11520-Funções Trigonométricas e Suas Inversas

1

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO, CINCIA E TECNOLOGIA

DIRETORIA DE ENSINO

DISCIPLINA: CLCULO / MATEMTICA APLICADA

PROFESSORES: JUAREZ AIRES E KALINA AIRES

Funes Trigonomtricas:

Arcos e ngulos:

Definio: Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferncia, esta fica dividida em duas partes, chamadas arco de circunferncia.

Se os pontos A e B coincidem, eles determinam dois arcos: um deles o ponto, chamado arco nulo, e o outro a prpria circunferncia, denominado arco de uma volta.

Medidas de Arcos:

Para medirmos dois arcos AB e CD usamos duas unidades: o grau e o

radiano.

Grau (smbolo o ): Dividindo a circunferncia em 360 partes iguais, cada parte mede 1o . Ou seja, um arco de medida 1o equivale a um arco unitrio

igual a 360

1 da circunferncia.

Radiano (smbolo rad): um arco unitrio que tem comprimento igual ao

raio da circunferncia que contm o arco a ser medido. Ou seja, dizer que um

arco AB que mede 1 rad, equivalente a dizer que esticando o arco sua medida igual a medida do raio da circunferncia que o contm.

Ciclo Trigonomtrico:

Definio: Consideremos um sistema cartesiano ortogonal uOv, e uma circunferncia de raio

r =1, com origem no ponto A(1,0), e cujo sentido positivo, o sentido anti-horrio, a partir de A. Essa circunferncia denominada ciclo trigonomtrico. Como o comprimento de uma circunferncia qualquer dado por r2C , temos que o comprimento dessa circunferncia igual a 2 rad, que

equivale a 2 , j que rad1r .

Vamos definir uma aplicao de IR sobre , de tal forma que, a cada nmero real x associemos

um nico ponto P da circunferncia , da seguinte maneira:

Se x = 0, ento P coincide com A(1,0);

Se x > 0, ento realizamos, a partir de A, um percurso de

comprimento x, no sentido anti-horrio, e marcamos P como ponto final do percurso.

2

Se x < 0, ento realizamos, a partir de A, um percurso de comprimento |x|, no sentido horrio, e marcamos P como ponto final do percurso.

Desta forma, temos que a cada nmero real x, possvel associar a sua imagem P no ciclo trigonomtrico . Assim, temos:

A imagem de 2

B A imagem de 2

B

A imagem de A A imagem de A

Notemos ainda que, se P a imagem do nmero 0x , ento P tambm a imagem dos nmeros:

,4x,2x,4x,2x,x 00000 etc. De uma forma geral , P a imagem dos elementos do

conjunto:

ZZk,k2xx;IRx 0

Funes Circulares:

Considerando ZZk , temos:

Se x pertence ao 1 quadrante, ento k22

xk20 ;

Se x pertence ao 2 quadrante, ento k2xk22

;

Se x pertence ao 3 quadrante, ento k22

3xk2 ;

Se x pertence ao 4 quadrante, ento k22xk22

3.

3

Observao: No que segue, utilizaremos a notao 1OP e 2OP , para representar, respectivamente,

a ordenada e a abscissa de um ponto P, na circunferncia trigonomtrica.

Seno e Cosseno de um nmero real:

Dado um nmero real x, seja P a sua imagem no ciclo , como mostra a figura:

Definio: Denominamos seno de x, e indicamos por )xsen( , a

ordenada 1OP .

Definio: Denominamos cosseno de x, e indicamos por )xcos( , a

abscissa 2OP .

Funo Seno:

A funo IRIR:f , que associa a cada nmero real x, o tambm real 1OPxsen ,

representada por f(x)=sen(x), denomina-se funo seno. O quadro abaixo mostra algumas caractersticas dessa funo:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3

Sinal + + Variao 10 01 10 01

crescente decrescente decrescente crescente

Grfico:

O grfico dessa funo uma curva denominada senide.

Propriedades:

Em relao funo f(x)= sen(x), temos que:

1)O D(f) = IR e Im(f) = [1,1]. 2)Sempre que somamos 2 a um determinado valor de x, a funo

seno assume o mesmo valor. Como 2 o menor nmero positivo para

o qual isso acontece, dizemos que o seu perodo 2 , ou seja, .ZZke)f(Dx,)x(f)k2x(f

3)A funo f mpar, visto que sen(x) = sen(x) .

u x

P1

P2

P

O

v

4

4)f contnua em seu domnio.

