Trigonometria e funções trigonométricas

Funções trigonométricas

O essencial

Funções seno e cosseno

Designa-se por função seno (respetivamente, função cosseno) e

representa-se por 𝐬𝐢𝐧 ou 𝐬𝐞𝐧 (respetivamente, 𝐜𝐨𝐬) a função real de

variável real que a cada 𝑥 ∈ IR faz corresponder sin 𝑥 ou sen 𝑥

(respetivamente, cos 𝑥).

Função tangente

Designa-se por função tangente e representa-se por 𝐭𝐠 ou 𝐭𝐚𝐧

a função real de variável real de domínio:

𝐷𝑡𝑎𝑛 = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ∶ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ,

que a cada valor de 𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛 faz corresponder tg 𝑥 ou tan 𝑥.

Funções periódicas

Dado um número real 𝑃 > 0, uma função 𝑓 designa-se por

periódica de período 𝐏 ou 𝐏-periódica se, para todo o 𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

𝑥 + 𝑃 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 𝑥 + 𝑃 = 𝑓(𝑥).

Como, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑥 + 𝑃 ∈ 𝐷𝑓, então, também

(𝑥 + 𝑃) + 𝑃 = 𝑥 + 2𝑃 ∈ 𝐷𝑓 e

𝑓 𝑥 + 2𝑃 = 𝑓 𝑥 + 𝑃 + 𝑃 = 𝑓 𝑥 + 𝑃 = 𝑓(𝑥)

ou seja, 2𝑃 também é período de 𝑓.

Analogamente, 3𝑃, 4𝑃, …, 𝑘𝑃, 𝑘 ∈ IN são períodos de 𝑓.

Período fundamental de uma função

Dada uma função 𝑓, o número real 𝑃0 > 0 designa-se por período

fundamental de 𝑓 ou período positivo mínimo de 𝑓 se 𝑓 for

𝑃0-periódica e não admitir outro período inferior a 𝑃0.

Estudo das funções seno de cosseno

𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑘𝜋 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑘 ∈ ℤ

𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑘𝜋 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥,𝑘 ∈ ℤ

Domínio, contradomínio e período fundamental

As funções seno e cosseno têm domínio IR, contradomínio −1, 1 e

período fundamental 2𝜋.

Zeros

Zeros da função seno

Os zeros da função seno são os números da

forma 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, ou seja:

sin 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Zeros da função cosseno

Os zeros da função cosseno são os números

reais da forma 𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ, ou seja:

cos 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Extremos relativos da função seno

A função seno admite máximos relativos nos pontos de abcissa

da forma 𝝅

𝟐+ 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ e mínimos relativos nos pontos de

abcissa da forma 𝟑𝝅

𝟐+ 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ.

Extremos relativos da função cosseno

A função cosseno admite máximos relativos nos pontos de abcissa

da forma 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ e mínimos relativos nos pontos de abcissa da

forma 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ.

Gráfico da função seno

Gráfico da função cosseno

Paridade

Dada uma função, 𝑓, real de variável real:

𝑓 é par se, e somente se, para todo o

𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)

e 𝑓 é ímpar se, e somente se, para todo o

𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)

Paridade

A função cosseno é par e a função seno é ímpar.

Estudo da função tangente

Tomando a função tangente como o quociente das funções seno

e cosseno, tem-se, porque o seno e o cosseno têm domínio IR:

𝑡𝑎𝑛 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

e

𝐷 tan = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: cos 𝑥 ≠ 0 = 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

ou

𝐷 tan = 𝐼𝑅\ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅: 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Período fundamental

O período fundamental da função tangente é 𝜋.

Contradomínio e zeros

O contradomínio da função tangente é IR, isto é:

𝑫𝒕𝒂𝒏′ = 𝐈𝐑

Os zeros da função tangente são os números da forma 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ,

isto é:

𝒕𝒂𝒏 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝒙 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ

Gráfico da função tangente

Paridade

A função tangente é ímpar, ou seja,

∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛, −𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛 e 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 = −𝑡𝑎𝑛 𝑥

Repare que, se 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ,

𝑒𝑛𝑡ã𝑜, −𝑥 ≠ −𝜋

2− 𝑘𝜋, ou seja, −𝑥 ∈ 𝐷𝑡𝑎𝑛,

e 𝑡𝑎𝑛 −𝑥 =sin −𝑥

cos −𝑥=

− sin 𝑥

cos 𝑥= −𝑡𝑎𝑛 𝑥

Quadro resumo

Função seno Função cosseno Função tangente

Domínio IR IR 𝐼𝑅\ 𝑥: 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Contradomínio −1,1 −1,1 IR

