(ax + b) + 0 x4 + 4x³ + px² + qx + r = ax4 + bx³ + 3ax³ + 3bx² + 9ax²
+ 9bx + 3ax + 3b x4 + 4x³ + px² + qx + r = ax4 + (3a + b)x³ + (9a + 3b)x²
+ (3a + 9b)x + 3b Logo:
a = 1 3a + b = 4 ⇒ 3 . 1 + b = 4 ⇒ b = 1 9a + 3b = p ⇒ 9 . 1 + 3 . 1 = p ⇒ p = 12
GABARITO
8 Matemática E
37) C
Para que 5 82
4 2
2
x x mx nx
+ + ++
seja um polinômio, devemos ter r(x) = 0.
5x4 + 8x2 + mx + n = (x + 2) ( ax + bx + c ) + 02 2
5x4 + 8x2 + mx + n = ax4 + bx3 + cx2 + 2ax2 + 2bx + 2c5x4 + 8x2 + mx + n = ax4 + bx3 + (2a + c)x2 + 2bx + 2c
Da igualdade de polinômios, temos:a = 5b = 02a + c = 8 ⇒ 2 . 5 + c = 8 ⇒ c = 8 – 10 ⇒ c = –22b = m ⇒ m = 2 . 0 ⇒ m = 02c = n ⇒ n = 2 . (–2) ⇒ n = –4Portanto, m = 0 e n = –4.
38) E
2 5 13 7 1
2 2 2 2 2 2
2010 2 2
2010 2009 2008 2008 2007
x x x x x
x x x x x
− − + + +
− − − − + xx x x x x
x x x x
x
2005 2004 4 3
2009 2008 2
2009
2 2 2 2 7
2 2 5 13 7
2
− + + − + −
− − − − +
…
++ +
− − +
− − −
−
2 2
2 5 13 7
2 2 2
2
2008 2007
2007 2
2007 2006 2005
200
x x
x x x
x x x
x 66 2005 2
2006 2005 2004
2004 2
2 5 13 7
2 2 2
2 5 13 7
2
− − − +
+ +
− − +
x x x
x x x
x x x
x
�55 4 3
3 2
3 2
2
2
2 2
2 5 13 7
2 2 2
7 15 7
7 7 7
8 14
+ +
− − +
− − −
− − +
+ +
− +
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
Logo, r(x) = − 8x + 14, calculando r(2) temos: r(2) = − 8 . 2 + 14 = − 16 + 14 = − 2.
39) a + b + c + d = 21
x x ax x b x x
x x x x x a
x a x x b
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
0 0 2 4
2 4 2
2 4 0
2
+ + + + + +
− − − − +
− + − + +( )
xx x x
ax x b
ax ax a
a x b a
3 2
2
2
4 8
8
2 4
8 2 4
+ +
+ +
− − −
− + −( )
GABARITO
9Matemática E
Como a divisão é exata, temos: 8 − 2a = 0 ⇒ 8 = 2a ⇒ a = 4 e b − 4a = 0 ⇒ b − 4 . 4 = 0 ⇒ b = 16.
x cx dx x x
x x x x c
c x d x
c x c
3 2 2
3 2
2
2
3 2
2 1
1 2 3
1
+ + − − +
− + − + +
+ + − −
− + +
( ) ( )
( ) ( ++ − +
+ − − −
1 2 1
1 2 5
) ( )
( )
x c
c d x c
Como o resto é igual a −5, temos: −2c − 5 = − 5 ⇒ c = 0 e c + d − 1 = 0 ⇒ 0 + d − 1 = 0 ⇒ d = 1.
