Guia do Professor: Ampliando as noções trigonométricas ...ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos/conteudos-digitais/guias... · Na realidade, a trigonometria em especial as funções

1

Guia do Professor: Ampliando as noções trigonométricas

Introdução

Caro professor,

O mundo está em constante mudança, dado o grande e rápido desenvolvimento da

tecnologia. Máquinas de calcular, computadores, internet, etc. são assuntos do cotidiano. E

todos eles têm ligações estreitas com a matemática. Essa rápida mudança faz com que nós

docentes estejamos sempre preocupados com a motivação no ensino de matemática, e,

contudo, além da motivação, procuramos o ensino onde explore a capacidade do aluno de

compreender o mundo a sua volta, dentro de seu contexto social, além de favorecer seu

entendimento e de como o conhecimento da matemática pode ajudá-lo nesta tarefa.

Sabemos que numa era de tecnologia, é fundamental que os alunos se familiarizem

com o computador para aprofundar mais a sua a aprendizagem matemática. Neste intuito o

objeto titulado “Ampliando as noções trigonométricas” mostrará como o emprego da

simulação computacional pode ser um meio de promover o aprendizado de forma

significativa, auxiliando o aluno do ensino médio na busca de uma melhor compreensão

dos valores dos senos dos ângulos maiores que 360° e negativos.

Na realidade, a trigonometria em especial as funções trigonométricas é uma ciência

muito antiga, mas suas aplicações sempre aparecem no nosso cotidiano, porém este objeto

permitirá que o aluno utilize livremente vários ângulos e diferentes tempos. Onde eles

poderão compreender através do funcionamento da máquina a vapor e o movimento

realizado pela roda da locomotiva o que acontece com os ângulos maiores que 360° e

negativos.

O aluno sentirá motivado para investigar os conceitos e relações matemáticas

existentes no cotidiano, tendo a oportunidade de construir uma visão interdisciplinar da

trigonometria, principalmente ao compreender o trabalho realizado pelo pistão num motor.

2

Objetivos

Aprender fazendo é o objetivo deste objeto. Nele a teoria será construída conforme

as atividades são desenvolvidas pelos alunos.

O objeto prioriza a construção do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno, com

o objetivo de auxiliar a produção de significados, o papel do professor é mais que o de

orientador e facilitador. É necessária a mediação do professor instigando-o o aluno a

refletir, a investigar e a descobrir.

De maneira geral o objeto tem os seguintes objetivos:

➢ Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas

trigonométricos;

➢ Estudo de conceitos relacionados à Trigonometria;

➢ Desenvolver a capacidade de resolver problemas por meio de alguns modelos;

➢ Construir conceitos de ângulos maiores que 360° e ângulos negativos;

➢ Reconhecer a utilização dos ângulos maiores que 360° e ângulos negativos.

Pré-requisitos

Para desenvolver essa atividade, o aluno precisará ter conhecimento dos valores dos

senos dos ângulos de 0° a 360°, das relações entre os ângulos e lados do triângulo retângulo

e das razões seno, cosseno e tangente.

Para trabalhar as razões trigonométricas sugerimos que o professor trabalhe com o

Objeto de aprendizagem “Construindo as relações trigonométricas”

Tempo previsto para a atividade

Na realização deste módulo sugerimos o trabalho integrado entre aulas no

laboratório de informática e outras desenvolvidas na sala de aula.

3

A atividade necessita ser realizada no período de 1h/aula no laboratório de

informática e 2h/aula na sala de aula (sendo uma antes da aula no laboratório e outra

depois).

Na sala de aula

Na aula antes de ir para o laboratório sugerimos que o professor comente um pouco

da história da trigonometria, pois está e a própria matemática apresentam muitos fatos e

propriedades curiosas que podem despertar o interesse do aluno, bem como motivá-lo ao

estudo da mesma.

Poderá mostrar que inicialmente está era considerada como uma extensão da

geometria, e que a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para

resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Foi o fascínio

pelos astros que levou os egípcios e dos babilônios a começarem a estudar as relações

existentes entre os ângulos e os lados dos triângulos. O passo seguinte foi estudar a relação

que existe entre os ângulos ao centro de uma circunferência e as suas respectivas cordas

(segmento de reta que une dois pontos da circunferência). Por volta de 140 a.C. Hiparco

construiu as primeiras tabelas trigonométricas, o que levou a que fosse considerado como o

pai da trigonometria.

Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação

se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da

atividade humana como a Acústica, a Música, a Topologia, e a quase todos os ramos da

Engenharia (Elétrica, Mecânica, civil) em especial no estudo de fenômenos periódicos

como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

Para mostrar um pouco mais da história propomos que o professor trabalhe com

webquest com qual o aluno poderá melhorar a leitura e a interpretação de texto.

Situar o aluno diante do assunto proposto é muito importante, pois mostra que a

matemática não surgiu ao acaso e que começou a ser desenvolvida conforme a necessidade

do homem. Além do mais é uma ciência viva que está em construção.

O professor nesta aula também precisa falar para os alunos como será feita a

avaliação e como precisa ser desenvolvido o trabalho final.

4

Para melhores informações sugerimos os sites:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria – último acesso em 16/04/2007.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/historia.htm – último acesso em

16/04/2007.

http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2002/trigo/webquest.htm

http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2003/webquest/

E os livros:

1. KENNEDY, Edward S.; trad. Hygino H. Domingues. História da Trigonometria.

São Paulo:

Atual Editora, 1992. (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula;

V. 5).

2.IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. São

Paulo: Atual

Editora, 1993.

3.LIMA, Elon Lages , Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,Augusto César

Morgado

A Matemática do Ensino Médio Volume 2 Terceira Edição, Publicação SBM, 2000

.