Funo Cosseno:

A funo IRIR:f , que associa a cada nmero real x, o tambm real 2OP)xcos( ,

representada por f(x)=cos(x), denomina-se funo cosseno. O quadro abaixo mostra algumas caractersticas dessa funo:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3

Sinal + + Variao 01 10 01 10

decrescente decrescente crescente crescente

Grfico:

O grfico dessa funo uma curva denominada cossenide.

Propriedades:

Em relao a funo f(x)= cosx, temos que:

1)O D(f) = IR e Im(f) = [1,1]. 2)A funo f peridica e seu perodo P 2 . 3)A funo f par, visto que cosx = cos(x). 4)f contnua em seu domnio.

Relao entre o seno e o cosseno:

Para todo x real , vale a relao: 1)x(cos)x(sen22

.

Prova:

a) Se 2

kx , ZZk , a imagem de x distinta de A, B, A e B . Ento

existe o tringulo retngulo OP2P. Portanto,

x

P1

P2

P

O

v

B

A

B

A

u

5

2

2

2

1

2

OPOPOP , ou seja, 1)x(cos)x(sen22

.

b) Se 2

kx , ZZk , ento:

x sen(x) cos(x) sen2(x) + cos2(x)

0 0 1 1

2 1 0 1

0 1 1

23 1 0 1

2 0 1 1

Funo Tangente:

Definio: Dado um nmero real x, k2

x , ZZk , seja P

sua imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja T sua interseco com o eixo das tangentes. Denominamos tangente de x,

e indicamos por tg(x), a medida algbrica do segmento AT , conforme mostra a figura ao lado.

A funo IRD:f que associa a cada nmero real x,

k2

x , o real AT)x(tg , denominada funo tangente, e

representada por f(x)= tg(x).

Notemos que , para k2

x , P est sobre B ou B , e ento, a reta OP fica paralela ao eixo

das tangentes, logo, no existe o ponto T. Neste caso a tg(x) no definida.

Em relao a funo f(x)= tg(x) , temos:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3

Sinal + + Variao 0 0 0 0

crescente crescente crescente crescente

Grfico:

O grfico dessa funo uma curva denominada tangentide.

T

P2 u

P

O

v t

A

B

B

x

6

Propriedades:

1) ZZk,k2

x;IRx)f(D e Im(f)=IR.

2)A funo tangente peridica , e seu perodo . 3)A funo tangente mpar, j que tg(x)= tg(x). 4)f contnua em seu domnio.

Relao entre tangente, seno e cosseno:

Para todo x real, k2

x , ZZk , vale a relao: )xcos(

)xsen()x(tg .

Prova: a)Se ZZk,kx , a imagem de x distinta de A, B, A e B .

Ento, temos:

|)xcos(|

|)xsen(||)x(tg|

OP

PP

OA

ATOPP~OAT

2

2

2 (1)

Analisando o sinal , temos: (2)

Quadrante Sinal de tg(x) Sinal de

)xcos(

)xsen(

1 + +

2 3 + +

4

De (1) e (2) conclumos que )xcos(

)xsen()x(tg .

b) Se ZZk,kx , temos: )xcos(

)xsen(

)xcos(

00)x(tg

Funo Cotangente:

Definio: Dado um nmero real x, kx , ZZk , seja P sua

imagem no ciclo. Consideremos a reta OP e seja H sua interseco com o eixo das cotangentes. Denominamos cotangente de x, e

indicamos por cotg(x), a medida algbrica do segmento BH , conforme mostra a figura ao lado.

T

P2 u

P

O

v t

A

B

B

x

A

H

P2 u

P

O

v

c

A

B

B

x

A

P1

7

A funo IRD:f que associa a cada nmero real x, kx , o real co BHtgx , denominada

funo cotangente, e representada por f(x)= cotg(x).

Notemos que , para kx , P est em A ou A e ento, a reta OP fica paralela ao eixo das cotangentes, logo, no existe o ponto H. Neste caso, a cotg(x) no definida.

Em relao a funo f(x)=cotg(x) , temos:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3


decrescente decrescente decrescente decrescente

Grfico:

Propriedades:

1) ZZk,kx;IRx)f(D e Im(f)=IR.

2)A funo cotangente peridica , e seu perodo .

3)A funo cotangente mpar e contnua em seu domnio.

