Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Estudando a reta no plano

Autores

aula

02

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,

East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile – www.masterfile.com

MorgueFile – www.morguefile.comPixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.com

FreeImages – www.freeimages.co.ukFreeFoto.com – www.freefoto.com

Free Pictures Photos – www.free-pictures-photos.comBigFoto – www.bigfoto.com

FreeStockPhotos.com – www.freestockphotos.comOneOddDude.net – www.oneodddude.net

Stock.XCHG - www.sxc.hu

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN -

Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos �

Apresentação

N esta aula, faremos uso de sistemas de coordenadas no plano (que você aprendeu na aula 1 – Aprendendo a marcar pontos na reta, no plano e no espaço), para estabelecer equações de retas. Isso permite o estudo de propriedades da reta

usando métodos algébricos, ao contrário da Geometria Plana, na qual isso era feito através do método axiomático-dedutivo.

Ao longo da aula, deduziremos as equações mais utilizadas da reta. Além disso, trazemos vários exemplos, atividades e exercícios. Em alguns exemplos, são feitas aplicações da Geometria Plana; algumas atividades auxiliam você na descoberta de resultados que serão confirmados na seqüência da aula, outras o conduzirão à demonstração de resultados significativos; e os exercícios constituem parte importante, uma vez que auxiliam na fixação dos conceitos e podem elucidar suas dúvidas. Ao final da aula, são dadas sugestões para a resolução dos exercícios (atenção, não fique tentado a olhá-las! Ao contrário, tente chegar a uma solução, e só em último caso recorra à nossa ajuda).

ObjetivosAo final desta aula, esperamos que você esteja apto a: fazer uso do conceito de declividade para o cálculo de ângulos de figuras planas; reconhecer retas paralelas, perpendiculares, concorrentes e coincidentes através de suas equações; usar apropriadamente sistemas de coordenadas na resolução de problemas.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos2

Inclinação e declividade de retas

N a disciplina Geometria Plana e Espacial, você aprendeu que por dois pontos distintos no plano passa uma única reta. Acontece que em alguns problemas conhecemos apenas um ponto por onde uma reta deve passar e uma direção a ser seguida, como

no importante problema de determinar a reta tangente a uma curva em um ponto dado (você estudará isso na disciplina Cálculo I). Veremos aqui que é possível determinar a reta com essas condições dadas.

Você deve ter percebido que a maneira mais natural de distingui-las é por meio de suas inclinações em relação ao eixo positivo x . Procure observar isso no desenho que fez. Desse modo, define-se: a inclinação de uma reta no plano é o ângulo, no sentido anti-horário, que ela forma com o semi-eixo positivo x . Veja a Figura 1 a seguir.

Atividade 1

Em um plano coordenado, marque um ponto e por ele trace quantas retas quiser. Em seguida, destaque um fato comum que distinga as várias retas.

sua

resp

osta

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos �

Figura 1 – Retas r1 e r2 e suas inclinações

Atividade 2

Reveja a Atividade �. O que você observa? Constate que a inclinação de qualquer reta, medida em graus, varia de 0º a 180º.

sua

resp

osta

Na prática, ao invés de usarmos a inclinação de uma reta, utilizaremos sua tangente trigonométrica, dita a declividade ou coeficiente angular da mesma, o que se torna mais vantajoso devido às propriedades algébricas da tangente. Além disso, lembre-se de que, dado um ângulo não reto entre 0º e 180º, ele tem uma única tangente, e, reciprocamente, dado um número real, existe um único ângulo não reto entre 0º e 180º, cuja tangente é esse número.

y

r

° °

r

x

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos4

Figura 2 – Reta passando por P1 e P2 com inclinação α

Atividade 3

Faça uma fi gura da reta que passa pela origem e pelo ponto (1,1) e diga

sua inclinação e sua declividade. Faça o mesmo para a reta que passa pelos

pontos (2,1) e

33,,√√3333+ 1+ 1

.