Na sala de computadores

Preparação

Sugerimos que, alguns dias antes do trabalho no laboratório de informática, o

professor verifique quais máquinas que estão funcionando e se optar por trabalhar sem

internet instale os objetos em todos os computadores, assim estará precavendo de alguns

problemas.

No dia da aula, para que o tempo seja suficiente para o desenvolvimento da

atividade, sugerimos que o deixem as máquinas ligadas.

5

Para melhor resultado da aula propomos que divida os alunos em duplas ou trios

para estimular o trabalho em grupo, pois assim eles terão a oportunidade juntos de criarem

e planejarem a melhor a solução, sempre trabalhando cooperativamente e com ética,

respeitando as características individuais.

Material necessário

É necessário que o aluno disponha de papel, lápis e borracha para anotações.

Livro didático para possível feedback do conteúdo abordado pelo objeto.

A sala de informática, se possível, deve possuir um quadro (losa) a disposição do

professor para uma eventual necessidade.

O objeto possui uma calculadora e a tabela de ângulos que serão utilizados no

objeto.

Requerimentos técnicos

Para a realização da atividade serão necessário Plugins para Flash MX, de qualquer

versão superior ou igual ao flash 5.0. Também para evitar problemas sugerimos que os

computadores tenham ativado o Java Web Start e seus plugins. Os softwares Java e

pluguins do Flash podem ser obtidos gratuitamente nos sites dos fabricanates, que são

www.macromedia.com.br e www.sun.com.br

Durante a atividade

Nossa vontade é que o objeto de aprendizagem alcance as metas traçadas.

Destacamos, por isso, alguns procedimentos que poderão auxiliá-lo em seu trabalho. A

segui serão descritos alguns passos gerais e outros específicos de cada atividade.

O Objeto possui três atividades. As atividades serão exploradas através de dois

momentos.

6

Atividade 1

Primeiro momento: Aparecerá na tela da atividade 1: um motor, uma tabela que

fornece o ângulo e o seno desse ângulo, um círculo e alguns ângulos como opção

Será mostrado o momento de explosão e compreensão do pistão, ou seja, será

simulado o funcionamento do motor.

Quando o aluno escolher um dos ângulos e clicar em iniciar, este movimentará o

motor e juntamente com esse movimento teremos uma circunferência que descreve o

ângulo caminhado pelo pistão ao longo da primeira volta. A roda irá parar quando o pistão

descrever o ângulo escolhido.

Porém quando o aluno escolher manual terá que clicar em iniciar, porém agora terá

que clicar em parar quando desejar o pistão pare.

Quando o aluno/a clicar em parar, a tabela ficará preenchida.

Nesse primeiro momento o aluno poderá interagir com o objeto e é sugerido que ele

trabalhe primeiro com o manual, tentando entender o caminho percorrido pelo pistão.

Também poderão ser explorados os conceitos das relações fundamentais trigonométricas:

senos, cossenos e tangentes, aproveitando o triângulo inscrito na circunferência. Vale

ressaltar que a circunferência trigonométrica tem raio unitário.

Segundo Momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os

colegas e responder uma questão, mas para isso terá que elaborar um roteiro com as

algumas dicas.

Manipule o motor. Você é capaz de justificar o movimento.

Elabore o roteiro com as seguintes dicas:

Dica1: Quando o pistão estará no inicio do cilindro?

Dica 2: Quando o pistão estará no meio cilindro?

Dica 3: Quando o pistão estará no fim cilindro?

7

Nesta atividade o aluno deverá ser capaz de perceber que quando o pistão está no

inicio do cilindro o ângulo formado é 0° grau, no meio (quando o pistão está indo) é de 90°

grau, no fim é de 180° e no meio (quando está voltando) é de 270° grau.

Atividade 2

Primeiro momento:

A tela da atividade 2 tem o desenho do motor, este agora realizará 5 voltas em um

minuto, no sentido anti-horário. As animações são as mesmas da atividade 1.

Tem uma caixinha onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos.

Conforme o movimento do pistão aparecerá no lado direito um círculo

trigonométrico, mostrando o ângulo formado naquele instante pelo pistão.

Do lado do círculo temos uma tabela que ficará preenchida.

Nesse momento já poderá ser explorada a relação entre os ângulos de 360° e os

maiores que 360° podendo também explorar nessa atividade a redução ao 1° quadrante.

Segundo momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os


algumas dicas.

Texto 1: Manipule o tempo. Você é capaz de justificar os valores dos ângulos

maiores que 360°.


Dica 1: Observe o movimento do pistão no tempo de 0 à 12 segundos, no sentido

anti-horário:

• Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 12 segundos?

• Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 12 segundos?

Dica 2: Observe o movimento do pistão no tempo de 12 à 60 segundos.

• Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos?

• Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos?

8

Dica 3: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 3, 15 e 27

segundos.

• Os ângulos formados pelo o pistão são os mesmos?

• Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 90°, seno de 450° e seno de

810°. O que conclui?


segundos.


• Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 150°, seno de 1230° e seno de

1590°. O que concluí?

O objetivo dessa atividade é que o aluno entenda que de tempo em tempo o valor do

seno se repete, isso, poderá se observado quando o pistão parar num mesmo ponto da

roda, porém formando ângulo diferente, sendo também explorado nesse momento os arcos

côngruos.

Atividade 3

Primeiro momento: Na tela da atividade 3 têm dois círculos trigonométrico um

girando no sentido horário e outro no sentido anti-horário.

O pistão realizará 5 voltas em um minuto, em cada um dos círculos.

Tem um relógio digital onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60

segundos.

Quando a pistão parar, aparecerá o ângulo descrito pelo pistão.

O objetivo é que o aluno possa entender a relação do seno negativo com um seno

positivo é que a soma dos módulos dos dois ângulos é 360°, podendo ser novamente

explorado os arcos côngruos.