Portanto, a + b + c + d = 4 + 16 + 0 + 1 = 21
40) R(4) = 17
Pela divisibilidade, P(x) = Q(x) . D(x) + R(x), temos: (x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x² − 7x + 12) + R(x) (x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x− 3) . (x − 4) + R(x) (x − 3)9 . (x² + 1) = Q(x) . (x − 4) + R(x) Como buscamos o valor de R(4), temos: (4 − 3)9 . (4² + 1) = Q(4) . (4 − 4) + R(4) 19 . 17 = Q(4) . 0 + R(4) 17 = R(4)
41) a) Q(x) = 7x² + 15x + 20 e R(x) = 39b) Q(x) = x³ – 2x² + 5x – 7 e R(x) = 20
c) Q(x) = 2x4 + x³ + 3x + 52 e R(x) =
72
d) Q(x) = 3x² +12x + 30 e R(x) = 59e) Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2 e R(x) = –5
a) 2 7
7
1
15
–10
20
–1
39
b) –3 1
1
1
–2
–1 –1
5 20
8
–7
c) 1
2
7
2
4
4
0
2
–1 2 1
0 5
6
6
Q'(x) = 4x4 + 2x³ +6x + 5 dividindo por 2 temos:
Q(x) = 2x4 + x³ + 3x + 52
d) 6 1
1
–2
4
–14
10
–1
59
Q'(x) = x² + 4x + 10 multiplicando por 3 temos: Q(x) = 3x² +12x + 30
e) 2 1
1
–2 –6 –1
0 –2 –5
1
1
0
2
Q'(x) = x4 + x² + 2x − 2 multiplicando por −1 temos: Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2
42) D
x x ax bx cx dP x D x Q x
4 3 21 1− ≡ − + + +( ) ( ) ( )
( ) . ( )� � ��� ��� � ���������� �����������
x4 − 1 ≡ ax4 + (b − a)x³ + (c − b)x² + (d − c)x − d
Logo, a = b = c = d = 1. Temos que Q(x) = x³ + x² + x + 1 ⇒ Q(−1) = (−1)³ +(−1)² + (−1) + 1 = 0
ou
1 1
1
0 –1
1 0
0
1
0
1
Logo, Q(x) = x³ +x² + x + 1 ⇒Q(−1) = 0.
43) f(x) = x2 – 2x + 3
1 1
1
–3
–2
5
3
–3
0
Logo, f(x) = x x xx
3 23 5 31
− + −−
= x2 – 2x + 3.
44) E
y 1 a 2a –2a 8
–4 0
Conseguimos descobrir o valor de y do método, pois y . (−4) + 8 = 0 ⇒ y = 2. Assim, completando o método:
2 1 a 2a –2a 8
2+a 4+4a –4 01
Temos: 2 . (4 + 4a) − 2a = −4 8 + 8a − 2a = −4 8 + 6a = −4 6a = − 12 a = − 2
Temos assim os coeficientes do divisor: 1, −2, −4, 4 ,8. Logo, D(x) = x4 − 2x³ − 4x² + 4x + 8.
GABARITO
10 Matemática E
45) E
1 1 –2 0 0 –1 m
–1 –1 –1 –2 –2+m1
Como o resto deve ser zero, temos que −2 + m = 0 ⇒ m = 2.
46) A
2 2 0 –4 a
4 4 8+a2
Como P(x) é divisível por D(x), logo o resto é zero. Temos assim que 8 + a = 0 ⇒ a = −8.
47) B
–2 1 –5 p 2
–7 14+p –26 –2p1
Como P(x) é divisível por x + 2, o resto é zero. Temos assim que −26 − 2p = 0 ⇒ −26 = 2p ⇒ p = −13.
48) 31
m 1 a a –a
3
–6
0
Sabemos que m = 2, pois m . 3 − 6 = 0 ⇒ 3m = 6 ⇒ m = 2. Completando o método, e substituindo m por 2, temos:
2 1
1
a
2+a
a
4+3a
–a
3
–6
0
Assim: 2 . (4 + 3a) − a = 3 8 + 6a − a = 3 8 + 5a = 3 a = −1
Com esses resultados sabemos que: P(x) = x4 − x³ − x² + x − 6 Q(x) = x³ + x² + x + 3
01. Verdadeiro. P(x) é um polinômio de 4° grau.02. Verdadeiro. P(x) é divisível por x − 2, pois m = 2.04. Verdadeiro. P(0) = 04 − 0³ − 0² + 0 − 6 = −608. Verdadeiro. P(1) = 14 − 1³ − 1² + 1 − 6 = −616. Verdadeiro. Q(x) = x³ + x² + x + 3
49) A
1 1
1
–k 6 –1
1–k 7–k 6–k
Como P(x) é divisível por x − 1, o resto é zero. Temos assim que 6 − k = 0 ⇒ k = 6.
