Circunferência e Relações Trigonométricas

PROF. MARCELO SANTOS

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

• Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1;

• Arcos de origem ponto A (1,0);

• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário;

• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

Radiano

• Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do círculo.

Imagem -

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circle_radians.gif

SENOSENO

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

SENOSENO

COSSENOCOSSENO

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

O xA’ A

y

B

B’

-1 1

COSSENOCOSSENO

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

sen

cos

SENO E COSSENOSENO E COSSENO

O xA’ A

y

B

B’

P

t

M

tg

TANGENTETANGENTE

O xA’ A

y

B

B’

• marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

• marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

TANGENTETANGENTE

x

y

A

t

cos

sen tg

SENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTE

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

ARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEIS

SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTE

SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTE

1/2

2

3

30o150o

210o 330o

SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS

45o135o

225o315o

2

2

2

2

SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS

60o120o

240o 300o

1/2

2

3

SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS

A

180o -

180o + 360o -

GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:

De um modo geral:

sen2 x + cos2x = 1

RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS

sec2x = 1 + tg2x csc2x = 1 + cotg2x

OUTRAS RELAÇÕES FUNDAMENTAISOUTRAS RELAÇÕES FUNDAMENTAISOUTRAS RELAÇÕES FUNDAMENTAISOUTRAS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

I. tg x = xcos

xsen

II. cotg x = xsen

xcos

x tg

1

III. sec x = xcos

1

IV. sec x = xcos

1

a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b

b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b

c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a

d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

e)b a.tg tg1

b tga tg

-

+b)tg(a =+

f) b)-tg(ab a.tg tg1

b tg-a tg

+=

SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

I) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a

Minha terra têm palmeiras, onde canta o sabiá

SENO A COSENO B , SENO B COSENO A

MACETESMACETESMACETESMACETES

II) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b

Coça a, coça b, troca o sinal sem saber

Tem gente que ama, mas tem gente que beija, Humm! Tem gente  que ama e beija.

OU

Tem gente no banheiro a, tem gente no banheiro B, Hmm! tem gente no banheiro A e B

III)b a.tg tg1

b tga tg

-

+b)tg(a =+ b)-tg(a

b a.tg tg1

b tg-a tg

+=

MACETESMACETESMACETESMACETES

Acabou!!!

• A MATEMÁTICA É LINDA!!!!

• UHULL, VCS SÃO DEMAIS...

• GESIVAN SAPEQUINHA!