Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2º Ano Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 2º AnoPropriedades relativas à posição:

intersecção, paralelismo e perpendicularismo

Conteúdos:• retas, pontos e planos no espaço;• perpendicularismo;• paralelismo.

MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo

Conceitos Primitivos

Ponto

Características

• Não possui dimensão.

• Sua representação geométrica é indicada por letra maiúscula do alfabeto latino: A, H, G, J, M, P, etc.

• A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.


P

A

Por um ponto, podem ser traçadas infinitas retas.


P

S

U

t

r

A IDEIA DE PONTO...


A representação de uma cidade no mapa.

Imagem: Ministério dos Transportes / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

Reta

r

Características

• É unidimensional e tem comprimento infinito.

• Sua representação geométrica é indicada por letra minúscula do alfabeto latino: r, s, t, u, a, b, e etc.

• Em uma reta há infinitos pontos.


Plano β

Características• É bidimensional, possui largura e comprimento infinitos e não

possui espessura.• Sua representação geométrica é indicada por letras do alfabeto

grego: α, β, γ, δ, θ, etc.• Com 3 pontos distintos e não colineares, determina-se um plano.


Por uma reta pode ser traçada uma infinidadede planos.


r

Espaço: é o conjunto de todos os pontos, retas e planos. É tridimensional.


Axiomas• Axiomas, ou postulados, são proposições

aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

• Teoremas são propriedades que podem ser justificadas com base nos postulados.


PostuladosPostulado 1

Existe reta, e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

Existe plano, e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.


Postulado 2 Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Postulado 3

Dado três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano que os contém.


Postulado 4 Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, então ela está contida no plano.

Postulado 5 Se dois planos possuem um ponto em comum, então eles possuem pelo menos mais de um ponto em comum, ou seja, uma reta em comum.


P

Postulado 6 Por um ponto qualquer não pertencente a uma reta r dada, passa uma única reta paralela à r.

r


r

Retas Reversas: duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas.


Posições entre duas RetasConcorrentes: duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum.

Pr

s


Posições entre duas RetasParalelas: duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e são coplanares.


Posições entre duas RetasCoincidentes: duas retas são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.

r = s

sr


Posições entre duas RetasReversas: duas retas são reversas quando não existe plano que contém ambas.

r

s


Temos que considerar dois casos particulares:

• retas perpendiculares:

• retas ortogonais:


Imagem: Completerat / Public domain

Imagem: Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

Posição Relativa entre Reta e PlanoReta contida no plano: uma reta está contida no plano quando, pelo menos, dois de seus pontos pertencem ao plano.


r

A

B

r

Posição Relativa entre Reta e PlanoReta e plano concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.


P

r

Pr

Posição Relativa entre Reta e PlanoReta e plano paralelos: se uma reta é paralela a um plano, essa reta é paralela a, pelo menos, uma reta desse plano.

Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.


s

r

α

rr //

Posição Relativa entre PlanosPlanos paralelos: dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. No entanto, uma condição necessária para que dois planos sejam paralelos é que um deles contenha 2 retas concorrentes paralelas ao outro plano.


Imagem: Qef / Public domain.

Posição Relativa entre PlanosPlanos coincidentes: dois planos são coincidentes quando possuem infinitos pontos em comum.


Posição Relativa entre PlanosPlanos concorrentes: dois planos são concorrentes quando sua intersecção é uma reta.

P


PerpendicularismoEntre RetasRetas Perpendiculares: são retas que se encontram e formam ângulos de 90°.


Perpendicularismo entre reta e plano


..

r

t

α

α

r

t

.

PerpendicularismoRetas Ortogonais: são retas que não se encontram, mas suas projeções formam um ângulo reto.


PerpendicularismoEntre Reta e Plano: uma reta concorrente com um plano, num ponto P, é perpendicular ao plano se é perpendicular a todas as retas do plano que passam por P.


PerpendicularismoTeorema: se uma reta r é perpendicular ou ortogonal a um par de retas concorrentes contidas no plano, então r é perpendicular ao plano.


PerpendicularismoEntre Planos: dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contiver uma reta r que é perpendicular ao outro plano.


Projeção Ortogonal

P

P’

Projeção ortogonal de um ponto


Projeção Ortogonal

Projeção ortogonal de um segmento

A

B


Tabela de Imagens

n° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso

5 Ministério dos Transportes / Creative

Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pe.jpg 18/09/2012

21 A - Completerat / Public domainB - Autor desconhecido / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license.

A - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Perpendicular.svg B - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_three_orthogonals.svg

18/09/2012

25 Qef / Public domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Planes_parallel.svg

18/09/2012

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