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Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE

Matemáticas Discretas

Cursos Propedéuticos 2011Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Enrique Muñoz de Cotejemc@inaoep.mx

http://ccc.inaoep.mx/~jemcOficina 8210

Diapositivas basadas en previas iteraciones de:

Dr. Enrique SucarDr. Luis Villaseñor

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4. Relaciones y funciones

Relaciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones

3

Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano

A×B se define por: A×B = { (x, y) | x∈A, y∈B}

Ejemplo: {a,b}×{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}

Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a)

En general: A×B ≠ B×A

4

Relaciones Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R

de A a B es determinada por un subconjunto R ⊆ A×B Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)∈R Si A=B, se dice que R es una relación en A

5

Ejemplo Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las

siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}

6

Ejemplo La relación de menor que < en el conjunto de

números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…} ⊆ N×N

La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto: {(x, x) | x∈R} ⊆ R×R

7

Propiedades de las relaciones Una relación R en A es reflexiva si:

Si (a, a) ∈ R para toda a ∈ A

Una relación R en A es antireflexiva si: Si (a, a) ∉ R para toda a ∈ A

8

Ejemplo Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones

R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

No es reflexiva

R={(x, y)| x, y ∈ A, x ≤ y} Es reflexiva

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Propiedades de las relaciones Una relación R en A es simétrica si:

Si (a,b)∈R entonces (b,a)∈R para todo a,b∈A

Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b)∈R y (b,a)∈R entonces a=b

Una relación R en A es transitiva si: Si (a,b)∈R y (b,c)∈R entonces (a,c)∈R para todo a,b∈A

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Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A

R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Simétrica y no reflexiva

R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} Reflexiva y no simétrica

R={(1,1),(2,3),(3,3)} No Simétrica y no reflexiva

11

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}

R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Es una relación transitiva en A

R={(1,3),(3,2)} No es transitiva

12

Ejemplo Sea A={1, 2, 3}

R={(1,2),(2,1),(2,3)} No simétrica y no antisimetrica

R={(1,1),(2,2)} Simétrica y antisimetrica

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Ordenamientos Relaciones comunes tales como ≤ definen

ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y

sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

(A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A

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Ordenamientos Si a ≤ b ó b ≤ a, entonces los elementos a y b son

comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, ≤

es un ordenamiento total o cadena

15

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A

dada por (x, y) ∈ R si x divide exactamente a y R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A

16

Particiones Una partición de un conjunto A es un conjunto de

subconjuntos {Aj} tal que: Ai∩Aj = ∅ para todo i≠j

A = ∪j Aj

17

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos

de particiones de A: A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10} A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10} A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10} Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5

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Composiciones La composición T = R1•R2 ⊆ A×C de dos relaciones

R1⊆A×B y R2⊆B×C es una relacion de A en CT = { (x,z) | tal que existe x∈A, z∈C, y∈B tal que (x,y)∈R1 y (y,z)∈R2 }

19

Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}, B={w, x, y, z} y C={5, 6, 7},

R1⊆A×B={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)} y R2⊆B×C={(w,5),(x,6)}

R1•R2={(1,6), (2,6)} es una relacion de A en C Si R3⊆B×C={(w,5),(w,6)} entonces R1•R3=

Composiciones La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias:

R1 = R y Rn+1 = R•Rn para todo entero n

20

21

Matrices y relaciones Una relación R de A = {a1,…,am} a B = {b1,…,bn}

puede representarse por una matriz M(R) de dimensión m×n de (0,1) : Si aiRbj ∈ R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si aiRbj ∉ R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0.

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Matrices y relaciones Si se utiliza la “adición booleana” 1+1=1, entonces la

composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(R•S) = M(R)∙M(S)

Un repaso de lo visto hasta ahora

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24

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces,

a) A × B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.

b) B × A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.

c) B2=B × B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}

d) B3=B × B × B = ; (4, 5, 5)∈B3.( ){ }Bcbacba ∈,,,,

Producto Cartesiano

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EJEMPLO Si U =R, R × R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+×R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.

Producto Cartesiano

26

EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E.

Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1 × M2 es un espacio muestral para E.

Producto Cartesiano

27

Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.

Producto Cartesiano

28

EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.

Producto Cartesiano

29

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B.

a) ∅ b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)}

d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}

f) A × B.

¿cuántas relaciones de A a B existen?

Relaciones

30

En general, para conjuntos finitos A, B donde = m y , hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A × B.

€

A

€

B = n

Relaciones

Como = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B.

€

A × B

31

EJEMPLO Sea B = {1, 2} ⊆ N, U = P(B) y A = U ={∅, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(∅, ∅), (∅, {1}), (∅, {2}), (∅, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}.

Relaciones

32

EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos,

€

x,y( ) x ≤ y{ }

Se observa que (7,7),(7,11)∈R, y (8,2)∉R, (7,11)∈R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)∉R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

Relaciones

33

Para cualquier conjunto A ⊆ U , A × ∅ = ∅. Así mismo ∅ × A = ∅.

Relaciones

34

Para cualquier conjunto A ⊆ U , A × ∅ = ∅. Así mismo ∅ × A = ∅.

Relaciones

Si A × ∅ ≠ ∅, sea (a, b) ∈ A × ∅. Entonces, a ∈A y b∈ ∅ , lo cual es imposible.

35

Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C ⊆ U.

a)

b)

c)

d)

( ) ( ) ( )CABACBA ×∩×=∩×

( ) ( ) ( )CABACBA ×∪×=∪×

( ) ( ) ( )CBCACBA ×∩×=×∩

( ) ( ) ( )CBCACBA ×∪×=×∪

RelacionesEl producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

36

EJEMPLO Dado un conjunto finito A con =n, resulta que = n2, de modo que hay relaciones en A.

