Resumo 06: Trigonometria 1

TRIGONOMETRIA

I. Razões trigonométricas no triângulo

retângulo

• 𝒔𝒆𝒏𝒙 =𝑪.𝑶

𝑯→ 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 =

𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙

• 𝒄𝒐𝒔𝒙 =𝑪.𝑨

𝑯→ 𝒔𝒆𝒄𝒙 =

𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒙

• 𝒕𝒈𝒙 =𝑪.𝑶

𝑪.𝑨→ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 =

𝟏

𝒕𝒈𝒙

OBSERVAÇÕES:

• 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑔𝑥.

• RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIAIS

II. Ciclo trigonométrico

a) CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

b) SENO E COSSENO

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟏

(Relação trigonométrica fundamental)

c) TANGENTE

d) ESTUDO DO SINAL

III. Redução ao primeiro quadrante Para reduzir um arco do 2o, 3o ou 4o quadrante, a um correspondente no 1o quadrante, deve-se: a) Identificar o quadrante em que está o arco

a ser reduzido. b) Verificar o sinal da razão trigonométrica no

referido quadrante. c) Efetuar a redução conforme indicado

abaixo:

Exemplos:

• 𝑠𝑒𝑛150° = 𝑠𝑒𝑛30°.

• 𝑐𝑜𝑠225° = −𝑐𝑜𝑠45°.

• 𝑡𝑔300° = −𝑡𝑔60°.

IV. Funções circulares

a) FUNÇÃO SENO

y = senx

Domínio Imagem Todo arco real possui seno

D=R

-1 senx 1

Im = [-1, 1]

(+) (-) Cresce Decresce

1o e 2o Q 3o e 4o Q 1o e 4o Q 2o e 3o Q

b) FUNÇÃO COSSENO

y = cosx

Domínio Imagem Todo arco real possui cosseno

D=R

-1 cosx 1

Im = [-1, 1]

(+) (-) Cresce Decresce

1o e 4o Q 2o e 3o Q 3o e 4o Q 1o e 2o Q

c) FUNÇÃO TANGENTE

y = tgx

V. Domínio e Período

Domínio

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Resumo 06: Trigonometria 2

PERÍODO

• {𝑦 = 𝑡𝑔𝑤𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑤𝑥 → 𝑃 =

𝜋

|𝑤|

• {

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑤𝑥𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑤𝑥𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑤𝑥

→ 𝑃 =2𝜋

|𝑤|

VI. Transformações

a) FÓRMULAS DA ADIÇÃO

1. 𝒔𝒆𝒏(𝒂 ± 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒃 ± 𝒔𝒆𝒏𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒂.

2. 𝒄𝒐𝒔(𝒂 ± 𝒃) = 𝒄𝒐𝒔𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒃 ∓ 𝒔𝒆𝒏𝒂 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝒃.

3. 𝒕𝒈(𝒂 ± 𝒃) =𝒕𝒈𝒂±𝒕𝒈𝒃

𝟏∓𝒕𝒈𝒂∙𝒕𝒈𝒃.

b) FÓRMULAS DA MULTIPLICAÇÃO

4. 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒂) = 𝟐 ⋅ 𝒔𝒆𝒏𝒂 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒂.

5. 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒂) = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒂 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂.

6. 𝒕𝒈(𝟐𝒂) =𝟐∙𝒕𝒈𝒂

𝟏−𝒕𝒈𝟐𝒂.

VII. Equações

(Figura I – Simetria)

Para resolver equações trigonométricas, de um modo simples, adotaremos o seguinte procedimento:

1) Reduzir a equação dada, através das relações trigonométricas, às equações básicas (senx = a, cosx = a e tgx = a).

2) Identificar os quadrantes onde existe

solução. 3) Obter o arco correspondente no 1o

quadrante, mesmo que nele não exista solução.

4) Transferir o arco correspondente aos

quadrantes onde existe solução, usando a figura I.

Exemplo:

𝑠𝑒𝑛𝑥 =1

2

• Como senx > 0, então x 1o ou 2o

quadrante.

• O arco correspondente, no 1o quadrante,

para 𝑠𝑒𝑛𝑥 =1

2 é 30°.

• No 2o quadrante, o arco correspondente é 150°.

• No intervalo de [0, 360o] o conjunto solução é S = {30o, 150o}.

Anotações

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