9

Segundo momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os


algumas dicas.

Dica 2:

• Qual o ângulo formado no tempo de 15 segundos, no sentido horário?

• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 9 e 21 segundos no sentido

anti-horário?

• O que você conclui sobre o sen(-450°), sen(270°) e sen(630°)?

Dica 3:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 4, 16 e 28 segundos no sentido

anti-horário?

• O que você conclui sobre o sen(-960°), sen(120°), sen(480°) e sen(840°)?

Dica 4:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 2, 14, 26 e 38 segundos no

sentido anti-horário?

• O que você conclui sobre o sen(-1380°), sen(60°), sen(420°), sen(780°) e

sen(1140°)?

Manipule o tempo. Você é capaz de justificar a relação existente entre os ângulos negativos

e positivos.


Dica 1:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 1 segundos no sentido anti-

horário?

• O que você conclui sobre o sen(-30°) e sen(330°)?

10

O objetivo nesse momento é que o aluno consiga perceber que os valores dos senos

pedidos nas questões são os mesmos.

Depois da atividade

O professor ao retornar sala de aula, poderá propor aos alunos um projeto. Neste os

alunos pesquisarão em livros, revistas e internet algumas aplicações do cotidiano em que

são utilizados os conceitos de ângulos maiores que 360° e negativos e juntamente com os

relatórios feitos durante a interação com o objeto, criarão uma apresentação utilizando

recurso computacional tais como power point que deverá ser exposto para a turma em uma

determinada data.

Avaliação

A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre como

está se realizando o processo ensino aprendizagem como um todo – tanto para o professor

conhecer e analisar o resultado de seu trabalho como para o aluno verificar seu

desempenho. É algo bem mais amplo que medir quantidade de conteúdos que o aluno

aprendeu em determinado período, por isso sugerimos outros tipos de instrumentos de

avaliação, que difere de provas.

Como os alunos precisam ser avaliados desde a 1° aula antes do laboratório, então o

professor poderá estar pedindo para eles fazerem reflexões ou portifólios de cada aula, que

não devem ser utilizados como forma de punição mais sim, como oportunidade de perceber

avanços ou dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo proposto. Estes devem ser

entregues junto com o trabalho final.

Sugerimos que o professor marque uma data para os alunos apresentarem os

trabalhos, pois assim poderá perceber o que aprenderam e verificar se os objetivos foram

alcançados. A socialização do trabalho fará com que o aluno organize a sua idéias.

Para saber mais

11

pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria

www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/historia.htm

1. KENNEDY, Edward S.; trad. Hygino H. Domingues. História da Trigonometria.

São Paulo:

Atual Editora, 1992. (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula;

V. 5).

2.IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. São

Paulo: Atual Editora, 1993.

3. GIOVANNI, José Ruy. Matemática fundamental, 2º grau. São Paulo: FTD, 1994.

4.GUELLI, Oscar. Matemática série brasil, 2° grau. São Paulo: Ática, 2003.

5.LIMA, Elon Lages , Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,Augusto César

Morgado; A Matemática do Ensino Médio, Volume 2 , Terceira Edição, Publicação SBM,

2000 .

6.DANTE, Luís Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo: Atual

7.FERNANDEZ, Vicente Paz; YOUSSEF, Antônio Nicolau. Matemática para o 2o

Grau. Curso completo. São Paulo: Scipione, 1991

1 1

Design Pedagógico do módulo

Escolha do tópico

Relação entre dos valores dos senos para ângulos maiores que 360° e negativos.

Objetivo

Compreender a relação entre dos valores dos senos de 0° a 360° com os senos dos

ângulos maiores que 360° e negativos.

O que um aluno entre 14 e 18 anos acharia de interessante neste tópico ? Que

aplicações / exemplos do mundo real podem ser utilizados para engajar os alunos

dentro desse tópico? O que pode ser interativo neste tópico ?

Os alunos nessa faixa etária poderão achar interessante a matemática que está

presente no funcionamento da máquina a vapor, onde utiliza o vapor para transformar

a energia calorífica liberada pela queima de combustível em movimento de rotação e

movimento alternado de vaivém do pistão, com isso o aluno perceberá que esses

movimentos descreve uma função trigonométrica.

Uma aplicação que irá engajar o aluno nesse tópico será resultado dos

movimentos da máquina a vapor, pois a pressão adquirida pelo vapor é utilizada para

deslocar os pistões que permitem o movimento das rodas de potentes locomotivas.

A interação do aluno com o tópico será feita através da manipulação do objeto

que se encontram na tela, em várias situações diferentes.

Liste algumas aplicações do mundo real que requerem o conhecimento deste

conteúdo. Aplicações que podem ser ilustradas através de gráficos interativos, vídeo

clips e animações são as indicadas para o uso do computador.

Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já

era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de

2 2

Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Atualmente a trigonometria não se limita

apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática,

como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Acústica, a Música, a

Topologia, e a quase todos os ramos da Engenharia (Elétrica, Mecânica, civil) em

especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de

corrente alternada.

Uma aplicação prática atual das funções trigonométricas pode ser percebida no

funcionamento dos motores que tem como fonte de energia térmica o petróleo.

O que tem sido feito nessa área? Você tem conhecimento de abordagens

interessantes para o tema proposto no seu módulo? Em sua pesquisa na web, você

encontrou algum material interessante para o uso do computador?

Há vários programas e softwares educacionais que podem ser utilizados para

ajudar no entendimento dos gráficos das funções trigonométricas, pois possibilitam que

se construa gráficos em duas e três dimensões e ainda que se trabalhem com operações

de funções , são eles: o winplot, o Modellus, o graphmatica, o mathGV, mathlab, o ratos

e o octave.

