Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Escoamento de areia

Objetivo da unidadeObter relações de proporcionalidade através do escoamento de areia.

O experimento

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Números e fuNções

O experimento

SinopseUsando areia e garrafas pet, os alunos serão direcionados a identificar algumas relações que descrevem o escoamento de areia em funis com diferentes tamanhos de bocais. Essas relações são bastante significativas em vários fenômenos na física.

ConteúdosRazão e Proporção: proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa.

ObjetivoObter relações de proporcionalidade através do escoamento de areia.

DuraçãoUma aula simples.

Escoamento de areia

Escoamento de areia O Experimento 2 / 10

Introdução

A ampulheta é um dos instrumentos mais antigos para medir o tempo. Ela é constituída por duas âmbulas de vidro que se comu­nicam através de um orifício de determinado tamanho, deixando certa quantidade de areia passar de uma parte para outra. Mas, como será que se determina o tempo que uma ampulheta irá marcar? Que fatores devemos considerar para fazer tal previsão? Certamente a quantidade de areia e o tamanho do orifício entre as duas âmbulas influenciam nesse caso. No entanto, o que nos falta é descobrir se há alguma relação entre esses dois fatores e, se tiver, de que forma essa relação se dá. Tais descobertas deixamos para que os alunos façam no expe­rimento, ao estudar o escoamento da areia utilizando funis feitos com garrafas pet. Este estudo permitirá tratar de propor­cionalidade direta e inversa e fazer com que os alunos estabeleçam hipóteses que, posteriormente, serão verificadas. Também será uma ótima oportunidade para interagir interdisciplinarmente: a partir do EscoameNto de areia, é possível discutir, além de Matemática, Física e até mesmo Química.

Escoamento de areia O Experimento 3 / 10

O Experimento

Material necessário

2 litros de areia; �

4 garrafas � pet de 2 litros;Régua; �

Tesoura ( � esta tesoura deve ser capaz de cortar o plástico da garrafa);Folha de papel � a4 (ou folha de caderno);2 elásticos; �

Relógio. �

Preparação Inicial

Para o sucesso da atividade, é necessário que os alunos tragam de casa a areia e as garrafas. Para isso, entregue a eles com certa antecedência a lista de materiais necessários. Além disso, recomende:A areia não deve estar úmida em hipótese �

alguma;A areia deve ser peneirada para que nenhum �

objeto obstrua o funil;Uma das garrafas � pet deve ser graduada usando um medidor de volume.

Para graduar a garrafa use, por exemplo, um copo de volume conhecido. Supondo um copo de 200 ml, uma garrafa de 2 litros terá 10 marcações, quantidade suficiente para as necessidades do experimento.

Atividade preliminar

Sugerimos uma atividade preliminar para que os alunos se familiarizem com o aparato antes do início do experimento. Entretanto, se preferir, é possível pular essa etapa sem comprometer o experimento.

fig. 1

Escoamento de areia O Experimento 4 / 10

Note que o tempo total de escoamento será o menor possível quando a areia acabar nos dois funis ao mesmo tempo. Se a areia terminar em um dos funis e não no outro, significa que houve um erro de divisão, já que a quantidade restante seria mais rapidamente escoada se estivesse repartida entre os dois funis. Note também que Q1+Q2 = 2Ll.

Divida a sala em trios. Na atividade preliminar, os alunos devem escolher um tamanho de bocal fixo e variar a quantidade de areia, para verificar o tempo de escoa­mento em cada variação. O próximo passo é fazer o inverso: o tamanho dos bocais varia para uma determinada quantidade de areia. Novamente, o tempo de escoamento deve ser mensurado. Com isso, eles evidenciarão dois fatos:quanto maior a quantidade de areia, maior é �

o tempo de escoamento;quanto maior a área do bocal, menor é �

o tempo de escoamento.

O problema

Dados 2 litros de areia, quais devem ser as quantidades Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 a serem distribuídas em dois funis de raio Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 , respectivamente, para que o tempo total de escoamento dos dois funis seja o menor possível?

Formulação do problema Ao solucionar o problema ºproposto, estaremos obtendo Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 que otimizam o escoamento da areia.

fig. 2

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Em cada um deles, devem ser feitos buracos de formato circular com 0,25 cm, 0,5 cm e 0,75 cm de raio, como na figura 4:

Usar os elásticos para prender os quadrados 3. na boca do funil, formando diferentes bocais.

Coleta de DadosO primeiro passo é dividir os 2 litros de areia em duas garrafas e despejá­la simultaneamente em dois funis diferentes, na tentativa de solucionar o problema.

