GABARITO

1Matemática E

Matemática E – Extensivo – V. 8

Exercícios

01) 5

Sejam r 1, r 2 e r 3 as ra izes da equação 4x3 – 20x2 + 23x – 7 = 0.

Logo r1 + r2 + r3 = −ba

= −−( )204

= 5

02) –4

Sejam r1, r2, r3 e r4 as raizes da equação 3x4 – 5x3 – 2x2 + 8x – 12 = 0

Logo

r1 . r2 . r3 . r4 = ca

= −123

= –4

03) soma = zero; produto = – 25

As raizes da equação são r1, r2, r3, r4 e r5.Logo

r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = − =−b

a0

5 = 0

r1 . r2 . r3 . r4 . r5 = −=−f

a2

5

04) 64

Temos r1, r2, r3 as raizes da equação.

r3

r2r

1

V = r1 . r2 . r3

V = − =−−d

a( )64

1 = 64 m3

05) D

Sejam a, b, c raizes da equação e que estão em uma P.A (a, b, c) ⇔ (b – r, b, b + r).b – r + b, + b + r = 33b = 3b = 1

Como, uma das raizes é 1, então:13 – 3 . 12 – 1 + k = 01 – 3 – 1 + k = 0–3 + k = 0k = 3

06) C

Temos que 5, a e b são raizes de x3 – 6x2 – x + 30 = 0Logo5 + a + b = −−( )6

1 = 6

a + b = 6 –5a + b = 1

07) C

Log2 m + Log2 p + Log2 q = Log2 (m . p . q) = ?Como m, p e q são raizes de x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0,

Logo m . p . q =−da

= −−( )8

1 = 8

Logo log28 = y ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 3

08) A

Temos: x y z

xy xz yz

x y z

+ + =+ + =

=

7

14

8. .

Temos: −ba

= 7 ⇒ –b = 7a ⇒ b = –7a

ca

= 14 ⇒ c = 14a

−da

= 8 ⇒ –d = 8a ⇒ d = –8a

ax3 + bx2 + cx + d = 0 ⇒ ax3 + (–7a)x2 + 14x + (–9a) = 0 ⇒ x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0

09) {–4, 4, 12}

Temos que as raizes a, b, c estão em uma P.A., ou seja, (a, b, c) ⇒ (b – r, b, b + r), onde r é a razão da P.A.Sabemos que a + b + c = 12 e a . b . c = –192b – r + b + b + r = 123b = 12b = 4

(b – r) . b . (b + r) = –192(b2 – br) . (b + r) = –192b3 + b2r – b2r – br2 = –192b3 – br2 = –19243 – 4r2 = –192r = 8

Logo (a, b, c) ⇒ (4 – 8, 4, 4 + 8) ⇒ (–4, 4, 12)

GABARITO

2 Matemática E

10) 14

As raizes da equação a, b, c, formam uma

P.F (a, b, c) ⇒ (bq

, b, b . q).

Sabemos que a + b + c = 7 e a . b . c = 8.bq

. b . b . q = 8 bq

+ b + bq = 7

b3 = 8 2q

+ 2 + 2q = 7

b = 2 2 2 2 2+ +q qq

= 7

2 + 2q + 2q2 = 7q

2q2 – 5q + 2 = 0q

q

=

=

2

12

Observe que, se q = 2 então (1, 2, 4) e se que = 12

então (4, 2, 1). Logo as raizes a, b, c são {1, 2, 4}Sabemos que a . b + a . c + b . c = k 1 . 2 + 1 . 4 + 2 . 4 = k 2 + 4 + 8 = k k = 14

11) C

Sabemos queP(x) = x3 + ax2 + bx + c e Q(x) = P(x) + P(–x)

Q(2) = P(2) + P(–2) == (23 + a . 22 + b . 2 + c) + ((–2)3 + a (–2)2 + b . (–2) + c)= 8 + 4a + 2b + c – 8 + 4a – 2b + c = 0= 8a + 2c = 0 (I)

Q(2) = P(2) + P(–2) == (13 + a . 12 + b . 1 + c) + ((–1)3 + a (–1)2 + b . (–1) + c)= 1 + a + b + c – 1 + a – b + c = 2= 2a + 2a = 2 (II)

De I e II, temos8 2 0

2 2 213

43

a c

a ca c

+ =+ =

⇒ =− =

Logo, se r1, r2 e r3 são raizes de P(x), então:

r1 . r2 . r3 = –ca

= – 43

12) C

Temos que a soma das raizes de P(x) é − −( )aa

15 e a

soma de q(x) é −−( )32

.