Se k = 6, então Q(x) = x² + (1 − k)x + (7 − k) ⇒ Q(x) = x² − 5x + 1.
50) D
Divisão de x³ + px + q por x + 1:
–1 1
1
0 p q
–1 1+p –1–p+q
Como o resto é 4, temos −1 − p + q = 4 ⇒ −p + q = 5 (i). Divisão de x³ + px + qx por x − 1: 1 1
1
0 p q
1 1+p 1+p+q
Como o resto é 8, temos que: 1 + p + q = 8 ⇒ p + q = 7 (ii).
De (i) e (ii), temos que p = 1 e q = 6.
51) E
Sabendo que P(x) = D(x) . Q(x) + R(x). Logo: P(x) = (x² − x) . (6x² + 5x + 3) + (−7x) = 6x4 − x³ − 2x² − 10x
Dividindo P(x) por 2x + 1:
6
6
–1
–4
1
2– –2 0
0 5
–10
–10
Logo, o resto é igual a 5.
52) Q(x) = x i
x2
323
2+ − .
Observe que a raiz de 3x − 6i é: 3x − 6i = 0 3x = 6i x = 2i
Logo:
2i 1
1
0
2i
–2
–6
3
–12i+3
GABARITO
11Matemática E
Observação: 2i . 2i = 4i², mas i² = −1. Logo, 4i² = −4.
Temos que:
Q'(x) = x² + 2ix − 6 ⇒ Q(x) = x i
x2
323
2+ − .
53) C
1 1
1
0
1
0
1
0
1
...
...
0 1
1 2
Temos que Q(x) = x49 + x48 + x47 + … + 1 e R(x) = 2.
Logo, Q(x) = xn
n
+=∑ 1
1
49
, mas 1 = x0.
Então, Q(x) = xn
n=∑
0
49
.
54) R(x) = 23
Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2 P(2) = 2³ + 2 . 2² + 5 . 2 − 3 = 8 + 8 + 10 − 3 = 23
55) R(x) = 52
Pelo teorema do resto, x + 2 = 0 ⇒ x = −2 P(−2) = (−2)6 − (−2)4 + (−2)² = 64 − 16 + 4 = 52
56) Verdadeira.
Pelo teorema do resto: i) x − 1 = 0 ⇒ x = 1
ii) 2x + 3 = 0 ⇒ x = −
32
De i: P(1) = 2 . 1³ + 5 . 1² − 1 − 6 = 2 + 5 −1 − 6 = 0
De ii:
P −
32
= 232
532
32
63 2
. .− + −
− −−
P −
32
= − + + −274
454
32
6 = 0
Como P(1) = 0, logo P(x) é divisível por x − 1.
Como P −
32
= 0, logo P(x) é divisível por 2x + 3.
