0083

MATEMÁTICA APLICADA

À GESTÃO

CADERNO DE TESTES FORMATIVOS

MARIA ALICE FILIPE

2006

1

ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS .................................................................................................. 2

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS..................................................................... 4

ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES............................................................ 6

TESTES FORMATIVOS COM RESOLUÇÃO...................................................22

TESTE FORMATIVO Nº 1 E RESOLUÇÃO........................................................ ..23

TESTE FORMATIVO Nº 2 E RESOLUÇÃO......................................................... .40

2

NOTAS PRÉVIAS

Os alunos que queiram tirar dúvidas ou confirmar a resolução de exercícios, deverão contactar a docente responsável pela disciplina: Maria Alice Filipe R. Fernão Lopes, nº9-2º Dto. 1269-001 LISBOA Tel: 213150041/808200344 Fax: 213150183 e-mail: malicef@univ-ab.pt Horário de Atendimento: 2ª feira – 14 h –18 h 3ª feira – 11 h -13 h e 13h30m às 16h30m Manual adoptado: Cálculo, Vol. I

James Stewart, Pioneira, Thomson Learning 1. A maior parte dos assuntos tratados no livro até ao capítulo 4 (inclusivé),

consideram-se como sendo já dos conhecimentos dos alunos, constituindo revisões.

2. Não são objecto de avaliação os seguintes assuntos tratados no manual:

2.1. Funções hiperbólicas (cap. 3 - 3.9, pag. 246)

2.2. O método de Newton (cap. 4 - 4.9, pag. 345)

2.3. Volumes (cap. 6 - 6.2, pag. 440)

2.4. Cálculo de volumes por cascas cilíndricas (cap. 6 - 6.3, pag. 451)

2.5. Trabalho (cap. 6 - 6.4, pag. 456)

2.6. Integração usando tabelas e sistemas algébricos computacionais (cap. 7 - 7.6, pag. 505)

2.7. Integração aproximada (cap. 7 - 7.7, pag. 512)

2.8. Mais aplicações de integração (cap. 8, pag. 540 até ao fim do capítulo) 3. Nos exames não é permitida a utilização de qualquer tipo de calculadora nem de

qualquer formulário. Como o livro adoptado tem no final de cada capítulo exercícios que utilizam calculadora e/ou programas informáticos específicos da Matemática, o aluno pode não os fazer.

3

4. Como o manual é uma tradução brasileira, convém ter em atenção que há termos e expressões que em português se dizem de outra forma. Por exemplo, "sequência" corresponde em português a "sucessão"; "integral", em português, é uma palavra masculina, etc.

5. Há também algumas notações e designações que usaremos de forma diferente. Por

exemplo, para intervalo aberto, em vez de (a,b), usaremos ]a,b[. Em vez de "antiderivada" de uma função f(x), falaremos em primitiva de f(x) e representaremos por Pf(x) ou ∫ dxf(x) . Representaremos as funções trigonométricas inversas por, por exemplo, arcsenx, em vez de sen-1x, etc..

6. Sugere-se o estudo cuidadoso das aplicações do Cálculo, principalmente à

Economia. 7. O assunto das séries, abordado na pag. 7 do manual, está mais desenvolvido no

Vol. II do livro com os mesmos título e autor do manual indicado. Como não se considera ser de avaliação um estudo exaustivo das séries, mas apenas o que é indicado no programa, seguem em anexo uns apontamentos sobre o referido assunto.

Pré-requisitos básicos: 1. Ter bom domínio de cálculo mental (lembra-se que não é permitida a utilização da

máquina de calcular nos exames, nem tabelas ou formulários); 2. Saber resolver equações e inequações, em particular as que contém o operador

módulo; 3. Ter conhecimentos de trigonometria (incluindo o conhecimento das funções

trigonométricas inversas: arcsenx, arccosx, arctgx, arccotgx); 4. Saber calcular limites de funções reais de variável real (incluindo sucessões); 5. Conhecer e aplicar bem as regras de derivação; 6. Conhecer as representações gráficas de algumas funções básicas, tais como,

polinomiais (pelo menos até ao 3º grau), exponencial, logarítmica e trigonométricas.

Nota: Todos estes conhecimentos são considerados como já adquiridos a nível do ensino secundário (12º ano). No entanto, para se iniciar o estudo desta cadeira, considera-se que previamente deve rever os assuntos referidos. A maior parte deles vai ser novamente tratada, mas de uma forma mais um pouco mais aprofundada e alargada.

4

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS (a partir de 2003-2004)

1. Séries de números reais

1.1. Definições. Generalidades 1.2. Séries geométricas

2. Funções reais de variável real 2.1. Generalidades (revisões de conceitos) 2.2. Gráfico de funções 2.3. Operações com funções. Função composta. Função inversa 2.4. Tipos de funções:

Funções polinomiais, funções de potências, funções racionais, função exponencial, função logarítmica, funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas

3. Limites e derivadas 3.1. Cálculo de limites de funções. Assímptotas verticais, horizontais e oblíquas 3.2. Continuidade. Propriedades. Teoremas sobre funções contínuas 3.3. O declive da tangente de uma curva e a derivada. Taxas de variação e

significado económico 3.4. Função derivada 3.5. Derivada da função composta. Derivada da função inversa 3.6. Regras de derivação 3.7. Derivada de ordem superior à 1ª 3.8. Diferencial de uma função. Aproximações lineares

4. Aplicações da diferenciação 4.1. Estudo da monotonia de funções. Cálculo de máximos e mínimos 4.2. Teoremas fundamentais do cálculo diferencial 4.3. Indeterminações e a regra de L'Hôpital 4.4. Estudo da concavidade de funções. Cálculo de pontos de inflexão 4.5. Esboço de gráficos de funções 4.6. Aplicações em Economia

5. Primitivação 5.1. Definição, existência e principais propriedades 5.2. Técnicas de primitivação

5.2.1. Primitivas imediatas 5.2.2. Primitivação por partes 5.2.3. Primitivação de fracções racionais 5.2.4. Primitivação por substituição

6. Integração 6.1. Definição e existência. Cálculo de áreas 6.2. A integração e a primitivação 6.3. O integral definido. Propriedades 6.4. O Teorema fundamental do cálculo. Integrais indefinidos 6.5. Integração por partes e por substituição 6.6. Integrais impróprios de 1ª espécie e de 2ª espécie 6.7. Aplicações económicas da integração

5

Manual: • Cálculo, Vol. I

James Stewart, Pioneira, Thomson Learning Bibliografia: • Cálculo, Vol. II

James Stewart, Pioneira, Thomson Learning • Cálculo com Geometria Analítica, Vols. I e II

Swokowski, Makron • Mathematics for Economic Analysis

Knut Sydsaeter, Peter J. Hammond, Prentice Hall International Editions • Análise Matemática - Leituras e exercícios

Carlos Sarrico, Gradiva • Introdução à Análise Matemática

Campos Ferreira, Gulbenkian • Problemas e exercícios de Análise Matemática

Demidovich, Mc Graw-Hill • Cálculo - Curso intensivo

Frank Ayres; Elliot Mendelson, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill • Álgebra Elementar - Curso intensivo

Murray R. Spiegel; Robert Moyer, Shaum's easy outlines, Mc Graw-Hill

6

Alguns conceitos sobre SÉRIES

Consideremos uma sucessão de termos a1, a2, …. , an, ….

O termo an é designado por termo geral da sucessão. Muitas vezes identificamos a

sucessão pelo seu termo geral, isto é, simplificamos a linguagem, dizendo que

estamos a tratar de uma sucessão an, em vez de dizer que a sucessão referida tem por

termo geral an.

Com os termos de uma sucessão an, podemos construir outra sucessão, procedendo da

seguinte forma:

s1 =a1

s2=a1+a2

s3=a1+a2+a3

.

.

.

sn=a1+a2+ … +an=∑=

n

iia

1

.

.

A esta sucessão, de termo geral sn, daremos o nome de sucessão das somas parciais.

Se a sucessão tiver infinitos termos, é chamada de série infinita ou simplesmente

série, podendo ser representada por ∑+∞

=1nna ou por ∑ na .

Diz-se que o termo geral da série ∑ na é an. Os limites inferior e superior do

símbolo somatório (Σ) são, respectivamente, n=1 e +∞. Sem perda de generalidade,

também se pode considerar que a série pode não começar em n=1, mas num outro

valor inteiro, tal como 0.