Como as raizes são as mesmas, logo

− −( )aa

15 = −−( )32

⇒ − +aa

15 = 32

⇒ –2a + 30 = 3a

a = 6

Da mesma forma, o produto das raizes de P(x) é 1a

e

de Q(x) é

1

2b.

Logo 1a

=

1

2b ⇒

1a

= 12b

⇒ 16

= 12b

⇒ b = 3

Temos assim a + b = 6 + 3 = 9

13) a) q = 10 b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i

Sejam a, b, e c raizes da equação e elas estão em P.A (a, b, c) ⇒ (b – r, b + b + r).

Temos que b – r + b + b + r = 33b = 3b = 1

a) x3 – 3x2 + 12x – q = 0 13 – 312 + 12 . 1 – q = 0 1 – 3 + 12 – q = 0 q = 10

b) Rebaixando a equação:

1 1

1

–3

–2

12

10

–10

0

Q(x) = x2 – 2x + 10, cujas raizes são 1 + 2i e 1 – 2i, pela fórmula de Bráskana.Logo as raizes da equação são:{1, 1 + 2i, 1 – 2i}

14) 78

x3 – 23x + c = 0(3 + 2i)3 – 23 . (3 + 2i) + c = 0–9 + 46i – 69 – 46i + c = 0–78 + c = 0c = 78

15) 17

Nesta questão de somatória, temos que as proposições corretas são 16 e 01.

16) 5, 1 – 2i, 1 + 2i

Esta questão fica impossibilitada de resolução, pois a equação é do segundo grau, possuindo, no máximo, duas raizes.

GABARITO

3Matemática E

17) V – F – V – V – F.

Verdadeiro. Pelo Teorema das raizes nacionais.

Falso. Temos que S = −189

= –2 e P = 209

Logo P + 95 = 209

+ 9 . (–2) = 1429

≠ 18.

Verdadeiro. S = –2 e P = 209

, logo

9p + s = 9 . 20p

+ 1 – 2 = 20 – 2 = 18 = 18.

Verdadeiro. S = –2, que é um número inteiro.

Falso. P = 209

, que não é um número inteiro.

18) D

Sabemos que, se r1, r2, r3 e r4 são raizes de 2x4 – 7x3 + 8x2 – 2x – 4 = 0, então:

r1 . r2 . r3 . r4 = −42

= –2

Como i – i é raiz da equação, então 1 + i também é raiz da equação (teorema das raiízes complexas).

Logo(1 + i) . (1 – i) . r2 . r3 = –2(1 + i) . r2 . r3 = –22 . r2 . r3 = –2r2 . r3 = –1

19) 31

Nesta questão de somatória, temos que as proposições corretas são 01, 02, 04, 08 e 16.

20) C

Sabemos que a + b + c = 5 (I) e a . b . c = –8 (II)

Como a = –2bc, logo bc = −a2

. Em (II):

a . −

a2

= –8

a2 = 16 ⇒ a = 4

Temos também, em (I):4 + b + c = 5b + c = 1

Como queremos ab

 + ac

, então

ac abbc

a b cbc

aa

+=

+=−=−=−=−

( ) . .1

2

4 142

42

2

21) Falso. Pois log 12

≠ 0.

Temos que

log 1 1 1a b c+ +

= log bc ac ab

a b c+ +

. .

, mas

bc ac ab

a b c

+ + =

=−−

125

2501

. .( ) Relações de Girard

Temos log 125250

= log 12

≠ 0.

22) Verdadeiro.

x2 – x + c = 0α + β = 1α . β = c

x2 – bx + 2 = 0(α + 1) + (β + 1) = bβ + 1 = b – 2

(α + 1) . (β + 1) = 2α . β + α + β + 1 = 2α . β + 1 + 1 = 2α . β = 0

Temos assim que, b – 2 = 1 ⇒ b = 3 e c = 0.Logo b + c = 3 + 0 = 3.

