Matemática - Aula 24 - Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico I

8/14/2019 Matemtica - Aula 24 - Funes trigonomtricas no ciclo trigonomtrico I

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Aula 24-A -Funes trigonomtricas no ciclo trigonomtrico

1) Funo seno (definio)

2)Grfico da funo seno

3)Seno de alguns arcos importantes

4) Equaes e inequaes

5) Resoluo de exerccios


2/18

1) Funo seno definio.Lembre se:

Vamos ver entosenoarco.

Considerando o ciclo trigonomtrico abaixo:

Para arcos com medida x , oseno de x numericamente igual ao segmento OM , eindicamos por :

sen x = OM


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A funo seno obtida considerando uma volta completa no ciclo trigonomtrico.Vamos formar uma tabela com a tangente dos arcos notveis em um ciclo.

Ponto Valor dex rad

Coordenadas dospontos

Valor dosen x

A 0 (1,0) 0

B (0,1) 1

A (-1,0) 0

B (0, -1) -1

A (1,0) 0

Se observarmos tabela anterior verificamos que o domnio da funoseno dado por:

O conjunto imagem dado por:

Ento tg (x) uma funo definida por:

=)( fD

1y1-/y)Im( =f

( ) (x).xfque,: sentalf =


4/18

Sinais da funo seno:

1 quadrante 2 quadrante 3quadrante 4 quadrante

sen (x) > 0 sen (x) > 0 sen (x) < 0 sen (x) < 0

2) Grfico da funo seno

Para determinarmos o grfico da funo seno , usaremos o intervalo[ ]p2,0

Valor dex rad

0

Valor do

sen x

0 1 0 -1 0

Perodo da funo f(x) =sen (x) = p2


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3) Senos de alguns arcos importantes:

Verifique o ciclo trigonomtrico abaixo:

Ao verificarmos os valores acima e os da tabela que usamos para fazer o grfico

podemos ver os senos que devemos ter na memria.

Arco

0 6

p

4

p

3

p

2

p

p2

3p

p2

Seno0

2

1

2

2

2

3 1 0 1- 0


6/18

=6

5,

6

pp

V

4) equaes e inequaes.

Para resolvermos equaes trigonomtricas ser conveniente desenharmos ociclo; isto facilitar a soluo do problema. Exemplo:

Resolver a equao2

1=senx , para .20 p x

Resoluo:

Devemos determinar no ciclo os arcos que

tem ordenada igual a_

Os valores de x para os quais2

1=senx so:

6

5

6-ou x

6

pp

p

p

===x

logo:

Para resolvermos inequaes trigonomtricas faremos o mesmo procedimento.Exemplo:

Resolver a equao2

1senx , para .20 p x

Resoluo:


tem ordenada maior ou igual a_


1=senx so:

6

5ou x

6

pp

==x , e os que tm ordenadas

maiores do que2

1so todos entre .

6

5e

6

pp

Logo:

=6

5

6/

pp

xxV


7/18

=2

p

V

=4

7,

4

5 ppV

=4

7,

4

5,

4

3,

4

pppp

V


1) Resolver a equao 1=xsen para .20 p x

Resoluo:

Determinemos os pontos no ciclo cuja ordenada

seja igual a 1.Verificando a figura s encontramosum nico ponto que

2xp

= . Logo:

2) Resolver a equao2

2-x =sen para .20 p x

Resoluo:

Verificando a figura encontramos os valores

dos arcos cuja ordenada 2

2- .Encontramos

4

7xe

4

5 pp==x . Logo:


1x

2

=sen para .20 p x

Resoluo:

Temos que :


dos arcos cujas ordenadas so2

2 .

Encontramos

4

7xe

4

5x,

4

3x,

4

pppp

====x . Logo:

fi=fi=

2

1sen x

2

1x

2

sen

2

2sen x

2

1x =fi=sen


8/18

{ }pp 2,,0=V

=

3

2,

3

pp

V

4) Resolver a equao 0x =sen para .20 p x

Determinemos os pontos no ciclo cuja ordenadaseja igual a 0.Verificando a figura encontramostrs pontos que so .2xex,0x pp === . Logo:


3x =sen para .20 p x

Resoluo:



3.Encontramos

3

2xe

3

pp

==x . Logo:

6) Resolver a inequao2

2x sen para .20 p x

Resoluo:



2 .Encontramos

4

3xe

4

pp

==x . e os que tm ordenadas

maiores do que2

2so todos entre .

4

3e

4

pp

Logo:

=4

3

4/

pp

xxV


9/18


3x


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Aula 24-A -Funes trigonomtricas no ciclo trigonomtrico

1) Funo cosseno (definio)

2)Grfico da funo cosseno

3)Cosseno de alguns arcos importantes

4) Equaes e inequaes



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1) Funo cosseno - definioLembre se:

Vamos ver ento cosseno de um arco.