7

Como a sucessão das somas parcias, sn, pode ter ou não limite, diremos,

respectivamente, que a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente,

isto é, se existir nn

s+∞→

lim , diremos que ssnn

=+∞→

lim é a soma da série.

Exemplos:

1) Seja a série ∑+∞

=1nn =1+2+3+ … +n+ ….

Esta série é divergente, porque é impossível encontrar um limite finito para sn.

Note-se que os termos da sucessão que é termo geral da série, an=n, estão em

progressão aritmética de razão 1.

Numa progressão aritmética tem-se rnaan )1(1 −+= .

A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética de

razão r, cujo primeiro termo é a1, é dada por ( )nn aans += 12.

Como em relação à série dada se tem a1=1, r=1, então, sn, é dada por 2

)1( +nn .

Como, ∞=+

∞→ 2)1(lim nn

n, concluimos então que a série é divergente.

2) Seja a série ∑∞

= +1 )1(1

n nn. Vamos mostrar que esta série é convergente.

Comecemos por escrever sn:

)1(1

431

321

211

+++

⋅+

⋅+

⋅=

nnsn L

Esta expressão pode ser simplificada se decompusermos )1(

1+nn

na diferença de

duas fracções:

)1(1+nn

=1+

−n

bna . Desembaraçando de denominadores vem 1=a(n+1)-bn, ou

seja, 1=(a-b)n+a. Donde a=b=1.

Assim, )1(

1+nn

=1

11+

−nn

8

Então tem-se ∑∞

= +1 )1(1

n nn=∑

∞

=

+−

1 111

n nn

Donde,

+−+

−

−++

−+

−+

−=

1111

11

41

31

31

21

211

nnnnsn L =

111+

−n

Logo, s= 11

11limlim =

+−=

nsn

Portanto a série dada é convergente e ∑∞

= +1 )1(1

n nn=1

Todas as séries ∑∞

=1nna ,cujo termo geral ,an, se possa decompor na diferença de dois

termos gerais, tais que an=un-un+p, p∈Ν, são chamadas séries telescópicas,

redutíveis ou de Mengoli.

Tem-se então ∑∞

=1nna = ( )∑

∞

=+−

1npnn uu .

Mostra-se sn=u1-p un+p.

Assim, estas séries são convergentes se existir lim un+p (ou seja, se existir lim un,

pois o limite de uma sucessão, quando existe, é único). Caso não exista o limite, as

séries são divergentes.

Assim, a soma da série é s=u1-p lim un.

3) Seja a série ∑+∞

=1 21

nn = LLL +++++++++ n2

1641

321

161

81

41

21

Vamos mostrar que esta série é convergente e calcular a sua soma.

Comecemos por notar que o termo geral da série é uma progressão geométrica de

razão 1/2.

O termo geral de uma progressão geométrica de primeiro termo a1, de razão r é

an= 11

−⋅ nra .

Mostra-se que a soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão

geométrica, de primeiro termo a1 e razão r é, sn, dada por

rras

n

n −−

⋅=1

11 .

9

Se aplicarmos esta fórmula para calcular o termo geral da sucessão das somas

parciais da série dada, tem-se:

n

n

ns

−=

−

−

⋅=211

211

211

21

Atendendo a que

>∞

−=±=

<

=∞→

111

1110

lim

rserserserse

r n

n, tem-se

s= 101211limlim =−=

−=

n

ns .

Fica desta forma provado que a série dada é convergente e pode escrever-se

∑+∞

=1 21

nn =∑

+∞

=

1 21

n

n

=1.

De um modo geral, uma série da forma ∑∞

= pn

nr , ( 0Np ∈ , ℜ∈r ) é chamada série

geométrica.

Uma série geométrica é convergente se |r|<1 e a sua soma é rrs p

−⋅=1

1.

Se |r|≥1, a série é divergente.

Estas séries têm muitas aplicações, nomeadamente em Economia.

4) Seja a série ∑∞

=1

1n n

= L++++41

31

211 . Vamos mostrar que esta série, conhecida

como série harmónica, é divergente.

10

Vamos escrever alguns termos da sucessão das somas parciais:

11 =s

2112 +=s

221

41

41

211

41

31

2114 +=

+++>

+++=s

=

++++

+++>

++++

+++=

81

81

81

81

41

41

211

81

71

61

51

41

31

2118s

231

21

21

211 +=+++=

+++

+++

+++=

161

91

81

51

41

31

21116 LLs >

+++

+++

+++>

161

161

81

81

41

41

211 LL =

241

21

21

21

211 +=++++

De modo análogo, pode mostrar-se que 25132 +>s ,

26164 +>s e em geral

21

2

ns n +> . Logo, +∞=∞→

nsn

2lim .

Como ns2

é o termo geral de uma subsucessão de sn, então sn não tem limite e a

série harmónica é divergente.

As séries da forma ℜ∈∑+∞

=

αα ,11n n

são chamadas séries de Dirichlet. A série

harmónica é uma série de Dirichlet em que α=1.

Mostra-se que as séries de Dirichlet são convergentes para α>1 e divergentes para

α≤1.

Em resumo, até agora, estudámos 3 tipos particulares de séries:

As séries de Mengoli (redutíveis ou telescópicas)

As series geométricas

As séries de Dirichlet

Dada uma qualquer destas séries, sabemos dizer qual a sua natureza, isto é, se é

convergente ou divergente. Em relação às duas primeiras, caso sejam

convergentes, sabemos calcular as suas somas.

11

Vamos agora enunciar três teoremas importantes.

Teorema 1 - Critério geral de convergência

Se a série ∑ na for convergente, então 0lim =na .

A recíproca deste teorema não é verdadeira. Por exemplo, 01lim =n

e a série

harmónica é divergente.

Podemos utilizar este teorema para fazer o teste de divergência para várias séries.

Por exemplo, a série ∑∞

= +22

2

45n nn é divergente, porque 0

51

45lim 2

2

≠=+n

n .

Teorema 2 - A natureza de uma série não se altera se lhe modificarmos (suprimindo

ou acrescentando, por exemplo) um número finito de parcelas.

Demos já alguns exemplos de séries, cujo primeiro termo não correspondia a n=1.

Consideremos ainda o exemplo seguinte:

Prtende-se saber qual a natureza da série ∑+∞

=43

1n n

.

Comecemos por considerar a série de Dirichlet ∑+∞

=13

1n n

= ++++641

271

811 ∑

+∞

=43

1n n

.

Esta série é convergente (3>1). Assim, ∑+∞

=43

1n n

é convergente, pois as quatro primeiras

parcelas representam um número real.

Teorema 3 - Se ∑ na e ∑ nb forem séries convergentes, então também são

convergentes

∑ nca , em que c é uma constante real

( )∑ + nn ba

( )∑ − nn ba

12

e tem-se

∑ nca =c∑ na

( )∑ + nn ba =∑ na +∑ nb

( )∑ − nn ba =∑ na -∑ nb

Também se pode mostrar, por exemplo, que a soma de duas séries divergentes é uma

série divergente, que a soma de uma série convergente com uma divergenteé uma

série divergente.

Exemplo: Calcular a soma da série ( )∑∞

=

+

+1 21

13

nnnn

.

Pelo teorema 3, tem-se

( )∑∞

=

+

+1 21

13

nnnn

= ( )∑ ∑∞

=

∞

=

++1 1 2

11

3n n

nnn= ( )∑ ∑

∞

=

∞

=

++1 1 2

11

13n n

nnn

Como já vimos em exemplos anteriores as duas séries em que se decompôs a série

dada, ∑∞

= +1 )1(1

n nn e ∑

+∞

=1 21

nn são convergentes, sendo a soma de cada uma delas 1.

Assim, a soma de ( )∑∞

=

+

+1 21

13

nnnn

é s=3×1+1=4.

13

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Estude a natureza das seguintes séries

1.1. ∑+∞

=

−

0

12 32n

nn

Resolução:

Vamos mostrar que a série ∑+∞

=

−

0

12 32n

nn é uma série geométrica.

∑+∞

=

−

0

12 32n

nn =∑ ∑+∞

=

+∞

=−

=

0 01 3

4334

n n

n

n

n

. À parte a constante 3, que não afecta a natureza da

série, trata-se de uma série geométrica de razão 4/3>1. Logo, a série é divergente. 1.2. Escrever como um número fraccionário de termos inteiros o número 2,3(17).