23) B

Temos que p + q + r = 2 e pq + pr + qr = 1

Logo (p + q + r) . (p + q + r) = = p2 + pq + pr + qp + q2 + qr + rr + rq + r2 =

= p2 + q2 + r2 + 2 . (pq + pr + qr).

Temos assim:(p + q + r)2 = 22

p2 + q2 + r2 + 2 . ( )pq pr qr+ +1

� ������� ������� = 4

p2 + q2 + r2 + 2 . 1 = 4p2 + q2 + r2 = 2

24) a) A = 132

, B = 272

e C = 9

b) d = 22

cm

Temos a, b e c as raizes da equação.

GABARITO

4 Matemática E

Tiramos dos dados do enunciado:a . b . c = 92(ab + ac + bc) = 274(a + b + c) = 26

a) Sabemos que a b + c = −−( )A1

= A.

Logo A = 132

ab + ac + bc = B1

= B. Logo B = 272

a . b . c = −−( )c1

= c. Logo C = 9

b) A diagonal de um paralelo é medida por

D = a b c2 2 2+ +

Temos que (a + b + c)2 = 132

2

a2 + b2 + c2 + 2 . 272

= 169

4

a2 + b2 + c2 = 1694

– 27

a2 + b2 + c2 = 614

D = 614

D = 612

cm

25) A

Vamos obter uma das raizes de P(x): x4 – 75x2 + 250x = 0x . (x3 – 75x + 250) = 0

Temos que uma das raizes de P(x) é r1 = 0. De x3 – 75x + 250 = 0, pelas relações de Girara, temos:

r2 + r3 + r4 = 0r2 . r3 + r2 . r4 + r3 . r4 = –75r2 . r3 . r4 = –250

Como sabemos qu possuimos uma raiz dupla, entãor2 = r3. Logo:

26) D

Como m , N, p são raizes da equação, temos:

m m m

N N N

p p p

3 2

3 2

3 2

2 0

2 0

2 0

− + − =− + − =− + − =

Somando estas equações temos:(m3 + n3 + p3) – (m2 + n2 + p2) + (m + n + p) – 6 = 0 (I)

Das relações de Girara é feito em exercícios anteriores:(m + n + p)2 = m2 + n2 + p2 + 2 . (mp + Np + mN)onde m + N + p = 1 e mp + Np + mN = 1 (Giraro)

Logo12 = m2 + n2 + p2 + 2 . 1 ⇒ m2 + N2 + p2 = –1 (II)

Substituindo (II) em (I) temos:m3 + n3 + p3 – (–1) + 1 – 6 = 0m3 + n3 + p3 = 4

27) V – V – V – F

Verdadeiro. P(0) = 04 – 5 . 0 + 2 = 2Verdadeiro. P(1) = 14 – 5 . 1 + 2 = –2Verdadeiro. Como P(0) . (1) < 0, logo admite número ímpar de raizes no intervalo (0, 1).Falsa. Devido a alternativa de cima ser verdadeira.

28) Verdadeiro. Pois P(2) . P(4) < 0.

P(2) = 23 – 11 . 22 + 31 . 2 – 21 = 8 – 44 + 62 – 21 = 5P(4) = 43 – 11 . 42 + 31 . 4 – 21 = 64 – 176 + 124 – 21 = –9

Logo P(2) . P(4) < 0. Possuindo uma quantidade ímpar de raizes.

29) a) p(–2) = –1, p(0) = 1, p(1) = –1 e p(2) = 3 b) Três raizes reais e nenhuma raiz imaginária.

a) p(–2) = (–2)3 – 3 . (–2) + 1 = –8 + 6 + 1 = –1 p(0) = 03 – 3 . 0 + 1 = 1 p(1) = 13 – 3 . 1 + 1 = –1 p(2) = 23 – 3 . 2 + 2 = 8 – 6 + 1 = 3

Veja o gráfico a seguir:p(x)

–2

0 x

(0,1)

(1,–1)(–2, –1)

(2, 3)

1 2

2 0

2 75

250

2 4

22

2 4

22

4

r r

r r r

r r

+ =+ =−+ =−

⇒. .

Resolvendo o sistema:r4 = –10r2 = 5 (raiz dupla)

Logo as raizes (r1 , r2 , r3 , r4) são (0, 5 , 5 –10).Temos apenas uma de suas raizes negativas.

