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Um exemplo de função algébrica ocorre na Teoria da Relatividade. A massa de uma par-tícula com uma velocidade é
em que é a massa da partícula em repouso e km/s é a velocidade da luz novácuo.
Funções TrigonométricasHá uma revisão de trigonometria e de funções trigonométricas no Apêndice D. Em cálculo,convenciona-se dar a medida de ângulos em radianos (exceto quando explicitamente men-cionado). Por exemplo, quando utilizamos a função , entende-se que sejao seno de um ângulo cuja medida em radianos é x. Assim, os gráficos das funções seno e cos-seno estão na Figura 18.
f �x� � sen x sen x
m � f �v� �m0
s1 � v 2�c 2
m0 c � 3,0 � 105
v
30 CÁLCULO
As páginas de referência estão localizadasno fim do livro.
Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é ,e a imagem é o intervalo fechado . Dessa forma, para todos os valores de x temos
ou, em termos de valores absolutos,
.
Além disso, os zeros da função seno ocorrem nos múltiplos inteiros de ; isto é,
quando , n é um número inteiro.
Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas e têmum período 2 . Isso significa que, para todos os valores de x,
A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repeti-tivos, tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras. Como ilustração, no Exemplo 4 daSeção 1.3 veremos que um modelo razoável para o número de horas de luz solar na Filadél-fia t dias após 1o de janeiro é dado pela função
A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação
tg x �sen xcos x
�
L�t� � 12 � 2,8 sen� 2�
365�t � 80��
sen�x � 2�� � sen x cos�x � 2�� � cos x
sen x � 0 x � n�
�
� sen x � � 1 � cos x � � 1
�1 � sen x � 1 �1 � cos x � 1
���, ����1, 1
(a) f(x)sen x
p
25p2
3p2
p
2�
x
y
π0�p
1
�12p 3p
(b) t(x)cos x
x
y
0
1
�1
π�p
2p
3p
p
25p2
3p2
p
2�
FIGURA 18
Calculo01:calculo7 5/10/13 11:31 AM Page 30
e seu gráfico é ilustrado na Figura 19. Ela não está definida quando , isto é, quando, Sua imagem é . Observe que a função tangente tem período
:
As três funções trigonométricas remanescentes (cossecante, secante e cotangente) são asrecíprocas das funções seno, cosseno e tangente. Seus gráficos estão no Apêndice D.
Funções ExponenciaisAs funções exponenciais são da forma , em que a base a é uma constante positiva.Os gráficos de e são indicados na Figura 20. Em ambos os casos, o domí-nio é e a imagem é .
As funções exponenciais serão estudadas em detalhes na Seção 1.5 e veremos que elas sãoúteis na modelagem de muitos fenômenos naturais, como crescimento populacional (se )e decaimento radioativo (se
Funções LogarítmicasAs funções logarítmicas , onde a base a é uma constante positiva, são inversasdas funções exponenciais e serão estudadas na Seção 1.6. A Figura 21 mostra os gráficos de qua-tro funções logarítmicas com várias bases. Em cada caso o domínio é , a imagem é
e as funções crescem vagarosamente quando .
Classifique as funções a seguir em um dos tipos discutidos.
(a) (b)
(c) (d)
SOLUÇÃO
(a) é uma função exponencial. (x é o expoente.)
(b) é a função potência. (x é a base.) Podemos também considerá-la um polinômiode grau 5.
(c) é uma função algébrica.
(d) é um polinômio de grau 4.u�t� � 1 � t � 5t 4
h�x� �1 � x
1 � sx
t�x� � x 5
f �x� � 5x
u�t� � 1 � t � 5t 4h�x� �1 � x
1 � sx
t�x� � x 5f �x� � 5x
EXEMPLO 5
x � 1���, ���0, ��
f �x� � loga x
a � 1�.a � 1
�0, �����, ��y � �0,5�xy � 2x
f �x� � ax
tg�x � p� � tg x para todo x
�x � ���2 �3��2, . . . . ���, ��
cos x � 0
FUNÇÕES E MODELOS 31
FIGURA 19ytg x
x
y
0�p
1
p
23p 2
p
2�
3p2
�
FIGURA 20
y
x
1
10
y
x
1
10
(a) y2x (b) y(0,5)x
FIGURA 21
0
y
1
x1
ylog3 x
ylog2 x
ylog5 xylog10 x
1.2 Exercícios
1–2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz,função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função al-gébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função loga-rítmica.