Resolução:

Este número é uma dízima infinita periódica

2,3(17)=2,3171717 …= LL +++=+++ 53 1017

1017

102300017,0017,03,2 =

=

+++++ LL n220 10

110

110

1100017

1023 = ∑

∞

=

+

0

2

101

100017

1023

n

n

=

∑∞

=

+=

0 1001

100017

1023

n

n

Vamos calcular a soma da série n

n∑

∞

=

0 1001 . Como 1/100 <1, a série é convergente e

tem-se 99

100

10011

1100

1 0

=−

⋅

=s

Donde, 2,3(17)=495

114799

100100017

1023

=⋅+

14

1.3. Calcular, se possível, a soma da série ∑∞

= ++12 34

2n nn

.

Resolução:

∑∞

= ++12 34

2n nn

=2 ∑∞

= −++12 144

1n nn

=( )∑

∞

= −+12 12

12n n

= ( )( )∑∞

= ++−+1 121212

n nn=

= ( )( )∑∞

= ++1 3112

n nn.

Vamos mostrar que ( )( )∑∞

= ++1 311

n nn é uma série de Mengoli.

( )( ) 31311

+−

+=

++ nb

na

nn

Desembaraçando de denominadores, vem sucessivamente:

1=a(n+3)-b(n+1)

1=(a-b)n+3a-b

a-b=0 e 3a-b=1

Donde, a=b=1/2.

Assim, ( )( )∑∞

= ++1 311

n nn=∑

∞

=

+−

+1 32/1

12/1

n nn= ∑

∞

=

+−

+1 31

11

21

n nn

Fazendo 1

1+

=n

un , vem 3

12 +

=+ nun .

A soma de ∑∞

=

+−

+1 31

11

21

n nn é

41

11lim2

21

21

=

+−=

ns

A soma da série dada é

∑∞

= ++12 34

2n nn

= ( )( )∑∞

= ++1 3112

n nn=2. ∑

∞

=

+−

+1 31

11

21

n nn=

21

412 =⋅

15

1.4. Estudar a natureza da série ∑∞

=

+1 52ln

n nn .

Resolução:

Vamos começar por calcular o limite do termo geral.

021ln

52limln

52lnlim ≠=

+=

+ nn

nn

Como o limite do termo geral é diferente de 0, então a série é divergente.

2. Ache os valores de x para os quais convergem as seguintes séries. Se possível, para

esses valores de x calcule a soma de cada uma das séries.

2.1. ( )∑∞

=

−0

4n

nx 2.3. ( )∑∞

=

+

1 23

n

n

n

x

2.2. ∑∞

=0n

n xtg

2.4. ∑∞

=0

1n

nx

Resolução:

Todas as séries dadas são geométricas. Vamos escrevê-las na forma ∑ nr e

determinar a razão r de cada uma, determinando os valores de x para os quais o

módulo de r é menor que 1, para que as séries sejam convergentes.

Estas séries, cuja soma, quando existe, é função de x, são designadas por séries de

potências e desempenham um papel muito importante no Cálculo.

16

2.1. ( )∑∞

=

−0

4n

nx

A razão desta série é x-4. Donde para a série ser convergente tem que

sucessivamente verificar-se

53141

14

<<<−<−

<−

xx

x

Para os valores de x no intervalo ]3,5[, a soma da série é

( )xx

xs−

=+−

−=5

141

14 0

2.2. ∑∞

=0n

n xtg = ( )∑∞

=0n

ntgx

A razão desta série é tgx. Para a série ser convergente tem que ter-se tgx<1

ou -1<tgx<1. Tendo em atenção a função tgx, as condições verificam-se para

ππππ kxk +<<+−44

, k∈Ζ.

Para estes valores de x, a soma da série é

( )tgxtgx

tgxs−

=−

=1

11

10

2.3. ( )∑∞

=

+

1 23

n

n

n

x =∑∞

=

+

1 23

n

nx

A razão desta série é 2

3+x . Para que a série seja convergente tem que ter-se

12

3<

+x . Sucessivamente vem 15

23223

−<<−<+<−

<+

xx

x

Para os valores de x de ]-5,-1[, a soma da série é

13

231

12

3++

−=+

−⋅

+=

xx

xxs

17

2.4. ∑∞

=0

1n

nx=∑

∞

=

0

1n

n

x

A razão desta série é 1/x. Para a série ser convergente tem que ter-se 11<

x ou

x >1. Ou ainda x<-1 ou x>1. Para estes valores de x a soma da série é

111

11 0

−=

−

=

xx

xx

s .

3. As reservas mundiais de certo minério estimam-se em 1000 milhões de toneladas.

No ano de 2003, são consumidos 9 milhões de toneladas do minério em causa.

3.1. Supondo que o nível de consumo se mantém constante, quantos anos durará a

reserva?

3.2. Quantos anos durará a reserva, se o consumo aumentar 5% em cada ano?

3.3. Quantos anos durará a reserva, se o consumo diminuir 1% em cada ano?

Resolução: 3.1. Se as reservas de minério são 1000 milhões de toneladas e se o consumo for

de 9 milhões em cada ano, então o número de anos que a reserva deverá durar,

obtém-se calculando 1119

1000≈ . Assim, a reserva durará cerca de 111 anos.

3.2. Vejamos o seguinte quadro em que se registam os anos de consumo e os

respectivos consumos (em milhões de toneladas).

1º ano 9

2º ano 05,19905,09 ×=×+

3º ano ( ) 205,1905,1905,005,19 ×=××+×

4º ano ( ) 322 05,1905,1905,005,19 ×=××+×

n-ésimo

ano

105,19 −× n

18

A reserva esgotar-se-á quando o consumo total for igual a 1000 milhões de

toneladas, isto é, ao fim de n anos em que 105,19 −× n =1000. Por tentativas,

chega-se a n=38 (aproximadamente).

3.3. Vamos fazer um quadro idêntico ao anterior, mas tendo em conta a diminuição

do consum em 1% em cada ano.

1º ano 9

2º ano 99,09901,09 ×=×−

3º ano 299,0999,0901,099,09 ×=××−×

4º ano 399,09 ×

n-ésimo

ano

199,09 −× n

Para que a reserva se esgotasse teria que acontecer 199,09 −× n =1000. Ou seja,

11010099

=

n

, o que é impossível. Assim, a reserva nunca se esgota.

4. Determinada autarquia constrói anualmente 200 casas e, também em cada ano,

consegue vender 3/4 delas, ficando as restantes disponíveis.

Supondo que os ritmos de construção e de venda se mantêm constantes, qual será a

tendência do mercado imobiliário, a longo prazo?

Resolução:

À semelhança do problema anterior vamos construir um quadro em que indicamos

o número de anos de construção e o número de casas construídas em cada um

desses anos.

19

1º ano 200

2º ano

+=+

411200200

41200

3º ano

++=

++

2

41

411200

411200

41200

n-ésimo ano ∑

=

−−

=

++

++

n

i

in

1

112

41200

41

41

411200 L

Como se pretende calcular a tendência do mercado a longo prazo, vamos supor que

n tende para infinito. Ou seja, vamos estudar a série ∑∞

=

−

1

1

41200

n

n

.

Como se vê facilmente a série é uma série geométrica e tem-se

∑∞

=

−

1

1

41200

n

n

= ∑∞

=

×

1 414200

n

n

= 266

411

1414200 ≈

−××× .

A longo prazo a autarquia deverá ter para vender cerca de 266 casas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Seja 13

2+

=n

nan .

Verifique:

1.1. se an é convergente;

1.2. se ∑∞

=1nna é convergente.

20

2. Estude a convergência das seguintes séries e, se possível, calcule as suas somas:

2.1. ∑∞

=

−

1

1

325

n

n

2.2. ( )∑∞

=

−−

1

1

43

nn

n

2.3. ∑∞

=

−−

1

183n

nn

2.4. ∑∞

= +1 5n nn

2.5. ∑∞

= +1 )2(1

n nn

2.7. ∑∞

= +1 1ln

n nn

2.6. ( ) ( )( )∑∞

=

+1

2,01,02n

nn

2.8. ∑∞

=

+

1 623

nn

nn

3. Calcule os valores de x para os quais as séries seguintes são convergentes. Calcule

a soma de cada série para esses valores de x:

3.1. ∑∞

=1 3nn

nx

3.2. ∑∞

=14

n

nn x

3.3. ∑∞

=1

1n

nx

21

RESPOSTAS:

Abreviaturas D=divergente; C=convergente; s=soma 1.

1.1. C

1.2. D

2.

2.1. C; s=15

2.2. C; s=1/7

2.3. D

2.4. D

2.5. C; s=3/4

2.6. C; s=17/36

2.7. D

2.8. C; s=3/2

3.

3.1. -3<x<3; s=x/(3-x)

3.2. -1/4<x<1/4; s=1/(1-4x)

3.3. |x|>1; s=x/(x-1)

22

TESTES FORMATIVOS E RESOLUÇÃO

23

TESTE FORMATIVO Nº 1 1. Ache o domínio das funções seguintes e justifique por que são contínuas em

todos os pontos dos seus domínios:

1.1. 2252)( tttf −+=

1.3. ( )1)( 2 −= xarcsenxF

1.2. 1

)(+

=x

xsenxh

1.4. ( )xexH cos)( =

Resolução:

1.1. Df={x∈ℜ: 25-t2≥0}=[-5,5]

Esta função é contínua em Df, porque é a soma de uma função polinomial com

uma racional. Sabe-se que são contínuas todas as funções polinomiais para

qualquer x real e são também contínuas as funções racionais nos seus domínios.

1.2. Dh={x∈ℜ: x≠-1}

Esta função é contínua em Dg, porque é o quociente entre sen x, uma função

contínua em ℜ, e uma função polinomial, que é também contínua em ℜ.

1.3. DF={x∈ℜ: -1≤x2-1≤1}={x∈ℜ: 0≤x2≤2}

Resolvendo a inequação x2≤2, vem sucessivamente:

x2≤2 ⇔ x2-2≤0

x2-2 é, graficamente, uma parábola virada para cima, cujos zeros são 2± . Assim,

x2-2≤0 para os valores de x tais que 2− ≤x≤ 2 .

Donde, DF= [ ]2,2−

A função F(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é a função

composta da função contínua arcsen u, com u=x2-1, uma função contínua, por ser

uma função polinomial.

24

1.4. DH={x∈ℜ: x≥0}

A função H(x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, porque é uma

função composta de funções contínuas.

2. Quais das funções seguintes são prolongáveis por continuidade em a?

2.1. 2

82)(2

+−−

=x

xxxf , a=-2

2.3. 464)(

3

++

=x

xxf , a=-4

2.2. 77)(

−−

=xxxf , a=7

2.4. xxxf

−−

=9

3)( , a=9

Resolução:

Uma função f diz-se prolongável por continuidade num ponto a (ou, tem uma

descontinuidade removível em a), se existir )(lim xfax→

.

A função

=≠

=→

axsexfaxsexf

xgax

)(lim)(

)( diz-se um prolongamento por continuidade

de f(x).

Assim, para cada uma das funções dadas, contínuas em todos os pontos, excepto

em x=a, vamos ver se existe )(lim xfax→

. Note-se que a não pertence ao domínio de

cada uma das funções dadas, f(x), e que )(lim xfax→

=00 . Vamos ter que, para cada

caso, levantar a indeterminação.

2.1. Vamos começar por decompor x2-2x-8 em factores:

x2-2x-8=0 ⇔ 2

622

3242 ±=

+±=x ⇔ x=-2 ∨ x=4

Assim, ( )( ) 62

42lim2

82lim2

2

2−=

+−+

=+

−−−→−→ x

xxx

xxxx

Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-2.

25

2.2. Atendendo a que

<−−≥−−

=−077077

7xsexxsex

x , tem-se

<−≥

=7171

)(xsexse

xf

Assim, 1)(lim7

=+→

xfx

e 1)(lim7

−=−→

xfx

.

Como não existe o limite de f(x) em a=7, f não é prolongável por continuidade

nesse ponto.

2.3. Vamos começar por decompor x3+64 em factores:

Como x=-4 é um zero de x3+64, pela regra de Ruffini vem:

1 0 0 64

-4 -4 16 -16

1 -4 16 0

Assim, x3+64=(x+4) (x2-4x+16)

Pela fórmula resolvente, podemos constatar que x2-4x+16 não tem raízes reais.

Assim, ( )( ) 964

1644lim464lim

2

4

3

4=

++−+

=++

−→−→ xxxx

xx

xx

Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=-4.

2.4. Vamos começar por fazer a substituição seguinte: tx = . Donde, x=t2.

Quando x→9, t→3 e tem-se:

( )( ) 61

333lim

93lim

93lim

32

39=

+−−

=−−

=−

−→→→ tt

ttt

xx

ttx

Logo, f(x) é prolongável por continuidade em a=9.

3. Prove que as equações seguintes têm pelo menos uma raiz real:

3.1. x5-x2+2x+3=0

3.2. 3

15+

=−x

x

26

Resolução:

A resolução destes exercícios baseia-se no teorema do valor intermédio (ou

teorema de Bolzano). (manual, pag. 129)

3.1. Seja f(x)=x5-x2+2x+3. Esta função está nas condições do teorema de Bolzano

em ]-∞,+∞[, porque Df=ℜ e f é contínua em ℜ. Tem-se também que

( ) −∞=++−−∞→

32lim 25 xxxx

e ( ) +∞=++−+∞→

32lim 25 xxxx

Então, existe um intervalo fechado [a,b] (a<b), tal que f(a)<0 e f(b)>0. Pelo

teorema do valor intermédio, fazendo N=0, existe pelo menos um c, a<c<b, tal

que f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.

3.2. Seja 3

15)(+

−−=x

xxf .

Comecemos por calcular o domínio de f:

Df={x∈ℜ: x-5≥0 ∧ x≠-3}=[5,+∞[.

Em x=5, tem-se f(5)=-1/8. Por outro lado, +∞=+∞→

)(lim xfx

.

Como f(x) é contínua em todos os pontos de Df, então existe um intervalo

fechado, tal como [5,b], em que f(5)<0 e f(b)>0. Logo, f está nas condições do

teorema de Bolzano. Fazendo N=0, existe pelo menos um c, 5<c<b, tal que

f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.

4. A função custo para uma certa mercadoria é

C(x)=84+0,16x-0,0006x2+0,000003x3

4.1. Calcule e interprete C’(100).

4.2. Compare C’(100) com o custo de produzir o 101º artigo.

4.3. Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de C(x) em x=100.

4.4. Calcule o valor de x para o qual C tem um ponto de inflexão. O que

significa esse valor?

4.5. Faça o gráfico da função custo.

27

Resolução:

4.1. Se C(x) é a função custo de uma mercadoria, C’(x) é o custo marginal, isto é, a

taxa de variação instantânea da variação do custo em relação ao número de

unidades produzidas:

custo marginal = )(lim0

xCdxdC

xC

x′==

∆∆

→∆

Para a função custo dada, tem-se:

C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2

Donde, C’(100)=0,13. Se o número de unidades produzida for 100, a taxa de

variação de C(x) é 0,13.

4.2. Fazendo ∆x=1 e se x for muito grande comparado com ∆x, então tem-se

C’(x)≈C(x+1)-C(x).

Ou seja, o custo marginal de produção de x unidades é aproximadamente igual ao

custo de produção de mais uma unidade.

Para a função custo dada, tem-se, como já vimos, C’(100)=0,13.

Atendendo à expressão da função custo tem-se C(101)=97,130303 e C(100)=97.

Vem então, C(101)-C(100)=0,130303≈ C’(100)

Tendo produzido 100 artigos, produzir o 101º é aproximadamente igual à taxa de

variação do custo em relação ao número de unidades, isto é, C’(100).

4.3. A equação da recta tangente em x=100 é dada por

y=C(100)+C’(100) (x-100)

ou y=97+0,13(x-100)

ou y=0,13x-84

4.4. O ponto de inflexão de C(x) é o zero da sua 2ª derivada.

Sendo C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2, tem-se C’’(x)=-0,0012+0,000018x

Donde, C’’(x)=-0,0012+0,000018x=12×10-4+18×10-6x=0. Vem x=200/3≈67.

28

Vamos agora verificar que a função C tem um ponto de inflexão em x=200/3≈67,

atendendo ao sinal de C’’(x):

0 200/3 +∞

C’’(x) - 0 +

C(x)

Quando C’’(x)<0, C’(x) é decrescente, quando C’’(x)>0, C’(x) é crescente. Ou seja, o

custo marginal começa por decrescer até ao ponto de inflexão, (67,C(67)), começando

a crescer a partir desse valor.