GABARITO

5Matemática E

b) Observe, através do gráfico, que a função possui três raizes reais (intersecção com o eixo 0x).

Como o polinômio é de grau 3, logo não possui raiz além destas três, sendo assim, não possuindo raizes complexas.

30) k < –4

Observe queP(0) = k . 03 – 2 . 02 + 5 . 0 + 1 = 1P(1) = k . 13 – 2 . 12 + 5 . 1 + 1 = k + 4

Como deve admitir quantidade ímpar de raizes, P(0) e P(1) devem possuir sinais opostos;

Como P(0) > 0, logo P(1) < 0k + 4 < 0 ⇒ k < –4

31) –5 < m < 3

P(–1) = 2 . (–1)3 + (–1)2 + mP(–1) = –2 + 1 – 2 + m = –3 + m

P(1) = 2 . 13 + 12 + 2 . 1 + mP(1) = 2 + 1 + 2 + m = 5 + m

Para que P(x) admite um número ímpar de raizes, P(–1) e P(1) devem ter sinais opostos. Logo:

–3 + m > 0 e 5 + m < 0m > 3 e m < –5

m

–5 0 3

m

Absurdo.

–3 + m < 0 e 5 + m > 0 m < 3 e m > –5

–5 m 3

Logo –5 < m < 3

32) zero, duas, quatro ou seis.

P(–1) = (–1)6 – 6 . (–1) – 3 = 1 + 6 – 3 = 4P(2) = 26 – 6 . 2 – 3 = 64 – 12 – 3 = 49

Como P(–1) . P(2) > 0, logo, nesse intervalo, possuímos uma quantidade par de raizes.Podemos ter então 0, 2, 4 ou 6 raizes.

33) Como P(0) . P( 2) < 0, pelo teorema de Bolzano o núme-

ro de raízes dentro do intervalo (0, 2) é ímpar

Como gostaríamos de mostrar que 2x4 – 2x3 + x2 – 5 = 0

admite uma raiz positiva menor que 2, basta verificar

quantas raizes há no intervalo [0, 2] (zero pois a raiz é

positiva)

P(0) = 2 . 04 – 2 . 03 + 02 – 5 = –5

P( 2) = 2 . ( 2)4 – 2 . ( 2)3 + ( 2)2 – 5

P( 2) = 8 – 4 + 2 –5 = 1

Como P(0) . P( 2) < 0, temos que nesse intervalo possuímos uma quantidade ímpar de raizes.

34) A

Essa questão requer raciocínio lógico e visual.Observe que f(x) = m ou f(x) – m = 0.

Para que f(x) – m = 0 possua 3 raizes, o gráfico precisa deslocam-se m casas para cima, ou seja, o gráfico precisa interceptar o eixo x em três pontos.

Isso acontece se o gráfico se deslocar até o ponto (0, 0). Após isso o gráfico volta a interceptar somente em dois pontos.

Logo –4 < m < 0.

35) E

Observando o gráfico, temos que a função intercepta o eixo 0x em cinco pontos. Logo ela possui, no mínimo, 5 raizes reais. Portanto a função possui grau maior ou igual a 5.

36) a = 14

e p = –2

Temos, através dos pontos dados, que p = –2 e

a = 14

, pois as raizes são P(de duplicidade 2) e 0.

Pelas relações de Giraro, temos:

p + p + 0 = – 1a

p . p + p . 0 + 0 . p = 1a

2p = – 1a

p2 = 1a

Logo 2p = p2 ⇒ p2 + 2p = 0 ⇒ p = 0 ou p = –2Como P ≠ 0, logo p = –2

Se p = –2, –4 = – 1a

⇒ a = 1a

37) a) x

0

1

–1

2

–2

0

1

1

16

16

y

b) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.

GABARITO

6 Matemática E

c) Pelo gráfico podemos observar que 0 é raiz de multi-plicidade 4, ou ainda, f(x) = x4 ⇒ x4 = 0 ⇒ x = 0

S = {0} d) f(x) é uma função par, pois f(x) = f(–x) e seu gráfico é

simétrico ao eixo 0y.

38) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.

39) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.

40) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.