Você deve ter percebido que a Atividade 3 sugere que dois pontos distintos de uma reta determinam sua declividade. De fato isso ocorre: dados P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pontos distintos sobre a mesma reta, tracemos por P1 uma paralela ao eixo x e por P2 uma paralela ao eixo y, que se encontram no ponto Q(x2,y1), conforme ilustra a Figura 2.

Nota: como tg 90º não existe como número real, segue-se que as retas verticais não têm declividade. Por isso, daqui em diante, sempre que falarmos em declividade, estamos excluindo-as.

y

y

P

Q

P

xα

α

x

x - x

y

x

y - y

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos 5

Observe que os ângulos assinalados são os mesmos, por serem correspondentes. Assim, a declividade da reta é:

m = tgα = =P2Q

P1Q=y2 − y1x2 − x1

cateto oposto

cateto adjacente

Proposição � – Sejam P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pontos distintos sobre uma reta com

declividade m, então:mm ==

yy22 −− yy11xx22 −− xx11

Nota: o denominador (x2–x1) na Proposição � é sempre diferente de zero, uma vez que a reta, por ter declividade, é não vertical.

Paralelismo eperpendicularismo de retas

Atividade 4

Considere a reta que passa por (0,0) e (1,1) e a que passa por (1,0) e (0,-1). Calcule suas declividades.

sua

resp

osta

O que acabamos de fazer foi demonstrar a seguinte proposição.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos6

São as mesmas não é? Conclua que as retas são paralelas. Isso não é privilégio desse exemplo, como veremos agora.

Consideremos a seguir duas retas paralelas com inclinações α1 e α2.

Observe que os ângulos α1 e α2 são correspondentes, logo, α1 = α2, em particular,tg α1 = tg α2, isso diz que as declividades são as mesmas.

Por outro lado, se tivermos tg α1 = tg α2 como α1 e α2 variam de 0º a 180º, então α1 = α2, isto é, as retas têm a mesma inclinação, logo, são paralelas. Isso demonstra a seguinte proposição.

Proposição 2 – duas retas são paralelas se, e somente se, têm a mesma declividade. Em símbolos: sejam r1 e r2 retas no plano com declividades m1 e m2, respectivamente, então:

rr11//r//r22 ⇔⇔ mm11 == mm22

Exemplo 1

Mostre que num triângulo qualquer a reta que passa pelos pontos médios de dois de seus lados é paralela à reta que contém o terceiro lado.

Nota – Esse resultado foi demonstrado na aula 5 da disciplina Geometria Plana e Espacial.

Você é convidado a confrontar a demonstração feita na aula 5 daquela disciplina com a que apresentaremos a seguir.

SoluçãoComo não são estabelecidas coordenadas, vamos escolhê-las a fim de simplificar a

solução. Para tanto, sejam A, B, C os vértices do triângulo e o sistema de coordenadas, de modo que A seja a origem e o eixo x contenha o lado AB, conforme mostrado na Figura 3 seguinte.

Figura � – Os pontos médios M e M’ de AC e BC

y

A( , )

C(b,c)

B(a, )

M M

x

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos 7

Sejam M

b

2,

c

2

e M

a+ b

2,

c

2

as coordenadas dos pontos médios dos lados AC

e BC, respectivamente. Desse modo, a declividade m da reta que passa por M e M’ é :

m =

c

2− c

2a

2

= 0,

que é a mesma da reta que passa por A e B. Donde MM’ é paralelo a AB. Além disso,

MM =a

2=

12AB conforme você pôde constatar

Atividade 5

Trace a reta que passa pelos pontos (0,0) , (1,2) e a que passa pelos pontos (0,0) e (-2,1). Verifi que que elas são perpendiculares. Calcule suas declividades.

sua

resp

osta

O que você observou? Que elas têm declividades 2 e −12

, respectivamente, não é mesmo? Isto é, a declividade de uma delas é o inverso do simétrico da outra. Novamente, isso não é privilégio do exemplo considerado. É o que demonstraremos na seguinte atividade.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos�

Atividade 6

Acompanhe atentamente os passos seguintes.