4.5. A função custo dada é uma função polinomial de grau 3. Como só faz sentido ter-

se x≥0, tem-se que o domínio de C(x) é o conjunto dos valores de x, tais que x≥0.

Vamos agora calcular o limite de C(x) quando x tende para infinito:

+∞=+∞→

)(lim xCx

Em seguida, vamos estudar a monotonia de C(x) e pesquisar a existência de

extremos.

Atendendo a que C’(x)=0,16-0,0012x+0,000009x2=-16×10-2-12×10-4x+9×10-6x2,

pode verificar-se que C’(x) não tem zeros:

6

884

101810576101441012

−

−−−

××−×±×

=x

Como C’(x) é graficamente uma parábola virada para cima, então C’(x)>0, para

todo o x. Assim, C(x) é sempre crescente.

Por último, atendendo ao estudo da concavidade feito em 4.4. e ao ponto de

inflexão aí calculado, graficamente C(x) é da forma:

y

84

0 66,7 x

(66,7≈67)

29

5. Se y=f(u) e u=g(x), onde f e g são funções três vezes diferenciáveis, mostre que

2

22

2

2

2

2

dxud

dudy

dxdu

duyd

dxyd

⋅+

=

Deduza uma fórmula idêntica para 3

3

dxyd .

Resolução:

Comecemos por formar a função composta seguinte:

x u=g(x) y=f(u)

g f

h=fog

Pela regra da derivada da função composta vem:

dxdu

dudy

dxdy

×=

Para calcular 2

2

dxyd , vamos começar por designar

dudy por i(u) e construir de modo

idêntico a função composta seguinte:

x u=g(x) z=i(u)

g i

j=iog

Atendendo a que 2

2

dxyd

dxdz

= , vem:

=×+×

×=×+×

=

= 2

2

2

2

2

2

2

2

dxud

dudy

dxdu

dxdu

duyd

dxud

dudy

dxdu

dudy

dxd

dxdy

dxd

dxyd

= 2

22

2

2

dxud

dudy

dxdu

duyd

×+

×

Vamos proceder de forma idêntica para calcular 3

3

dxyd .

30

3

3

dxyd =

=×+×

+

×

+

×

=

3

3

2

22

2

22

2

2

2

2

dxud

dudy

dxud

dudy

dxd

dxdu

dxd

dxyd

dxdu

dxyd

dxd

dxyd

dxd

= 3

3

2

2

2

2

2

2

2

22

3

3

2dx

uddudy

dxud

dxdu

duyd

dxdu

dxud

duyd

dxdu

dxdu

duyd

×+⋅×+⋅×+

× =

= 3

3

2

23

3

3

3dx

uddudy

dxdu

duyd

dxdu

duyd

×+⋅⋅+

×

6. Calcule, caso existam, os seguintes limites, utilizando a regra de L’Hôpital, se

necessário:

6.1. senx

tgxxx

+→0

lim

6.7. ( )tgx

xsenx

+→0lim

6.2. x

xx

lnlnlim∞→

6.8. bx

x xa

+

∞→1lim

6.3. )0(11lim

1≠

−−

→b

xx

b

a

x

6.9. x

xx ln1

2ln

lim +

∞→

6.4. xtgxxsenx

x1

1

0 22lim −

−

→ +−

6.10. xx

x

3cos7seclim

2

⋅−

→π

6.5. 3

2

0

21

limx

xxe x

x

−−−

→

6.11. ( )xxxx

x−−++

+∞→

22 1lim

6.6. ( )xex x

x−⋅

∞→

/1lim

31

Resolução:

6.1. senx

tgxxx

+→0

lim =00

1º Processo:

senxtgxx

x

+→0

lim = 211coslimlim00

=+=+→→ senx

xsenx

senxx

xx

2º Processo:

Utilizando a regra de L’Hôpital, tem-se:

senxtgxx

x

+→0

lim = 21

11cossec1lim

2

0=

+=

+→ x

xx

6.2. x

xx

lnlnlim∞→

=∞∞

Pela regra de L’Hôpital, vem:

xx

x

lnlnlim∞→

= 01ln1

lim =∞→

xxx

6.3. )0(11lim

1≠

−−

→b

xx

b

a

x

Pela regra de L’Hôpital, vem:

bax

ba

bxax

xx ba

xb

a

xb

a

x===

−− −

→−

−

→→ 11

1

11limlim

11lim

6.4. xtgxxsenx

x1

1

0 22lim −

−

→ +−

É de notar que sen-1x e tg-1x são as funções trigonométricas inversas,

respectivamente, de senx e tgx. Podem ser escritas como, respectivamente,

arcsenx e arctgx.

32

Assim, xtgxxsenx

x1

1

0 22lim −

−

→ +− =

00 .

Tem-se xtgxxsenx

x1

1

0 22lim −

−

→ +− = 1

1212

2

2lim

22lim

00=

−−

=−

−=

−−

→→

xarctgx

xarcsenx

arctgxxarcsenxx

xx

6.5. 3

2

0

21

limx

xxe x

x

−−−

→=

00

Pela regra de L’Hôpital, vem:

3

2

0

21

limx

xxe x

x

−−−

→= 2

0 31limx

xe x

x

−−→

=611lim

61

61lim

00=

−=

−→→ x

ex

e x

x

x

x

6.6. ( )xex x

x−⋅

∞→

/1lim = ( ) 11

1lim1lim/1

0/1

/1 =−

=−→+∞→

x

eexx

x

x

x

6.7. ( )tgx

xsenx

+→0lim =00

Sabe-se que sen xtgx=e tgx ln(senx)=( )

gxsenx

e cotln

.

Assim, ( )tgx

xsenx

+→0lim =

( ) ( )∞∞

→== +→

+eee gx

senxgx

senx

x

x cotlnlim

cotln

0

0lim

Pela regra de L’Hôpital, vem:

( ) 0coslim1

cos

limcot

lnlim0

200

=−=−

=+++ →→→

xsenx

xsen

senxx

gxsenx

xxx

Donde, ( ) ( )

1lim 0cotlnlim

cotln

0

0 === +→

+→eee gx

senxgx

senx

x

x

33

6.8. bx

x xa

+

∞→1lim =1∞

Atendendo a que bx

x xa

+

∞→1lim =

bx

x xa

+

∞→1lim .

Como ax

xe

xa

=

+

∞→1lim , então

bx

x xa

+

∞→1lim = abe

6.9. x

xx ln1

2ln

lim +

∞→=∞0

Vamos proceder de forma idêntica à da alínea 6.7.:

x

xx ln1

2ln

lim +

∞→= x

xx

x

x

xee ln1lnlim2lnln

ln12ln

lim +⋅

+

+∞→

+∞→=

Pela regra de L’Hôpital, vem:

11

1

limln1

lnlim ==+ +∞→+∞→

x

xx

xxx

Assim, x

xx ln1

2ln

lim +

∞→= 22ln =e

6.10. xxx

3cos7seclim

2

⋅−

→π

=00

7cos3coslim

2

=−

→xx

x π

Pela regra de L’Hôpital, vem:

=−

→xx

x7cos3coslim

2π 7

37733lim

2

=−−

−

→xsenxsen

x π

34

6.11. ( )xxxxx

−−+++∞→

22 1lim =∞-∞

Multiplicando e dividindo a expressão ( )xxxx −−++ 22 1 pelo seu

conjugado, vem:

( )xxxxx

−−+++∞→

22 1lim =

xxxxx

xxxxxxxx

xx −+++

+=

−+++

+−+++∞→+∞→ 2222

22

112lim

11lim =

122lim2lim

22==

+ +∞→+∞→ xx

xxx

xx

7.

7.1. Mostre que a equação

+−

2cos23 xx π =0 tem exactamente uma raiz real.

7.2. Prove a identidade 2

211 π

−=+− xarctg

xxarcsen .

7.3. Prove a desigualdade babsenasen −≤− para todo a e b.

Resolução:

A resolução destes exercícios baseia-se nos teoremas do valor intermédio (ou teorema

de Bolzano), de Rolle e do valor médio (ou teorema de Lagrange) e corolários.

(manual, pags. 129, 288, 289)

7.1. Seja

+−=

2cos23)( xxxf π

Esta função é contínua e diferenciável em ℜ e tem-se: f(1)=1 e f(0)=-1.

