Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis

Máximos e Mínimos

Condicionados

Considere os seguintes problemas

2 2 ( , ) 4Max f x y x y= − −

2 2 ( , ) 4

. { 2

Max f x y x y

s a x y

= − −

+ =

(1)

(2)

Problema de Otimização Irrestrita

Problema de Otimização Restrita

Solução do Problema (1) => Ponto de máximo livre ou não condicionado de f

Solução do Problema (2) => Ponto de máximo condicionado de f

•Problemas de otimização restrita podem ser muito complexos;

•Situações simples: podemos resolver explicitando uma variável em função das outras e substituir na função objetivo (como fizemos!)

•O método dos Multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais.

Problemas Envolvendo Funções de Duas Variáveis

e uma Restrição

( , )

. { ( , ) 0

Max f x y

s a g x y =

0 0( ) ( )f P g Pλ∇ = ∇

Proposição

0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x yλ∇ = ∇

Proposição:Seja f(x,y) uma função diferenciável em um conjunto aberto U. Seja g(x,y) uma função com derivadas parciais contínuas em U tal que para todo (x,y)∈V, onde V={(x,y)∈V/g(x,y)=0}. Uma condição necessária para que (x0,y0)∈V seja extremante local de f em V é:

( , ) 0g x y∇ ≠

( , ) 0

para algum número real

f g

x x

f g

y y

g x y

λ

λ

λ

∂ ∂=

∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂

=

Utilizando a Proposição podemos dizer que todos os pontos de máximo e/ou mínimos condicionados de f devem satisfazer as equações:

(3)

λ => Multiplicador de Lagrange

( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y g x yλ λ= −

0

0

0

L

x

L

y

L

λ

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

O método proposto por Lagrange consiste em definir uma função de três variáveis

E observar que p sistema (3) é equivalente a:

0 L∇ = ⇒

Assim, os extremantes locais de f sobre g(x,y)=0 são pesquisados entre os pontos críticos de L. Os valores máximos e/ou mínimos de f sobre g(x,y)=0 coincidem com os valores máximos e/ou mínimos livres de L.

Esse método permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, tais como argumentos geométricos.

Exemplo 17

Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura abaixo. Determinar a área máxima possível para o galpão.

Exemplo 18

Determinar o ponto da curva y²=4x, no 1º quadrante, cuja distância até o ponto (4,0) seja mínima.

Problemas Envolvendo Funções Três Variáveis e

Uma Restrição

( , , ) ( ( , , ))

. { ( , , ) 0

Max f x y z Min f x y z

s a g x y z =

0 0( ) ( )f P g Pλ∇ = ∇

( , , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z g x y zλ λ= −

0

0

0

0 ( ( , , ) 0)

L

x

L

y

L

z

Lg x y z

λ

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= =

∂

O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar potenciais pontos extremantes de f(x,y,z) sobre g(x,y,z)=0, consiste em definir a função Lagrangeana

E determinar os pontos (x,y,z) tais que:

0 L∇ = ⇒

Exemplo 19

Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume V=64m³. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é R$0,50 por centímetro quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.

Problemas Envolvendo Funções Três Variáveis e

Duas Restrições

0( )f P∇

( , , ) ( ( , , ))

( , , ) 0.

( , , ) 0

Max f x y z Min f x y z

g x y zs a

h x y z

=

=

deve ser normal a curva C

são normais a curva C

0 0( ) e ( )g P h P∇ ∇

0( )f P∇

Assim, estes três vetores são coplanares em P0

Proposição

0 0 0( ) ( ) ( )f P g P h P∇ =λ∇ +µ∇

Proposição:Seja A⊂R³ um conjunto aberto. Suponhamos quef(x,y,z) é diferenciável em A e que g(x,y,z) e h(x,y,z) têm derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em A. Seja B={(x,y,z)∈A/g(x,y,z)=0 e h(x,y,z)=0}. Suponhamos também que são linearmente independentes em B. Se P0 é um ponto extremante local de f em B, então existem números reais λ e µtais que:

e g h∇ ∇

Pela Proposição, podemos dizer que os candidatos a extremantes condicionados de f devem satisfazer as equações:

Considere a Função Lagrangeana associada ao problema dada por:

( , , , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )L x y z f x y z g x y z h x y zλ µ λ µ= − −

0

0

0

0 ( ( , , ) 0)

0 (h( , , ) 0)

L

x

L

y

L

z

Lg x y z

Lx y z

λ

µ

∂=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂= =

∂

∂= =

∂

0 L∇ = ⇒

Exemplo 20

Determinar o ponto da reta de intersecção dos planos x+y+z=2 e x+3y+2z=12 que esteja mais próximo da origem.