Passo 1 – Sejam r1 e r2 retas perpendiculares com declividades m1 e m2, respectivamente. Trace, passando pela origem, retas r1’ e r2’ com r1’ paralela a r1 e r2’ paralela a r2. Conclua que r1’ e r2’ são também perpendiculares e têm declividades m1 e m2’ respectivamente.

Passo 2 – Verifique que o ponto P(1,m1) pertence a r1’ e que o ponto Q(–1, –m2) pertence a r2’. Veja na Figura 4 a seguir.

Figura 4 – Retas r’1 e r’2 perpendiculares

Passo 3 – Use o Teorema de Pitágoras no triângulo OPQ,

retângulo em O, para obter PQ2 = OQ2 +OP 2 , ou seja,

22 +m21 + 2m1m2 +m2

2 = 1 +m21 + 1 +m

22

que dá m1m2 = –1 ou

m2 = −1m1

. Conclusão: r1 perpendicular a r2, então, a declividade de r2 é o

inverso do simétrico da de r1.

Passo 4 – Para a recíproca, parta de m2 = −1m1

. Reverta todas as

igualdades do Passo 3 para chegar a 22 + (m1 +m2)2 = 1 +m21 + 1 +m2

2

o que significa PQ2 = OP 2 +OQ2 Assim, o triângulo OPQ satisfaz ao Teorema de Pitágoras, logo, é retângulo em O. Portanto, as retas r1’ e r2’ são perpendiculares, o mesmo acontecendo com r1 e r2 .

r

r

O

Q , m

P ,m

y

x

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos 9

Toda essa discussão pode ser resumida na seguinte proposição.

Proposição 3 – Duas retas são perpendiculares se, e somente se, a declividade de uma delas é o inverso do simétrico da outra.

Em símbolos: se r1 e r2 são retas com declividades m1 e m2, respectivamente, então,

rr11 ⊥⊥ rr22 ⇔⇔ mm22 == −−11mm11

Marque em um plano cartesiano os pontos A(2, 4); B(–3, 1); C(5, –2); D(10, 1) e verifi que que eles são os vértices de um paralelogramo.

Se A e B têm coordenadas (1, 2) e (–3, 5) respectivamente, ache o quarto vértice do paralelogramo do qual OA e OB são lados adjacentes, em que O(0, 0) é a origem do sistema de coordenadas.

Encontre os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0); B(4, 1); C(2, –3).

Verifi que que os pontos A(0, 4); B(–6, –2); C(4,0) são vértices de um triângulo retângulo.

Mostre que os pontos médios dos lados de um losango são vértices de um retângulo.

�

2

�

4

5

Exercícios

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos�0

Atividade 7

Dê as coordenadas de cinco pontos distintos sobre a reta de equação y = 2x + 1.

Verifique se os pontos de coordenadas (0, 1); (−3, 5) e (10, 1) estão sobre ela.

sua

resp

osta

Equações da reta

Seja (x, y) um ponto qualquer sobre a reta que passa por (x0, y0) com declividade m. Vimos no tópico Inclinação e declividade de retas, desta aula, que:

y − y0x− x0

= m ou seja, y − y0 = m(x − x0),

a qual é chamada de equação reduzida da reta.

Nota – Isso significa que se (x, y) pertence à reta, ele satisfaz essa equação e vice-versa. No caso em que a reta é vertical e passa por (x0, y0), um ponto (x, y) pertence a ela se, e somente se, x = x0 (que é sua equação).

Note que a equação reduzida pode ser escrita sob a forma y = mx+b, sendo b = y0–mx0.