Relao entre cotangente, seno e cosseno:

Para todo x real vale a relao: )xsen(

)xcos()x(gcot .

Prova:

a)Se k2

x , a imagem de x distinta de A, B, A e B .Ento,

|)xsen(|

|)xcos(||)x(gcot|

OP

PP

OB

BDOPP~OBD

1

1

1 (1)

Analisando o sinal, temos:

D

P2 u

P

O

v

c

A

B

B

x

A

P1

8

(2)

Quadrante Sinal de cotg(x) Sinal de

)xsen(

)xcos(

1 + +

2 3 + +

4

Por (1) e (2), conclumos que : )xsen(

)xcos()x(gcot .

b) Se k2

x , temos: )xsen(

)xcos(

)xsen(

00)x(gcot .

Funo Secante:

Definio: Dado um nmero real x, ZZk,k2

x . Seja P a sua

imagem no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere S a interseo da reta s com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de x,

e indicamos, sec(x), a abscissa OS do ponto S. A funo IRD:f que associa a cada nmero real x,

k2

x , o real OS)xsec( , denominada funo secante, e

representada por f(x)= sec(x).

Notemos que , para k2

x , P est em B ou B e ento, a reta s fica paralela ao eixo dos

cossenos .. Neste caso, no existe o ponto S e a sec(x) no definida.

Em relao a funo f(x)=sec(x) , temos:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3


crescente crescente decrescente decrescente

Propriedades:

1) ZZk,k2

x;IRx)f(D e Im(f)=IR ] 1, 1 [.

2)A funo secante peridica , e seu perodo 2 . 3)A funo f par e contnua em seu domnio.

S

P2 u

P

O

v

s

A

B

B

x

A

9

Grfico:

Relao entre sec(x) e cos(x):

Para todo x real, ZZk,k2

x , vale a relao : )xcos(

1)xsec( .

Prova: a)Se kx , a imagem de x distinta de A, B, A e B .Ento,

|)xcos(|

1|)xsec(|

OP

OP

OP

OSPOP~OPS

2

2 (1)

Analisando o sinal, temos:

(2)

Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x)

1 + +

2 3 4 + +

Por (1) e (2), conclumos que : )xcos(

1)xsec( .

b) Se kx , ento: )xcos(

11)xsec( , se k for par ou

)xcos(

11)xsec( , se k for mpar.

10

Funo Cossecante:

Definio: Dado um nmero real x, ZZk,kx . Seja P a sua imagem

no ciclo e s a reta tangente ao ciclo em P. Considere C a interseo da reta s com o eixo dos senos. Denominamos cossecante de x, e indicamos,

cossec(x), a ordenada OC do ponto C. A funo IRD:f que associa a cada nmero real x, kx , o

real OC)xsec(cos , denominada funo cossecante, e

representada por f(x)= cossec(x).

Notemos que , para kx , P est em A ou A e ento, a reta s fica paralela ao eixo dos senos. Neste caso, no existe o ponto C e a cossec(x) no definida.

Em relao a funo f(x)=cossec(x) , temos:

Quadrante 1 2 3 4

Arco

20

2

2

3 2

2

3


decrescente crescente crescente decrescente

Grfico:

Propriedades:

1) ZZk,kx;IRx)f(D e Im(f) = IR ] 1, 1 [.

2)A funo cossecante peridica , e seu perodo 2 . 3)A funo f mpar e contnua em seu domnio.

C

P1

u

P

O

v

s

A

B

B

x

A

11

Relao entre cossec(x) e sen(x):

Para todo x real, ZZk,kx , vale a relao : )xsen(

1)xsec(cos .

Prova:

a)Se k2

x , ento a imagem de x distinta de A, B, A e B .Logo,

|)xsen(|

1|)xsec(cos|

OP

OP

OP

OCPOP~OPC

1

1 (1)

Analisando o sinal, temos: (2)

Quadrante Sinal de sec(x) Sinal de cos(x)

1 + +

2 + +

3 4

Por (1) e (2), conclumos que : )xsen(

1)xsec(cos .

b)Se k2

x , ento: )xsen(

11)xsec(cos , se k for par ou

)xsen(

11)xsec(cos , se k

for mpar.