1. (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
2. (a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
3–4 Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Nãouse computador ou calculadora gráfica.)
3. (a) (b) (c)
f
0
t
h
y
x
y � x 8y � x 5y � x 2
w�u� � senu cos2u
y �sx 3 � 1
1 � s3 x
y �s
1 � s
y � tg t � cos ty � x 2�2 � x 3�
y � x�y � � x
v�t� � 5 t
u�t� � 1 � 1,1t � 2,54t 2h�x� �2x 3
1 � x 2
t�x� � s4 xf �x� � log2 x
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
Calculo01:calculo7 5/10/13 1:56 PM Page 31
Certas combinações das funções exponenciais e surgem frequentemente em matemá-tica e suas aplicações e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas, de muitas ma-neiras, às funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as fun-ções trigonométricas têm com o círculo. Por essa razão são chamadas coletivamente defunções hiperbólicas, e, individualmente, de seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e assimpor diante.
Definição das Funções Hiperbólicas
Os gráficos do seno e do cosseno hiperbólicos podem ser esboçados usando uma ferramentagráfica, como nas Figuras 1 e 2.
tgh x �senh xcosh x
cotgh x �cosh xsenh x
cosh x �ex � e�x
2sech x �
1
cosh x
senh x �ex � e�x
2cossech x �
1
senh x
e x e�x
232 CÁLCULO
3.11 Funções Hiperbólicas
FIGURA 3 y=tgh x
y
0 x
y=_1
y=1
FIGURA 1 y=senh x= e x+ e-x1
2
1
2
1
2y= e x
y=_ e-x1
2
y=senh x
0
y
x
FIGURA 2 y=cosh x= e x+ e-x1
2
1
2
y= e-x1
2
1
2y= e x
y=cosh x
1
0
y
x
Observe que senh possui domínio e imagem iguais a , enquanto cosh tem domínio eimagem . O gráfico de tgh está mostrado na Figura 3. Ela tem assíntotas horizontais
(veja o Exercício 23).Alguns dos usos matemáticos de funções hiperbólicas serão vistos no Capítulo 7. As apli-
cações na ciência e engenharia ocorrem sempre que uma entidade, como a luz, a velocidade,a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinguida, pois o decaimentopode ser representado por funções hiperbólicas. A aplicação mais famosa é o uso do cossenohiperbólico para descrever a forma de um fio dependurado. Pode ser demonstrado que se umcabo flexível pesado (como uma linha de telefone ou de eletricidade) estiver suspenso entredois pontos na mesma altura, então ele assume a forma de uma curva com a equação
, chamada catenária (veja a Figura 4). (A palavra latina catena significa“cadeia”.)
Uma outra explicação para as funções hiperbólicas ocorre na descrição das ondas do mar.A velocidade de uma onda aquática com comprimento L se movimentando por uma massa deágua com profundidade d é modelada pela função
onde t é a aceleração da gravidade. (Veja a Figura 5 e o Exercício 49.)
v � � tL2p
tgh� 2pdL �
y � c � a cosh�x�a�
y � �11, ��
� �
FIGURA 4Uma catenária y=c+a cosh(x/a)
y
0 x
L
d
FIGURA 5Onda do mar idealizada
Calculo03B:calculo7 5/10/13 6:54 PM Page 232
As funções hiperbólicas satisfazem diversas identidades que são análogas às bem conhe-cidas identidades trigonométricas. Listaremos algumas aqui, deixando a maioria das de-monstrações para os exercícios.
Identidades Hiperbólicas
Demonstre (a) e (b) .
SOLUÇÃO
(a)
(b) Vamos começar com a identidade demonstrada na parte (a):
Se dividirmos ambos os lados por , obtemos
ou
A identidade demonstrada no Exemplo 1(a) fornece um indício para a razão do nome “fun-ções hiperbólicas”.
Se t for qualquer número real, então o ponto está sobre o círculo unitário, pois . Na realidade, t pode ser interpretado como a medida em
radianos de da Figura 6. Por essa razão, as funções trigonométricas são algumas ve-zes chamadas funções circulares.