,

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos ��

Atividade 8

Desenhe uma reta paralela ao eixo x e descubra sua declividade. Qual é sua equação?

sua

resp

osta

Atividade 9

Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1, –2) e é perpendicular

a uma reta com declividade −1122

. E, se ao invés de perpendicular, ela for paralela?

Faça o mesmo para o caso geral, isto é, quando P(x1, y1) e a declividade for m.su

a re

spos

ta

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos�2

Exemplo 3Considere a seguinte situação problema.

Duas empresas de táxi praticam preços diferenciados. A empresa EAD cobra R$1,80 por quilômetro rodado mais uma bandeirada de R$3,00. Enquanto a empresa DAE cobra R$1,90 por quilômetro rodado e uma bandeirada de R$2,00. Em qual das empresas você pegaria um táxi?

Exemplo 2Mostrar que as mediatrizes de um triângulo se encontram em um mesmo ponto.

SoluçãoSejam A, B e C os vértices do triângulo, escolhamos o sistema de coordenadas, de

modo que o eixo x contenha o lado AB e o eixo y seja a mediatriz do segmento AB, conforme mostramos na Figura 5.

Figura 5 – Mediatrizes de um triângulo

Os pontos O(0, 0), M

a + b

2,

c

2

e M

b− a

2,

c

2

marcados na Figura 5 são os

pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Como as mediatrizes passam

por esses pontos e são perpendiculares aos respectivos lados, suas equações são:

x = 0, que é o eixo y

y − c

2=

a− b

c

x− a+ b

2

y − c

2= −a+ b

c

x− b− a

2

Fazendo x=0, na segunda e terceira equações, obtemos, para y, o mesmo valor:

y =c

2− a2 − b2

2c. Isso mostra que as mediatrizes se cortam no ponto D

0,

c

2− a2 − b2

2c

.

A(-a, ) B(a, )

C(b,c)

M

D

M

y

x

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos ��

Figura 6 – Modelo geométrico da corrida de táxi

Como você pode verificar, as retas se interceptam no ponto (10, 21). Além disso, de 0 até 10 km, a reta que representa a empresa EAD está acima da que representa a empresa DAE e, depois de 10 km, a situação se inverte.

Conclusão

n entre 0 e 10 km, a empresa DAE é a mais vantajosa;

n acima de 10 km, a vantagem passa a ser da empresa EAD;

n se a corrida é de exatamente 10 km, tanto faz uma empresa como a outra: o valor da corrida é R$ 21,00.

Dada uma equação de grau 1 em x e y, a saber ax + by + c = 0, se b = 0, ela

representa a reta vertical x = − c

a(como a equação é de grau 1, necessariamente, a ≠ 0 ).

Se b ≠ 0, temos que:

y = −a

bx− c

b

que é a equação de uma reta com declividade y = −a

be passando pelo ponto

0,−c

b

do eixo y.

Verifique isso!

Nota – A bandeirada é uma taxa inicial cobrada em qualquer corrida de táxi.

SoluçãoSe x é a quantidade de quilômetros rodados e y é o valor cobrado pela corrida de táxi,

então, as empresas EAD e DAE cobram, respectivamente, segundo as equações, y = 1,8x + 3 e y = 1,9x + 2, as quais representam retas ilustradas na Figura 6 seguinte.

x

y

empresa DAE empresa EAD

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos�4

Exemplo 4

Considere esta situação problema.

Os irmãos Renata, Thales e Gabriel têm apenas moedas para saldar suas dívidas. Renata tem 120 moedas, as quais são de 25 ou 50 centavos. As moedas de Thales são de 50 centavos ou 1 real, sendo que a quantidade das primeiras somadas ao dobro da quantidade das segundas totalizam 130 moedas. Gabriel tem somente moedas de 10 ou 50 centavos, sendo que o número das de 10 centavos mais o quíntuplo das de 50 centavos somam 300 moedas. As dívidas dos mesmos são, respectivamente, 50, 90 e 30 reais. De quantos modos eles podem quitá-las?