41) F – V – F – V – V

Falso. Pois o gráfico intercepta o eixo 0x em 7 pontos.Verdadeiro. Pela justificativa acima.Falso. Pois P(x) = 0 possui {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} como raizes reaisVerdadeiro. Pois x . (x + 2) . (x – 2) = (x – 0) . (x + 2) . (x – 2) e como 0, 2, –2 são raizes de p(x) então P(x) é divisível por x . (x + 2) . (x – 2)Falso. Por causa do x do quadrado no primeiro fator do divisor.

42) a) – 3 b) {x ∈ R / –1 < x < 1 ou x > 3}

a) B = 23 – 3 . 22 – 2 + 3 = 8 – 12 – 2 + 3 = –3 B = –3

b) Podemos observar que 1 é raiz do polinômio, pois P(1) = 13 – 3 . 12 – 1 + 3 = 0

Rebaixando o polinômio, temos:

1 1

1

–3

–2

–1

–3

3

0

Q(x) = x2 – 2x – 3 Onde as raizes de Q(x) são –1 e 3. Logo:

–8

–1 1 32

3

Observe que x3 – 3x2 – x + 3 > 0 no intervalo ]–1, 1[ e ]3, ∞[. Logo {x ∈ R / –1 < x < 1 ou x > 3}

43) E

Observe que f(x) = P(x) . Q(x). Se fizemos f(6) temos f(6) = P(6) . Q(6), onde P(6) > 0 e Q(6) < 0, ou seja, multiplicação de valores opostos raizes em quantidade ímpar (descartamos assim as alternativas a, b e c).

Notamos também que f(6) é um valor negativo, pois P(6) . Q(6) é negativo.

Logo, conseguimos destacar a letra d, pois f(x) ≥ 0 para qualquer x.

44) a) S = {–92

, 3}.

b) f(x) ≤ 0 para x ∈ R / x ≤ – 92

a) Podemos observar que 3 é raiz da função, pelo gráfico apresentado.

Rebaixando a equação:

3 2

2

–3

3

–36

–27

81

0

2x2 – 3x – 27 = 0,

onde as raizes são x = 3 e x = – 92

.

Logo, as raizes de 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0 são:

S = {3, 3, – 92

} ou {3, – 92

}

a) Observando o gráfico, temos que f(x) ≤ 0 quando

x ≤ – 92

.

45) E

Temos que a função é P(x) = ax3 – bx2 – cx + d. Com os dados informados temos:

− + − + =+ + + =+ − + =

a b c d

a b c d

a b c d

0

0

27 9 3 0

e ainda, P(0) = 2, logo a . 0 + b . 0 + c . 0 + d = 2,d = 2

− + − =−+ + =−+ + =−

a b c

a b c

a b c

2

2

27 9 3 2

Resolvendo o sistema (por Cramer escalona-mento) temos:

a = 23

, b = –2 , c = – 23

Logo P(x) = 23

x3 – 2x2 – 23

x + 2.

Temos assim,

P(5) = 23

. 125 – 2 . 25 – 23

. 5 + 2 = 32

GABARITO

7Matemática E

46) C

Temos P(x) = ax3 – bx2 – cx + d. Com os dados informados temos:

47) 18

Temos como afirmações verdadeiras, as alternativas 02 e 16, totalizando a soma em 18.

48) C

Para que P(x) . Q(x) < 0, temos:

− + − + =+ + + =+ + + =

a b c d

a b c d

a b c d

0

0

8 4 2 0

Temos ainda que P(0) = 2. Logo a . 0 + b . 0 + c . 0 + d = 2,d = 2

− + − =−+ + =−+ + =−

a b c

a b c

a b c

2

2

8 4 2 2

Resolvendo o sistema por Cramer ou escalonamento, obtemos:a = 1 , b = –2 , c = – 1Logo P(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

Pelo Teorema do resto:P(–2) = (–2)3 – 2 . (–2)2 – (–2) + 2P(–2) = –8 – 8 + 2 + 2 = –12

P(x) < 0 e Q(x) > 0 ou

P(x)

+ + + ++ + + +– – – – – – – –

– – – – – – – –

Q(x)

8

2

–2 4

Logo 2 < x < 4

P(x) > 0 e Q(x) < 0

P(x)+ + + + + +

– – – – – – – – Q(x)

2–4

–4 4 8–2

Logo –4 ≤ x < –2

Temos assim –4 ≤ x < –2 ou 2 < x < 4

49) D

Observe que o gráfico intercepta o eixo 0x em três pontos. Logo o grau de f(x) deve ser maior ou ideal a 3, destacando assim alternativas a, b e c.