Da mesma maneira, se t for qualquer número real, então o ponto está so-bre o ramo direito da hipérbole , pois e . Dessavez, t não representa a medida de um ângulo. Entretanto, resulta que t representa o dobro daárea sombreada do setor hiperbólico da Figura 7, da mesma forma que no caso trigonométricot representa o dobro da área sombreada do setor circular na Figura 6.
As derivadas das funções hiperbólicas são facilmente calculadas. Por exemplo,
Vamos listar as fórmulas de derivação para as funções hiperbólicas na Tabela 1. As demons-trações restantes ficarão como exercícios. Observe a analogia com as fórmulas de derivaçãopara as funções trigonométricas, mas esteja alerta – os sinais algumas vezes são diferentes.
ddx
�senh x� �ddx � ex � e�x
2 � �ex � e�x
2� cosh x
x 2 � y 2 � 1 cosh2t � senh2t � 1 cosh t 1P�cosh t, senh t�
�POQx 2 � y 2 � 1 cos2t � sen2t � 1
P�cos t, sen t�
1 � tgh2x � sech2x
1 �senh2xcosh2x
�1
cosh2x
cosh2x
cosh2x � senh2x � 1
�e 2x � 2 � e�2x
4�
e 2x � 2 � e�2x
4�
4
4� 1
cosh2x � senh2x � � ex � e�x
2 �2
� � ex � e�x
2 �2
EXEMPLO 1 cosh2x � senh2x � 1 1 � tgh2x � sech2x
cosh�x � y� � cosh x cosh y � senh x senh y
senh�x � y� � senh x cosh y � cosh x senh y
cosh2x � senh2x � 1 1 � tgh2x � sech2x
senh��x� � �senh x cosh��x� � cosh x
REGRAS DE DERIVAÇÃO 233
200
6 Ge
tty Im
ages
O Gateway Arch em St. Louis foi projetadousando-se uma função do cosseno hiper-bólica (Exercício 48).
FIGURA 7
0
y
x
x 2-y2=1
P(cosh t, senh t)
FIGURA 6
O
y
x
P(cos t, sen t)
x 2+y2=1
Q
Calculo03B:calculo7 5/10/13 6:54 PM Page 233
Derivadas de Funções Hiperbólicas
Qualquer uma dessas regras de derivação pode ser combinada com a Regra daCadeia. Por exemplo,
Funções Hiperbólicas InversasVocê pode ver pelas Figuras 1 e 3 que senh e tgh são funções injetoras; logo, elas têm funçõesinversas denotadas por e . A Figura 2 mostra que cosh não é injetora, mas quandorestrita ao domínio torna-se injetora. A inversa da função cosseno hiperbólico está de-finida como a inversa dessa função restrita.
As inversas das demais funções hiperbólicas são definidas analogamente (veja o Exercício 28).Podemos esboçar os gráficos de , e nas Figuras 8, 9 e 10 usando as Fi-
guras 1, 2 e 3.senh�1 cosh�1 tgh�1
y � tgh�1x &? tgh y � x
y � cosh�1x &? cosh y � x e y � 0
2 y � senh�1x &? senh y � x
�0, ��senh�1 tgh�1
d
dx(cosh sx ) � senh sx �
d
dxsx �
senh sx
2sx
EXEMPLO 2
d
dx�tgh x� � sech2x
d
dx�cotgh x� � �cossech2x
d
dx�cosh x� � senh x
d
dx�sech x� � �sech x tgh x
d
dx�senh x� � cosh x
d
dx�cossech x� � �cossech x cotgh x
1
234 CÁLCULO
FIGURA 8 y=senh–! x
domínio=R imagem=R
0
y
x
FIGURA 9 y=cosh–! x
domínio=[1, `} imagem=[0, `}
0
y
x1
FIGURA 10 y=tgh–! x
domínio=(-1, 1) imagem=R
0
y
x1_1
Uma vez que as funções hiperbólicas estão definidas em termos das funções exponenciais,não é surpreendente descobrir que as funções hiperbólicas inversas podem ser expressas emtermos de logaritmos. Especificamente, temos:
5 tgh�1x � 12 ln� 1 � x
1 � x� �1 � x � 1
4 cosh�1x � ln(x � sx 2 � 1) x � 1
3 senh�1x � ln(x � sx 2 � 1) x � �
A Fórmula 3 está demonstrada no Exemplo3. As demonstrações das Fórmulas 4 e 5são pedidas nos Exercícios 26 e 27.
