Guia do Professor

Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss NOA – UFPB

1. Introdução

Apresentamos adiante instruções sobre como utilizar esse objeto de aprendizagem com a in-tenção de facilitar a construção de significados sobre a Lei de Gauss.

Esse material instrucional foi fundamentado na teoria de David Ausubel, que indica uma participação ativa do aprendiz na construção de seu conhecimento como um dos ingredientes fun-damentais da aprendizagem significativa. Para facilitar essa participação, estruturamos esse objeto de aprendizagem com vários componentes autônomos e complementares, quais sejam; animações interativas, mapas conceituais e textos descritivos. Eles são autônomos pois essas partes podem ser utilizadas de maneira exclusiva, e são complementares na medida que cada elemento apresenta uma faceta específica do veículo que utiliza e que complementa os demais componentes.

Existem circunstâncias onde o professor pode julgar mais adequado iniciar o contato dos seus alunos com determinado tema usando textos descritivos, que permitem um detalhamento mais acurado do assunto, pois utiliza o meio verbal como veículo de transmissão das informações. Em outras oportunidades, o mestre pode julgar mais oportuno que seus estudantes tenham um primeiro contato com o tema através de uma animação interativa, que em nosso caso é composta por uma modelagem do fenômeno físico, com a possibilidade de serem modificados parâmetros que deter-minam as especificidades de apresentação de um cenário. Por exemplo, o aluno pode escolher di-versos valores de cargas e analisar o fluxo produzido por essas distribuições de cargas. E finalmen-te, o professor pode considerar mais relevante que o estudante tenha um contato inicial com o tema através de um mapa conceitual sobre esse assunto. O mestre tem inteira liberdade de escolher a se-quência de estratégias a ser empregada quando da utilização desse objeto de aprendizagem. 2. Objetivos

A Lei de Gauss se apresenta como uma ferramenta poderosa para o cálculo do campo quan-do consideramos distribuições de cargas elétricas que exibam simetria espacial.

O objetivo principal desse objeto de aprendizagem é facilitar a construção de modelos men-tais como um passo intermediário na construção de significados relacionados com fluxo.

Nos textos que acompanham esse OA são apresentadas analogias entre fluxo de matéria a-través de uma superfície e o fluxo relacionado com distribuições de cargas. São disponibilizadas diversas modelagens com a intenção de facilitar a compreensão do conceito de fluxo através de uma superfície, e sobre como esse fluxo pode variar, seja modificando a disposição da superfície ou mesmo alterando a distribuição de cargas. 3. Pré-requisitos

É necessário que o estudante já tenha tido contato com o conceito de carga elétrica, e a inte-ração entre cargas elétricas. 4. Tempo previsto para a atividade

Para uma exploração do conteúdo serão suficientes quatro horas de aula, onde na metade desse tempo o professor irá explorar as relações entre o valor do fluxo e as diversas possibilidades de escolhas de superfícies, bem como as diferentes distribuições de cargas elétricas.

2

5. Na sala de aula

Caberá ao mestre escolher o momento de apresentar os conceitos relacionados com fluxo, se inicia com uma exposição em sala de aulas e depois utiliza esse aplicativo, ou se faz o inverso; ou ainda se usa parte do tempo em sala de aulas, depois usa o computador e finaliza na sala de aulas. 6. Questões para discussão

Existem algumas situações que seriam convenientes que fossem discutidas em sala de aulas. Seria a análise mais detalhada matematicamente sobre como calcular o valor do campo elétrico cri-ado por distribuições determinadas de cargas elétricas.

Iremos considerar as seguintes situações: a. Campo produzido por uma carga elétrica isolada. b. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de mesmo sinal. c. Campo elétrico produzido por duas cargas elétricas de sinais diferentes. d. Campo produzido por um condutor na forma de um plano delgado infinito. e. Campo produzido por um condutor na for de um fio infinito.

6.a Carga elétrica isolada A situação mais simples relacionada ao fluxo de campo elé-trico acontece quando analisamos uma carga elétrica Q isolada. A maneira de representar as linhas de campo relacionadas com essa carga é traçar retas com origem nessa carga, e que dividam o qua-drante em ângulos iguais. Se resolvermos traçar cinco retas, elas deverão dividir o quadrante em cinco ângulos iguais, com valores de 3600/5 = 720. Quando a carga elétrica for positiva, como no caso, as linhas de campo apontam para fora da carga. Se a carga Q for positiva, como no caso das figuras 1 e 2, Figura 1 o vetor campo elétrico aponta no sentido da carga elétrica até o ponto de observação. E se a carga elétrica for negativa, o campo elétrico apontará no sentido contrário, apontará para a carga elétrica.

r Q E

r

Figura 2 Um vetor que se comporta como esse campo elétrico, é dito vetor com orientação radial,

pois está sempre dirigido ao longo do raio que tem como origem um ponto específico (a carga elé-trica nesse caso).