Sites:

descartes.cnice.mecd.es/ www.pessoal.sercomtel.com.br/mat

www.fichárioonline.com.br

www.mat.br

http://www.octave.org/

http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm

Escopo do módulo

Defina o escopo do módulo. O que será coberto no módulo? O que não será

coberto?

3 3

Este módulo irá abordar os conceitos relacionados funções trigonométricas,

analisando um movimento periódico para ver como os conceitos trigonométricos podem

ser ampliados, em especial ampliaremos as noções de senos, cossenos e tangentes para

os conceitos de ângulos maiores que 360° e ângulos negativos.

O módulo não irá abordar outros tópicos de trigonometria que não estejam

relacionados ao tema principal do objeto de aprendizagem, tais como:

• Funções circulares trigonométricas em especial construção de gráficos

• Relações trigonométricas

• Transformações trigonométricas

• Equações trigonométricas

• Inequações trigonométricas

• Resolução de triângulos quaisquer (Lei dos senos, Lei dos cossenos e área

de um triângulo).

O que você quer que os alunos aprendam deste módulo? O que os alunos

deverão ser capazes de fazer após completarem esse módulo? Tente ser o mais

específico possível com termos do tipo: “calcular”, “resolver”, “comparar”,

“prever”, ao invés de usar termos ambíguos como “entender”, “perceber”,

“estudar”.

• Visualização e entendimento dos senos dos ângulos maiores que 360° e

dos senos dos ângulos negativos;

• Construir e ampliar o conceito das noções de seno para ângulos maiores

que 360° como para os senos dos ângulos negativos;

• Reconhecer e compreender a relação entre os senos dos ângulos de 0° a

360º com os senos dos ângulos maiores que 360° e dos senos dos ângulos negativos;

• Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas

trigonométricos;

4 4

• Associar situações e problemas geométricos a suas correspondentes

formas algébricas.

• Desenvolver a capacidade de resolver problemas por meio da

apropriação da linguagem simbólica e descrição de modelos.

• Reconhecer a utilização dos ângulos maiores que 360° como para

ângulos negativos;

Interatividade

Sem pensar nas limitações de tempo e custo de produção, o que você gostaria

de produzir para ensinar aos alunos os conceitos que fazem parte do seu módulo? Se

você pudesse criar um laboratório virtual, o que ele proporcionaria aos alunos?

Deixe fluir as suas idéias.

Aproveitando o recurso computacional criaria uma atividade onde teríamos na

tela a simulação do funcionamento do motor a vapor, que na explosão do vapor

movimentaria o pistão que estará ligado na roda, nesse momento o movimento retilíneo e

transformado em movimento circular fazendo então girar a roda, de uma locomotiva,

que poderá girar 1 rotação por minuto. O aluno teria alguns pontos que poderiam

escolher ou até mesmo o ponto manual que parará o pistão em alguns pontos que serão

ângulos pré-determinados.

Para uma outra atividade teríamos o mesmo motor, porém a roda iria girar 5

rotações por minuto e conforme fosse movimentando desejaria que uma circunferência

fosse formada na parte superior da tela para que o aluno pudesse observar melhor o

ângulo formado pelo pistão. Teríamos nessa atividade um espaço onde o aluno possa

digitar qual o tempo que ele deseja que a roda gire.

Na terceira atividade teríamos duas circunferências uma movimentando no

sentido horário e outra no sentido anti-horário para as duas os alunos escolheria um

tempo podendo observar os ângulos formados.

5 5

O que você quer que os alunos façam a fim de aprenderem o assunto do

módulo? Seja específico: os alunos devem desenhar gráficos usando diferentes

parâmetros? Discutir conceitos com outros colegas? Converter equações para

curvas? Aplicar conceitos em exemplos de vida real? Participar num experimento

virtual?

Os alunos deverão ser capazes, perceber o que está acontecendo com o ângulo

em cada volta ou pedaço de volta, podendo então ampliar conceito de ângulos maiores

que 360° e ângulos negativos.

Como este módulo vai aproveitar as vantagens do computador? Quando

planejar um módulo, aproveite o potencial da programação para interatividade de

nível superior. Proporcione visualização e manipulação. Planeje atividades que não

podem ser realizadas através de uma aula expositiva ou folha de papel. Lembre-se

que o módulo é simplesmente um conjunto de materiais para ser usado na sala de

aula: o professor pode e deve usar apostilas, livros, e outros materiais.

Este módulo irá aproveitar as vantagens que o computador oferece mostrando ao

aluno o movimento realizado pelos componentes do motor de forma que o aluno possa

reconhecer o que acontece para que a haja o movimento circular da roda, é com essa

aplicação possa construir e ampliar o seu conhecimento em relação aos ângulos maiores

que 360° e negativos.

1. Defina os objetivos gerais do módulo (competências e habilidades). O

que você espera que os alunos aprendam (ver a seção de escopo do módulo).

Esse módulo tem o intuito de direcionar o aluno na construção e a ampliação do

conceito de ângulos maiores que 360° e negativos, no qual o aluno aprenderá através de

uma aplicação do cotidiano, podendo através deste também reconhecer e compreender a

relação entre os senos dos ângulos de 0° a 360º com os ângulos maiores que 360° e dos

senos dos ângulos negativos.

6 6

2. Quais estratégias e atividades atendem cada objetivo proposto?

Na primeira atividade o aluno irá entender o funcionamento da máquina a vapor,

observando e entendo o movimento do pistão e interpretará qual o ângulo formado pelo

pistão em alguns pontos que consideramos importante.

Na segunda atividade o aluno irá interpretar e construir os conceitos de ângulo

maiores que 360°. O aluno irá interpretar e perceber que de 360° em 360° a história do

seno se repete, ou seja, que somando 360° a um ângulo qualquer seu seno permanece

inalterado.