Observe também o descante da alternativa e, pois x2 . (x – 1) = 0, x = 0 (multiplicidade 2) e x = 1; O que diverge do gráfico, pois nenhuma raiz é de multiplicidade 2.

50) a) {–2, 0, 2} b) {3, 1, 5}

a) Segundo o gráfico, as raízes de P são {–2, 0, 2}

b) Substituir x por x – 3 é trasladar o gráfico 3 unidades para a oincita, pois a = –3 < 0. Logo: A raiz 2 iria somar 3 unidades = 5. A raiz 0 iria somar 3 unidades = 3. A raiz –2 iria somar 3 unidades = 1. Logo as raizes f(x – 3) são {1, 3, 5}

GABARITO

8 Matemática E

51) D

Para que P(x) < 0, temos f(x) > 0 e g(x) < 0 ou f(x) < 0 e g(x) > 0.

58) C

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x x

4 3 2 2

4 2 2 2

3 2

3 2

3 2 0 1

0 2

2 2

0

− − + + + −

− + + − −

− − + +

+ −

−

/

/ 22 0 2

2 0 2

0

2

2

x x

x x

+ +

+ −

O outro divisor é x2 – x – 2, ou seja, (x + 1) . (x – 2).Não possui esta alternativa.

59) E

x4 + 2x2 + 1 dividido por x2 – 2x + 1.

x x x x x x

x x x x x

x x

x x

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

3 2

0 2 0 1 2 1

2 2 5

2 0 1

2 4

+ + + + − +

− + − + +

+ + +

− +

/

−−

− +

− + −

−

2

5 2 1

5 10 5

8 4

2

2

x

x x

x x

x

/

60) a) a = 0 b) V = {0, 1, 2}

61) D

12 2 1 2 2 1( )( )x x

Ax

Bx+ +

=++

+

f(x) > 0 e g(x) < 0

f(x)+ + + + + + + + +–1/2

– – –g(x)

2– 2–

– – –

Logo x > 2

f(x) < 0 e Q(x) > 0

f(x)

+ + + + + + + + +

–1/2– – – – – –

g(x)2– 2–

Logo – 2 < x < –12

Temos – 2 < x < –12

ou x > 2

52)

Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.

53) D

I. Verdadeira. II. Falsa.III. Verdadeira.IV. Verdadeira.

54) a) q1(x) = a1 . (x + 1) . (x – 3) e q2(x) = a2 . (x – 1) . (x – 4). Logo, q(x) = a1 . a2 . (x + 1) . (x – 3) . (x – 1) . (x – 3). Como q(x) < 0 para x < –1 e x > 4, um possível gráfico

para a função será: b) h(x) = a1  . a2  . x  .  (x + 1)  .  (x – 3)  .  (x – 1)  .  (x – 3)

Dividindo h(x) por (x  +  1) temos o quociente a . x(x – 1) . (x – 3) . (x – 4) e suas raizes são 0, 1, 3, 4, 4.

55) A

Basta analisar os gráficos.

56) C

Pelo Teorema do resto, temos:P(–1) = 4 . (–1)9 + 7 . (–1)8 + 4 . (–1)3 + 3P(–1) = –4 + 7 –4 + 3 = 2

57) A

Pelo Teorema do resto, temos:P(1) = 15 . 116 + b . 115 + 1 = 015 + b + 1 = 0b = –16

GABARITO

9Matemática E

12 2 1

2 12

22 1( )( )

( ) ( )x x

A xx

B xx+ +

=++

+++

1 = 2Ax + A + Bx + 2B(2A + B)x + (2B + A) = 1

2 0

2 1

A B

A B

+ =+ =

⇒ A = 13

B = 23

Logo A + B = 23

– 13

= 13

62) B

Se gn(P) = m e gn(Q) = N, então gn(P . Q) = m + nAssim, 4N + 2 + 3N – 1 = 7N + 1

63) D

f(x) = g(x) . P(x) + n(x)f(x) = (x2 – 1) . (2x + 1) + (kx – 9)f(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 + kx – 9f(x) = 2x3 + x2 + (k – 2)x – 10