Pelo teorema de Bolzano, f tem pelo menos uma raiz real em ]0,1[. Vamos

mostrar que f não pode ter mais que um zero nesse intervalo nem noutro

qualquer.

Por absurdo, vamos supor que f tem 2 zeros ]0,1[. Sejam a e b esses zeros. Então,

f(a)=f(b)=0. Pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um número c, c∈]a,b[, tal

que f’(c)=0.

35

Vamos agora calcular f ’(x):

−=′ xsenxf

223)( ππ

Sabemos que para todo o x se tem:

12

1 ≤

≤− xsen π

2222ππππ

≤

≤− xsen

2222ππππ

≤

−≤− xsen

23

223

23 ππππ

+≤

−≤− xsen

Como 02

3 >−π , então f’(x)>0. Logo, não existe nenhum c, c∈]a,b[, tal que

f’(c)=0.

Também como f’(x)>0, f(x) é uma função crescente em ℜ, pelo que o zero de

f(x) tem que estar num intervalo [x1,x2]⊆[0,1].

Fica deste modo provado que a equação dada tem exactamente uma raiz real.

7.2. Seja 2

211)( π

+−+−

= xarctgxxarcsenxf

Comecemos por calcular Df:

Df=

≥∧≤

+−

≤− 01111: x

xxx

1111

111

111 −≥

+−

∧≤+−

⇔≤+−

≤−xx

xx

xx

101

201

1101111

11

−>⇔≤+

−⇔≤+

−−−⇔≤−

+−

⇔≤+− x

xxxx

xx

xx

01

201

1101111

11

≥+

⇔≥+

++−⇔≥+

+−

⇔−≥+−

xx

xxx

xx

xx

36

Atendendo a que se tem que ter x≥0, então conjugando esta condição com as

anteriores, vem Df=[0,+∞[.

Vamos agora calcular f’(x):

( )

( ) ( ) ( )( )

0)1(

1

1111

212

1

2

111

12

)(

2

222

2

2

==+

−

+−−+

+

=+

⋅−

+−

−

+=′ L

xx

xxxx

xx

xx

xxf

Por um corolário do teorema de Lagrange, sabemos que se f’(x)=0 para todo o x

do domínio de f, então f(x)=C, em que C é uma constante. Vamos mostrar que

C=0.

Por exemplo, fazendo x=1 obtém-se

024

202

120)1( =+−=+−=πππarctgarcsenf .

Logo, C=0. Fica deste modo provada a identidade para todo o x do domínio de f.

7.3. Para provar a desigualdade babsenasen −≤− para todo o a e b, vamos usar o

teorema do valor médio (ou teorema de Lagrange).

Seja f(x)=sen x.

f é contínua em ℜ, logo é contínua num intervalo fechado qualquer [a,b]. (Sem

perda de generalidade, vamos supor que a<b).

f é diferenciável em ℜ, logo é diferenciável no intervalo ]a,b[.

Pelo teorema do valor médio, existe pelo menos um c∈]a,b[, tal que

abafbfcf

−−

=′ )()()( , a<c<b.

Ou seja, como f’(x)=cos x, então ab

asenbsenc−−

=cos .

Como 0≤|cos c|≤1, tem-se

1cos ≤−−

=ab

asenbsenc ou abasenbsen −≤− ou babsenasen −≤− .

Fica deste modo provada a desigualdade dada.

37

8. Faça o estudo e faça o esboço do gráfico da função f(x)=x+2arctg x.

Resolução:

Para fazer o estudo e esboçar o gráfico de uma função f vamos proceder da seguinte

forma:

- calcular do domínio

- pesquisar a existência de assímptotas

- calcular os pontos de intersecção com o eixo dos xx’ (zeros de f) e com o eixo

dos yy’

- estudar a monotonia e extremos (máximos e/ou mínimos relativos)

- estudar a concavidade e pontos de inflexão

- fazer o esboço do gráfico

O esboço do gráfico pode ser feito à medida que se vão obtendo resultados.

Assim, para f(x)=x+2arctg x, vem:

Atendendo a que arctg x, graficamente é:

y

π/2

0 x

π/2

1º - Domínio: Df=ℜ

2º - Assímptotas:

A função f não tem assímptotas verticais.

Vamos pesquisar a existência de assímptotas horizontais:

( ) +∞=++∞→

xarctgxx

2lim e ( ) −∞=+−∞→

xarctgxx

2lim

Como f não tem assímptotas horizontais, vamos ver se tem assímptotas oblíquas:

38

( ) ππ=⋅=⋅−+=

=+=+=+

=

+∞→

+∞→+∞→

2212lim

101lim212lim

xxarctgxb

xxarctg

xxarctgxm

x

xx

Donde, quando x tende para +∞, a função f tem assímptota horizontal de equação

y=x+π.

( ) ππ−=

−⋅=⋅−+=

=+=+=+

=

−∞→

−∞→−∞→

2212lim

101lim212lim

xxarctgxb

xxarctg

xxarctgxm

x

xx

Donde, quando x tende para -∞, a função f tem assímptota horizontal de equação

y=x-π.

Graficamente tem-se:

y

0 x

3º - Intersecção com os eixos coordenados

• Zeros:

x+2 arctg x=0 ⇔ x=0 (poder-se-ia mostrar que f não tem mais nenhum zero,

recorrendo aos teoremas de Bolzano e Rolle).

• Intersecção com o eixo yy’:

f(0)=0

4º - Monotonia; extremos

01

121)( 2 >+

+=′x

xf

Como f’(x)>0 para todo o x real, f(x) é sempre crescente e não tem extremos.

39

Assim, graficamente, tem-se:

y

0 x

5º - Concavidade; pontos de inflexão

Atendendo a que ( ) 122 121

1121)( −

++=+

+=′ xx

xf , vem

( )( )

001

4122)( 22

22 =⇔=+

−=+⋅⋅−=′′ − xxxxxxf

Vamos agora estudar o sinal de f’’ (x):

Se x<0, f’’ (x)>0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para cima.

Se x>0, f’’ (x)<0. Logo, f(x) tem a concavidade virada para baixo.

Assim, f tem um ponto de inflexão em x=0, com f(0)=0.

Então, o gráfico de f é:

y

0 x

40

TESTE FORMATIVO Nº 2

1. Calcule um valor aproximado de 5 33 , usando uma aproximação linear.

Resolução:

Calcular um valor aproximado de 5 33 , com recurso a uma aproximação linear, é o

mesmo que usar a noção de diferencial de uma função f(x) num ponto a.

Consideremos a função 5)( xxf = , cuja derivada é 5 451)(x

xf =′ e

consideremos o valor da função em a=32, isto é, 232)32()( 5 === faf .

Assim, usando o conceito de diferencial, tem-se: f(33)≈f(32)+f’ (32) (33-32).

Então

5 455

32513233 +≈ ou

8012335 +≈ ou 0125,2335 ≈

2. Determine a expressão de uma função f que verifique as seguintes condições:

2.1. f’(x)=x3-3x2+1 , f(1)=2

2.2. f’’(x)=sen(2x) , π

π 14

=

′f , 1

4=

πf

Resolução:

2.1. f’(x)=x3-3x2+1 , f(1)=2

A função f(x) é uma primitiva (ou antiderivada) de f'(x).

Vamos usar a notação )(xPg equivalente à notação ∫ dxxg )( .

f(x)= ( ) CxxxxxP ++−=+− 34

23

413

Atendendo a que f(1)=2, tem-se 21141)1( =++−= Cf . Donde, C=

47 .

Assim, 47

4)( 3

4

++−= xxxxf

41

2.2. f’’(x)=sen(2x) , π

π 14

=

′f , 1

4=

πf

( ) ( ) 11 2cos212)( CxCxsenPxf +−=+=′

Atendendo a que π

π 14

=

′f , tem-se

πππ 102

cos21

4 11 =+=+−=

′ CCf .

Assim, ( )π12cos

21)( +−=′ xxf .

( ) ( ) 212

4112cos

21)( CxxsenxPxf ++−=

+−=

ππ

Atendendo a que 14

=

πf , tem-se

141

41

41

241

4 222 ==++−=+⋅+−=

CCCsenf π

πππ

Donde, ( ) 11241)( ++−= xxsenxf

π

3. Determine, dentro de intervalos contidos nos respectivos domínios, as

expressões gerais das primitivas das funções definidas por:

3.1. 38

52 +xx

3.4. 2793 23

3

−+− xxxx

3.2. ( )221

1x+

3.5. ( )36ln 2 ++ xx

3.3. xgxtg

cot1+

3.6. ( )43

1xxx +

42

Resolução:

3.1. P38

52 +xx = ( ) Cx

xxP ++=+

38ln165

3816

165 2

2

3.2.