Período fundamental 2𝜋 2𝜋 𝜋

Zeros 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Extremos relativos

Máximo 1; para

𝑥 =𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Mínimo −1; para

𝑥 =3𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Máximo 1; para

𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Mínimo −1; para

𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Não tem extremos

Paridade Ímpar Par Ímpar

Fórmula fundamental da trigonometria generalizada

Para todo o 𝑥 ∈ IR:

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏

e consequentemente:

para todo o 𝑥 ∈ IR\ 𝑥: 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ :

𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝟏 =𝟏

𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

Fórmulas de redução ao primeiro quadrante

Para todo o 𝑥 ∈ IR, tem-se:

sin −𝑥 = −sin 𝑥 e cos −𝑥 = cos 𝑥;

sin 𝑥 + 𝜋 = −sin 𝑥 e cos 𝑥 + 𝜋 = −cos 𝑥;

sin 𝑥 − 𝜋 = −sin 𝑥 e cos 𝑥 − 𝜋 = −cos 𝑥;

sin 𝑥 +𝜋

2= cos 𝑥 e cos 𝑥 +

𝜋

2= −sin 𝑥;

sin 𝑥 −𝜋

2= −cos 𝑥 e cos 𝑥 −

𝜋

2= sin 𝑥.

Função arco-seno

Designa-se por função arco-seno e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 ou 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧 a

função inversa da função:

𝒇: −𝝅

𝟐,𝝅

𝟐⟶ −𝟏, 𝟏 , 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙

ou seja, a função de domínio −1, 1 e conjunto de chegada −𝜋

2,𝜋

2, que, a

cada 𝑥 ∈ −1, 1 , associa o número real 𝑦 = arcsin 𝑥, que se entende como

a amplitude 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2, em radianos, do arco cujo seno é 𝑥. Assim:

𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝐬𝐢𝐧𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ −𝝅

𝟐,𝝅

𝟐𝐞 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏].

Consequentemente:

arcsin(sin 𝑦) = 𝑦 e sin(arcsin 𝑥) = 𝑥; 𝑦 ∈ −𝜋

2,𝜋

2e 𝑥 ∈ [−1, 1].

Função arco-seno

Função arco-cosseno

Designa-se por função arco-cosseno e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 a

função inversa da função definida por:

𝒈: 𝟎, 𝝅 → −𝟏, 𝟏 , tal que 𝒈 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙

ou seja, a função de domínio −1, 1 e conjunto de chegada 0, π ,

que, a cada 𝑥 ∈ −1, 1 , associa o número real 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥, que se

entende como a amplitude 𝑦 ∈ 0, π , em radianos, do arco cujo

cosseno é 𝑥. Assim:

𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒄𝒐𝒔𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝟎, 𝝅 𝐞 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟏].

Consequentemente:

arccos (cos 𝑦) = 𝑦 e cos arccos 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 ∈ 0, 𝜋 e 𝑥 ∈ [−1, 1].

Função arco-cosseno

Função arco-tangente

Designa-se por função arco-tangente e representa-se por 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 ou

𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 a função inversa da função definida por:

𝒉: −𝝅

𝟐,𝝅

𝟐→ 𝐈𝐑, tal que 𝒉 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏𝒙

ou seja, a função de domínio IR e conjunto de chegada −π

2,𝜋

2, que, a

cada 𝑥 ∈ IR, associa o número real 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥, que se entende como a

amplitude 𝑦 ∈ −π

2,𝜋

2, em radianos, do arco cuja tangente é 𝑥. Assim:

𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒚 ⟺ 𝒕𝒂𝒏𝒚 = 𝒙, 𝒚 ∈ −𝝅

𝟐,𝝅

𝟐𝐞 𝒙 ∈ 𝐈𝐑.

Consequentemente:

arctan (tan𝑦) = 𝑦 e tan arctan𝑥 = 𝑥 , 𝑦 ∈ −π

2,𝜋

2e 𝑥 ∈ IR.

Função arco-tangente

Equações trigonométricas

As equações do tipo sin 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ −1, 1 , cos 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ −1, 1 e

tan 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ IRpodem ser transformadas em equações do tipo

sin 𝑥 = sin 𝛼, cos 𝑥 = cos 𝛼 e tan 𝑥 = tan𝛼, respetivamente,

escolhendo-se um valor adequado para 𝛼, que pode ser, por exemplo,

respetivamente, 𝛼 = arcsin 𝑎, 𝛼 = arccos 𝑎, arctan 𝑎.

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⟺ 𝑥 = ±𝛼 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

tan 𝑥 = tan𝛼 ⟺ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Equações trigonométricas