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Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 1 - Parte 1
O que é um algarismo?É um símbolo que utilizamospara formar e representar osnúmeros. Exemplo:Os algarismos que compõem onúmero 475 são os seguintes:
5
U
7
D
4
C
Valor posicional dos números
U.M. C D U , d c m d.c.1
1 0
1 0 0
1 0 0 0
0 , 1
0 , 0 1
0 , 0 0 1
0 , 0 0 0 1
Unidad
e de milh
ar
Cen
tenas
Dezen
as
Unidad
es
centési-
mos
milésimos
décim
os
décim
os
milésimos
2
Conjunto dos números naturais (N)
N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... ∞∞∞∞ }
N
N* = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... ∞∞∞∞ }
N*
Algoritmo da soma
4
11 5 8 4
8
1
+ 4 5 7
3
2
7 9 32
unidades
dez
enas
cente
nas
milh
ares
SubtraçãoExemploUm carro custa R$ 31.000,00enquanto que outro custa R$19.000,00. Qual a diferença depreços entre os dois carros?
31000 - 19000 = 12000
subtraendominuendodiferença ou resto
3
Algoritmo da subtração
2
2 6 4 9– 1 8 9 7
57
unid
ades
dez
enas
cente
nas
milh
ares
-1
+10+10
-1
MultiplicaçãoFaça a seguinte multiplicação:27 X 12 =
2 71 2X
4
1
572 0
43 2
1
unid
ades
dez
enas
cente
nas
Algoritmo da multiplicação
27 quadradinhos12 q
uad
radin
hos
A multiplicação 12 x 27 pode ser representada da seguinte maneira:
4
Algoritmo da multiplicação
27 quad.
10 q
uad
.2 q
uad
.
27 quad. X 227
54
X10 27
270
270 + 54 = 324
A multiplicação 12 x 27 pode ser representada da seguinte maneira:
Algoritmo da divisão
474 3117 5
248
0
divisorDividendo
resto
Quociente
Faça a seguinte divisão: 474 ÷ 3
Algoritmo da divisão
1 centena
1 dezena
1 unidade
474 =
5
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
Algoritmo da divisão
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
11
Algoritmo da divisão
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
11 7
Algoritmo da divisão
6
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
11 7 52
Algoritmo da divisão
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
11 7 52 4
Algoritmo da divisão
4 7 4 3
unid
ade
dez
ena
cente
na
11 7 52 4
80
Algoritmo da divisão
7
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 1 - Parte 2
Potenciação
32expoente
base
2x2x223 ==== 8====
Exemplo: Um prédio possui 4 andares. Cada andar 4 apartamentos. Em cada apartamento moram 4 pessoas.
43 = 4 x 4 x 4 = 64
3 fatores
Potenciação
8
Exemplos:20 = 1 540 = 1 345670 = 1
351 = 35 326581 = 32658
036 = 0 024 = 0 010000 = 0
00 é uma indeterminação.
Potenciação
Propriedades das potências
733x3x3x3x3x3x3 ====
23 53
1ª propriedade: Em um produto de potências de mesma base podemos conservar a base e somar os expoentes, ou seja:
nmnm aaxa ++++==== a, m, n ∈ �
====52 3x3Exemplo:
Propriedades das potências
nmnm aaa −−−−====÷÷÷÷
32
22
222222222222 =
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅÷⋅⋅⋅⋅52 22
2ª propriedade: Em uma divisão de potências de mesma base podemos conservar a base e subtrair os expoentes, ou seja:
====÷÷÷÷ 25 22
Exemplo:
a, m, n ∈ �
9
Propriedades das potências
(((( )))) nmnm aa ⋅⋅⋅⋅====
3ª propriedade: A potência de umapotência pode ser escrita na formade uma única potência, bastaconservar a base e multiplicar osexpoentes, ou seja:
(((( )))) 6333323 222x22 ============ ++++
Exemplo:
Propriedades das potências
( ) mmm
bxabxa =
4ª propriedade: A potência de umproduto ou quociente é igual aoproduto ou quociente das potências,com o mesmo expoente, ou seja:
( ) mmm
baba ÷=÷
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 222 5x25x2x5x25x2x5x25x2 ============
Exemplo:
RadiciaçãoA radiciação é a operação inversa dapotenciação. Assim, a operaçãoinversa de elevar um número aoquadrado é extrair a sua raizquadrada.
na
O símbolo
é chamado de radical
radicandoíndice
10
Exemplos:
283 =
Radiciação
56254 =
525 =
Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = { – ∞; ...; – 2; – 1; 0; 1; 2;... ∞}
Números naturais
Oposto dos números naturais
NZ
Soma de números inteiros• Em uma soma de números
inteiros, as parcelas podem ter sinais positivos ou negativos.
