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Considere os seguintes problemas
2 2 ( , ) 4Max f x y x y= − −
2 2 ( , ) 4
. { 2
Max f x y x y
s a x y
= − −
+ =
(1)
(2)
Problema de Otimização Irrestrita
Problema de Otimização Restrita
Solução do Problema (1) => Ponto de máximo livre ou não condicionado de f
Solução do Problema (2) => Ponto de máximo condicionado de f
•Problemas de otimização restrita podem ser muito complexos;
•Situações simples: podemos resolver explicitando uma variável em função das outras e substituir na função objetivo (como fizemos!)
•O método dos Multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais.
Proposição
0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x yλ∇ = ∇
Proposição:Seja f(x,y) uma função diferenciável em um conjunto aberto U. Seja g(x,y) uma função com derivadas parciais contínuas em U tal que para todo (x,y)∈V, onde V={(x,y)∈V/g(x,y)=0}. Uma condição necessária para que (x0,y0)∈V seja extremante local de f em V é:
( , ) 0g x y∇ ≠
( , ) 0
para algum número real
f g
x x
f g
y y
g x y
λ
λ
λ
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂
=
Utilizando a Proposição podemos dizer que todos os pontos de máximo e/ou mínimos condicionados de f devem satisfazer as equações:
(3)
λ => Multiplicador de Lagrange
( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y g x yλ λ= −
0
0
0
L
x
L
y
L
λ
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
O método proposto por Lagrange consiste em definir uma função de três variáveis
E observar que p sistema (3) é equivalente a:
0 L∇ = ⇒
Assim, os extremantes locais de f sobre g(x,y)=0 são pesquisados entre os pontos críticos de L. Os valores máximos e/ou mínimos de f sobre g(x,y)=0 coincidem com os valores máximos e/ou mínimos livres de L.
Esse método permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, tais como argumentos geométricos.
Exemplo 17
Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura abaixo. Determinar a área máxima possível para o galpão.
Exemplo 18
Determinar o ponto da curva y²=4x, no 1º quadrante, cuja distância até o ponto (4,0) seja mínima.
( , , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z g x y zλ λ= −
0
0
0
0 ( ( , , ) 0)
L
x
L
y
L
z
Lg x y z
λ
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= =
∂
O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar potenciais pontos extremantes de f(x,y,z) sobre g(x,y,z)=0, consiste em definir a função Lagrangeana
E determinar os pontos (x,y,z) tais que:
0 L∇ = ⇒
Exemplo 19
Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V=64m³. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é R$0,50 por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.
0( )f P∇
( , , ) ( ( , , ))
( , , ) 0.
( , , ) 0
Max f x y z Min f x y z
g x y zs a
h x y z
=
=
deve ser normal a curva C
são normais a curva C
0 0( ) e ( )g P h P∇ ∇
0( )f P∇
Assim, estes três vetores são coplanares em P0
Proposição
0 0 0( ) ( ) ( )f P g P h P∇ =λ∇ +µ∇
Proposição:Seja A⊂R³ um conjunto aberto. Suponhamos quef(x,y,z) é diferenciável em A e que g(x,y,z) e h(x,y,z) têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A. Seja B={(x,y,z)∈A/g(x,y,z)=0 e h(x,y,z)=0}. Suponhamos também que são linearmente independentes em B. Se P0 é um ponto extremante local de f em B, então existem números reais λ e µtais que:
e g h∇ ∇
Pela Proposição, podemos dizer que os candidatos a extremantes condicionados de f devem satisfazer as equações:
Considere a Função Lagrangeana associada ao problema dada por:
( , , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z g x y z h x y zλ µ λ µ= − −
0
0
0
0 ( ( , , ) 0)
0 (h( , , ) 0)
L
x
L
y
L
z
Lg x y z
Lx y z
λ
µ
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= =
∂
∂= =
∂
0 L∇ = ⇒
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