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Prof. Jorge
Circunferência e círculo
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Circunferência
O
AB
C
DE
Pr
r
r
rr
r
Se O é um ponto do plano e r um número real positivo, chama-se circunferência de centro O e raio r o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância r do ponto O.
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Elementos
Q
P
BAO O
Corda PQ Diâmetro AB
r r
D = 2rC= 2r
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Elementos
A
B
MN
Arco AMB
Arco ANB
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Arcos e ângulos
A ≡ B A ≡ B
arco completo arco nulo
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Arcos e ângulos
AB
Arco de meia volta(Semicircunferência)
O
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Círculo O conjunto constituído por uma
circunferência e pelos pontos interiores a ela é chamado círculo ou disco.
O
r
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Posições relativas de ponto e circunferências
A
B
O
P O ponto A é interno à circunferência
dOA < r
O ponto B pertence à circunferênciadOB = r
O ponto P é exterior à circunferênciadOP > r
r
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Posições relativas de reta e circunferências
r O
r é tangente à circunferência
dOP = rr
Pr e a circunferência têm um único ponto comum.
⇔
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Posições relativas de reta e circunferências
s
O
Ps é secante à
circunferênciadOP < r
AB
s e a circunferência têm dois pontos comuns.
⇔
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Posições relativas de reta e circunferências
O
t é exterior à circunferência
dOP > r
P t e a circunferência não têm ponto comum.
⇔
t
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Propriedades da reta tangente à circunferência
r O
Uma reta é tangente a uma circunferência se, e somente se, ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
r
P
Por um ponto de uma circunferência, pode- se traçar uma única tangente a essa circunferência.
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Propriedade da reta secante à circunferência
s
O
M
A
B
Uma reta secante que passa pelo centro da circunferência é perpendicular a uma corda se, e somente se, divide essa corda ao meio.
s ⊥ AB por O ⇔ AM = MB
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Conseqüência
C
O
M
A
B
Um diâmetro perpendicular a uma corda divide essa corda ao meio.
CD ⊥ AB por O ⇔ AM = MBD
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Posições relativas de duas circunferências
B
Todos os pontos de C1 são externos a C2
r
dAB > r + R
⇔
A R
C1
C2
C1 é externa C2
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Posições relativas de duas circunferências
B
C1 e C2 têm um só ponto comum e não têm ponto
interior comum
r
dAB = r + R
⇔
A R
C1
C2
C1 e C2 são tangentes externamente em P
P
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Posições relativas de duas circunferências
B
Têm dois pontos comuns
r
R – r < dAB < R + r
⇔
A
R
C1
C2
C1 e C2 são secantes
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Posições relativas de duas circunferências
B
Têm um só ponto comum e os demais
pontos de C1 são interiores a C2
P
dAB = R – r⇔
A
C1
C2
C1 e C2 são tangentes internamente em P
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Posições relativas de duas circunferências
B
Todos os pontos de C1 são interiores a C2
0 ≤ dAB < R – r⇔
A
C1
C2
C1 é interna a C2
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Ângulos na circunferência
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Ângulo central
A
B
O
C
D
EF
Chama-se de ângulo central de uma circunferência todo ângulo que tem como vértice o seu centro.
A cada ângulo central corresponde um arco, interseção do ângulo com a circunferência.
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Ângulo central
Um ângulo central tem a mesma medida do arco correspondente.
AÔB é ângulo central
m(AÔB) = m(AB) =
O
A
B
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Unidade de ângulo e arco
0ºArco nulo
90ºArco de
¼ de volta
180ºArco de
meia volta
360ºArco
completo
Medida em graus
Representação
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Ângulo Inscrito
Chama-se ângulo em uma circunferência todo ângulo cujo vértice é um de seus pontos e cujos lados são secantes a ele.
APB é ângulo inscrito
m(APB) = =
O
A
B
P
AB
2
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Ângulo Inscrito - Propriedade
Os ângulos inscritos de vértices P, Q e R são congruentes
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =
AB
2
Ângulos inscritos em um mesmo arco são congruentes.
P
A
B
QR
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Ângulo Inscrito - Propriedade
AB diâmetro da circunferência, os ângulos de vértices M, N e P são retos, porque o arco AB mede 180o.
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
M
A B
P
N
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Ângulo Inscrito - Propriedade
Como conseqüência a mediana relativa a hipotenusa tem medida igual a metade da hipotenusa.
Todo triangulo inscrito numa semicircunferência e retângulo.
M
A Br r
r