SoluçãoA situação de cada irmão é descrita pelos sistemas de equações a seguir.

Renata(R): x+ y = 120

0, 25x+ 0, 50y = 50

Thales(T): x+ 2y = 130

0, 50x+ 1, 00y = 90

Gabriel(G): x+ 5y = 300

0, 10x+ 0, 50y = 30

Em cada sistema, x denomina-se o número de moedas de menor valor e y, o número das de maior valor. Cada sistema pode ser reescrito como:

(R): x+ y = 120

x+ 2y = 200 ; (T):

x+ 2y = 130

x+ 2y = 180; (G):

x+ 5y = 300

x+ 5y = 300

Traduzindo os sistemas anteriores em termos de reta, temos que em:

(R) as retas são concorrentes, logo o sistema admite uma única solução;

(T) as retas são paralelas, logo o sistema não admite solução;

(G) as retas são coincidentes, logo o sistema admite uma infinidade de soluções.

Em síntese, qualquer reta tem uma equação do tipo ax+by+c=0 e, reciprocamente, qualquer equação desse tipo representa uma reta.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos �5

Atividade 10

Dado o sistema de equações lineares

axax++ byby == cc

dxdx++ eyey == ff com a, b, d e e

não nulos.

Estabeleça as relações entre os coeficientes das equações para que as retas sejam:

a) concorrentes: o sistema admite uma única solução;

b) paralelas: não existe solução para o sistema;

c) coincidentes: o sistema apresenta uma infi nidade de soluções.

sua

resp

osta

Mais especifi camente:

n Renata saldará a dívida de um único modo: com 40 moedas de 25 centavos e 80 de 50 centavos;

n Thales não poderá saldar sua dívida de forma alguma;

n Gabriel poderá saldar suas dívidas de várias formas.

Descreva pelo menos três formas diferentes com as quais Gabriel pode pagar sua dívida.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos�6

Continuando os exercícios

6

7

�

9

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2,3) e tem inclinação de 135º.

Encontre a reta que passa por (−1,−2) e é paralela:

a) ao eixo x;

b) ao eixo y;

c) à reta de equação 2x−4y−1=0.

Mostre que os pontos 00,,

7722

; (−5,1) e

−−22,,

5522

são colineares.

Verifique que para todo valor real de k, as retas y+kx+k−1=0 passam todas pelo mesmo ponto. Que ponto é esse?

Dadas as retas 3x−2y−1=0 e kx+4y−5=0 determine k para que as mesmas sejam:

a) paralelas;

b) perpendiculares

�0

Ache a equação de uma reta de declividade −2 que intercepta a reta x−y+3=0. Quantas retas distintas existem satisfazendo essas condições?

Determine os vértices do triângulo cujos lados estão contidos nas retas: x−y+1=0, 2x+y+2=0 e 2x+3y+4=0.

Uma reta que não passa pela origem intercepta os eixos coordenados

nos pontos (a,0) e (0,b). Mostre que sua equação pode ser escrita sob

a forma xaa++

yy

bb= 1= 1. Esta é a chamada equação segmentária da reta.

��

�2

��

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos �7

Calcule a área do triângulo formado pela reta de equação 2x−3y+4=0

e os eixos coordenados.

Ache a área do triângulo de vértices A(−1,1); B(1,−2) e C(3,3).

�4

�5

Distância de um ponto a uma reta

Dados uma reta r e um ponto P não pertencente a ela, tente descobrir a menor distância de P aos pontos de r.

É fácil! Para tanto, trace por P uma perpendicular a r, que a intercepta em Q, e tome R um ponto qualquer de r (veja a Figura 7 a seguir).

Figura 7 – A distância de P a r

Examinando atentamente a Figura 7, você observou que PR é a hipotenusa de um triângulo retângulo, sendo PQ um cateto, logo, PR > PQ.

Conclusão: PQ é a menor distância de P aos pontos da reta r. Isso nos conduz à seguinte defi nição.