Na terceira atividade o aluno irá interpretar e construir os conceitos de ângulo

negativos.

3. Que outros recursos seriam úteis nas páginas web do módulo

(glossário, calculadora)?

Será necessária uma calculadora, um bloco de notas e um glossário.

Atividades

1. Considere as idéias que você gerou até aqui e proponha um conjunto

de atividades que gostaria que o aluno fizesse. Usando uma nova página para cada

atividade, comece a escrever alguns detalhes sobre o que você quer que os

estudantes façam para aprender esses conceitos. Faça sketches de suas idéias. Não se

preocupe com o script da atividade, layout ou se as idéias são realistas ou não para o

programador produzir. Aqui, o importante é identificar a maior funcionalidade

desejada assim como as ações que você quer que os alunos sejam capazes de

desempenhar nas atividades do computador.

Atividades 1

7 7

Aparecerão na tela o motor, uma tabela e alguns pontos.

Quando o aluno/a clicar em um desses pontos e em seguida no play, o motor se

movimentará, ou seja, teremos a simulação do funcionamento do motor.

Será mostrado o momento de explosão e compreensão do pistão.

O motor irá parar quando o ângulo do pistão for o determinado pelo o ponto.

Do lado do motor terá uma tabela que será preenchida automaticamente e essa

ficará preenchida no momento em que o motor parar de funcionar.

Abaixo da tabela deverá ter os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 150°, 180°, 220°,

270°, 330° e 360° e o botão manual.

No botão manual o aluno terá o direito de escolher quando o funcionamento do

motor deve parar.

O aluno deverá clicar em um desses ângulos e em seguida clicar em iniciar, o

motor irá parar quando o pistão formar o ângulo escolhido.

Do lado esquerdo da tabela ficará a circunferência que deverá ser aparecer quando

o movimento da roda parar. Conforme o ângulo formado pelo pistão deverá ter um

triângulo retângulo inscrito na circunferência.

Após a interatividade do aluno com o objeto este terá que em seguida responder

algumas questões tais como:

Manipule o motor. Você é capaz de justificar o movimento.



Dica 2: Quando o pistão estará no meio cilindro?

Dica 3: Quando o pistão estará no fim cilindro? http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/locom0/locom0.html

8 8

Atividade 2

Na tela da atividade 2 terá o desenho do motor, este deverá realizar 5 voltas em

um minuto, no sentido anti-horário. As animações serão as mesmas da atividade 1.

Terá uma caixinha onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos.

Quando a roda parar, aparecerá ao lado do motor um círculo trigonométrico,

mostrando o ângulo formado naquele instante pelo pistão.

Terá também uma tabela que ficará preenchida quando o movimento parar.



1: Manipule o tempo. Você é capaz de justificar os valores dos ângulos maiores

que 360°.


Dica 1: Observe o movimento do pistão no tempo de 0 à 12 segundos, no sentido

anti-horário:


9 9






segundos.


• Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 90°, seno de 450° e

seno de 810°. O que conclui?


segundos.


• Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 150°, seno de 1230° e

seno de 1590°. O que concluí?

Atividade 3

Na tela da atividade 3 terá dois círculos trigonométrico um girando no sentido

horário e outro no sentido anti-horário.

O pistão realizará 5 volta em um minuto, em cada um dos círculos.

Terá um relógio digital onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60

segundos.

Quando a pistão parar, aparecerá o ângulo descrito pelo pistão.



1) Manipule o tempo. Você é capaz de justificar a relação existente entre os

ângulos negativos e positivos.


10 1

Dica 1:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 1 segundos no


• O que você conclui sobre o sen(-30°) e sen(330°)?

Dica 2:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 9 e 21 segundos no


• O que você conclui sobre o sen(-450°), sen(270°) e sen(630°)?

Dica 3:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 4, 16 e 28 segundos

no sentido anti-horário?

• O que você conclui sobre o sen(-960°), sen(120°), sen(480°) e sen(840°)?

Dica 4:


• Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 2, 14, 26 e 38

segundos no sentido anti-horário?

• O que você conclui sobre o sen(-1380°), sen(60°), sen(420°), sen(780°) e

sen(1140°)?

2. Considere cada idéia para as atividades. Ela ensina apenas um

conceito? Ela pode ensinar 3 ou 4 conceitos se abordados em outras perspectivas (a

atividade pode ser reutilizada num contexto diferente?).

A atividade privilegia a mobilização dos conceitos listados, ou seja, o aluno irá

compreender a relação entre os senos dos ângulos de 0° a 360° com os senos dos

11 1

ângulos maiores que 360° e os senos dos ângulos negativos. Aproveitando essas

atividades o professor poderá ampliar os cossenos e as tangentes dos ângulos maiores

que 360° dos ângulos negativos.

3. As atividades permitem espaço para serem exploradas além das

fronteiras de suas idéias originais? Ou os alunos estão confinados a um caminho

pré-determinado?

As atividades devem seguir o caminho pré-determinado para que o aluno possa

compreender e construir a idéia de seno dos ângulos maiores que 360° e ângulos

negativos.

4. Como as atividades devem ser conduzidas e organizadas ( que

contexto, individualmente ou em grupo) ?

O professor poderá priorizar as atividades em grupo e discussões enquanto

realizam a atividade. Em seguida o professor poderá pedir para que os alunos socializem

as suas respostas, pois dessa forma eles estarão expondo os seus pensamentos.

5. Como os alunos serão motivados a fazer as atividades?

A relação da matemática com uma situação que aproxima o aluno da realidade

serve como fator motivador, tanto para quem aprende como também para aquele que

ensina.

