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Funções trigonométricas

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Função seno

A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo.

Fica definida assim, a função seno, de domínio ℝ, expressa por

y = f(x) = sen x

Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).

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Variação da função y = sen x para x [0, 2]

O 0

B

A’

B’

/2

A

sen

1

Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1.

O

B

A’

B’

/2

A

sen

1

Quando x cresce de /2 a , sen x decresce de 1 a 0.

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Variação da função y = sen x para x [0, 2]

O

B

A’

B’3/2

A

sen

–1

Quando x cresce de a 3/2, sen x decresce de 0 a –1.

O A

B

A’

B’3/2

2

sen

–1

Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.

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Gráfico da função y = sen x

0

0–110y = sen x

23/2/20x

x

y = sen x

0/2

1

–1

3/2 2

D = [0, 2] Im = [–1, 1]

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Observação

O gráfico da função seno é chamado senóide.

A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:

... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...

O período da função seno é igual a 2.

Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

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Gráfico da função y = sen x

x

y = sen x

0/2

1

–1

3/2

2

Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide.

–/2––3/2

–2

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Função co-seno

A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo.

Fica definida assim, a função co-seno, de domínio ℝ, expressa por

y = f(x) = cos x

Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).

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Variação da função y = cos x para x [0, 2]

O0

B

A’

B’

/2

A

cos

1

Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0.

O

B

A’

B’

/2

A

cos

–1

Quando x cresce de /2 a , cos x decresce de 0 a –1.

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Variação da função y = cos x para x [0, 2[

O

B

A’

B’3/2

A

cos–1

Quando x cresce de a 3/2, cos x cresce de –1 a 0.

OA

B

A’

B’3/2

2

cos

1

Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.

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Gráfico da função y = cos x

–1

1001y = cos x

23/2/20x

x

y = cos x

0/2

1

–1

3/2 2

D = [0, 2] Im = [–1, 1]

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Observação

O gráfico da função co-seno é chamado co-senóide.

A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:

... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4], ...

O período da função co-seno é igual a 2.

Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

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Gráfico da função y = cos x

x

y = cos x

0/2

1

–1

3/2 2

Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide.

–/2––3/2–2

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Função tangente

A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo.

Fica definida assim, a função tangente, de domínio ℝ – /2 + k, k ℤ expressa por

y = f(x) = tg x

Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).

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Variação da função y = tg x para x [0, 2]

O0

B

A’

B’

/2

A

tg

Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +.

O

B

A’

B’

/2

A

tg

Quando x cresce de /2 a , tg x cresce de – a 0.

0

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Variação da função y = tg x para x [0, 2[

O

B

A’

B’3/2

A

tg

0

Quando x cresce de a 3/2, tg x cresce de 0 a +.

OA

B

A’

B’3/2

2

tg

0

Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.

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Gráfico da função y = tg x

0

0∄∄0y = tg x

23/2/20x

x

y = tg x

0/2

3/2 2

D = [0, 2] Im = [–, + ]

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Observação

O gráfico da função tangente é chamado tangentóide.

A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude :

... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2], ...

O período da função tangente é igual a .

Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].

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Gráfico da função y = tg x

x

y = tg x

0/2 3/2 2

Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide.

–/2

––3/2–2

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Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente

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Resumo

Função y = sen x y = cos x y = tg x

domínio ℝ ℝ x ≠ k + /2

período 2 2

mínimo –1 –1 –

máximo 1 1 –

Imagem [–1, 1] [–1, 1] ℝ

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Exemplos

Construir o gráfico da função y = 2 sen x:

0

0

0–220y = 2 sen x

0–110sen x

23/2/20x

x

y

0/2

1

–1

3/2

2

2

–2

y = sen x y = 2sen x

p = 2

Im = ]–1, 1]

p = 2

Im = ]–2, 2]

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Exemplos

Construir o gráfico da função y = sen 2x:

0

/2

0–110y = sen 2x

23/4/40x

23/2/202x

x

y = sen x

0

/2

1

–1

3/2 2/4

3/4

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Exemplos

Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:

1

0

1021y = 1 + sen x

0–110sen x

23/2/20x

x

y

0/2

1

–1

3/2 2

2

–2

y = sen x y = 1 + sen x

p = 2

Im = ]–1, 1]

p = 2

Im = ]0, 2]

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Domínio, imagem e períodode outras funções seno

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[–1, 0]/8ℝy = –1 + sen2 (8x)

[0, 1]ℝy = sen2 (x)

[–3, 1]2ℝy = –1 + 2sen (x + /2)

[–2, 4]ℝy = 1 + 3sen (2x)

2

4

2

Período

[–2, 2]ℝy = 2sen (2x + /2)

[–2, 2]ℝy = 2sen (x – /2)

[–1, 1]ℝy = sen (x/2)

[–1, 1]ℝy = sex (2x)

[–1, 1]ℝy = sen (x)

ImagemDomínioFunção

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Domínio, imagem e períodode outras funções co-seno

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[–1, 0]/8ℝy = –1 + cos2 (8x)

[0, 1]ℝy = cos2 (x)

[–3, 1]2ℝy = –1 + 2cos (x + /2)

[–2, 4]ℝy = 1 + 3cos (2x)

2

4

2

Período

[–2, 2]ℝy = 2cos (2x + /2)

[–2, 2]ℝy = 2cos (x – /2)

[–1, 1]ℝy = cos (x/2)

[–1, 1]ℝy = cos (2x)

[–1, 1]ℝy = cos (x)

ImagemDomínioFunção

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Domínio, imagem e períodode outras funções tangente

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ℝ/8x≠k/8 + /16y = –1 + tg2 (8x)

ℝx ≠ k + /2y = tg2 (x)

ℝx ≠ ky = –1 + 2tg (x + /2)

ℝ/2x ≠ k/2 + /4y = 1 + 3tg (2x)

/2

2

/2

Período

ℝx ≠ k/2y = 2tg (2x + /2)

ℝx ≠ k + y = 2tg (x – /2)

ℝx ≠ 2k + y = tg (x/2)

ℝx ≠ k/2+ /4y = tg (2x)

ℝx ≠ k + /2y = tg (x)

ImagemDomínioFunção