• Se as parcelas tiverem sinais diferentes, subtraímos a menor parcela da maior e conservamos o sinal da parcela de maior módulo.
• Se as parcelas tiverem sinais iguais, somamos as parcelas e conservamos o mesmo sinal.
11
Módulo ou Valor absoluto de um número
33 ====−−−−
55 ====++++
4
3
4
3====−−−−
55 ====−−−−
74,374,3 ====++++
o módulo de mais 5 é 5
o módulo de menos 3 é 3
Soma de números inteiros
72 + (– 24) = 48
– 24 + 14 = – 10
12 + 24 = 36
– 13 + (– 18) = – 31
Subtração de números Inteiros
Exemplos:52 – (– 14) = – 25 – (+ 16) =
– 32 – (– 12) = 22 – (+ 41) =
52 + 14 = 66 – 25 – 16 = – 41
– 32 + 12 = – 20 22 – 41 = – 19
12
Multiplicação de números Inteiros
Exemplos:
12 x (– 14) = 1214X48
120168–
– 15 x (– 23) =
1523X45
300345
Multiplicação de números Inteiros
Exemplos:
– 64 x 13 =
6413X
192640832–
215 x 17 =
21517X
150521503655
Divisão de números InteirosExemplos:
371 ÷ (– 7) = – 540 ÷ (– 12) =
371 7512 3
0–
540 12406 5
0
13
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 1 Parte 3
Potências de números inteiros
Situação 1:(– 2)4 = (– 2) x (– 2) x (– 2) x (– 2) =
(+ 4) x
= 16Regra: As potências que possuembases negativas e expoentes pares,têm como resultado um númeropositivo.
(+ 4)
Potências de números inteiros
(+ 16) (– 4) =x
Situação 2:(– 4)3 = (– 4) x (– 4) x (– 4)=
–64Regra: As potências que possuembases negativas e expoentesímpares, têm como resultado umnúmero negativo.
14
Radicais de números inteiros
Qual é a raiz quadrada de – 9?
9−−−−
3 x 3 = 9
Regra: Um radical cujo índice é pare o radicando é negativo, nãopossui raiz real.
(– 3) x (– 3) = 9
3 x (– 3) = – 9
Radicais de números inteiros
Qual é a raiz cúbica de – 27?
3 27−−−−
(– 3) x (– 3) x (– 3) = – 27
Regra: Se o radicando for negativoe o índice for ímpar, a raiz existe.
Conjunto dos números racionais (Q)
∞∞∞∞++++−−−−−−−−−−−−∞∞∞∞−−−−==== ...
2
3;1;
5
2;0;1;
4
3;2...Q
NZQ
15
Frações
b
a numeradordenominador
b ≠ 0
Frações
=�
=
=�
=
Problemas que envolvem frações
Gabriela possui em sua biblioteca48 livros, dos quais já leu cincooitavos. Quantos livros Gabriela jáleu? Quantos livros ainda faltampara Gabriel ler?
16
Problemas que envolvem frações
48de8
5
Problemas que envolvem frações
Parte 1
Parte 2
Parte 3
Parte 4
Parte 5
Parte 6
Parte 7
Parte 8
48de8
5
Problemas que envolvem frações
Parte 1
Parte 2
Parte 3
Parte 4
Parte 5
Parte 6
Parte 7
Parte 8
48de8
5
17
Macete
48de8
5
308
24048x
8
5========
Trocar “de” por “x”
Soma e subtração de frações
Exemplo: Os pais de Gabriela eHeloíse deram para cada umadelas uma barra de chocolate.Gabriela resolveu dar para MariaEduarda um quarto do seuchocolate. Já Heloíse deu paraMaria Eduarda três oitavos. Quala fração de chocolate que MariaEduarda recebeu?
Soma e subtração de frações
====++++8
3
4
1
Chocolate de Gabriela
Chocolate de Heloise
18
Soma e subtração de frações
====++++8
3
4
1
Chocolate de Gabriela
Chocolate de Heloise
Chocolate de Maria Eduarda
Mínimo Múltiplo Comum
Definição:O Mínimo Múltiplo Comum(MMC) de dois ou mais númerosé o menor múltiplo comumdesses números, diferente dezero.