¿Cuántas son reflexivas? €

2n 2

€

A

€

A × A

Relaciones

37

Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si . ⊆ R . Al considerar los otros n2–n pares ordenados de A × A (los de la forma , 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, hay relaciones reflexivas en A. €

ai,ai( ) 1≤ i ≤ n{ }

€

ai,a j( )

( )nn −2

2

Relaciones

38

Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R para x, y ∈ A.

¿Cuántas son simétricas?

Relaciones

39

Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an}, se escribe A×A como A1∪A2, donde A1= y A2= de modo que cada par en A×A está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2.

Para A2, |A2| = |A×A| – |A1| = n2–n = n(n–1), un entero par.

El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1≤i<j≤n. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A.

( ){ }niaa ii ≤≤1,( ){ }jinjiaa ji ≠≤≤ ,,1,

( ) ( )nnn −⋅22/122 ( ) ( )nn +22/12

40

Relaciones

¿Cuántas son reflexivas y simétricas?

41

Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay relaciones en A que son reflexivas y simétricas.

Relaciones

¿Cuántas son reflexivas y simétricas?

( ) ( )nn −22/12

42

Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.

Relaciones de Orden

43

EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado.

EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si , es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.

Relaciones de Orden

44

EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x ≤ y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ≤).

Si B = {1, 2, 4} ⊂ A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.

Relaciones de Orden

45

En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R.

( ) R∩× BB

Relaciones de Orden

46

Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max ∈ A se llama maximal de A si para toda a ∈ A, max R a

Un elemento min ∈ A se denomina minimal de A si para toda b ∈ A, b R min

Relaciones de Orden

47

EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U).

Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que ∅ es minimal para este conjunto parcialmente ordenado.

Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto parcialmente ordenado (B, ⊆), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que ∅ es el único elemento minimal.

Relaciones de Orden

48

Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal.

Demostración Sea a1∈A. Si no hay elemento a ∈ A, a ≠ a1 con a1 R a , entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2 ∈ A , a2 ≠ a1, con a1 R a2.

Relaciones de Orden

49

Si ningún elemento a ∈ A, a ≠ a2 , cumple a2 R a, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3 ∈ A, a3 ≠ a2 , a3 ≠ a1 (¿por qué?) con a1 R a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento an ∈ A con an R a para cualquier a ≠ an ∈ A, de modo que an es maximal.

Relaciones de Orden

50

Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x ∈ A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a ∈ A. El elemento y ∈ A se denomina máximo si a R y para toda a ∈ A.

Relaciones de Orden

51

EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto.

a) Con A = P(U), (A, ⊆) tiene a ∅ como elemento mínimo y a U como máximo.

b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ⊆) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.

Relaciones de Orden

52

Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. ¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?

Relaciones de Orden

53

Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único.

Demostración Supóngase que x, y ∈A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yR x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.

Relaciones de Orden

54

Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Relaciones de equivalencia

EJEMPLO Sea n∈Z+. Para x, y ∈ Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) ∈ R pero 3 R 7.

55

Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.

Para cualquier conjunto A, es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R = .

AA×

( ){ }niaa ii ≤≤1,

Relaciones de equivalencia

56

EJEMPLO Sea A=R y para cada i∈Z, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R.

Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x ∈ A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante

{ }xyAyx R][ ∈=

Relaciones de equivalencia

57

EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4 divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que

[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k k∈Z}

[1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1 k∈Z }

[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 k∈Z }

[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 k∈Z }

{[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.

Relaciones de equivalencia

58

Demostración

a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R

b) Si x R y , sea w ∈[x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w ∈ [y] y [x] ⊆ [y]. Con R simétrica, x R y ⇒ y R x. De este modo, si t∈ [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t ∈ [x] e [y] ⊆[x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x ∈ [x], entonces x ∈ [y] o x R y.

c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas…

Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y ∈A, entonces: a) x∈ [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] ∩ [y] = ∅.

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c) Continuación... partimos de que [x] ≠ [y] y [x] ∩ [y]≠ ∅. Si [x] ∩ [y] ≠ ∅, entonces sea v ∈ A con v ∈ [x] y v ∈ [y]. Por tanto, v R x, v R y ⇒ x R y. Además por el apartado b), x R y ⇒ [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] ≠ [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] ∩ [y] ≠ ∅, y de ahí se obtiene el resultado.

Relaciones de equivalencia

60

Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A.

EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] ∪ [2] ∪ [4].

Relaciones de equivalencia

61

Funciones Una función f:A→B del conjunto A a B es la relación

f⊆A×B tal que cada a∈A está relacionada con un único b tal que (a,b)∈f

Notación f(a)=b, o f:a → b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de a∈A bajo f El conjunto { f(a) | a∈A } es el rango de f

62

Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}:

¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? No

¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? No

¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? Si

63

Ejemplo ¿Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función

h dada por?

-2 < w < 3

€

h(w) =1

w − w2 + 6

64

Composición de funciones Sean f: A → B y g: B → C dos funciones. La

composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: (g o f): A → C tal que Para todo a ∈ A, (g o f)= g(f(a))

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Tipos de funciones Una función es inyectiva o uno a uno si para cada

x ∈ A tiene una única imagen f(a): Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas

Sea f: R → R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno

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Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de

A a B? No

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Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada

y∈B existe una x∈A tal que f(x)=y: Si y∈B entonces existe una x∈A tal que f(x)=y

Sea f: R → R donde f(x)= x3 para toda x ¿Es una función sobre o suprayectiva?

Si

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Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una

función uno a uno y suprayectica

Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}. ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección?

Si

69

Ejemplos La función lineal f:Z→Z, definida por f(x)=x+2

Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva

La identidad I:A→A es siempre una biyección