Tráfego de areia

Antes de começar a atividade, certifique­se de que os trios estão com os materiais neces­sários para a realização do experimento. Feito isso, entregue para cada grupo uma cópia da Folha do AluNo e leia a proposta com os alunos. Esclareça as possíveis dúvidas e enfatize o problema que deverá ser solucionado. A partir disso, dê início à construção dos funis.

Construção dos funisOs alunos realizarão os seguintes procedimentos:Cortar duas garrafas de modo a obter 1. dois funis, como na figura 3;

Recortar de uma folha de caderno três 2. quadrados com pelo menos 10 cm de lado.

etapa

1

fig. 3

fig. 4

fig. 5

Escoamento de areia O Experimento 6 / 10

A altura da coluna de areia sobre a abertura �

deve permanecer a mesma, enquanto for possível, para que a vazão de areia seja constante. Além disso, o aluno que despeja a areia deve ficar atento para que o funil não fique vazio ou que o fluxo seja inferior à capacidade máxima.

Os alunos deverão utilizar a garrafa graduada para medir os valores de Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 que fazem com que o tempo de escoamento seja o menor possível. Esses dados serão anotados na tabela 1, presente

Provavelmente a areia terminará de escoar mais rapidamente em um dos funis. Como o nosso desafio é fazer com que ambos funis gastem o mesmo tempo para concluir o escoamento, auxilie os alunos a realocar uma quantidade de areia do funil que terminou por último para o outro funil. Os alunos deverão repetir esse processo até que o escoamento da areia termine simultaneamente. Além disso, tome alguns cuidados:A areia deve começar a escoar ao mesmo �

tempo nos dois funis. Diga aos alunos para colocarem areia nos funis, tampando os bocais com as mãos;

fig. 6

Caso a areia não esteja !seca, seu escoamento pelo funil será prejudicado.

fig. 7

fig. 8

Acompanhe os valores !de Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 obtidos pelos grupos. Se forem discrepantes, questione-os sobre fatores que podem ter sido motivo da alteração no resultado.

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Enquanto os alunos tentam responder à pergunta proposta, faça algumas perguntas que os direcionem à relação de proporcionali­dade entre os valores tabelados. Inicialmente os alunos podem imaginar que a quantidade de areia que escoa pelo funil é proporcional ao seu raio, quando, na verdade, será propor­cional à área do buraco. Algumas questões podem auxiliar os alunos a chegarem a essa conclusão:Quais fatores influenciam o escoamento �

da areia? De que forma eles influenciam?A quantidade de areia é diretamente �

proporcional ou inversamente proporcional ao raio do bocal?Ao dobrar o tamanho do raio, a quantidade �

de areia que passa pelo furo em um deter­minado tempo t também dobra?

Fechamento

Depois que todos os grupos terminarem os procedimentos descritos na Folha do AluNo, sugerimos o FechameNto em duas etapas (a segunda etapa é opcional).

Socialização dos DadosReúna as informações coletadas, tabelando os valores Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 obtidos por pelo menos cinco grupos. Faça isso reproduzindo na lousa três tabelas, similares à tabela 2:

na Folha do AluNo. Sugerimos a realização do experimento usando três combinações de bocais. Para cada uma delas, os alunos obterão valores próximos aos apresentados na tabela 1:

Análise dos DadosA partir da tabela, propomos na Folha do AluNo a seguinte questão:

Vocês conseguem perceber alguma relação entre as quantidades Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 e os raios Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2? Se sim, descreva­a.

A relação entre esses valores é dada, aproximadamente, pela seguinte expressão:

Q1

Q2=

r 21r 22

Q1

r 21=

Q2

r 22 ou Q1

Q2=

r 21r 22

Q1

r 21=

Q2

r 22.

Raio dos bocais (cm)

Quantidade de areia (l)

Tempo de escoamento (s)

r1 r2 Q1 Q2

0,5 0,75 0,62 1,38 38 s

0,5 0,25 1,6 0,4 1 min 31 s

0,25 0,75 0,2 1,8 42 s

tabela 1

Questão para os alunos

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um funil é proporcional à área do bocal do funil, à velocidade e ao tempo de escoamento. Além disso, monte o Sistema de Equações a seguir para obter os valores esperados para Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2:

Q1

Q2=

r 21r 22

,(1)

Q1+Q2 = 2 ,(2) ,

isolando Q1 Q2 r1 r2 em (1) (2) Q1 =Q2 ·r 21r 22

, temos

(1) (2) Q1 =Q2 ·r 21r 22

.

