Introdução à Trigonometria Circunferência e Relações Trigonométricas

Introdução à Trigonometria

Circunferência e Relações Trigonométricas

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA

CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA

• Sistema de coordenas ortogonais;

• Circunferência de centro na origem do sistema, de raio unitário r = 1;

• Arcos de origem ponto A (1,0);

• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário, negativas sentido horário;

• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário

SENOSENOSENOSENO

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

• marcado no eixo Y

• varia de –1 até 1 -1 sen 1

• sinal do seno:

O xA’ A

y

B

B’

1

-1

SENOSENOSENOSENO

COSSENOCOSSENOCOSSENOCOSSENO

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

• marcado no eixo X

• varia de –1 até 1 -1 cos 1

• sinal do cosseno:

O xA’ A

y

B

B’

-1 1

COSSENOCOSSENOCOSSENOCOSSENO

O xA’ A

y

B

B’

P

M

N

sen

cos

SENO E COSSENOSENO E COSSENOSENO E COSSENOSENO E COSSENO

Fatec- Se x é um arco do 3º quadrante e cos x = -4/5, então sen x é igual a:a)3/5

b)-3/5

c)-9/25

d)-16/9

O xA’ A

y

B

B’

P

t

t // yt // yM

tg

TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE

O xA’ A

y

B

B’

• marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

• marcada numa reta paralela ao eixo y

• varia de – até - tg

• sinal da tangente:

TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE

x

y

A

t

cos

sen tg

SENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTESENO, COSSENO E TANGENTE

30°150°

210° 330°

45°135°

225° 315°

60°120°

240° 300°

cos

sen

0

tg90°

180°

270°

0°/360°

ARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEISARCOS NOTÁVEIS

Ângulos complementares sen x= cos(90-x)

SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTEQUADRANTE

SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º. QUADRANTEQUADRANTE

UFJF- O valor de sen² 10 + sen²20+...+sen²70+sen²80+ sen² 90 é:

a)-1

b)1

c)2

d)4

e)5

1/2

2

3

30o150o

210o 330o

SIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOSSIMETRIA DE ARCOS

45o135o

225o315o

2

2

2

2


60o120o

240o 300o

1/2

2

3


A

180o -

180o + 360o -

GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:GENERALIZANDO:

De um modo geral:

UFJF- Dois ângulos distintos, menores que 360°, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a:

a) 45°b) 90°c) 180°d) 270°e) 360°

1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante

• cos ( - x) = - cos x

• tg ( - x) = - tg x

a = ( - x)a = ( - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• sen ( - x) = sen x

REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTEREDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE

• sen ( + x) = - sen x

a = ( + x)a = ( + x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2• cos ( + x) = - cos x

• tg ( + x) = tg x



• sen (2 - x) = - sen x

a = (2 - x)a = (2 - x)

O x

y

/2

0xa

3/2

2

• cos (2 - x) = cos x

• tg (2 - x) = - tg x



I. sen2 x + cos2x = 1

III. cotg x = xsen

xcos

x tg

1

II. tg x = xcos

xsen

RELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAISRELAÇÕES FUNDAMENTAIS

IV. sec x = xcos

1

IV. sec x = xcos

1

a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b

b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b

c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a

d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

e)b a.tg tg1

b tga tg

-

+b)tg(a =+

f) b)-tg(ab a.tg tg1

b tg-a tg

+=

SOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOSSOMA E DIFERENÇA DE ARCOS

a) cos(2a) = cos2a – sen2a

b) sen(2a) = 2.sen a.cos a

c) tg(2a) = xtg21

x 2.tg2

-

ARCOS DUPLOSARCOS DUPLOSARCOS DUPLOSARCOS DUPLOS

1-) FUVEST- Calcule o valor de

(tg10° + cotg10°)sen20°

a)1

b)2

c)3

d)4

UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de (cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é:

a)-2

b)-1/2

c)0

d)1

e)2

CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor de senx cosx é igual a:

a)-3/16

b)-3/8

c)3/8

d)¾

e)3/2

2

cosx1

2

xcos a)

+±=

2

cosx-1

2

xsen b) ±=

cosx1

cosx-1

2

xtg c)

+±=

ARCOS METADEARCOS METADEARCOS METADEARCOS METADE

2

qp.cos

2

qp2sensenqsenp a)

-+=+

2

qp.cos

2

q-p2sensenq-senp b)

+=

2

qp.cos

2

qp2coscosqcosp c)

-+=+

2

qp.sen

2

qp2sencosqcosp d)

-+-=-

TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTOTRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO

Estudo da função senoEstudo da função seno

36

f(x) = sen x

x sen x

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

5/6

7/6

5/4

4/3

3/2

5/3

7/4

11/6

2

0

0

0

1/ 2

1/ 2

1/ 2

1/ 2

2 / 2

2 / 2

2 / 2

2 / 2

3 / 2

3 / 2

3 / 2

3 / 2

1

1

37


Observações:Observações:

1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x existe um e apenas um valor para sen x. 2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1].

3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1] , isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.

4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x temos o mesmo f(x). Por exemplo,

5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) = temos sen x = sen (x). Por exemplo,

5 3... 1.

2 2 2

sen sen sen

1 1.

6 2 6 2

sen sen

38


Periodicidade:Periodicidade:O período da função seno é de 2 e indicamos assim: p = 2

39


Sinal:Sinal:

A função é positiva para valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.

40

Estudo da função cossenoEstudo da função cosseno

f(x) = cos x

x cos x

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

5/6

7/6

5/4

4/3

3/2

5/3

7/4

11/6

2

0

1

0

3 / 2

3 / 2

3 / 2

3 / 2

2 / 2

2 / 2

2 / 2

2 / 2

1/ 2

1/ 2

1/ 2

1/ 2

1

0

41



1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno. 2ª) O domínio é o mesmo: D =

3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1].

4ª) O período é o mesmo: p = 2.

5ª) A função cosseno não é nem injetiva.

6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).

42


Sinal:Sinal: A função é positiva para valores do 1º e 4º quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.

x cos x

0

/6

/4

/3

/2

2/3

3/4

5/6

7/6

5/4

4/3

3/2

5/3

7/4

11/6

243

0

0

0

3 / 3

3 / 3

3 / 3

3 / 3

1

1

1

1

3

3

3

3

Estudo da função tangenteEstudo da função tangente

f(x) = tg x

44



1ª) Domínio: 2ª) Imagem: Im = .

3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.

4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x = tg (x).

5ª) Período: p = .

| , .2

D = k kx x

45


Sinal:Sinal:

A função é positiva para valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

46

Funções trigonométricasFunções trigonométricas

x sen x y = 2 + sen x

0

2

3

2

2

0

1

0

1

0

2 0 2

2 1 3

2 0 2

2 1 1

2 0 2

( ) 2 .f x sen x, com x

47

Funções trigonométricasFunções trigonométricas

( ) .f x cos 2x, com x x 2x y = cos 2x

0

2

3

2

2

1

0

1

0

1

0

4

2

3

4

FUVEST- A figura a seguir mostra parte do

gráfico da função:

a)Senx

b)2senx/2

c)2senx

d)2sen2x

e)sen2x

Lei dos senos

A B

C

a

c

b

senC

c

senB

b

senA

a

Lei dos Cossenos

A B

C

a

c

b

Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

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