Considerando o ciclo trigonomtrico abaixo:

Para arcos com medida x , o cosseno de x numericamente igual ao segmento ON, eindicamos por :

cos x = ON


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A funocosseno obtida considerando uma volta completa no ciclo trigonomtrico.Vamos formar uma tabela com a tangente dos arcos notveis em um ciclo.

Ponto Valor dex rad

Coordenadas dospontos

Valor docos x

A 0 (1,0) 1

B (0,1) 0

A (-1,0) -1

B (0, -1) 0

A (1,0) 1

Se observarmos tabela anterior verificamos que o domnio da funo cosseno dado por:

O conjunto imagem dado por:

Ento tg (x) uma funo definida por:

=)( fD

1y1-/y)Im( =f

( ) (x).cosxfque,: = talf


13/18

Sinais da funo cosseno:

1 quadrante 2 quadrante 3quadrante 4 quadrante

cos (x) > 0 cos (x) < 0 cos (x) < 0 cos (x) > 0

2) Grfico da funo cosseno

Para determinarmos o grfico da funoseno, usaremos o intervalo[ ]p2,0

Valor dex rad

0

Valor docos x

1 0 -1 0 1

Perodo da funo f(x) = cos (x) = p2


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3) Cossenos de alguns arcos importantes:

Ao verificarmos os valores da tabela acima e os da tabela que usamos para fazer o

grfico podemos ver os cossenos que devemos ter na memria.

Arco

0 6

p

4

p

3

p

2

p

p2

3p

p2

Cos1

2

3

2

2

2

10 1- 0 1


15/18

= 3

5,

3

pp

V

4) equaes e inequaes.

Para resolvermos equaes trigonomtricas ser conveniente desenharmos ociclo; isto facilitar a soluo do problema. Exemplo:

Resolver a equao2

1cos =x , para .20 p x

Resoluo:


tem abscissa igual a_


1cos =x so:

3

5

3-2ou x

3

pp

p

p

===x

logo:

Para resolvermos inequaes trigonomtricas faremos o mesmo procedimento.Exemplo:

Resolver a equao2

1cos x , para .20 p x

Resoluo:


tem abscissa maior ou igual a_


1cos =x so:

3-ou x

3

pp

==x , e os que tm ordenadas

maiores do que2

1so todos entre .

3e

3

pp

-

Logo:

-=33

/pp

xxV

Observao :3

-3

5 pp=


16/18

{ }p2,0=V

= 4

5

,4

3 ppV

=4

7,

4

5,

4

3,

4

pppp

V


1) Resolver a equao 1cos =x para .20 p x

Resoluo:

Determinemos os pontos no ciclo cuja abscissa

seja igual a 1.Verificando a figura encontramoso pontos que so p2xe0x == . Logo:


2-cosx = para .20 p x

Resoluo:


dos arcos cuja abscissa 2

2- .Encontramos

4

5xe

4

3 pp==x . Logo:


1xcos

2= para .20 p x

Resoluo:

Temos que :


dos arcos cujas abscissas so2

2 .

Encontramos

4

7xe

4

5x,

4

3x,

4

pppp

====x . Logo:

fi=fi=

2

1xcos

2

1xcos

2

2

2xcos

2

1xcos =fi=


17/18

= 2

3,

2

pp

V

=

611,

6

ppV

4) Resolver a equao 0xcos = para .20 p x

Determinemos os pontos no ciclo cuja abscissaseja igual a 0.Verificando a figura encontramos

dois pontos que so .2

3x,

2x

pp

== . Logo:


3xcos = para .20 p x

Resoluo:


dos arcos cuja abscissa 2

3.Encontramos

6

11xe

6

pp

==x . Logo:


2-xcos para .20 p x

Resoluo:



2.Encontramos

4

3xe

4

pp

==x . e os que tm abscissas

menores do que2

2so todos entre .

4

5e

4

3 pp

Logo:

= 4

5

4

3

/

pp

xxV


18/18

{ }pp = xe2x0/xV


3xcos -> para .20 p x

Resoluo:


dos arcos que tm abscissas iguais a2

3- .

Encontramos6

7xe

6

5 pp==x . e os que tm

abscissas maiores do que2

3- so todos

entre ppp

2e6

7e

6

5e0 .

Logo:

= p

pp

26

7

ou6

5

0/ xxxV

8) Resolver a inequao 1xcos - para .20 p x

Resoluo:

Verificando a figura determinamos os pontosno ciclo que tm abscissas diferentes de 1- .

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