Outras relaes entre as funes trigonomtricas:

Para todo x real, 2

kx , valem as relaes:

a))x(tg

1)x(gcot b) )x(sec1)x(tg 22 c) )x(seccos)x(gcot1 22

Prova:

a))x(tg

1

)xcos(

)xsen(

1

)xsen(

)xcos()x(gcot .

b) )x(sec)x(cos

1

)x(cos

)x(cos)x(sen1

)x(cos

)x(sen1)x(tg 2

22

22

2

22 .

12

c) )x(seccos)x(sen

1

)x(sen

)x(cos)x(sen

)x(sen

)x(cos1)x(gcot1 2

22

22

2

22

Funes Trigonomtricas Inversas:

Funo Inversa:

Definio: Uma funo f com domnio D e contradomnio R uma funo injetora , se, para todo

21 xx em D, temos )x(f)x(f 21 em R.

Definio: Uma funo f com domnio D e contradomnio R uma funo sobrejetora , se, para

todo Ry , existe um Dx tal que y = f(x).

Definio: Uma funo f com domnio D e contradomnio R uma funo bijetora , se injetora e

sobrejetora, isto , se, para todo Ry , existe um nico Dx tal que y = f(x).

Exemplos:

a)f(x)= x2 no bijetora, visto que, f(2) = f(2) e 22 , por exemplo. b)f (x) = x3 uma funo bijetora.

Graficamente, temos que, se qualquer reta horizontal interceptar o grfico da funo f em mais de um ponto , ento f no bijetora.

Se f uma funo bijetora com domnio D e contradomnio R, ento, para cada nmero y em R, existe exatamente um nmero x em D tal que y = f(x). Como x nico, podemos definir uma funo g de R em D tal que x = g(y), como mostra a figura.

Definio: Seja f uma funo bijetora com domnio D e contradomnio R. Uma funo g com domnio R e contradomnio D a funo inversa de f, desde que a seguinte condio seja satisfeita:

y = f(x) se, e somente se, x = g(y).

Se uma funo g a funo inversa de f ento so vlidas:

a) g(f(x)) = x , para todo x em D; b) f(g(y)) = y , para todo y em R.

Uma funo bijetora f s pode ter uma funo inversa. Se g a funo inversa de f, ento f a funo inversa de g. Dizemos que f e g so funes inversas uma da outra. Costumamos

13

representar g por 1f . O 1 usado nessa notao no expoente, isto , )x(f

1)x(f 1 . Alm disso,

temos:

domnio de 1f = contradomnio de f. ;

contradomnio de 1f = domnio de f ;

x))x(f(f 1 para todo x no domnio de f;

x))x(f(f 1 para todo x no domnio de 1f .

H uma relao interessante entre os grficos de duas funes inversas. Notemos que, b=f(a)

equivale a )b(fa 1 . Assim, o ponto (a,b) pertence ao grfico de f, enquanto que, (b,a) pertence ao

grfico de 1f . Com isso, temos que os grficos de f e 1f so reflexes um do outro em relao

reta y = x .. Isto caracterstica de toda funo f que tem uma funo inversa 1f . A figura abaixo mostra os grficos de duas funes inversas:

Teorema: Se f contnua e crescente em [a,b], ento f admite uma funo inversa 1f que contnua e crescente em [f(a), f(b)]. (O mesmo vale substituindo crescente por decrescente ).

Funes Trigonomtricas Inversas:

Como as funes trigonomtricas no so bijetoras, no admitem funes inversas. Mas,

restringindo convenientemente os seus domnios, podemos obter funes bijetoras que tenham os mesmos valores das funes trigonomtricas e que tenham funes inversas nesses domnios restritos.

A inversa da Funo Seno:

Sabemos que o domnio da funo seno o conjunto IR e o conjunto imagem o intervalo [1,1] .

Mas essa funo no bijetora, visto que , uma reta como 2

1y intercepta o grfico em mais de um

ponto. Restringindo o seu domnio a 2,2 , como mostra a parte slida do grfico, obtemos uma

funo crescente que toma cada valor da funo seno somente uma vez. Esta nova funo, com

14

domnio 2,2 e contradomnio [1,1], contnua e crescente, logo, admite uma funo inversa,

que tambm contnua e crescente.

Esta funo inversa tem domnio [1, 1] e contradomnio 2,2 .

Definio: A funo inversa do seno, denotada arcsen , ou 1sen definida como:

y = arcsen(x) se, e somente se, x = sen y, para 2y2e1x1 .

Grfico:

Assim, temos:

Se 2

1arcseny , ento

2

1ysen e

2y

2. Logo,

6y .