P( )221

1x+

( ) ( ) ( )( ) { ( )

43421vuxxxParctgxxxxParctgx

xxP

xxP

xxxP

′

−−+−=+−=

+−

+

+=

+

−+=

222222

2

22

2

22

22

12211

111

11

Vamos resolver à parte a primitiva, atendendo a: Pu v’=uv-Pu’ v

Sendo:

=′=

1uxu

( )

( )

+−=

−+

=

+=′−

−

2

12

22

11

11

12

xxv

xxv

vem

P ( )221

1x+

= Cxarctgx

xarctgxx

Px

xarctgx +

−

+−=

++

+⋅−− 222 12

11

11

121

3.3. Pxgxtg

cot1+ =

= ( ) ( ) ( ) CxxtgxxPxxsenPxPtgxPtgxtgxPtg +−+−=−+=+=+ cosln1sec

cos1 22

43

3.4. P2793 23

3

−+− xxxx

A função a primitivar é uma fracção racional, em que o grau do numerador é igual ao

do denominador. Vamos começar por dividir o numerador pelo numerador, para

depois decompor o denominador em factores.

x3 x3 -3x2 +9x -27

-x3 +3x2 -9x +27 1

3x2 -9x +27

Assim,

2793 23

3

−+− xxxx =1+

27932793

23

2

−−−+−xxx

xx =1+3 2793

9323

2

−−−+−xxx

xx

Atendendo a que x=3 é uma raiz do denominador, pela regra de Ruffini, vem

1 -3 9 -27

3 3 0 27

1 0 9 0

Donde

1+3 2793

9323

2

−−−+−xxx

xx =1+3 ( )( )9393

2

2

+−+−

xxxx

( )( )( ) ( )39

939393

2

22

2

−+

++

+−

=+−

+−

xxx

cbxx

axxxx

( ) ( )( )3993 22 −+++=+− xcbxxaxx

Fazendo x=3, vem a=1/2. Substituindo este valor encontrado para a na igualdade

anterior, vem

( ) cxbcxbxx 3329

2193 22 −−++

+=+−

44

Donde,

211

21

=⇒=+ bb

393 −=⇒=− cc

Assim, P ( )( )

+−

+−+

939331 2

2

xxxx =P1+3P ( )( )93

932

2

+−+−

xxxx =x+3P

+

−+

− 9

321

321

2x

x

x=

=x+3

+

⋅−+

⋅+−

13

9

31

339

2221

31

21

22x

Px

xPx

P =

=x+ ( ) Cxarctgxx +

−++−

39ln3ln

23 2

3.5. P ( )36ln 2 ++ xx = P 1⋅ ( )36ln 2 ++ xx

Vamos fazer esta primitiva por partes, fazendo u= ( )36ln 2 ++ xx e v'=1.

Assim, tem-se:

( )( )

+=

++

′++

=′

++=

91

99

9ln

22

2

2

xxxxxu

xxu

==′

xvv 1

Donde

P1⋅ ( )36ln 2 ++ xx = ( )36

136ln2

2

+⋅−++

xPxxxx =

( ) ( ) 2/122 3622136ln −

+⋅−++= xxPxxx ( ) ( ) Cxxxx ++

−++=

2136

2136ln

2/122 =

( ) Cxxxx ++−++= 3636ln 22

45

3.6. P ( )43

1xxx +

Vamos fazer esta primitiva por substituição:

1112

12

12txtxtx

=′⇒=

= (12=m.m.c.(2,3,4))

P ( )43

1xxx +

=P ( ) ( ) 112

112121 2

9

1111

346 +=

+=⋅

+ ttP

tttPt

ttt

t2

-t2 -t t + 1

-t t - 1

t +1

1

++−=

+ 11112

112

2

ttP

ttP = ( ) ( ) CxxxCttt

+++−=+

++− 1ln61ln

212 12126

2

4. Calcule a área da região do plano limitada por

34,2 2 ≤≤−−≤ yxx

Resolução:

Vamos começar por representar a região dada, atendendo às equações dadas.

222 ≤≤−⇔≤ xx

444 22222 =+⇔=−⇔=−− yxyxyx

A equação x2+y2=4 representa graficamente uma equação de centro na origem e

raio 2. A circunferência tem dois ramos de equações 24 xy −−= e 24 xy −=

Assim, tem-se:

444 22222 ≤+⇔≥−⇔≤−− yxyxyx

46

A região cuja área se pretende calcular é a região a tracejado representada na

figura:

y

3

2

-2 0 2 x

-2

A área é dada por:

( )∫−

−+2

2

243 dxx

Para calcular o valor deste integral, vamos aplicar a parte 2 do teorema

fundamental do cálculo (ou fórmula de Barrow). Temos então que começar por

calcular uma primitiva da função integranda.

( ) 22 4343 xPxxP −+=−+

Para calcularmos 24 xP − teremos que recorrer a uma substituição

trigonométrica:

x 2

t

24 x−

sentxxsent 22

=⇒=

2xarcsent =

tx cos2=′

txxt cos242

4cos 22

=−⇒−

=

47

24 xP − = ttPttP coscos4cos2cos2 =⋅

Vamos fazer ttP coscos por partes.

−=′=

sentutu cos

==′

sentvtv cos

ttP coscos = ( ) tPttsenttPtsenttPsentsent 222 coscoscos1coscos −+=−+=+

Donde

( )ttsenttPttsenttP +=⇒+= cos21coscoscos2 22

ttsenttP += cos2cos4 2

224 2 xarcsenxx +

−=

24 xP −22

4 2 xarcsenxx +−

=

Donde

( )∫−

−+2

2

243 dxx =2

2

2

2243

−

+

−+

xarcsenxxx =

ππ+=⋅+=−−++++= 12

2212)1(06106 arcsenarcsen

5. De um modo geral, desiganam-se por integrais indefinidos os integrais da

forma

∫)(

)(

)(xb

xa

dttf .

5.1. Se a(x) e b(x) forem funções diferenciáveis e f(t) for contínua para todo o

x, prove que ′

∫

)(

)(

)(xb

xa

dttf = ( )( ) ( )( ) )()( xaxafxbxbf ′⋅−′⋅ .

5.2. Use 5.1. para calcular:

5.2.1.

⋅∫ dt

ttsene

dxd x

x

t2

3

2

48

5.2.2. dtduudxd x sent

∫ ∫

+

0 1

42

2

1

Resolução:

5.1. Para mostrar que ′

∫

)(

)(

)(xb

xa

dttf = ( )( ) ( )( ) )()( xaxafxbxbf ′⋅−′⋅ , vamos supor que

F(t) é uma primitiva de f(t). Atendendo a que ′

∫

)(

)(

)(xb

xa

dttf = [ ]( )′)()()( xb

xatF e pela

regra da derivada da função composta, vem

[ ]( )′)()()( xb

xatF ( ) ( )( ) ( ) ( ) )()()()()()( xaxafxbxbfxaFxbF ′⋅−′⋅=′−= , como

queríamos mostrar.

5.2. tendendo-se a 5.1., tem-se:

5.2.1.

⋅∫ dt

ttsene

dxd x

x

t2

3

2

=

=xxsene

xxsenex

xxsenex

xxsenedt

ttsene xxxx

x

x

t64

23

6

2

423232

2

3

3232 ⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅=

′

⋅∫

5.2.2. dtduudxd x sent

∫ ∫

+

0 1

42

2

1

Seja ∫ +=sent

duutf1

41)( . Vamos começar por calcular

∫x

dttfdxd

0

)( :

∫x

dttfdxd

0

)( = )(xf = ∫ +senx

duu1

41

Então, dtduudxd x sent

∫ ∫

+

0 1

42

2

1 = xxsenduudxdxf

senx

cos11)( 4

1

4 ⋅+=

+=′ ∫

49

6. Calcule o valor dos seguintes integrais, sempre que possível:

6.1. ( )∫

+∞

+22/33

1 dxx

6.5. dxe x∫+∞

∞−

−

6.2. dxsenx

x∫

4/

0

cosπ

6.6. ( )

dxxx∫

+∞

+0 11

6.3. ∫2

0

2 ln dzzz

6.7. dxx

e x

∫1

0

6.4. dxx

x∫ −

−2

0 323

6.8. ∫+∞

∞−

dxx2cos

Resolução:

Todos os integrais dados são impróprios. Uns são impróprios de 1ª espécie (a função

integranda é limitada no intervalo de integração que é ilimitado), outros são

impróprios de 2ª espécie (a função integranda é ilimitada no intervalo de integração

que é limitado) e ainda outros são mistos ou impróprios de 3ª espécie (a função

integranda é ilimitada no intervalo de integração que é ilimitado).