M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }
Mínimo Múltiplo Comum
19
M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }
Quais são os múltiplos comuns?
Mínimo Múltiplo Comum
{ 0, 12, 24,...}
Mínimo Múltiplo Comum
Qual é o menor desses múltiplosdiferente de zero?
M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }
É o 12
MMC (3, 4) = { 12 }
Mínimo Múltiplo Comum
Portanto, o mínimo múltiplocomum de 3 e 4 é:
M (3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
M (4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ... }
20
Números Primos
São os números naturais quepossuem apenas dois divisores:o 1 e ele mesmo.
Exemplos:{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, ...}
Método da decomposição em fatores primos
O método da decomposiçãoem fatores primos consiste emdividir sucessivamente osnúmeros pelo menor númeroprimo possível.
Método da decomposição em fatores primos
60 2430 12
22
15 6 215 3 3
5 1 51 1 2³ · 3 · 5 =
8· 3 · 5 =
Portanto, MMC ( 60,24) = 120
21
Soma e subtração de frações
Vamos somar as frações
====++++3
2
2
1
MMC (2, 3) =2 3 21 3 31 1
2 · 3 = 6
66+
÷
××××
3
6 ÷ 3 · 2 = 4
4
6 ÷ 2 · 1 = 3
6
7=
Soma e subtração de frações, Vamos subtrair as frações
=−15
2
12
1
6060–
÷
××××
5
60 ÷ 15 · 2 = 8
60
3−=
60 ÷ 12 · 1= 5
MMC (12, 15) =12 15 2
6 15 2
1 1
22 · 3 · 5 = 60
3 15 31 5 5
8
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 1- Parte 4
22
Multiplicação de FraçõesRegra prática:Para multiplicar duas ou maisfrações devemos multiplicar osseus numeradores entre si e seusdenominadores entre si.
Exemplos:�
∙�
�=
�
�
(−�)
∙�
=−�
��=−�
��
Frações equivalentes
�
��=��
��=
�
� =
�
� � �
� ∙ � ∙ � = ��
Máximo Divisor Comum
O Máximo Divisor Comum (MDC)de dois ou mais números é oelemento de maior valor doconjunto dos divisores comunsdesses números.
23
Máximo Divisor ComumExemploQual é o máximo divisor comumentre os números 18 e 24?
D (18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }D (24) = { 1, 2, 3, 6, 8, 12, 24 }
Quais são os divisores comuns?
DC = { 1, 2, 3, 6 }
MDC = 6
MDC utilizando decomposição em fatores primos
24 18021263
223
1 24 = 2³ · 3
180 = 2² · 3² · 5
290 245 315 3
5
Qual é o MDC (24, 180) ?= 12
15
2² · 3
Frações equivalentes
Qual é a fração irredutível que é equivalente a ��
���?
24 ÷ 12 = 2
180÷ 12 = 15
24
180=
2
15
24
Divisão de frações
Regra práticaNuma divisão de frações,multiplicamos a primeira fraçãopelo inverso da segunda.
Divisão de frações
Exemplos:3
8÷5
4=3
8∙4
5=12
40=
3
10
�23�
�49�=
2
3∙9
4=18
12=3
2
Potenciação de frações
Regra: Elevar uma fração a umexpoente é o mesmo que elevar onumerador e o denominador aomesmo expoente.
2
3∙2
3∙2
3∙2
3=2�
3�=16
81
2
3
�
=
Exemplos:
25
Potenciação de frações
−3
4
"
= −"
�∙ −
"
�∙ −
"
�=
−4
7∙ −
4
7=
16
49
−27
64
−4
7
�
=
Exemplos:
Expoentes negativosRegra: qualquer base elevada aum expoente negativo deve serinvertida a fim de tornar oexpoente positivo
3
4
�
=9
16
−1
5
"
=−5 #" = −1
125
4
3
#�
=
Exemplos:
Radiciação de fraçõesRegra: Para extrair a raiz enésimade uma fração basta extrair a raizenésima do numerador e dodenominador.
−�
�� �
=−�
= −
�
�
��$�
=�
��$�
=�
�=�
�
−
��
�
=
Exemplos:
Recommended