6. Como os resultados das atividades serão avaliados?

As atividades poderão ser avaliada pela compreensão do conteúdo, solicitando a

produção, de maneira não virtual e virtual. O professor poderá observar a discussão na

realização da tarefa e por meio das reflexões individuais e coletivas poderão observar

como os alunos estão compreendendo os diferentes “conteúdos” relacionados a ângulos.

12 1

7. Caso existam, quais as questões para reflexão, ou questões intrigantes

ou provocativas que se aplicam a cada atividade?

Iremos propor atividades que instiguem o aluno a buscar a solução para os

desafios que lhe serão propostos.

8. Que benefícios as atividades no computador vão trazer para os alunos

em oposição às aulas tradicionais e livros texto?

Nestas atividades o professor poderá trabalhar com seus alunos uma situação

que esteve presente nos primeiros motores, mas que não seria possível ser trabalhada

sem auxílio dos recursos computacionais, pois é necessário que aluno possa perceber e

visualizar a movimentação dessa máquina.

9. Quem mais pode se interessar por este módulo? (Considere os

professores de sua área de outras séries, professores de outras áreas, instrutores de

treinamento de empresas)

Os professores de engenharia mecânica, pois com esse modelo fica fácil a

compreensão da modelagem matemática referente a periodicidades dos movimentos

realizadas pelos motores.

Os professores da área de física, pois envolve o fenômeno que pode ser abordado

por eles.

Bibliografia

Livros Didáticos IMENNES, Luís Márcio Pereira; TROTTA, Fernando: Matemática Aplicada São

Paulo:ED.Moderna, 1979.

13 1

DANTE, Luís Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática.

MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo: Atual

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual.

CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, J. Ruy. A Conquista da Matemática. São Paulo:

FTD, 1998.

FERNANDEZ, Vicente Paz; YOUSSEF, Antônio Nicolau. Matemática para o 2o

Grau. Curso completo. São Paulo: Scipione, 1991.

Sites: http://www.adorofisica.com.br/trabalhos/fis/equipes/maquinasavapor/maqui

navapor.ht http://www.feiradeciencias.com.br/sala08/08_08.asp

http://pt.wikipedia.org/wiki/Motor_a_vapor http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/locom0/locom0.html http://www.cespe.unb.br/pas/gabaritos/etapa_1_subprograma2006/PAS%201%20

ETAPA_PROVA.pdf

1

Roteiro

Título da animação: Ampliando as noções trigonométricas

Autor: Equipe Rived Matemática/UFU

Tela 1: Apresentação dos componentes

Texto: 1) Ampliando as noções trigonométricas 2) Equipe Rived Matemática/UFU 3) Componentes: Lóren Grace Kellen Maia Amorim Arlindo José de Souza Júnior Carlos Roberto Lopes Ednei Leandro dos Reis Éliton Meireles de Moura Érika Cristina de Freitas Fernando Ferreira Queiroz Mariana Martins Pereira 4) Colaboradores: Douglas Silva Fonseca Jean Carlo Silva

Explicação sobre a ação:

Nesta tela terá os botões:

SEGUIR: vai para próxima tela (tela 02)

ATIVIDADES: O botão ATIVIDADES interrompe a animação e vai para a tela

ATIVIDADES (tela 03).

O trem estará em movimento. Os trilhos irão subindo conforme o trem vai passando. As

letras do título irão aparecendo em cada trilho.

2



Tela 2: Apresentação do objeto

Texto1: Olá, caro aluno. Pretendemos com

este objeto proporcionar a você uma maneira

interativa de aprender trigonometria. Neste

objeto você irá ampliar as noções dos senos

dos ângulos maiores que 360° e dos ângulos

negativos.

Por trás de cada atividade proposta existe

uma interpretação matemática. Siga em

frente bom trabalho...

Explicação da ação

Deverá aparecer um trenzinho em movimento, pode ser o mesmo da tela anterior, terá que

ter um maquinista com a cabeça para fora do trem, falando o texto 1, este poderá estar

dentro de um balão de fala.

Menu: O botão ATIVIDADES interrompe a animação e vai para a tela ATIVIDADES

(tela 03).

3

Título da animação: Ampliando as noções trigonométricas Autor: Equipe Rived Matemática/UFU

Tela 3: Atividades

Texto:

Texto 1: Atividade 1



Texto 4: Ampliando as noções de trigonométricas

Texto 5: Instruções: Caro aluno, você pode escolher uma das atividades a seguir clicando sobre ela, mas sugerimos que siga a ordem. Bom trabalho...

Explicação sobre a ação:

A locomotiva estará em movimento. Terá três vagões, onde em cada vagão aparecerão os

textos 1, 2 e 3, na ordem em que se encontra.

Na fumaça estará aparecendo o texto 4.

O trem deverá estar sobre um trilho.

No canto esquerdo deverá ter o Botão INSTRUÇÃO: Ao passar o mouse por cima deste

botão deverá abrir uma caixa de diálogo com o texto 5.

Botão Voltar: irá retornar a tela 1.

Botão Atividade 1 (vai para tela 04): irá direcionar o/a aluno/a para a 1ª atividade.



4



Tela 04: Atividade 1

Texto:

Botão 1: Iniciar

Botão 2: Parar

Texto 1:

Instrução: Caro (a) aluno (a),

Para simular o funcionamento do motor selecione o botão manual em seguida clique no botão iniciar.

Quando desejar que pare clique no botão parar.

Você pode também escolher um dos ângulos e em seguida clique no botão iniciar, o funcionamento irá parar quando o pistão formar o ângulo escolhido.

Observe o que está acontecendo!!!

Explicação sobre a ação Atividade 1:

Aparecerá na tela o motor, quando o aluno/a escolher o botão manual e clicar em iniciar,

este se movimentará, ou seja, devemos ter a simulação do funcionamento do motor.