Qualquer destes integrais resolve-se recorrendo a limites. Quando cada um desses

limites existe o integral diz-se convergente; caso contrário, diz-se divergente.

6.1. ( )∫

+∞

+22/33

1 dxx

Este integral é impróprio de 1ª espécie.

( )∫+∞

+22/33

1 dxx

( )∫ −

+∞→+=

a

adxx

2

2/33lim

( )5

25

13

1lim22/1

3lim2

2/1

=

−

+−=

−+

=+∞→

−

+∞→ ax

a

a

a

50

6.2. dxsenx

x∫

4/

0

cosπ

Este integral é impróprio de 2ª espécie.

dxsenx

x∫

4/

0

cosπ

( ) ( )

==

→

−

→∫ 2/1

limcoslim2/1

0

4/2/1

0

senxdxsenxxaaa

π

−=

→senasen

a 0lim

42 π =

4/32222 ==

6.3. ∫2

0

2 ln dzzz

Este integral é impróprio de 2ª espécie.

∫2

0

2 ln dzzz ∫→

=2

2

0lnlim

aadzzz

Vamos calcular o integral por partes, atendendo à fórmula

[ ] ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅b

a

ba

b

a

dxvuvudxvu , em que u=u(x) e v=v(x)

Fazendo:

=

=′

3

3

2

zv

zv

=′

=

zu

zu1

ln

Assim:

∫∫ ⋅−

=

→→→

23

0

23

0

22

0

1lim31ln

3limlnlim

aaaaaadz

zzzzdzzz =

23

0

3

0 3lim

31lnlim2ln8

31

aaa

zaa

−

−=

→→

Como aaa

lnlim 3

0→ é uma indeterminação do tipo 0×∞, vamos recorrer à regra de

L'Hôpital para levantar a indeterminação:

aaa

lnlim 3

0→0lim

31

3

1

limlnlim0

20

30

=−=−

==→

−→

−→

aaa

aa

aaa

51

Assim, tem-se:

=

−

−

→→

23

0

3

0 3lim

31lnlim2ln8

31

aaa

zaa

−=

−−

312ln

380

38

312ln

38

6.4. dxx

x∫ −

−2

0 323

Este integral é impróprio de 2ª espécie, pois x=3/2 não pertence ao domínio da

função integranda.

dxx

x∫ −

−2

0 323

∫∫ −−

+−

−=

→→

2

2/302/3 323lim

323lim

bb

a

adx

xxdx

xx

Vamos calcular uma primitiva da função integranda. Como esta é uma fracção

racional, em que o grau do numerador é igual ao do denominador, então temos

que começar por dividir o numerador pelo denominador.

Começamos por atender a que

233

21

323

−

−⋅=

−−

x

xx

x

x -3 x -3/2

-x +3/2 1

-3/2

Vem então

233

21

323

−

−⋅=

−−

x

xx

x =

−

−+

232/31

21

x

P

−

−+

232/31

21

x=

−−

23

1231

21

xPP =

−−

23ln

23

21 xx

Donde

∫∫ −−

+−

−→→

2

2/302/3 323lim

323lim

bb

a

adx

xxdx

xx =

52

−−+

−−=

→→

2

230

23 2

3ln23lim

23ln

23lim

21

bb

a

a

xxxx =

=

−−−−++

−−

→→ 23ln

23lim

23ln

232

23ln

23

23ln

23lim

21

23

23

bbaaba

=

= 10ln23

23

23ln

232

23ln

230ln

23

23

21

=

+−−++−

6.5. dxe x∫+∞

∞−

−

Este integral é impróprio de 1ª espécie.

Atendendo a que

≥

<=

−

−

0,0,

xseexsee

ex

xx

graficamente, xe− é da forma

y

1

0 x

Como esta função é par, tem-se:

dxe x∫+∞

∞−

− = [ ] 21lim2lim2lim220

00

=

−−=−== ∫∫ −

+∞→

−

+∞→

−

+∞→

+∞−

aa

a

ax

a

x

a

x eedxedxe

6.6. ( )

dxxx∫

+∞

+0 11

Este integral é impróprio de 3ª espécie. Vamos desdobrá-lo em dois integrais, um

impróprio de 2ª espécie e outro de 1ª espécie.

53

( )dx

xx∫+∞

+0 11 =

( )dx

xx∫ +

1

0 11 +

( )dx

xx∫+∞

+1 11 =

( )dx

xxaa∫ +→

1

0 11lim

( )dx

xx

b

b∫ +

++∞→ 1 1

1lim

Vamos calcular uma primitiva da função integranda recorrendo ao método de

substituição, fazendo

txtxtx2

2

=′=⇒=

Tem-se também:

btbx

txatax

→⇒→

→⇒→→⇒→

11

Assim,

( )dx

xxa∫ +

1

11 = ( )∫ ⋅

+

1

2112

a

dtttt

= ∫ +

1

2112

a

dtt

De modo análogo se escreve para o

outro integral.

Vamos agora calcular uma primitiva da função integranda.

tarctgt

P =+ 211

Donde,

( )dx

xxaa∫ +→

1

0 11lim

( )dx

xx

b

b∫ +

++∞→ 1 1

1lim = [ ]10

lim2 aa

tarctg→

+b

btarctg

1

lim2

+∞→

=

−+=

4242 πππ =π

6.7. dxx

e x

∫1

0

Este integral é impróprio de 2ª espécie.

dxx

e x

∫1

0

= dxx

e

a

x

a∫

→

1

0lim = dxe

xx

aa∫

→

1

0 212lim = [ ]1

0lim2 a

x

ae

→= ( )12lim2

0−=

−

→eee a

a

Nota:

Atender a que ( )x

x2

1=

′

54

6.8. ∫+∞

∞−

dxx2cos

Este integral é impróprio de 1ª espécie. Como a função integranda é par, tem-se:

∫+∞

∞−

dxx2cos = ∫ ∫+∞

+∞→=

0 0

22 coslim2cos2a

adxxdxx .

No exercício 4., foi já calculada uma primitiva de cos2x:

( )1cos21cos2 += tsentxP

Assim, [ ] ( ) 11coslim1coslimcoslim200

2 −+=+=+∞→+∞→+∞→

∫ asenatsentdxxa

aa

aa

Este limite não existe. Logo, o integral dado é divergente.

7. Seja f a função real de variável real definida por f(x)=ex.

7.1. Determine a função h(x) tal que f(2x)4

f(x)(x)h+

=′ e 4

3h(x)limx

π=

−∞→.

7.2. Estude a natureza do integral ∫+∞

0

23 dx)f(xx

Resolução:

7.1. Atendendo a que f(x)=ex, vem 2x

x

e4e(x)h+

=′ .

Então, h(x)=P C2earctg

41

2e1

eP41

e4e x

2x

x

2x

x

+

=

+

=+

.

Atendendo a que 4

3h(x)limx

π=

−∞→, vem

43C

43C0C

2earctg

41lim

x

x

ππ=⇔=+=

+

−∞→

Donde, h(x)=4

32earctg

41 x π

+

55

7.2. dxexlimdxexdx)f(xx22 x

0 0

a

0

3

a

x323∫ ∫ ∫+∞ +∞

+∞→==

Vamos agora calcular a primitiva da função integranda:

C. A.

Puv'=uv-Pu'v

=

=′

=′=

2

2

x

x2

ev

2xev2xuxu

P { ( ) ( ) ( )1xe21eex

21P2xeex

212xexP

21ex 2xxx2xx2

v

x

u

2x3 2222222

−=−=−==′321

Então ( )[ ] +∞=−=∫ +∞→+∞→

a

0

a

02x

a

x3

a1xelim

21dxexlim

22

(Fórmula de Barrow)

Conclui-se que o integral dado é divergente.

FIM