57) A
Pelo teorema do resto, x − 3 = 0 ⇒ x = 3
P(3) = 4 ⇒ a . 3³ − 2 . 3 + 1 = 4 27a − 6 + 1 = 4 27a − 5 = 4 27a = 9
a = 13
58) A
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 P
P ( x ) é d i v i s í v e l
( )1 0=
⇓ P(1) = 14 − k . 1³ + 5 . 1² + 5 . 1 + 2k = 0 1 − k + 5 + 5 + 2k = 0 11 + k = 0 k = − 11
59) E
Pelo teorema do resto x + 1 = 0 ⇒ x = − 1
P(x) = (x² − x − 2) . Q(x) + (2x − 1) P(−1) = ((−1)² − (−1) − 2) . Q(−1) + (2 . (−1) − 1) P (−1) = (1 + 1 − 2) . Q (−1) + (−2 − 1) P (−1) = 0 . Q (−1) + (−3) P (−1) = 0 − 3 ⇒ P (−1) = −3
60) B
P(x) = (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (− x + 2) P(x) = 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 P(1) = 6 . 14 − 9 . 1³ + 5 . 1² − 4 . 1 + 3 P(1) = 6 − 9 + 5 − 4 + 3 = 1
61) A
f(x) = (−x² −1) . (x + 2) + (2x + k) f(x) = −x³ −2x² + x − 2 + k
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 Como f(x) é divisível por x − 1, então f(1) = 0: f(1) = 0 ⇒ f(1)= −1³ −2 . 1² + 1 − 2 + k = 0 −1 − 2 + 1 − 2 + k = 0 −4 + k = 0 k = 4
GABARITO
12 Matemática E
62) C
Pelo teorema do resto, 2x + 3 = 0 ⇒ x = −
32
P −
32
= 0
⇓
P −
32
= −10 . −
32
2
− a −
32
+ 3 = 0
−10 . 94 +
32a + 3 = 0
− 904
+ 32a + 3 = 0
a = 13
63) D
P(−1) = Q(−1) . D(−1) + R(−1) P(−1) = ((−1)³ − 2 . (−1) − 1) . D(−1) + (5 . (−1) + 8) P(−1) = (−1 + 2 − 1) . D(−1) −5 + 8 P(−1) = 0 . D(−1) − 5 + 8 P(−1) = 0 − 5 + 8 P(−1) = 3
64) CTemos:x – 2 = 0 ⇒ x = 2Pelo teorema do resto, temos:P(2) = 4 . 23 + m22 – 3.2 + 4 = 18 32 + 4m – 6 + 4 = 18 30 + 4m = 18 4m = 18 – 30 4m = –12
m = −124
m = 3
65) D ERRATA: Para resolução do problema, considere o
trinômio x2 + ax + b.
x + 2 = 0 ⇒ x = –2x – 1 = 0 ⇒ x = 1Pelo teorema do resto, temos:P(–2) = (–2)2 + a(–2) + b = 0 ⇒ –2a + b = –4 (i)P(1) = 12 + a . 1 + b = 0 a + b = –1 (ii)De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema:− + =−+ =−
2 4
1
a b
a b
(i)
(ii)
Fazendo (ii) – (i), obtemos:3a = 3
a = 33
a = 1Substituindo a = 1 em (ii), teremos:
1 + b = -1b = – 1 – 1b = – 2
Portanto, a – b = 1 – (–2) = 1 + 2 = 3.
66) 1001. Incorreta. (x – 2)4 = 1.x4.(–2)0 + 4.x3.(–2)1 + 6x2 (–2)2 + 4.x1(–2)3
+ 1x0(–2)4
(x – 2)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 1604. Incorreta. P(1) = 14 – 5.13 + 10.12 – 5.1 + d = 0 1 – 5 + 10 – 5 + d = 0 1 + d = 0 d = –1 Logo, para que x = 1 seja raiz do polinômio P(x)
devemos ter d = –1.02. Verdadeiro. P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x P(0) = 04 − 5 . 0³ + 10 . 0² − 5 . 0 P(0) = 008. Verdadeiro. P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x −21 Pelo teorema do resto, x + 1 = 0 ⇒ x = −1 P(−1) = (−1) 4 − 5 . (−1) ³ + 10 . (−1) ² − 5 . (−1) −21 P (−1) = 1 + 5 + 10 + 5 − 21 P (−1) = 0
67) C
Como p(x) é divisível por x + 3, x − 1 e x + 5, então p(x) é divisível por (x + 3) . (x − 1) . (x + 5), que possui grau 3. Logo, o grau de p(x) é maior ou igual a 3.
68) C
P(x) = (x³ + 3x² + 5) . k(x) + (x² + x + 7) Pelo teorema do resto, k(0) = 2. Logo: P(0) = (0³ + 3 . 0² + 5) . k(0) + (0² + 0 + 7) P(0) = (0 + 0 + 5) . 2 + (0 + 0 +7) P(0) = 5 . 2 + 7 P(0) = 17
69) p = −7 e q = −10
Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2 P(2) = 0 ⇒ P(2) = 2 . 2³ + p . 2² + 11 . 2 + q = 0 16 + 4p + 22 + q = 0 4p + q = − 38 (i)
GABARITO
13Matemática E
P(1) = −4 ⇒ P(1) = 2 . 1³ + p . 1² + 11 . 1 + q = −4 2 + p + 11 + q = − 4 p + q = −17 (ii)
De (i) e (ii), temos p = − 7 e q = −10.