Substituindo Q1 Q2 r1 r2 em (1) (2) Q1 =Q2 ·r 21r 22

:

Q1+Q2 =Q2 ·r 21r 22

+Q2 = 2 Q2 · r 21 +Q2 · r 22 = 2 · r 22 ⇒Q2 · (r 21 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 22 )

Q1+Q2 =Q2 ·r 21r 22

+Q2 = 2 Q2 · r 21 +Q2 · r 22 = 2 · r 22 ⇒Q2 · (r 21 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 22 )

Q1+Q2 =Q2 ·r 21r 22

+Q2 = 2 Q2 · r 21 +Q2 · r 22 = 2 · r 22 ⇒Q2 · (r 21 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 22 )

Analogamente, temos que:

Q1 =2 · r 21

(r 22 + r 21 ) .

Observe que o ExperimeNto foi feito para que a quantidade de areia que passa pelos funis de áreas A1 A2 A=A1+A2 e A1 A2 A=A1+A2 seja equivalente à quantidade de areia que passaria por um funil de área total igual a soma das áreas dos dois funis A1 A2 A=A1+A2.

uma tabela para cada combinação de valores de Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2 usada no experimento.

Provavelmente, as quantidades anotadas não serão idênticas, porém esperamos que os valores sejam próximos aos sugeridos na tabela 1. Discuta sobre os fatores que podem ter influenciado na obtenção dos dados do experimento:corte e formato dos buracos nos bocais; �

medida das quantidades de areia usando �

a garrafa graduada;variações no escoamento da areia devido �

ao descuido quanto às recomendações.

Questione seus alunos sobre quais relações eles estabeleceram entre as quan­tidades Q1 Q2 r1 r2, Q1 Q2 r1 r2, Q1 Q2 r1 r2 e Q1 Q2 r1 r2. Para isso, retome as dicas propostas no fim da Etapa 1. Verifique também se as proposições dos alunos condizem com os dados anotados na lousa. Caso nenhum grupo encontre a relação

Q1

Q2=

r 21r 22

Q1

r 21=

Q2

r 22,

mostre como ela satisfaz os dados presentes na tabela 2. A partir dela, podemos concluir que a quantidade de areia que passa em

Q1 Q2 r1 r2 = Q1 Q2 r1 r2 =

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5

Q1 Q2 r1 r2

Q1 Q2 r1 r2

tabela 2 Tabela a ser reproduzida na lousa.

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Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Analogamente, temos que:

Q1 =2 · r 21

(r 21 + r 23 + r 22 )Q3 =

2 · r 23(r 21 + r 23 + r 22 )

e Q1 =2 · r 21

(r 21 + r 23 + r 22 )Q3 =

2 · r 23(r 21 + r 23 + r 22 )

.

Auxilie os alunos na resolução do sistema e, assim que terminarem, reúna os dados obtidos e preencha a tabela 3 na lousa. Depois, caso haja tempo, faça o experimento com os três funis e verifique com a classe se os valores encontrados para Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3, Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3 e Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3 estão corretos.

Variação do problemaNesta etapa, apresente para os alunos uma variação do problema anterior:

Dados 2 litros de areia, quais devem ser as quantidades Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3, Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3 e Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3 a serem distri­buídas em três funis de raio Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3, Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3 e Q1 Q2 Q3 r1 r2 r3, respectivamente, para que o tempo de escoa­mento seja o mesmo?

Peça para que eles tentem resolver essa questão sem usar os funis e a areia, contando apenas com o raciocínio apresentado ante­riormente, o que lhe permitirá verificar se os alunos compreenderam a lógica usada na solução. Os raios para os buracos podem ser os mesmos usados no experimento: 0,25 cm, 0,5 cm e 0,75 cm. Para solucionar o novo problema, basta resolver o sistema a seguir:

Q1

Q2=

r 21r 22

Q1

Q3=

r 21r 23

Q1+Q2+Q3 = 2

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Q1 =Q2 ·r 21r 22

⇒Q3 =Q2 ·

r 23r 22

⇒Q2 ·

r 21r 22

+Q2 ·

r 23r 22

+Q2 = 2 Q2 · (r 21 )+Q2 · (r 23 )+Q2 · (r 22 ) = 2 · (r 22 )⇒Q2 · (r 21 + r 23 + r 22 ) = 2 · r 22 Q2 =

2 · r 22(r 21 + r 23 + r 22 )

Questão para os alunos

Raio dos bocais (cm)

Quantidade de areia (l)

Tempo de escoamento (s)

r1 r2 r3 Q1 Q2 Q3

0,25 0,5 0,75 0,14 0,57 1,29 36 s

tabela 3 Tabela a ser reproduzida na lousa.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorSamuel Rocha de Oliveira

Coordenação de Redação Fabricio de Paula Silva

RedaçãoThaisa Aluani

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto