Identidades trigonomtricas8 de abril de 2010Publicado por Victoria PrezLasidentidades trigonomtricasson igualdades que involucran funciones trigonomtricas. Estas identidades son siempre tiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonomtricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ngulos para los cuales estn definidas estas razones.Las identidades trigonomtricas nos permiten plantear una misma expresin de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorizacin, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonomtricas utilizaremos estas tcnicas en conjunto con las identidades trigonomtricas.

Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonomtricas, debemos conocer algunos trminos que usaremos bastante en trigonometra, que son las tres funciones ms importantes dentro de esta. Elcosenode un ngulo en un tringulo rectngulo se define como la razn entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra funcin que utilizaremos en trigonometra es seno. Definiremossenocomo la razn entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un tringulo rectngulo:

Mientras tanto la palabratangenteen matemtica puede que tenga dos significados distintos. En geometra se utiliza el trmino de recta tangente, pero a nosotros en trigonometra nos interesa otro trmino que es el de tangente de un ngulo, el cual es la relacin entre los catetos de un tringulo rectngulo , lo mimo que decir que es el valor numrico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ngulo.Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ngulo en el cual el denominador no sea cero. Estas sonidentidades recprocas:

A partir de lasrelaciones pitagricases posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonomtricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un tringulo rectngulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ngulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitgoras es un teorema que se aplica nicamente a tringulos rectngulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un tringulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagricas son las siguientes:

De acuerdo al teorema de pitgoras :

Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:

Obtendremos la solucin utilizando las identidades recprocas:

Observemos tambin el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:

Su solucin :

Otra de las identidades trigonomtricas sera la de divisin:

Las siguientes identidades seran las de suma y diferencia de dos ngulos:

Tenemos tambin las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ngulos, aqu las tenemos:

Identidad trigonomtrica de producto del seno y el coseno de dos ngulos:

Identidades trigonomtricas de ngulo doble:

Identidades trigonomtricas de mitad de ngulo:

Por ltimo observaremos algunas otras identidades trigonomtricas :