70)B
p'(1) = 0 ⇒ p'(1) = 3 . 12 + 2b . 1 + c = 0 3 + 2b + c = 0 2b + c = −3 (i)
p'(−1) = 4 ⇒ p'(−1) = 3 . (−1)2 + 2b . (−1) + c = 4 3 − 2b + c = 4 −2b + c = 1(ii)
De (i) e (ii), temos b = c = − 1 Vamos descobrir o valor de d:
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1 p(1) = 2 ⇒ p(1) = 1³ − 1 . 1² − 1 . 1 + d = 2 1 − 1 − 1 + d = 2 d = 3
Temos assim que p(x) = x³ − x² − x + 3.
71) 05 ERRATA: Para resolução do exercício, considere
P(2) = Q(1), em vez de P(x) = Q(1).
P(2) = Q(1)23 + a.22 + 2b – 2 = 12 + a.1 + b8 + 4a + 2b – 2 = 1 + a + b4a + 2b – a – b = 1 – 8 + 23a + b = –5 (i)Temos ainda:Q(0) = 402 + a.0 + b = 4b = 4Substituindo b = 4 em (i), teremos:3a + 4 = –53a = –9
a = –93
a = –3Logo,P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2Q(x) = x2 –3x + 4
01. Correta.P(x) + Q(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 + x2 – 3x + 4P(x) + Q(x) = x3 – 2x2 + x + 2
02. Incorreta.Q(x) = x2 – 3x + 4a = 1b = –3c = 4Δ = b2 – 4acΔ = (–3)2 – 4 . (1) . 4Δ = 9 – 16Δ = –7 < 0Logo, não possui raiz real.
04. Correta. De fato,P(1) = 13 – 3 . 12 + 4 . 1 – 2P(1) = 1 – 3 + 4 – 2P(1) = 5 – 5P(1) = 0
08. Incorreta.x + 1 = 0 ⇒ x = –1Pelo teorema do resto, temos:P(1) = (–1)3 – 3(–1)2 + 4(–1) – 2P(–1) = – 1 – 3 – 4 – 2P(–1) = –10
16. Incorreta.x x x x x
x x x x
resto
3 2 2
3 2
3 4 2 3 4
3 4
2
− + − − +
− + −
− →/ / /
Como r(x) ≠ 0, então P(x) não é divisível por Q(x).
72) D
P(x) = Q(x) . (3x − 2) + 1
P23
= Q
23
. 0 + 1
P23
= 0 + 1
P23
= 1
(x² − 1) . P(x) = Q1(x) . (3x −2) + k
23
12
−
. P
23
= Q1
23
. 0 + k
23
12
−
. P
23
= 0 + k
− 59 . 1 = K
− 59 = k
GABARITO
14 Matemática E
73) a + b = 1 + 4 = 5
Do enunciado temos:P(–1) = 3P(2) = 6 (teorema do resto)
Temos ainda:P(x) = (x + 1)(x – 2)Q(x) + ax + b
Daí,P(–1) = (–1 + 1) . (–1 – 2) Q(–1) + ax + b = 3
0 . (–3) Q(–1) + a(–1) + b = 3– a + b = 3 (i)
P(2) = (2 + 1) . (2 – 2) Q(2) + ax + b = 63 . Q(2) + a2 + b = 62a + b = 6 (ii)
De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema linear:− + =+ =
a b i
a b ii
3
2 6
( )
( )
Fazendo (ii) – (i), teremos:3a = 3
a = 33
a = 1
Substituindo a = 1 em (i), obtemos:–1 + b = 3b = 4Portanto, a + b = 1 + 4 = 5.