Pelo Teorema do resto, temos:f(2) = 2 . 23 + 22 + (k – 2) . 2 – 10 = 016 + 4 + 2k – 4 – 10 = 02k + 6 = 02k = –6k = –3

64) A

Do enunciado temos:P(x) = (x – 1) . q(x) + 10 e P(x) = (x – 3) . q'(x) + 0

Do Teorema do resto, queremos saber o valor de q(3).P(3) = 2 . q(3) + 10 e P(3) = (3 – 3) . q'(3) + 00 = 2 . q(3) + 10 P(3) = 02 . q(3) = –5

65) C

Pelas ralações de Girard:

r1 + r2 + r3 = −ba

= −−( )61

= 6

r1 + r2 + r3 = −da

= −301

= –30

66) A

2x3 – 5x2 – 28x + 15 = (2x – 1) . (x + 3) . (x – k)2x3 – 5x2 – 28x + 15 = (2x2 + 6x – x – 3) . (x – k)2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 2x3 – 2kx2 + 6x2 – 6kx – x2 + kx – 3x + 3k2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 2x3 + (5 – 2k)x2 + (–5k – 3)x + + 3kTemos 3k = 15k = 5

67) B

Rebaixando a equação:

–2 1

1

–3

–5

4

14

28

0

Temos assim x2 – 5x + 14.

68) B

Sejam a, b, c as raizes as raizes da equaçãox3 – 12x2 + 44x – 48 = 0.

Sabemos que a, b e c formam uma P.A, ou ainda, (b – r, b, b + r). Pelas relações de Girano, temos:

b – r + b + b + r = 12 (b – r) . b, (b + r) = 483b = 12 (4 – r) . 4, (4 + r) = 48b = 4 r = ±2

Logo as raizes são (2, 4, 6).

69) 57

Temos que as proposições corretas são 01, 08, 16 e 32, totalizando 57.

70) a) S = {2, 4, 8} b) k = 56

a) Sejam a, b, c raizes da equação. Como estão

em P.G, temos (bq

, b, b . q). Pelas relações de

Girard temos:

bq

. b . b . q = 64 4q

+ b + b . q = 14

b3 = 64 4q

+ 4 + 4q = 14

b = 4 q' = 2

q" = 12

Logo as raizes são (2, 4, 8).

b) Como 2, 4 e 8 são raizes da equação x3 – 14x2 + kx – 64 = 0, temos: 23 – 14 . 22 + k . 2 – 64 = 0 8 – 56 + 2k – 64 = 0 ⇒ k = 56

71) C

TemosA(–1) = B(–1) + 3 . (–1)2 + (–1) + 1A(–1) = B(–1) – 3 + 2 – 1 + 10 = B(–1) – 1B(–1) = 1

GABARITO

10 Matemática E

A(3) = B(3) + 3 . 33 + 2 . 32 + 3 + 1A(3) = 0 + 81 + 18 + 3 + 1A(3) = 103

Logo 103 – 1 = 102

72) A

Podemos observar que 2 é raiz da equação e que 0 é raiz de multiplicidade dois da equação.x5 = 8x2 x5 – 8x2 = 0x5 = 8 e x2 . (x3 – 8) = 0x = 2 x2 = 0 ⇒ x = 0

Rebaixando três vezes a equação, temos:

–2 1 0 0 –8 0 0

0 1 2 4 0 0 0

0 1 2 4 0 0

1 2 4 0

Logo temos x2 + 2x + 4 = 0, onde as raizes são

–1 +  −3 e –1 – −3

Temos assim –1 +  −3 + (–1) – −3 = –1 + (–1) = –2.

73) B

Rebaixando duas vezes a equação:

2 2 –7 3 8 –4

2 2 –3 –3 2 0

2 1 –1 0

Logo temos 2x2 + x – 1 = 0, cujas raizes são

x' = –1 e x" = 12

Temos –1 + 12

= – 12

= –0,5

74) C

Rebaixando a equação duas vezes:

1 1 0 1 a b

1 1 1 2 2+a 2+a+b

1 2 4 6+a

Temos que 6 + a = 0 ⇒ a = –6Temos também 2 + a + b = 0 ⇒ b = 4a2 – b3 = 36 – 64 = –28

75) D

Rebaixando a equação:

–3 1 5 4 –6

1 2 –2 0

Logo temos x2 + 2x – 2 = 0, cuja raizes são

x' = –1 +  3 e x" = –1 – 3

Logo a + b = –1 +  3 + (–1) – 3 = (–1) + (–1) = –2.