O fogo deve ser animado, o vapor deverá estar entrando no cilindro e empurrando o pistão

que irá movimentar a roda. Deverá mostrar o momento de explosão e compreensão do

pistão. (Essa animação do motor deverá estar presente na atividade 2).

Quando o aluno/a passar o mouse sobre o pistão, o cilindro, a caldeira e o vapor devem

aparecer seus respectivos nomes. (Essa animação deve estar presente na atividade 2).

5

Embaixo do motor deverá ter os botões 1 e 2, um do lado do outro. Quando o aluno passar

o mouse sobre estes motores deverá aparecer seus respectivos nomes.

O cilindro deverá ter um traço no inicio, no meio e no fim, com cores diferentes,

representando as respectivas posições.

Deverá ter uma tabela que será preenchida automaticamente.

Abaixo da tabela deverá ter os ângulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 150°, 180°, 220°, 270°, 330°

e 360° e o botão manual.

No botão manual o aluno terá o direito de escolher quando o funcionamento do motor deve

parar.

O aluno deverá clicar em um desses ângulos e em seguida clicar em iniciar, o motor irá

parar quando o pistão formar o ângulo escolhido.

Do lado esquerdo da tabela ficará a circunferência que deverá aparecer assim que a roda

parar. Conforme o ângulo formado pelo pistão deverá ter um triângulo retângulo inscrito na

circunferência.

Abaixo da circunferência e dos ângulos teremos o motor com seus respectivos

equipamentos.

Quando o aluno/a clicar em parar, a tabela deve ficar preenchida.

Terá os botões:

MENU: irá direcionar o aluno/a para a tela 3,

OPÇÕES: irá direcionar o aluno/a para a tela 11,

TEORIA: irá direcionar o aluno/a para a tela ,

QUESTÕES: irá direcionar o aluno/a para a tela 5,

INSTRUÇÃO: irá abrir uma janela pequena com o texto 1.

6


Tela 05: Questões da atividade 1

Texto 1: Manipule o motor. Você é capaz de justificar o movimento.



Dica 2: Quando o pistão estará no meio do cilindro?

Dica 3: Quando o pistão estará no fim do cilindro?

Explicação sobre a ação das Questões da atividade 1:

Abaixo do texto 1, terá os botões dica 1, dica 2 e dica 3, quando o aluno clicar deverá abrir

uma janela com os textos que se encontra acima.

Terá os botões:

ATIVIDADES: irá direcionar o aluno/a para a tela 3,

VOLTAR : irá direcionar o aluno/a para a tela 04,

OPÇÕES : irá direcionar o aluno/a para a tela 11,

TEORIA: irá direcionar o aluno/a para a tela 10.

7




Texto 1: Instrução:

Caro o/a aluno/a,

Para simular o funcionamento do motor

digite o tempo entre 0 e 60 segundos no

relógio.

Em seguida clique no botão iniciar.

O motor irá parar no tempo escolhido.

Botões 1: Iniciar

Explicação sobre a ação da Atividade 2:

O motor deverá realizar 5 voltas em um minuto, no sentido anti-horário.

O motor deverá ter as mesmas animações da atividade 1.

Deverá ter um caixinha onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos.

No lado direito deverá ter uma tabela onde teremos os ângulos formados pelo pistão e o

valor do seno desses ângulos.

Do lado esquerdo da tabela ficará círculo trigonométrico mostrando o ângulo formado

naquele instante pelo pistão. Esse deverá aparecer quando terminar o movimento da roda.

Deverá ter o botão 1.

Terá os botões:


VOLTAR: irá direcionar o aluno/a para a tela 03,

8


TEORIA: irá direcionar o aluno/a para a tela 10,



9



Tela 07: Questões da Atividade 2

Texto 1: Manipule o tempo. Você é capaz de justificar os valores dos ângulos maiores que 360°. Elabore o roteiro com as seguintes dicas:

Dica 1: Observe o movimento do pistão no

tempo de 0 à 12 segundos, no sentido anti-

horário:






Dica 3: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 3, 15 e 27 segundos.


• Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 90°, seno de 450° e seno de 810°. O que conclui?

10

Dica 4: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 5, 41 e 53 segundos.

• Os ângulos formados pelo o pistão

são os mesmos?

• Olhe a tabela do seno e encontre o

valor do seno de 150°, seno de 1230°

e seno de 1590°. O que concluí?

Explicação da ação das questões da atividade 2:

Abaixo do texto 1, terá os botões dica 1, dica 2, dica 3 e dica 4, quando o aluno clicar

deverá abrir uma janela com os textos que se encontra acima.

Terão ainda no rodapé da tela de questões os seguintes botões:





11




Texto 1: Instrução: Caro o/a aluno/a.

Digite o tempo entre 0 e 60 segundos no

relógio.

Inicie a atividade clicando no botão iniciar.

O movimento irá parar no tempo

escolhido.

Botões 1: Iniciar

Explicação da ação da Atividade 3:

Deverá ter dois círculos trigonométrico um girando no sentido horário e outro no sentido

anti-horário, como na figura acima.

O pistão deverá realizar 5 voltas em um minuto, em cada um dos círculos.

Deverá ter um relógio digital onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60

segundos.

Quando a pistão parar, deverá aparecer o ângulo descrito pelo pistão como nas figuras, o

valor do ângulo também deverá aparecer.

Deverá ter dois botões 1, 2 com os seus respectivos nomes.

Terá os botões:

Terá ainda no rodapé da tela de questões os seguintes botões:


12






13


Autor: Equipe Rived Matemática/UFU Tela 09: Questões da atividade 3

Texto 1: Manipule o tempo. Você é capaz de

justificar a relação existente entre os ângulos

negativos e positivos.