Se 2

1arcseny , ento

2

1ysen e

2y

2. Logo,

6y .

Propriedades do arcsen(x):

Das relaes x))x(f(f 1 e x))x(f(f 1 , vlidas para qualquer funo inversa 1f , decorrem as

seguintes propriedades:

1) sen(arcsenx)=x , se 1x1 . 2) arcsen(senx)=x , se 2

x2

.

15

Exemplos:

a)2

2

2

2arcsensen , pois 1

2

21 ;

b)66

senarcsen , pois 262

;

c) 3

5

2

3arcsen

3

4senarcsen , pois

3

4 no est entre

2e

2, logo, no podemos

usar a propriedade 2 acima.

A inversa da Funo Cosseno:

Restringindo o domnio da funo cosseno ao intervalo ,0 , obteremos uma funo contnua

decrescente que tem uma funo inversa contnua e decrescente. Observe a parte slida do grfico abaixo.

Definio: A funo inversa do cosseno, denotada arccos, ou cos-1 , definida como:

y = arccos(x) se, e somente se, x = cos y, para y0e1x1 .

O domnio da funo arco cosseno [1,1] e o contradomnio o intervalo ,0 .

Grfico:

Assim, temos:

Se 2

3arccosy , ento

2

3ycos e y0 . Logo,

6y .

Se 2

1arccosy , ento

2

1ycos e y0 . Logo,

6

5y .

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Propriedades do arccos(x):

Sendo cos e arccos funes inversas uma da outra, valem as seguintes propriedades:

1) cos(arccosx)=x , se 1x1 . 2) arccos(cosx)=x , se x0 .

Exemplos:

a)2

2

2

2arccoscos , pois 1

2

21 ;

b)6

5

6

5cosarccos , pois

6

50 ;

c) 32

1arccos

3cosarccos , pois

3 no est entre e0 , logo, no podemos usar a

propriedade acima.

A inversa da Funo Tangente:

Restringindo o domnio da funo tangente ao intervalo 2

,2

, obteremos uma funo

contnua crescente que tem uma funo inversa contnua e crescente.

Definio: A funo inversa da tangente, denotada arctg, ou tg-1 , definida como:

y = arctg(x) se, e somente se, x = tg y, para todo x e 2y2 .

O domnio da funo arco tangente IR e o contradomnio o intervalo aberto 2

,2

.

17

Grfico:

Propriedades do arctg(x):

So vlidas as seguintes propriedades:

1) tg(arctgx)=x , para todo x 2) arctg(tgx)=x , se 2

x2

.

Exemplos:

a) 1717arctgtg

b)33

tgarctg , pois 232

.

c) 4

71arctg

4

3tgarctg .

A inversa da Funo Secante:

Existem muitas maneiras de restringir o domnio da

funo secante, de forma a obter uma funo bijetora que tome os valores da funo secante. Vamos restringir x aos

intervalos 23,e2,0 , conforme mostra a parte

slida do grfico, por tornar a frmula de diferenciao da funo inversa da secante mais simples.

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Definio: A funo arco secante, denotada por arcsec (ou sec1 ), definida como:

y = arcsec x se, e somente se, x = sec y para 1x e y em 23,emou2,0 .

Grfico:

Propriedades do arcsec(x):

1) sec(arcsecx)=x , se 1x . 2) arcsec(secx)=x , se 2

3xou

2x0 .

Exemplos:

a) 2)2sec(arcsec , pois | 2 |= 2 > 1.

b)6

7

6

7secsecarc , pois

2

3

6

7.

c) 3

)2sec(arc3

2secsecarc .

Observao: As funes inversas da cotangente e cossecante, representadas por arccotg e arccossec, respectivamente, podem se definidas de maneira anloga, bastando restringir os domnios da seguinte forma:

o domnio da funo cotangente ao intervalo ,0 ;

o domnio da funo cossecante ao intervalo 2

,00,2

.

Bibliografia:

IEZZI, Gelson ... [et al ] Fundamentos de Matemtica Elementar, volume 3 So Paulo: Editora Atual, 1985. GIOVANNI, Jos Ruy ; Jos Roberto Bonjorno Matemtica:uma nova abordagem, vol. 2 So Paulo : FTD, 2000. SWOKOWSKI. Earl W.,Clculo com Geometria AnalticaVolume 1. So Paulo: Makron Books, 1994.

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