Quando consideramos uma superfície envolvendo a carga elétrica (como na figura 1), a Lei de Gauss diz que existe uma relação entre o fluxo elétrico ΦE através de uma superfície fechada e a carga elétrica Q envolvida por essa superfície fechada. Essa relação tem a forma:

ΦE = Q/ε0 Onde ε0 = 8,84 x 10-12 C2/N. m2 é uma constante conhecida como permissividade do vácuo, e tem o valor. Ela é mais utilizada na forma:

229

0

/.1099,84

1 CmNxk ==πε

Considerando a definição de fluxo elétrico, encontramos nesse caso que

3

ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0 Ou seja:

E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0 E finalmente

204

1rQE

πε=

6.b Cargas elétricas de mesmo sinal Quando colocamos uma segunda carga elétrica q no espaço que antes era ocupado por apenas uma carga, essa nova carga irá sentir a presença do campo elétrico E

r causado pela carga Q ori-

ginal. Em outras palavras, através do campo elétrico Er

criado pela carga original Q, a segunda carga elétrica q irá sentir a atua-ção de uma força elétrica F

r que tem a forma:

rrQqkr

rQkqEqF ˆˆ

22 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

rr

onde o vetor r̂ é um vetor radial unitário, que indica o sentido da Figura 3

força elétrica. Vetor unitário é aquele que tem modulo igual a um. Para analisar a situação com duas cargas elétricas devemos considerar o princípio da super-

posição. Esse princípio é válido em diversos contextos da Física. De acordo com o princípio da su-perposição, o campo elétrico em um determinado ponto do espaço, relacionado com duas cargas elétricas (Q1 e Q2) é igual a soma vetorial dos campos isolados associados a cada uma das cargas elétricas ( 1E

r e 2E

r), ou seja, o campo elétrico resultante E

r tem a forma:

21 EEErrr

+=

Como as cargas elétricas são positivas, as linhas de campo apontam num sentido saindo des-sas cargas. Podemos metaforicamente dizer que toda a região do espaço onde se encontram as car-gas está inundada por linhas de campo. Quando consideramos uma situação onde as cargas elétricas iguais a +Q, a situação se apresenta equivalente em relação às cargas elétricas, como mostrada na figura 3. Essas linhas de campo estão orientadas de modo a acompanhar as setas desenhadas na fi-gura 3, e essas setas representam o sentido do campo elétrico criado por essas cargas na região.

Nessa situação não encontramos uma simetria espacial como no caso da figura 1, ou seja, não temos uma superfície fechada onde o campo elétrico tenha o mesmo módulo sobre toda essa superfície, como acontece no caso da figura 1. Essa situação já nos mostra que a grande utilidade da Lei de Gauss acontece em situação com simetria espacial simples.

4

6.c Cargas elétricas de sinais diferentes Quando existem apenas duas cargas elétricas de sinais diferentes numa dada região do espaço, esse espaço fica inundado por linhas de campo como aquelas que estão mostradas na figura 4 ao lado. Se colocarmos nessa região duas cargas elétricas de mes-mo módulo mas de sinais opostos +Q e -Q, a situação se apresen-ta simétrica em relação às cargas elétricas, como mostrada na figura 4. Ao colocarmos uma terceira carga elétrica na região, essa carga +q irá sofre a ação de uma força elétrica

EqFrr

= Figura 4 Essa força elétrica estará orientada segundo as linhas de campo, que nesse caso poderiam se

chamas linhas de força. Na figura 4 as linhas de força estão direcionadas de uma carga para outra, saindo da carga elétrica positiva. Sobre essa terceira carga q irá atuar uma força resultante da influ-ência das duas cargas +Q e –Q. 6.d Plano delgado infinito. Quando estamos considerando uma folha (ou plano delgado infinito) não condutora carregada eletricamente, a aplicação da Lei de Gauss tem grande utilidade. Vamos considerar que não existe movimento de cargas elé-tricas, e que elas estão distribuídas uniformemente sobre o plano, com uma certa densidade superficial de cargas σ , onde:

AQ

=σ

Ou seja, existe uma certa quantidade de carga elétrica Q para uma dada área A. Se formos analisar uma área que é o dobro da área mencionada, existirá uma quantidade de carga elétrica que é o dobro da carga mencionada inicialmente. Intuitivamente podemos perceber que o campo elétrico cria-do por essa distribuição de cargas está dirigido perpendicularmen-te à superfície do plano, como está indicado nas figuras 1 e 2. Considerando um campo com essa direção, a superfície de Gauss mais conveniente de ser utilizada é um cilindro reto com a base paralela ao plano carregado. Considerando uma superfície gaussiana dessa forma, temos:

Figura 5

Figura 6

ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0 Ou seja:

Σ E ΔA =E A + EA = 2 E A = Q/ε0

Na equação anterior estamos considerando que o campo elétrico é perpendicular à superfície lateral do cilindro, e desse modo não existe fluxo elétrico através das paredes laterais desse cilindro. E estamos considerando ainda que são iguais as contribuições do fluxo elétrico através das superfí-cies paralelas ao plano. Em outras palavras:

5

00 221

εσ

ε=⇒= E

AQE

6.e Fio infinito. Quando consideramos um fio não condutor infinito, a apli-cação da Lei de Gauss tem grande utilidade. Intuitivamente pode se perceber que o campo elétrico pro-duzido por essa distribuição é perpendicular ao fio. Uma escolha simples de uma superfície de Gauss seria um cilindro reto, e nesse caso

ΦE = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0 Ou seja:

Σ E ΔA =E A= E 2π r L = Q/ε0 Na equação anterior consideramos que o campo elétrico é perpen-dicular à superfície lateral do cilindro, e esse campo é paralelo à Figura 7 base do cilindro.

Teremos então que

rLQE /

21

0πε=

Se definirmos a densidade linear de carga λ como sendo a quantidade de carga Q existente

num determinado comprimento L do fio, teremos:

rkE

rE λλ

πε2

21

0

=⇒=

Onde 229

0

/.1099,84

1 CmNxk ==πε

7. Na sala de computadores 7.a Requisitos técnicos:

O OA foi desenvolvido através da plataforma Macromedia Flash Professional 8.0 e requer que o usuário disponha de um plug-in Adobe Flash Player 8.0. Este plug-in pode ser encontrado e rapidamente instalado em sua máquina a partir do site www.adobe.com. O OA foi desenvolvido para solicitar o menor recurso computacional possível, o que permite aos computadores de menor desempenho executar perfeitamente este aplicativo educacional. 7.b Preparação:

O ideal seria alocar no máximo dois aprendizes por máquina. Caso contrário deve-se dispo-nibilizar a turma em frente ao computador nos limites de resolução da tela do monitor associado ao conforto visual dos aprendizes. Em caso de público maior sugerimos o uso do data-show acoplado ao computador. 7.c Durante a atividade:

Este objeto de aprendizagem foi construído vislumbrando o máximo possível à auto-explicação de forma a possibilitar ao aprendiz a autonomia necessária à construção do conhecimen-to com algumas variantes no processo, sem equivalência entre elas.

6

Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física

Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física em processo mediado pelo professor. Interação: grupo de estudos (aprendizes e/ou professor) com participantes distribuídos, mas interli-

gados em rede → OA → conceitos da Física.

Seria interessante, em atividades mediadas sistematizar algumas lógicas: i. Conceber e administrar situações-problema ajustadas ao nível e possibilidades cogniti-

vas do aprendiz. ii. Negociar um processo avaliativo congruente com o OA. iii. Observar e avaliar os alunos em aprendizagem de acordo com uma abordagem formati-

va. iv. Administrar a heterogeneidade cognitiva no âmbito da turma. v. Proporcionar um ambiente favorável ao desenvolvimento da autonomia do aprendiz que

permita articular suas visões. vi. Articular a solução de problemas com a construção dos conceitos da Física.

 

Questões e Desafios Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss 

NOA – UFPB 

 

Questão 1‐ 

Linhas de campo elétrico são representações pictóricas que  fornecem uma descrição qualitativa do vetor campo elétrico.  

 

Observando a figura que utiliza uma representação das  linhas de campo elétrico de uma configuração de cargas  elétricas,  através  das  regiões  S1,  S2,  S3  que  são  planos  paralelos  de mesma  área.  São  feitas  as afirmações: 

i‐ O módulo do  vetor  campo elétrico que  atravessa  cada uma das  regiões 1, 2 e 3 em ordem decrescente de valores são respectivamente E1> E2> E3. 

ii‐ O campo elétrico é quantizado e existe apenas nas regiões do espaço onde foram traçadas as linhas de campo elétrico, e sendo nulo na região entre estas. 

iii‐ Embora a configuração das  linhas de campo elétrico na figura esteja simplificada (traçada um número finito de linhas) estas constituem uma ajuda valiosa para indicar a direção (tangente à linha de  campo elétrico em  cada ponto do espaço por onde passam) o módulo  (a partir do espaçamento  entre  elas)  e  o  sentido  (indicação  da  seta)  do  vetor  campo  elétrico  em  cada região do espaço onde foram representadas.  

Analise cada uma das afirmações acima  julgando em verdadeira ou  falsa e  justifique  conceitualmente, a partir das propriedades das linhas de campo elétrico. 

Questão 2‐ 

A palavra fluxo deriva do latim (fluxu) que significa fluir, ou seja, algo atravessando uma superfície (real ou imaginária). Considere os conceitos:  

S1  S2 S3

a) Linhas do campo elétrico – linhas imaginárias traçadas adequadamente em uma região do espaço, de modo  a  fornecer  informações  qualitativas  do  vetor  campo  elétrico  idealizadas  por Michael Faraday (Inglaterra‐ 1791‐1867). 

b) Vetor superfície (ΔS = Sµ) – grandeza caracterizada por possuir módulo igual a área da superfície e direção do vetor unitário normal à superfície.   

c) Produto  escalar  de  dois  vetores  –  grandeza  escalar  definida  pela  operação  matemática  a.b  = abcosβ; β, ângulo tomado entre as direções dos vetores a e b. 

d) Fluxo elétrico  (  φE = E.ΔS) – grandeza escalar definida matematicamente  como  sendo o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor de superfície (Karl F. Gauss‐ 1777‐1855). 

Na posse destes conceitos analise cada uma das situações  julgando em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações e fundamente sob o ponto de vista da Física.  

• Situação 1 Considere  a  representação  das  linhas  de  campo  elétrico  de  um  campo  elétrico  uniforme atravessando uma superfície  imaginária plana de área S e vetor superfície ΔS e as afirmações referentes à mesma. a) O fluxo elétrico é máximo se E é paralelo a  ΔS. b) O fluxo elétrico é mínimo se E é perpendicular a  ΔS. c) Para um ângulo β entre E e ΔS de 45*temos que φE = φE max/2. d) Para um ângulo β entre E e ΔS de 0* temos que o fluxo elétrico é nulo.  

• Situação 2 Considere a representação das  linhas de campo elétrico de um campo elétrico de uma carga puntiforme  positiva  circundada  por  uma  superfície  gaussiana  (que  consiste  de  uma  casca esférica imaginária de raio r variável centralizada sobre a carga) e as afirmações: a) A escolha da  casca esférica  centralizada é  facilitadora para obtermos o  campo elétrico a 

partir da Lei de Gauss. b) O sentido das  linhas de campo elétrico através da casca esférica será sempre do  interior 

para o exterior da mesma.  c) Se  aumentarmos  o  raio  da  casca  esférica  o  fluxo  elétrico  através  da  mesma  também 

aumentará. d) Se aumentarmos o raio da casca esférica o fluxo elétrico através da mesma permanecerá o 

mesmo. 

Questão 3‐ 

A Lei de Gauss para a eletricidade afirma que o fluxo elétrico (φE) resultante através de qualquer superfície gaussiana (fechada) é igual à carga líquida no interior da superfície dividida pela permissividade elétrica do meio. 

φE =  Σqinterior/ε 

Descreva o que acontece com o fluxo elétrico resultante através de uma superfície gaussiana que consiste em uma casca esférica que circunda uma carga puntiforme q em cada uma das situações: 

a) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana for quadruplicada. b) A carga elétrica no interior da superfície gaussiana for reduzida a metade. 

c) O volume da casca esférica (superfície gaussiana) for dobrado. d)  A superfície gaussiana for trocada por uma casca cilíndrica. e) A carga no interior da superfície for trocada de posição, mas ficando ainda no interior da superfície 

gaussiana. 

Questão 4‐ 

Considere  a  indagação:  fluxo  elétrico  nulo  através  de  uma  superfície  gaussiana  significa  campo  elétrico através da mesma, nulo?   

E as proposições referentes à indagação: 

a) Não  há  partículas  carregadas  dentro  da  superfície,  sendo  nulo  o  campo  elétrico  através  da superfície. 

b) Há partículas carregadas no interior da superfície, entretanto, a carga elétrica líquida no interior da superfície é nula e consequentemente, o campo elétrico de cada contribuição de cargas positivas e negativas é nulo; sendo também o campo elétrico resultante, através da mesma. 

c) Para qualquer das duas possibilidades, embora possamos afirmar que o  fluxo elétrico através da superfície  gaussiana  é  nulo,  não  podemos  afirmar  que  o  campo  elétrico  resultante  através  da mesma seja nulo. 

d) É  possível  uma  superfície  gaussiana  ser  atravessada  por  um  campo  elétrico  não‐nulo  e mesmo assim, o fluxo elétrico através da mesma ser nulo. 

e) O  fluxo  elétrico  através  de  uma  superfície  gaussiana  é  proporcional  à  carga  elétrica  líquida  no interior da mesma e não ao campo elétrico que a atravessa, 

Fundamente  através  dos  conceitos  da  Física  cada  uma  das  proposições  e  responda  corretamente  à indagação. 

Questão 5‐ 

Efeitos  recentemente  descobertos  associados  a  campos  elétricos  atmosféricos  são  chamados  esperitis vermelhos  e  jatos  azuis  (visite:  umbra.nascom.nasa.gov/spd/sprites.html  eelf.si.alaska.edu/  citado  por Serway.  R.  A.,  Jewtt,  J. W.  Jr.;  p.  708  v.  3.  3ª  edição;  Princípios  de  Física‐eletromagnetismo‐CENGAGE Learning.  2008).  Estes  campos  elétricos  podem  ser medidos  com  um  instrumento  chamado  sensor  de campo. Para um plano horizontal  imediatamente acima da superfície da Terra no ar  (desconsiderando as variações para pequenas altitudes) foi mapeado um campo elétrico uniforme vertical e de cima para baixo. Neste momento desloca‐se em uma pequena extensão desta região na superfície da terra um furgão. A sua pequena velocidade permite descrever seu movimento por  instantâneos,  isto é, segundo um conjunto de pequenos trechos no qual o furgão foi considerado estacionário.  

Trecho 1 – plano horizontal 

Trecho 2 – aclive de inclinação 20* 

Trecho 3 – declive de inclinação 20* 

Trecho 4 – o mesmo é içado verticalmente por um cabo para o topo de um pequeno barranco 

Sendo  desprezíveis  as  variações  do  vetor  campo  elétrico  até  a  superfície  da  Terra  e  tomando  como parâmetro  a  área  do  teto  do  furgão  como  uma  superfície  plana  e  imaginária  a  qual  o  campo  elétrico atravessa construa um diagrama representativo do fluxo elétrico através da superfície para cada trecho.  

 

Campo Elétrico e a Lei de Gauss

Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss NOA – UFPB

No texto sobre fluxo de matéria (que consta nesse objeto de aprendizagem) nós analisamos

as possibilidades de variação de fluxo de matéria através de uma superfície quando alteramos a in-clinação entre o plano que contém essa superfície e o jato de matéria considerado. E podemos con-cluir que quando for noventa graus o ângulo entre o jato de matéria e a superfície que será atraves-sada, o fluxo será máximo. Na medida em que diminui o ângulo mencionado, o fluxo irá diminuin-do, até o extremo do fluxo de matéria através da superfície ser nulo quando o ângulo for zero grau. Por outro lado, através de um exemplo simples, iremos concluir que quando no interior de uma superfície fechada não existir fonte ou sorvedouro, é nulo o fluxo através dessa superfície. Considere um cilindro reto, construído com o material equiva-lente a uma peneira. Se sobre a superfície superior desse cilindro incidir perpendicularmente um jato de água, essa água irá atravessar o interior o cilindro sem tocar nas suas paredes laterais, e irá sair integralmente do cilindro através da sua superfície inferior. Podemos concluir, de acordo com o texto (que consta nesse objeto de aprendizagem), que o fluxo de água que atravessa a superfície superior é a mesma que sai pela superfície inferior. Em outras palavras, é nulo o fluxo de água que atravessa a superfície desse cilindro. O fluxo de água através da superfície desse cilindro será diferen-te de zero apenas quando existir uma fonte de água no seu interior. Quando existir uma fonte de água dentro do cilindro, existirão apenas jatos de água se dirigindo para fora do cilindro, e nesse caso

Figura 1

acontecerá um fluxo positivo através da sua superfície. Definimos fluxo de matéria ΔΦ como sendo o volume de matéria por unidade de tempo que

atravessa determinada superfície ΔA , ou seja:

AvtV

Δ=ΔΔ

=ΔΦ

onde v é a velocidade da matéria ao atravessar a superfície ΔA . Quando consideramos duas cargas elétricas pon-tuais de mesmo sinal próximas uma da outra, os vetores força de interação estarão ao longo da reta que une as duas cargas, e apontarão em direções opostas indicando que as cargas tenderão a se afastar mutuamente, como conseqüência dessa força repulsiva.

12F

r 21F

r

Q1 r12 Q2

Figura 2 Em qualquer posição que coloquemos a carga elétrica 2, a sua companheira carga 1 exercerá

uma força elétrica proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2 e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre essas cargas, na forma da Lei de Coulomb:

212

21

02112 4

1rQQFF

πε==

Existe outra forma de representar a interação entre duas cargas em determinada região do espaço, e para analisar essa forma introduzimos a noção de campo, em especial a noção de campo elétrico. Quando uma carga é colocada numa região que não existe nenhuma outra carga elétrica, ela obviamente não sente nenhuma influência elétrica das suas vizinhanças, visto que está isolada da presença dessas influências. No entanto podemos considerar que essa carga modificou as carac-terísticas do espaço em torno de si. Dizemos que essa carga criou um campo elétrico nas suas vizi-nhanças, e que qualquer carga colocada nessa região irá sentir a influência desse campo. Uma maneira de representar o campo elétrico criado por uma carga elétrica pontual é através da utili-zação das linhas de campo, como desenhadas em trace-jado na figura 3. Quando colocarmos uma carga elétrica Q2 numa situação equivalente a aquela da figura 2, exis-tirá (obviamente) uma força elétrica de mesmo valor entre as cargas Q1 e Q2 . Estamos consideramos a rela-ção entre campo e força elétricas da forma

1221 EQFrr

=

1E

r

Q1

Figura 3 onde 1E

r é o campo elétrico criado pela carga Q1 , e 21F

r é a força que a carga Q1 exerce na carga

Q2 . A Lei de Gauss é uma maneira de calcular o campo elétrico criado por uma carga ou uma

distribuição de cargas elétricas. Essa lei considera o cálculo de um fluxo que atravessa determinada, e esse fluxo pode ser entendido como o fluxo de linhas de campo elétrico. Quando consideramos uma região onde existe um campo elétrico, o fluxo ΔΦ que atravessa determinada superfície ∆A é definido como

ΔΦ = E ΔA Quando o valor da carga elétrica aumentar, aumentará o campo elétrico produzido por essa carga, e assim aumentarão o número de linhas de campo, e conseqüentemente aumentará o fluxo correspondente.

E

r

∆A

Figura 4 De maneira equivalente ao cálculo de fluxo de matéria, quando o ângulo θ entre o vetor nr

normal a superfície ΔA e o campo elétrico for diferente de zero, o fluxo terá a forma

AnE Δ⋅=ΔΦrr

Ou seja:

ΔΦ = E ΔA cosθ

O fluxo através de uma superfície ΔA depende tanto da intensidade

nr θ E

r

∆A

Figura 5 do campo elétrico que atravessa essa superfície quanto do cosseno do ângulo θ entre o vetor nr normal à superfície ΔA e a direção desse campo.

A Lei de Gauss diz que se considerarmos uma superfície fechada em torno de uma carga elé-trica Q , existe uma relação entre o fluxo total que atravessa a superfície e que foi produzido por essa carga, que tem a forma de uma soma,

Φ = Σ E ΔA cosθ = Q/ε0 ou seja: se dividirmos a superfície fechada em pequenas superfícies ΔA , a soma por toda a superfí-cie fechada de todos os produtos E ΔA cosθ é igual ao valor da carga Q dividido pela constante ε0 .

O caso mais simples da aplicação da Lei de Gauss acontece quando consideramos o cálculo do campo elétrico E

r produzido por uma carga pontual Q , e utilizamos como superfície de Gauss

uma casca esférica com centro na mencionada carga.

Φelétrico = Q / ε0

A soma do fluxo é proporcional a carga total envolvida pela superfície

Figura 6 O campo elétrico E

r é um vetor que tem uma direção radial r̂ , ou seja ele tem direções di-

ferentes nas diversas regiões do espaço, mas quando o observador considerada um determinado ponto, essa direção aponta SEMPRE ao longo de uma reta que une dois pontos: o ponto onde está localizada a carga e o ponto considerado pelo observador. Em outras palavras, se considerarmos uma esfera de raio r , como na figura 6, o campo elétrico num ponto sobre a superfície da esfera aponta na direção perpendicular a essa superfície. Por outro lado, o vetor nr normal à superfície de Gauss tem exatamente a mesma direção do vetor campo elétrico E

r , ou seja θ = 00. Desse modo,

usando a Lei de Gauss nessa situação, encontramos que:

Φ = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0

Como o campo assume valor constante sobre todos os pontos da superfície da superfície es-férica, e como a área dessa superfície é 4π r2 , teremos que

E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0

Em outras palavras, o campo elétrico produzido por uma carga elétrica tem a forma:

204

1rQE

πε=

Podemos recuperar a Lei de Coulomb através da Lei de Gauss quando considerarmos qual

deve ser a força exercida pela carga elétrica Q sobre uma outra carga elétrica q afastada de uma distância r , e teremos:

rrqQEqF ˆ

41

20πε

==rr

onde r̂ é um vetor unitário na direção radial.

Campo Elétrico e a Lei de Gauss

Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss NOA – UFPB

No texto sobre fluxo de matéria (que consta nesse objeto de aprendizagem) nós analisamos

as possibilidades de variação de fluxo de matéria através de uma superfície quando alteramos a in-clinação entre o plano que contém essa superfície e o jato de matéria considerado. E podemos con-cluir que quando for noventa graus o ângulo entre o jato de matéria e a superfície que será atraves-sada, o fluxo será máximo. Na medida em que diminui o ângulo mencionado, o fluxo irá diminuin-do, até o extremo do fluxo de matéria através da superfície ser nulo quando o ângulo for zero grau. Por outro lado, através de um exemplo simples, iremos concluir que quando no interior de uma superfície fechada não existir fonte ou sorvedouro, é nulo o fluxo através dessa superfície. Considere um cilindro reto, construído com o material equiva-lente a uma peneira. Se sobre a superfície superior desse cilindro incidir perpendicularmente um jato de água, essa água irá atravessar o interior o cilindro sem tocar nas suas paredes laterais, e irá sair integralmente do cilindro através da sua superfície inferior. Podemos concluir, de acordo com o texto (que consta nesse objeto de aprendizagem), que o fluxo de água que atravessa a superfície superior é a mesma que sai pela superfície inferior. Em outras palavras, é nulo o fluxo de água que atravessa a superfície desse cilindro. O fluxo de água através da superfície desse cilindro será diferen-te de zero apenas quando existir uma fonte de água no seu interior. Quando existir uma fonte de água dentro do cilindro, existirão apenas jatos de água se dirigindo para fora do cilindro, e nesse caso

Figura 1

acontecerá um fluxo positivo através da sua superfície. Definimos fluxo de matéria ΔΦ como sendo o volume de matéria por unidade de tempo que

atravessa determinada superfície ΔA , ou seja:

AvtV

Δ=ΔΔ

=ΔΦ

onde v é a velocidade da matéria ao atravessar a superfície ΔA . Quando consideramos duas cargas elétricas pon-tuais de mesmo sinal próximas uma da outra, os vetores força de interação estarão ao longo da reta que une as duas cargas, e apontarão em direções opostas indicando que as cargas tenderão a se afastar mutuamente, como conseqüência dessa força repulsiva.

12F

r 21F

r

Q1 r12 Q2

Figura 2 Em qualquer posição que coloquemos a carga elétrica 2, a sua companheira carga 1 exercerá

uma força elétrica proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2 e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre essas cargas, na forma da Lei de Coulomb:

212

21

02112 4

1rQQ

FFπε

==

Existe outra forma de representar a interação entre duas cargas em determinada região do espaço, e para analisar essa forma introduzimos a noção de campo, em especial a noção de campo elétrico. Quando uma carga é colocada numa região que não existe nenhuma outra carga elétrica, ela obviamente não sente nenhuma influência elétrica das suas vizinhanças, visto que está isolada da presença dessas influências. No entanto podemos considerar que essa carga modificou as carac-terísticas do espaço em torno de si. Dizemos que essa carga criou um campo elétrico nas suas vizi-nhanças, e que qualquer carga colocada nessa região irá sentir a influência desse campo. Uma maneira de representar o campo elétrico criado por uma carga elétrica pontual é através da utili-zação das linhas de campo, como desenhadas em trace-jado na figura 3. Quando colocarmos uma carga elétrica Q2 numa situação equivalente a aquela da figura 2, exis-tirá (obviamente) uma força elétrica de mesmo valor entre as cargas Q1 e Q2 . Estamos consideramos a rela-ção entre campo e força elétricas da forma

1221 EQFrr

=

1E

r

Q1

Figura 3 onde 1E

r é o campo elétrico criado pela carga Q1 , e 21F

r é a força que a carga Q1 exerce na carga

Q2 . A Lei de Gauss é uma maneira de calcular o campo elétrico criado por uma carga ou uma

distribuição de cargas elétricas. Essa lei considera o cálculo de um fluxo que atravessa determinada, e esse fluxo pode ser entendido como o fluxo de linhas de campo elétrico. Quando consideramos uma região onde existe um campo elétrico, o fluxo ΔΦ que atravessa determinada superfície ∆A é definido como

ΔΦ = E ΔA Quando o valor da carga elétrica aumentar, aumentará o campo elétrico produzido por essa carga, e assim aumentarão o número de linhas de campo, e conseqüentemente aumentará o fluxo correspondente.

E

r

∆A

Figura 4 De maneira equivalente ao cálculo de fluxo de matéria, quando o ângulo θ entre o vetor nr

normal a superfície ΔA e o campo elétrico for diferente de zero, o fluxo terá a forma

AnE Δ⋅=ΔΦrr

Ou seja:

ΔΦ = E ΔA cosθ

O fluxo através de uma superfície ΔA depende tanto da intensidade

nr θ E

r

∆A

Figura 5 do campo elétrico que atravessa essa superfície quanto do cosseno do ângulo θ entre o vetor nr normal à superfície ΔA e a direção desse campo.

A Lei de Gauss diz que se considerarmos uma superfície fechada em torno de uma carga elé-trica Q , existe uma relação entre o fluxo total que atravessa a superfície e que foi produzido por essa carga, que tem a forma de uma soma,

Φ = Σ E ΔA cosθ = Q/ε0 ou seja: se dividirmos a superfície fechada em pequenas superfícies ΔA , a soma por toda a superfí-cie fechada de todos os produtos E ΔA cosθ é igual ao valor da carga Q dividido pela constante ε0 .

O caso mais simples da aplicação da Lei de Gauss acontece quando consideramos o cálculo do campo elétrico E

r produzido por uma carga pontual Q , e utilizamos como superfície de Gauss

uma casca esférica com centro na mencionada carga.

Figura 6 O campo elétrico E

r é um vetor que tem uma direção radial r̂ , ou seja ele tem direções di-

ferentes nas diversas regiões do espaço, mas quando o observador considerada um determinado ponto, essa direção aponta SEMPRE ao longo de uma reta que une dois pontos: o ponto onde está localizada a carga e o ponto considerado pelo observador. Em outras palavras, se considerarmos uma esfera de raio r , como na figura 6, o campo elétrico num ponto sobre a superfície da esfera aponta na direção perpendicular a essa superfície. Por outro lado, o vetor nr normal à superfície de Gauss tem exatamente a mesma direção do vetor campo elétrico E

r , ou seja θ = 00. Desse modo,

usando a Lei de Gauss nessa situação, encontramos que:

Φ = Σ E ΔA cosθ =Σ E ΔA = Q/ε0

Como o campo assume valor constante sobre todos os pontos da superfície da superfície es-férica, e como a área dessa superfície é 4π r2 , teremos que

E Σ ΔA =E 4π r2 = Q/ε0

Em outras palavras, o campo elétrico produzido por uma carga elétrica tem a forma:

204

1rQE

πε=

Podemos recuperar a Lei de Coulomb através da Lei de Gauss quando considerarmos qual

deve ser a força exercida pela carga elétrica Q sobre uma outra carga elétrica q afastada de uma distância r , e teremos:

rrqQEqF ˆ

41

20πε

==rr

onde r̂ é um vetor unitário na direção radial.

Fluxo de matéria e a Lei de Gauss

Objeto de aprendizagem: Fluxo e Lei de Gauss

NOA – UFPB

Pré-requisitos: Noções de vetores, noções de força elétrica, noções de campo elétrico

A lei de Gauss relaciona grandezas tais como o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada e a carga elétrica envolvida por essa superfície. Com a utilização dessa Lei nós podemos calcular o campo elétrico devido a cargas pontuais, a distribuições de carga, e inclusive resgatar a lei de Coulomb.

Para entender mais facilmente o que significa fluxo elétrico, vamos considerar uma analogia entre esse tipo de fluxo e o fluxo do volume de um líquido através de uma região do espaço. Mais especificamente, vamos considerar o fluxo de água através de uma peneira plana. Considere que um jato de água se desloca perpendicularmente de cima para baixo. Numa região próxima da peneira, a situação tem a forma da figura 1, onde o deslocamento da água é descrito por curvas (retas paralelas no caso) chamadas linhas de corrente.

Quando as linhas de corrente de um jato de água incidem perpendicularmente sobre uma pe-neira, toda a água incidente irá atravessar a peneira, e entendemos como fluxo do líquido o volume de água que atravessa essa peneira por unidade de tempo. Nesse caso (figura 1) o plano que contém a peneira é perpendicular ao jato de água.