Dica 1:

Qual o ângulo formado no tempo de 11

segundos, no sentido horário?

Qual seria o ângulo formado pelo pistão

no tempo de 1 segundo no sentido anti-horário?

O que você conclui sobre o sen(-30°) e

sen(330°)?

Dica 2:




no tempo de 9 e 21 segundos no sentido anti-

horário?

O que você conclui sobre o sen(-450°),

sen(270°) e sen(630°)?

Dica 3:




no tempo de 4, 16 e 28 segundos no sentido

anti-horário?

O que você conclui sobre o sen(-960°),

sen(120°), sen(480°) e sen(840°)?

14

Continuação das questões da atividade 3

Dica 4:

Qual o ângulo formado no tempo de

46 segundos, no sentido horário?

Qual seria o ângulo formado pelo

pistão no tempo de 2, 14, 26 e 38 segundos

no sentido anti-horário?

O que você conclui sobre o sen(-

1380°), sen(60°), sen(420°), sen(780°) e

sen(1140°)?

Explicação da ação das Questões da atividade 3:

Abaixo do texto 1, terá os botões dica 1, dica 2, dica 3 e dica 4, quando o aluno clicar

deverá abrir uma janela com os textos que se encontra acima.

Terá ainda no rodapé da tela de questões os seguintes botões:





15



Tela 10: Teoria

Texto

Texto 1: Conceito de ângulo

Texto 2: Unidades de medida de arcos

Texto 3: Ângulos positivos e negativos

Texto 4: Definição de Seno

Texto 5: Relação Trigonométrica

Texto 6: Razão Trigonométrica

Texto 7: Tabela Trigonométrica

Texto 8: Círculo Trigonométrico

Explicação da ação:

MENU: irá direcionar o aluno/a para a tela 03;

VOLTAR: irá direcionar o aluno/a para a tela 08;

OPÇÕES: irá direcionar o aluno/a para a tela 11;

QUESTÕES: irá direcionar o aluno/a para a tela 09;

Botões Caixas de Teorias: terão os títulos dos textos, cada uma das caixas abrirá o

respectivo texto na teoria, estes textos se encontram logo abaixo da tela de opções nas suas

respectivas ordens.

16


Tela 11: Opções

Explicação da ação:

MENU: irá direcionar o aluno/a para a tela 03;

VOLTAR: irá direcionar o aluno/a para a tela 08;

OPÇÕES: irá direcionar o aluno/a para a tela 11;

TEORIA: irá direcionar o aluno/a para a tela 10;

QUESTÕES: irá direcionar o aluno para a tela das questões sobre a Atividade que está

sendo realizada.

TERÁ AS CAIXINHAS INTITULADAS:

Tabela Trigonométrica: irá abrir uma tela com os valores dos senos dos ângulos até 360°

e alguns mais.

Calculadora: irá abrir uma tela com uma calculadora com funções básicas e funções

trigonométricas.

17


Autor: Equipe Rived Matemática/UFU TEORIA: Textos das caixas

Textos:

Texto 1: Conceito de ângulo

Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta

orientados (ou duas semi-retas orientadas) a

partir de um ponto comum.

A interseção entre os dois segmentos (ou

semi-retas) é denominada vértice do ângulo e

os lados do ângulo são os dois segmentos (ou

semi-retas).



Teoria

Textos das caixas

Texto 2: Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema

Internacional (SI) é o radiano, mas existem

outras medidas utilizadas pelos técnicos que

são o grau e o grado. Este último não é

18

muito comum.

Radiano: Medida de um arco que tem o

mesmo comprimento que o raio da

circunferência na qual estamos medindo o

arco. Assim o arco tomado como unidade

tem comprimento igual ao comprimento do

raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.

Grau: Medida de um arco que corresponde a

1/360 do arco completo da circunferência na

qual estamos medindo o arco.

Grado: É a medida de um arco igual a 1/400

do arco completo da circunferência na qual

estamos medindo o arco.

19



Teoria

Textos das caixas

Texto:

Texto 3: Ângulos positivos e negativos

Ângulo positivo (ou direto) é o ângulo gerado no sentido

contrário ao dos ponteiros do relógio.

Ângulo negativo (ou indireto) é o ângulo gerado no

sentido dos ponteiros do relógio.

Imagem

20



Teoria

Textos das caixas

Texto:

Texto 4: Definição de Seno

Se Â é um ângulo agudo de um triângulo retângulo, o seno

de Â é a razão entre o cateto oposto a Â e a hipotenusa. Ou

seja, sen A = (cateto oposto)/hipotenusa.

Texto 5: Relação Trigonométrica

É uma comparação entre duas grandezas trigonométricas

como, por exemplo, sen A = (cateto oposto)/hipotenusa.

Texto 6: Razão Trigonométrica

É a razão entre duas grandezas trigonométricas como, por

exemplo, (lado 1)/(sen Â).

Texto 7: Tabela Trigonométrica

É uma tabela com os valores dos senos e cossenos dos

ângulos de 0° à 360°, mas alguns ângulos maiores que 360°.

imagem

21

Tabela Trigonométrica das teorias e das opções, estas devem estar ligadas, ou seja, quando

o aluno clicar em tabela trigonométrica na teoria ou nas opções irá abrir a mesma tabela.

.

Ângulo seno Ângulo seno

0 0

5 0,09 50 0,77

10 0,17 55 0,82

15 0,26 60 0,87

20 0,34 65 0,91

25 0,42 70 0,94

30 0,50 75 0,96

35 0,57 80 0,98

40 0,64 85 0,99

45 0,71 90 1

Documents

Guia do Professor: Ampliando as noções trigonométricas ...ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos/conteudos-digitais/guias... · Na realidade, a trigonometria em especial as funções