76) D

6 9 3 7 2 1

6 3 3 3 2 5

4 12 3 7

4 3 2 2

4 3 2 2

3 2

x x x x x x

x x x x x

x x x

− − − + + +

− − − − −

− − − +

+

/

44 2 2

10 7

10 5 5

4 12

3 2

2

2

x x x

x x

x x

x

+ +

− − +

+ + +

+

/

/

Logo q(x) = 3x2 – 2x – 5, cujas raizes são

x' = 53

e x" = –1.

Temos também r (x) = 4x + 12, cuja raiz é x = –3.

Logo 53

. (–1) . (–3) = +5

77) A

78) A

P(x) = x3 + ax2 + bxPelo Teorema do resto, temos:P(2) = 23 + a . 22 + b . 2 = 2P(2) = 4a + 2b = –6

P(1) = 13 + a . 12 + b . 1 = 4P(1) = 1 + a + b = 4P(1) = a + b = 3

Montando um sistema temos:4 2 6

3

6

9

a b

a b

a

b

+ =−+ =

⇒=−=

79) C

Temos x4 + 16 = 0. Pelo método de substituição de variável, temos:y2 + 16 = 0y = −16y = ± 4i

GABARITO

11Matemática E

Temos então x' = 4i e x" = −4i , ondex' = 2 i x"' = 2 −i

x" = –2 i x"" = –2 −i

80) E

P(x) = q(x) . (x – 1) . (x + 2) + (Ax + B)

Pelo Teorema do resto:P(1) = q(1) . 0 . 3 + A + B = 1A + B = 1

P(–2) = q(–2) . (–3) . 0 + (–2A) + B = –23–2A + B = –23

Montando um sistema, temos: A B

A B

A

B

+ =− + =−

⇒==−

1

2 23

8

7

Logo o resto é 8x – 7.

81) quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1

x x x x x x100 99 98 2 20 0 0 1 1+ + + + + + −

−

..............................

xx x x x x

x x x x

x x

100 98 98 96 2

98 97 96 2

98 96

1

0 0 0 1

+ + + + +

+ + + + +

− +

...

/ / ...

// / ...

/ /

x x x x x

x x x x

x x

x x

96 4 3 2

4 3 2

4 2

2

0 0 0 1

0 0 0 1

1

+ + + + + +

+ + + +

− +

+ +

� � �

−− +

+

x

x

2 1

2Temos q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1R(x) = x + 2

82) a) 3 cm b) 5 cm

x

x

x

x

16 – 2x

30 – 2x

30 – 2x

x

16 – 2x

x

x

x

x

a) 2 . [(30 – 2x) . x + (16 – 2x) . x] = 204 30x – 2x2 + 16x – 2x2 = 102 –4x2 + 46x = 102 –2x2 + 23x – 51 = 0,

Onde as raizes são x' = 172

e x" = 3.

Observe que x = 172

não pode ser, pois senão 16 – 2x seria negativo.

Logo x = 3.

b) (30 – 2x) . (16 – 2x) . x = 600 4x3 – 92x + 480x = 600 x3 – 23x2 + 120x – 150 = 0

Cujas raizes sãox = 5, x = 0 + 51 e x = – 51.

Temos assim que x = 5.

GABARITO

12 Matemática E

83) D

No gráfico, temos o pontos (–4, 0), (2, 0), (0, 4) e (–2, 8).Logo:− + − + =

+ + + =− + − + =

⇒64 16 4 0

8 4 2 0

8 4 2 8

a b c d

a b c d

a b c d

Como temmos

Logo d

( , ),

.

0 4

4=

− + − =−+ + =−

− + − =

64 16 4 4

8 16 2 4

8 4 2 4

a b c

a b c

a b c

Resolvendo o sistema pela regra de Cramer ou por escalonamento, temos:

a = 14

, b = 0, c = –3

84) D

Essa questão pode-se resolver por eliminação, pois é fácil observar que as afirmações a), b) e c) são verda-deiras.