Calculo03B:calculo7 5/16/13 11:26 AM Page 234
Mostre que .
SOLUÇÃO Seja . Então
logo,
ou, multiplicando por ,
Isso é realmente uma equação quadrática em :
Resolvendo com a fórmula quadrática, obtemos
Observe que , mas (pois ). Assim, o sinal de menos éinadmissível e temos
Portanto,
(Veja o Exercício 25 para outro método.)
Derivadas de Funções Hiperbólicas Inversas
As funções hiperbólicas inversas são todas deriváveis, pois as funções hiperbólicas são de-riváveis. As fórmulas na Tabela 6 podem ser demonstradas pelo método para as funções in-versas ou derivando as Fórmulas 3, 4 e 5.
Demonstre que .
SOLUÇÃO 1 Seja . Então, . Se derivarmos essa equação implicita-mente em relação a x, obtemos
Uma vez que e , obtemos , logo
SOLUÇÃO 2 Da Equação 3 (demonstrada no Exemplo 3), temos
dy
dx�
1
cosh y�
1
s1 � senh2y�
1
s1 � x 2
cosh2y � senh2y � 1 cosh y � 0 cosh y � s1 � senh2y
cosh ydy
dx� 1
y � senh�1x senh y � x
EXEMPLO 4d
dx�senh�1x� �
1
s1 � x 2
d
dx�tgh�1x� �
1
1 � x 2
d
dx�cotgh�1x� �
1
1 � x 2
d
dx�cosh�1x� �
1
sx 2 � 1
d
dx�sech�1x� � �
1
xs1 � x 2
d
dx�senh�1x� �
1
s1 � x 2
d
dx�cossech�1x� � �
1
� x �sx 2 � 1
6
y � ln�ey� � ln(x � sx 2 � 1)
ey � x � sx 2 � 1
ey � 0 x � sx 2 � 1 � 0 x � sx 2 � 1
ey �2x � s4x 2 � 4
2� x � sx 2 � 1
�ey�2 � 2x�ey� � 1 � 0
ey
e 2y � 2xey � 1 � 0
ey
ey � 2x � e�y � 0
x � senh y �ey � e�y
2
y � senh�1x
EXEMPLO 3 senh�1x � ln(x � sx 2 � 1)
REGRAS DE DERIVAÇÃO 235
Observe que as fórmulas para as derivadasde e parecem idênticas.Mas os domínios dessas funções nãopossuem números em comum: édefinida para , enquanto
é definida para � x � � 1.cotgh�1x� x � � 1
tgh�1x
cotgh�1xtgh�1x
Calculo03B:calculo7 5/16/13 11:27 AM Page 235
C Exercícios
D
ÂngulosOs ângulos podem ser medidos em graus ou radianos (abreviado por rad). O ângulo dado poruma revolução completa tem 360º, que é o mesmo que 2p rad. Portanto,
e
(a) Encontre a medida do radiano de 60º. (b) Expresse 5p/4 rad em graus.
SOLUÇÃO(a) Da Equação 1 ou 2 vemos que, para converter de graus para radianos, multiplicamos porp/180. Portanto,
60� � 60 �
180� ��
3rad
EXEMPLO 1
1� �p
180rad � 0,017 rad2 1 rad � 180
p��
� 57,3�
1 � rad � 180�
Trigonometria
APÊNDICES A21
1–4 Determine uma equação de uma circunferência que satisfaça ascondições dadas.1. Centro (3, �1), raio 52. Centro (�2, �8), raio 103. Centro na origem, passa por (4, 7)4. Centro (�1, 5), passa por (�4, �6)
5–9 Mostre que a equação representa uma circunferência e determineo centro e o raio.
5.
6.
7.
8.
9.
10. Que condições nos coeficiente a, b e c fazem com que a equaçãorepresente uma circunferência?
Quando a condição for satisfeita, determine o centro e o raio dacircunferência.
11–32 Identifique o tipo de curva e esboce o gráfico. Não marque ospontos. Somente use os gráficos-padrão dados nas Figuras 5, 6, 8, 10e 11 e desloque se for necessário.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25.
26.