A distância de um ponto P a uma reta r, que não passa por P, é o comprimento do segmento PQPQ onde Q é o pé da perpendicular traçada de P à r.

Nota – Essa defi nição foi dada na aula 5 da disciplina Geometria Plana e Espacial.

Seria interessante obter uma fórmula para a distância de um ponto P(x0, y0) a uma reta r em função das coordenadas de P e dos coefi cientes a, b, c da equação ax+by+c=0 da mesma. Isso é perfeitamente possível e é o que faremos a partir dos seguintes passos.

P

R Q r

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos��

Passo � – Considere inicialmente o caso em que a ≠ 0, isto é, em que a reta não é horizontal, o que permite traçar por P uma paralela ao eixo x a qual encontra r em R(x1,y0).

Passo 2 – O ângulo α indicado na Figura 8 a seguir é a inclinação de r ; por quê?

Figura 8 – A distância PQ de P à reta de equação ax + by + c = 0

Traçando o segmento PQ perpendicular à r em Q, o triângulo PQR é retângulo em Q, e segue-se que PQ = PR · senα .

Passo � – Para o cálculo de PR observe que como R pertence à reta r, então, ax1+by0 +c=0,

o que dá x1 = −b

ay0 −

c

a . Desse modo,

PR = |x1 − x0| =−b

ay0 −

c

a− x0

=|ax0 + by0 + c|

|a|

Passo 4 – Olhando para o triângulo retângulo OP’R’, vemos que senα =OP

P R Mas, OP =

cb

, b≠0 e

P R =

c2

b2+

c2

a2=

c2

�a2 + b2

a2b2

= c

ab

√a2 + b2 =

|c||a||b|

.√

a2 + b2

Assim, senα =|a|√a2 + b2

Passo 5 – Voltando ao Passo 2, em que encontramos PQ = PR.senα, substituindo os

valores de PR (Passo 3) e de sen (Passo 4), obtém-se PQ = |ax0 + by0 + c|√a2 + b2

. Em resumo,

se a distância de P a r é denotada por d(P, r), então, d(P, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2. Note que se

P pertence à reta r, então d(P, r)=0 e ax0+by0+c=0. Donde se conclui que a fórmula

anterior vale para qualquer ponto P do plano. No caso em que a =0, faça uma figura e

conclua que d(P, r) =|by0 + c|

|b| que é a fórmula anterior para a=0.

xO

P

P

R

R

Q

yax + by + c =

xx

y

ca

cb

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos �9

Calcule a distância entre as retas paralelas de equações x–2y=3 e 2x–4y=1. Faça uma ilustração.

Encontre a equação de uma reta cuja distância à reta r de equação 2x+y=3 vale 4 unidades. Ilustre sua conclusão.

Ache uma reta cujos pontos são eqüidistantes das retas concorrentes r e s de equações x+y+1=0 e x+3y –2=0, respectivamente. Qual a natureza geométrica da reta que você encontrou?

Atividade 11

Deduza, de outro modo, a fórmula anterior seguindo os passos descritos a seguir.

Passo � – Determine a equação da reta que passa por P e é perpendicular à r.

Passo 2 – Encontre o ponto Q de interseção da reta anterior com r, resolvendo o sistema constituído pelas equações das mesmas.

Passo � – Calcule o comprimento do segmento PQPQ e observe que

dd((P, rP, r) =) = P QP Q

sua

resp

osta

Continuando os exercícios

�6

�7

��

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos20

ResumoNesta aula, você viu que retas paralelas e perpendiculares podem ser reconhecidas a partir de suas declividades, isto é, da tangente do ângulo que formam, no sentido anti-horário, com o semi-eixo positivo x. Além disso, constatamos que por um ponto do plano passa uma única reta tendo como declividade um número real dado. Estabelecemos, em termos dos coeficientes da equação de uma reta, uma fórmula que serve para calcular a distância de um ponto a uma reta.