74) R(x) = 34x +
114
P(x) = (x − 3) . Q(x) + ax + b = 5 P(3) = (3 − 3) . Q(3) + a . 3 + b = 5 0 . Q(3) + 3a + b = 5 3a + b = 5 (i)
P(x) = (x + 1) . Q(x) + ax + b = 2 P(−1) = (−1 + 1) . Q(−1) + a(−1) + b = 2 0 . Q(−1) − a + b = 2 − a + b = 2 (ii)
De (i) e (ii) temos que a = 34 e b =
114
.
75) C
Sabendo que: P(x) = (x² + x) . (x² − 3) + ( )
( )
ax bR x
+� ���� ����
P(x) = x4 − 3x² + x³ − 3x + ax + b P(x) = x4 + x³− 3x² + (− 3 + a)x + b
Pelo teorema do resto, temos x − 1 = 0 ⇒ x = 1. P(1) = 0 ⇓ P(1) = 14 + 1³− 3 . 1² + (− 3 + a) . 1 + b = 0 1 + 1− 3 + (− 3 + a) + b = 0 − 1 − 3 + a + b = 0 a + b = 4 (i)
Se R(x) = ax + b, então R(4) = 4a + b = 10 (ii).
De (i) e (ii), temos que a = 2. Logo, o termo de grau 1 é −3 + a = −3 + 2 = −1.
76) B
2 3 2 1
2 2 2 3
3 2 2
3 3
2 1
4 3 3
4
3
2
x x mx x
x x x
x m x
x
m x
− + − +
− − −
− + − −
+ +
− +
( )
( )
Logo, r(x) = (m – 2)x + 1 Para que o resto seja independente de x, devemos ter: m – 2 = 0 m = 2
77) V - V - V - V
Verdadeira. Seja ax + b um polinômio qualquer de grau 1. Efetuando a divisão por D(x), temos:
ax b x
ax a a
a b
resto
+ −
− +
+⇓
1
Note que o resto é igual à soma dos coeficientes.
Verdadeira.
Seja P(x) = a xkk
nk
=∑
0
Pelo teorema do resto temos: x = 0 (raiz do polinômio x) ⇒ P(0) = a0 + a1 . 0
1 + … + an0n
P(0) = a0
Então podemos afirmar que o resto vai ser igual ao termo independente.
GABARITO
15Matemática E
Verdadeira. Da 1a afirmação temos que o resto da divisão de P(x) por um binômio D(x) = x − 1 é igual à soma dos
coeficientes. Então R(x) é igual a ( ) .5 10
40
n xn
n+=∑ , porém os coeficientes desse polinômio são os termos de uma P.A. de
razão igual a 5. Logo:
S41 = ( ) .1 201 41
2+
= 4141
Verdadeira. Pelo teorema do resto: x + 1 = 0 ⇒ x = −1 Substituindo em P(x), temos:
P(−1) = 29
10
29
nn
n
−
=∑ . ( ) desenvolvendo
P(− 1) = 29
0
(−1)0 +
29
1
(−1)1 + … +
29
28
(−1)28 + 29
29
(−1)29 =
29
0
−
29
1
+ … +
29
28
− 29
29
Note que os elementos desse somatório são os mesmos do triângulo de Pascal. E sabemos que os coeficientes binomiais equidistantes pertencentes à mesma linha possuem valores numéricos iguais, ou seja:
29
0
−
29
29
= … = −
29
1
+
29
28
= 0.
Então P(−1) = 0. Logo P(x) é divisível por D(x).
78) −2
P(x) = x³ − 1000x² − 10002x + 9999. Escrevendo os coeficientes em potência de 10, temos: P(x) = x³ −104 . x² − (104 + 2)x + (104 − 1)
Pelo teorema do resto, x − 10001 = 0 ⇒ x = 104 + 1. Logo: P(104 + 1) = (104 + 1)³ −104 . (104 + 1)² −(104 + 2) . (104 + 1) + (104 − 1) = (104 + 1)² . [104 + 1 − 104] − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1 =108 + 2 . 104 + 1 − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1 = − 2
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