Por outro lado, se o plano que contém a peneira estiver inclinado em relação ao jato de água (ou seja; o ângulo entre as linhas de corrente e ao plano da peneira é diferente de π/2, como na figu-ra 2), o volume de água que irá atravessar a peneira é menor que aquela da situação anterior, como pode ser percebido em uma comparação entre as figuras 1 e 2.

Podemos resumir as duas situações da maneira desenhada nas figuras 1 e 2. - Jato de água é perpendicular à peneira – toda a água que sai da mangueira atravessa a peneira Quando fazemos o jato de água de uma mangueira incidir sobre uma peneira em forma de círculo, com as dimensões do calibre da man-gueira, toda água que sair da mangueira irá atravessar a peneira. O volume de água que atravessa a peneira é exatamente o mesmo volume de água que sai da mangueira.

Figura 1 Consideremos um instante onde a parte frontal de um jato de água toca na peneira. Depois de um intervalo de tempo Δt essa parte do jato de água atravessou a peneira e se encontra afastada de sua superfície por uma distância de v Δt . O volume ΔV de água que atravessou a área A penei-ra nesse intervalo de tempo Δt é calculado com como:

ΔV = (v Δt) A

Figura 1a

Fluxo

Fluxo de matéria é uma grandeza que considera o volume de determinado elemento que a-travessa uma superfície num certo intervalo de tempo.

Estamos considerando especificamente o fluxo de água em uma peneira, ou seja, o volume de água que atravessa a superfície de uma peneira por unidade de tempo.

Se rotularmos o fluxo pela letra grega ϕ (fi), o volume de água por unidade de tempo que a-travessa a peneira na figura 1 pode ser calculada como:

AvtV

=ΔΔ

=ϕ

onde v é a velocidade da água ao atravessar a peneira e A é a área dessa peneira. Ou seja: quanto maior for a velocidade da água ao atravessar a peneira maior será o fluxo de água através dessa pe-neira. - Jato de água é inclinado em relação à peneira – apenas parte da água que sai da mangueira atravessa a peneira O volume de água que irá atravessar a peneira depende do ângulo que ela faz com o jato de água. Podemos perceber que o fluxo é propor-cional a três grandezas: da velocidade v com que a água atravessa a peneira, da área A dessa peneira, e do ângulo θ desenhado na figura 2a.

Figura 2 Quando o jato de água (e as linhas de corrente) não for perpen-dicular ao plano da peneira, nos deparamos com uma situação diferente daquela da figura 1. Percebe-se claramente na figura 2a que quando

θ = 00 → caso da figura 1

θ ≠ 00 → caso da figura 2 Em outras palavras, o fluxo depende também do ângulo entre os

Figura 2a vetores n̂ e vr . n̂ é um vetor que tem módulo unitário e perpendicular à superfície A (a área da peneira) e vr é o vetor velocidade da água que atravessa a superfície considerada. A área da peneira disponível para o jato de água atravessar é menor que aquela área da figura 1. Na realidade a área disponível é A cosθ . Desse modo, o volume de água que atravessa a peneira num intervalo de tem-po Δt é dado nessa nova situação por

( ) AnvtVtAnvAtvV ˆ.ˆ.cos rr

=ΔΔ

=⇒Δ=Δ=Δ ϕθ

onde θcosˆ. vnv =

r é o produto escalar (ou produto interno) entre os vetores vr e n̂ . Se analisarmos a equação anterior poderemos perceber que quanto maior for o ângulo θ me-

nor será o fluxo, até o limite quando θ = π/2 (o plano da peneira é paralelo ao jato de água), e nesse caso o fluxo é nulo, ou seja, a água não atravessa a peneira.

Se considerarmos um cilindro reto construído com o mesmo material das peneiras descritas anteriormente, e com um formato que tenha como base uma peneira exatamente igual às anteriores, qual será o fluxo de água através de suas paredes? Considerando o desenho da figura 3, não existe água atravessando as paredes laterais. E é fácil concluir que, nessas circunstâncias, a quantidade de água que entra pela superfície plana superior é exatamente igual a quantidade de água que sai pela superfície plana inferior. Considerando que o fluxo de água que entra no cilindro é igual ao fluxo de água que sai, é nulo o fluxo total de água através das paredes desse cilindro. Podemos então inferir, que se não existir fonte de água (uma tornei-ra) nem sorvedouro de água (um ralo) no interior da superfície considera-da, é nulo o fluxo de água através dessa superfície.

Figura 3 Se considerarmos uma peneira em forma de bola, ou seja, uma penei-ra num formato de uma superfície esférica fechada, ela não servirá para fins práticos numa cozinha. Mas poderemos estender o raciocínio relacionado a figura 4, e concluir que se não existirem fontes ou sorvedouros de água no interior da esfera, é nulo o fluxo de água através dessa superfície esférica. Considerando os dois exemplos, podemos concluir que para qual-quer superfície fechada, se não existir fonte nem sorvedouro de água no interior da superfície considerada, é nulo o fluxo de água através dessa superfície.

Figura 4