27. 28.
29. 30.
31.
32.
33–34 Esboce a região delimitada pelas curvas.
33. , 34. ,
35. Determine uma equação da parábola com vértice (1, �1) quepasse pelos pontos (�1, 3) e (3, 3).
36. Encontre uma equação da elipse com centro na origem que passepelos pontos e .
37–40 Esboce o gráfico do conjunto.
37. 38.
39. 40.
x 2 y 2 6y 2 � 0
x 2 y 2 � 4x 10y 13 � 0
x 2 y 2 ax by c � 0
2x 2 2y 2 � x y � 1
16x 2 16y 2 8x 32y 1 � 0
x 2 y 2 x � 0
y � 3x y � x 2 y � 4 � x 2 x � 2y � 2
4x 2 9y 2 � 16x 54y 61 � 0
x 2 4y 2 � 6x 5 � 0
x � 4 � y 2 y 2 � 2x 6y 5 � 0
y � x 2 � 6x 13 x 2 � y 2 � 4x 3 � 0
16x 2 9y 2 � 36y � 108
9�x � 12 4�y � 22 � 36
xy � 4 y � x 2 2x
9y 2 � x 2 � 9 2x 2 5y 2 � 10
x � y 2 � 1 9x 2 � 25y 2 � 225
4x 2 y 2 � 1 y � x 2 2
16x 2 � 25y 2 � 400 25x 2 4y 2 � 100
x 2 4y 2 � 16 x � �2y 2
y � �x 2 y 2 � x 2 � 1
��x, y � x 2 4y 2 � 4���x, y � y � x 2 � 1�
��x, y � x 2 y 2 � 4���x, y � x 2 y 2 � 1�
(�2, 5s5 3)(1, �10s2 3)
apendices:calculo7 5/10/13 6:21 AM Page A21
Graus 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
Radianos 0 p 2p3p
2
5p
6
3p
4
2p
3
p
2
p
3
p
4
p
6
r
r
a
¨
FIGURA 1
r
r
r
1 rad
FIGURA 2
A22 CÁLCULO
(b) Para convertermos de radianos para graus multiplicamos por 180/p. Logo,
Em cálculo, usamos o radiano como medida dos ângulos, exceto quando explicitamenteindicada outra unidade. A tabela a seguir fornece a correspondência entre medidas em grause em radianos de alguns ângulos comuns.
A Figura 1 mostra um setor de um círculo com ângulo central u e raio r subtendendo umarco com comprimento a. Como o comprimento do arco é proporcional ao tamanho do ângulo,e como todo o círculo tem circunferência 2pr e ângulo central 2p, temos
Isolando u e a nessa equação, obtemos
Lembre que essas equações são válidas somente quando u é medido em radianos.Em particular, fazendo a � r na Equação 3, vemos que um ângulo de 1 rad é um ângulo
subtendido no centro de um círculo por um arco com comprimento igual ao raio do círculo (vejaa Figura 2).
(a) Se o raio de um círculo for 5 cm, qual o ângulo subtendido por um arco de 6 cm?(b) Se um círculo tem raio 3 cm, qual é o comprimento de um arco subtendido por um ângulocentral de 3p/8 rad?
SOLUÇÃO(a) Usando a Equação 3 com a � 6 e r � 5, vemos que o ângulo é
(b) Com r � 3 cm e u� 3p/8 rad, o comprimento de arco é
A posição padrão de um ângulo ocorre quando colocamos seu vértice na origem do sis-tema de coordenadas e seu lado inicial sobre o eixo x positivo, como na Figura 3. Um ângulopositivo é obtido girando-se o lado inicial no sentido anti-horário até que ele coincida com olado final; da mesma forma, ângulos negativos são obtidos girando-se no sentido horário, comona Figura 4.
5�
4rad �
5�
4 180
�� � 225�
3 � �ar
a � r�
�
2��
a2�r
a � r� � 3 3�
8 � �9�
8cm
u � 65 � 1,2 rad
EXEMPLO 2
apendices:calculo7 5/10/13 6:21 AM Page A22
0
y
x
¨ lado inicial
ladofinal
FIGURA 3 ¨˘0
0
y
x¨
lado inicial
lado final
FIGURA 4 ¨<0
FIGURA 5Ângulos na posição padrão
y
x
0
¨=_5π
4
0
y
x
¨=11π
4
0
y
x
¨=3π
4
0
y
x
¨=_π
2
0
y
x
¨=1
opostohipotenusa
adjacente
¨
FIGURA 6
P(x, y)
O
y
x
r¨
FIGURA 7
APÊNDICES A23
A Figura 5 mostra vários exemplos de ângulos em posição padrão. Observe que ângulosdiferentes podem ter o mesmo lado final. Por exemplo, os ângulos 3p/4, �5p/4 e 11p/4 têmos mesmos lados inicial e final, pois
e 2p rad representa uma revolução completa.
As Funções TrigonométricasPara um ângulo agudo u as seis funções trigonométricas são definidas como razões de com-primento de lados de um triângulo retângulo como segue (veja a Figura 6).
Essa definição não se aplica aos ângulos obtusos ou negativos, de modo que, para um ân-gulo geral u na posição padrão, tomamos P(x, y) como um ponto qualquer sobre o lado finalde u e r como a distância , como na Figura 7. Então, definimos
3�
4� 2� � �
5�
4
3�
4 2� �
11�
4
tg u �op
adjcotg u �
adj
op
cos u �adj
hipsec u �
hip
adj
4 sen u �op
hipcossec u �
hip
op
5
cotg u �xy
tg u �yx
sec � �rx
cos � �xr
cossec u �ry
sen u �yr
� OP �
apendices:calculo7 5/10/13 6:22 AM Page A23
Se colocarmos r � 1 na Definição 5 edesenharmos um círculo unitário comcentro na origem e rotularmos u como naFigura 8, então as coordenadas de P serão(cos u, sen u).
O
y
x1
1¨
FIGURA 8
P(cos ¨ , sen ¨)
0
y
x
sen ¨>0
tg ¨>0
todas as razões>0
cos ¨>0
FIGURA 10
y
0 x
2π
3π
3
2œ„3
1
P {_1, œ„3}
FIGURA 11
u 0 p 2p
0 1 0 �1 0
1 0 � � � �1 0 1s3
2s3
2
s3
2
1
s2
1
2
1
s2
1
s2s3
2
1
s2
1
2
1
2
3p
2
5p
6
3p
4
2p
3
p
2
p
3
p
4
p
6
cos u
1
2sen u
1
1
2œ„
π
4
π
4 12 π
3
œ„3
π
6
FIGURA 9
A24 CÁLCULO
Como a divisão por 0 não é definida, tg u e sec u são indefinidas quando x � 0 e cossec ue cotg u são indefinidas quando y � 0. Observe que as definições em e são consis-tentes quando u é um ângulo agudo.
Se u for um número, a convenção é que sen u significa o seno do ângulo, cuja medida emradianos é u. Por exemplo, a expressão sen 3 implica que estamos tratando com um ângulode 3 rad. Ao determinarmos uma aproximação na calculadora para esse número, devemos noslembrar de colocar a calculadora no modo radiano, e então obteremos
Para conhecermos o seno do ângulo 3º, escrevemos sen 3° e, com nossa calculadora no modograu, encontramos que
As razões trigonométricas exatas para certos ângulos podem ser lidas dos triângulos da Fi-gura 9. Por exemplo,
Os sinais das funções trigonométricas para ângulos em cada um dos quatro quadrantes po-dem ser lembrados pela regra mostrada na Figura 10 “All Students Take Calculus”.
Encontre as razões trigonométricas exatas para .
SOLUÇÃO Da Figura 11 vemos que um ponto sobre a reta final para é .Portanto, tomando
nas definições das razões trigonométricas, temos
A tabela a seguir fornece alguns valores de sen u e cos u encontrados pelo método do Exem-plo 3.
Se e , determine as outras cinco funções trigonométricasde u.
SOLUÇÃO Como , podemos tomar a hipotenusa como tendo comprimento igual a 5 eo lado adjacente como tendo comprimento igual a 2 na Figura 12. Se o lado oposto tem com-
� � 2�3 P(�1, s3 )EXEMPLO 3 � � 2�3
tgp
4� 1 tg
p
6�
1
s3tgp
3� s3
cosp
4�
1
s2cosp
6�
s3
2cosp
3�
1
2
senp
4�
1
s2senp
6�
1
2senp
3�
s3
2
sen 3� � 0,05234
sen 3 � 0,14112
4 5
cos � � 25
0 � � � �2cos � � 25EXEMPLO 4
cossec2p
3�
2
s3sec
2p
3� �2 cotg
2p
3� �
1
s3
sen2p
3�
s3
2cos
2p
3� �
1
2tg
2p
3� �s3
r � 2y � s3x � �1
apendices:calculo7 5/10/13 6:24 AM Page A24
16
40°
x
FIGURA 13
5
2
¨
x=œ„„ 21
FIGURA 12
APÊNDICES A25
primento x, então o Teorema de Pitágoras fornece e, portanto, ,Podemos agora usar o diagrama para escrever as outras cinco funções trigonométricas:
Use uma calculadora para aproximar o valor de x na Figura 13.
SOLUÇÃO Do diagrama vemos que
Logo,
Identidades TrigonométricasUma identidade trigonométrica é uma relação entre as funções trigonométricas. As mais ele-mentares são dadas a seguir, e são consequências imediatas das definições das funções trigo-nométricas.
Para a próxima identidade, voltemos à Figura 7. A fórmula da distância (ou, de maneiraequivalente, o Teorema de Pitágoras) nos diz que . Portanto,
Demonstramos, portanto, uma das mais úteis identidades da trigonometria:
Se agora dividirmos ambos os lados da Equação 7 por cos2u e usarmos as Equações 6, obte-remos
Analogamente, se dividirmos ambos os lados da Equação 7 por sen2u, obteremos
As identidades
10b cos��� � cos �
x 2 4 � 25 x 2 � 21 x � s21.
tg u �sen u
cos ucotg u �
cos u
sen u
6 cossec u �1
sen usec � �
1
cos �cotg u �
1
tg u
x �16
tg 40�� 19,07
tg 40� �16
x
EXEMPLO 5
cossec u �5
s21sec � �
5
2cotg u �
2
s21
sen u �s21
5tg u �
s21
2
sen��u � �sen u
1 cotg2u � cossec2u
tg2u 1 � sec2u
sen2u cos2u � 1
10a
9
8
7
sen2u cos2u �y 2
r 2 x 2
r 2 �x 2 y 2
r 2 �r 2
r 2 � 1
x 2 y 2 � r 2
apendices:calculo7 5/10/13 6:26 AM Page A25
As funções ímpares e as funções pares sãodiscutidas na Seção 1.1.
A26 CÁLCULO
indicam que seno e cosseno são funções, respectivamente, ímpar e par. Elas são facilmente de-monstradas desenhando um diagrama mostrando u e �u na posição padrão (veja o Exercício 39).
Uma vez que os ângulos u e u 2p têm o mesmo lado final, temos
Essas identidades revelam que as funções seno e cosseno são periódicas com período 2p.As identidades trigonométricas restantes são todas consequências de duas identidades bá-
sicas chamadas fórmulas da adição:
As demonstrações dessas fórmulas de adição estão resumidas nos Exercícios 85, 86 e 87.Substituindo y por �y nas Equações 12a e 12b e usando as Equações 10a e 10b, obtemos
as seguintes fórmulas de subtração:
Então, dividindo as fórmulas nas Equações 12 ou 13, obtemos as fórmulas corresponden-tes para :
Se fizermos y � x nas fórmulas de adição , obteremos as fórmulas dos ângulos du-plos:
Então, usando a identidade sen2x cos2x � 1, obtemos a seguinte forma alternativa das fór-mulas dos ângulos duplos para cos 2x:
Se agora isolarmos cos2x e sen2x nestas equações, obteremos as seguintes fórmulas do ângulo-metade, que são úteis em cálculo integral:
Finalmente, enunciamos as fórmulas do produto que podem ser deduzidas das Equações12 e 13:
12
14b tg�x � y �tg x � tg y
1 tg x tg y
14a tg�x y �tg x tg y
1 � tg x tg y
tg�x � y
13b cos�x � y � cos x cos y sen x sen y
13a sen�x � y � sen x cos y � cos x sen y
12b cos�x y � cos x cos y � sen x sen y
12a sen�x y � sen x cos y cos x sen y
11 sen�u 2p � sen u cos�� 2� � cos �
17b sen2x �1 � cos 2x
2
17a cos2x �1 cos 2x
2
16b cos 2x � 1 � 2 sen2x
16a cos 2x � 2 cos2x � 1
15b cos 2x � cos2x � sen2x
15a sen 2x � 2 sen x cos x
apendices:calculo7 5/10/13 6:28 AM Page A26
APÊNDICES A27
Há muitas outras identidades trigonométricas, mas as aqui enunciadas são algumas das maisusadas no cálculo. Se você se esquecer alguma das identidades 13-18, lembre-se de que elaspodem ser deduzidas das Equações 12a e 12b.
Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2p] tal que sen x � sen 2x.
SOLUÇÃO Usando a fórmula do ângulo duplo (15a), reescrevemos a equação dada como
ou
Portanto, há duas possibilidades:
A equação dada tem cinco soluções: 0, p/3, p, 5p/3 e 2p.
Gráficos das Funções TrigonométricasO gráfico da função , mostrado na Figura 14(a), é obtido desenhando-se os pon-tos para e então usando-se a periodicidade da função (da Equação 11) para com-pletar o gráfico. Observe que os zeros da função seno ocorrem em múltiplos inteiros de p, istoé,
Em virtude da identidade
(que pode ser verificada usando-se a Equação 12a), o gráfico do cosseno é obtido deslocando--se em p/2 para a esquerda o gráfico do seno [veja a Figura 14(b)]. Observe que tanto para a
0 � x � 2�f �x � sen x
x � or x ��
3,
5�
3
x � 0, p, 2p or cos x � 12
sen x � 0 ou 1 � 2 cos x � 0
sen x � 2 sen x cos x sen x �1 � 2 cos x � 0
EXEMPLO 6
18c sen x sen y � 12 �cos�x � y � cos�x y�
18b cos x cos y � 12 �cos�x y cos�x � y�
18a sen x cos y � 12 �sen�x y sen�x � y�
cos x � sen x p
2 �
sen x � 0 sempre que x � np, com n um número inteiro.
FIGURA 14
y
1
_1
x
x
π_π
2π
3π
0_
π
2
π
23π
2
5π
2
(b) ©=cos x
y
1
_1
0 π_π 2π 3π
_π
2
π
2
3π
2
5π
2
(a) ƒ=sen x
apendices:calculo7 5/10/13 6:29 AM Page A27
FIGURA 15 (c) y=cossec x
y
1
_1
0
xπ
y=sen x
_π
2
π
2
3π
2
(d) y=sec x
y
0
xπ
_π
_1
1
y=cos x
_π
2
π
2
3π
2
(a) y=tg x (b) y=cotg x
y
0 xπ_π_
π
2
π
2
3π
2
y
1
_1
0
xπ
_π
_π
2
π
2
3π
2
D Exercícios
1–6 Converta de graus para radianos.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7–12 Converta de radianos para graus.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. Determine o comprimento de um arco circular subtendido peloângulo de rad se o raio do círculo for de 36 cm.
14. Se um círculo tem raio de 10 cm, qual é o comprimento de arcosubtendido pelo ângulo central de 72º?
15. Um círculo tem raio de 1,5m. Qual o ângulo subtendido no cen-tro do círculo por um arco de 1 m de comprimento?
16. Determine o raio de um setor circular com ângulo e com-primento de arco 6 cm.
17–22 Desenhe, na posição padrão, o ângulo cuja medida é dada.
17. 18. 19. rad
�315� 900� 36�
210� 300� 9�
315� �150� �3�
4
3�4
�12
8�
3�
3�
85
4� �7�
2
5�
12
A28 CÁLCULO
função seno quanto para a função cosseno o domínio é , e a imagem é o intervalo fe-chado . Dessa forma, para todos os valores de x, temos
Os gráficos das quatro funções trigonométricas restantes estão mostrados na Figura 15, eseus domínios estão ali indicados. Observe que a tangente e a cotangente têm a mesma ima-gem , enquanto a cossecante e a secante têm a imagem . Todas asfunções são periódicas: tangente e cotangente têm período p, ao passo que cossecante e se-cante possuem período 2p.
��, ��1, 1�
��, ��, �1� � �1,
�1 � sen x � 1 �1 � cos x � 1
apendices:calculo7 5/10/13 6:30 AM Page A28