Auto-avaliaçãoComo você identifica retas paralelas em Geometria Plana? E em Geometria Analítica?

Faça o mesmo que na questão 1 anterior para retas perpendiculares.

Liste pelo menos dois resultados de Geometria Plana envolvendo paralelismo. Demonstre-os usando primeiro Geometria Plana, em seguida, usando Geometria Analítica. Qual das demonstrações você acha menos trabalhosa?

Faça o mesmo que na questão 3 anterior envolvendo perpendicularismo.

Como você define bissetriz de um ângulo em Geometria Plana? Como construí-la? E em Geometria Analítica, como defini-la? Como achar sua equação?

�

2

�

4

5

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos 2�

Sugestões para a resolução dos exercícios

1. Um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente se, seus lados opostos são paralelos.

2. Se C é o quarto vértice, então, BC// OA e AC// OB.

3. Faça uma figura e observe que:

A =“declividade de AB” + “180o − declividade de AC”

B = “declividade de BC” − “declividade de AB”

C= “180º – (A+B)”

Nota – XY representa a reta que passa pelos pontos distintos X e Y.

4. Mostre que ←→ ←→

conseqüentemente BC2 = AB2 +AC2.

5. Se A, B, C e D são seus vértices, adapte um sistema de coordenadas, em que o lado AB está sobre o eixo x. Sejam F, G, H e I os pontos médios dos lados AB, BC, CD e AD, respectivamente. Mostre que

←→ ←→

, ←→ ←→

, ←→ ←→

e ←→ ←→

. Lembre-se de que num losango todos os lados são iguais e, conseqüentemente, os lados opostos são paralelos.

6. Aplicação imediata da equação y–y0=m(x–x 0) sendo m a declividade da reta e P(x 0,y 0), um ponto por onde ela passa.

7. Retas paralelas têm a mesma declividade.

8. Pontos colineares estão sobre uma mesma reta.

9. Mostre que o ponto (–1,1) pertence a todas as retas.

10. Retas paralelas têm declividades iguais e em retas perpendiculares, a declividade de uma delas é o simétrico do inverso da declividade da outra.

11. Escolha um ponto sobre a reta de equação x–y+3=0 e imponha a condição da reta pedida passar por ele. Como existe uma infinidade de pontos sobre uma reta, então, existem infinitas retas satisfazendo as condições estipuladas.

12. Cada vértice do triângulo é a interseção de duas dessas retas.

←→←→

←→

←→

←→

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos22

13. Encontre sua declividade e trabalhe sua equação reduzida para escrevê-la sob a forma pedida.

14. Encontre os pontos em que a reta corta os eixos coordenados e lembre que o triângulo formado é retângulo.

15. Tome o lado AB como base e lembre-se de que a altura que parte do vértice C para AB é dada por d(C,r), em que r é a reta que contém o lado AB.

16. Lembre-se de que a distância entre duas retas paralelas é igual à distância entre um ponto de uma delas à outra.

17. A reta pedida deve ser paralela à reta r. Logo, se ela passa por P(0,y0), sua equação é y–y 0=–2x. Imponha a condição de ser d(P,r)=4, para obter valores para y 0. Você deve encontrar duas retas. Explique, geometricamente, o porquê.

18. Essa reta é qualquer uma das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas r e s dadas. Seja y=mx+b a equação da reta procurada. Imponha a condição de que, se P(x,y)está sobre essa reta, então, d(P,r)=d(P,s). Para determinar m e b, atribua dois valores distintos a x na equação anterior para obter dois pontos P diferentes.

Referências

LIMA, Elon Lajes et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. 3 v.

RICHARD, Courant; ROBBINS, Herbert. O que é a matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 1976.

VANCE, Elbridge P. Introducción a la matemática moderna. São Paulo: Fundo Educativo Interamericano, 1968.

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos 2�

Anotações

Aula 02 Geometria Analítica e Números Complexos24

Anotações