4 4 [ Capítulo 2 ]

1.12. S e j a m / e g funções seccionalmente contínuas e periódicas de pe­ríodo /'. Mostre que a função

h(x) = T Í •

f(x - y)g{y) dy

é contínua e periódica de período T. 1.13. O período fundamental de uma função periódica é definido como

o menor T> 0 tal que f{x + T) = f(x), para todo x. Dê um exemplo de uma função periódica sem período fundamental. Mostre que, se / for contínua, periódica e não-constante, então ela terá período fundamental.

3.1. Demonstre as relações de ortogonalidade (Fórmulas (9), (10) e (11) do Capítulo 2), usando identidades trigonométricas.

3.2. Faça o mesmo Exercício 3.1, usando a fórmula de integração por partes.

f 4.1. | Calcule a série de Fourier da função f(x) = sen2 x. Í4.2.\e a série de Fourier de f(x) = cos5 x. [4.3.1 Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada, isto é,%

f(x) = (senx) + , ou seja, a parte não-negativa do seno

m = sen x 0

se se

sen x ^ 0, sen x < 0.

4.4J Calcule a série de Fourier da função f(x) - -n <. x < n

(periódica de período 2it. B^lSS vQSLcalcule a série de Fourier da função ( T W M I H C S O rf*5

f(0) = é ™ • cos (r sen d). " ^ C A m . v í w C Ò 5.1. Mostre que se / : R -> R for uma função par, e f(x) # 0, então

1//' é uma função par. Mesmo problema para funções ímpares. 5.2. Se / : R -+ U for uma função par diferenciável então / ' será ímpar.

Mostre também que, se / : R -> IR é ímpar e diferenciável, então / ' é par.

\.1 Use a série de Fourier da função f(x) = cosax, a real # 0,

para mostrar que 1 / 1 S 2a \ cotgaTr = — I—— 2, „i „1 ' n \ „ = i n - a y

quando a não é inteiro. 6 ^ Determine a série de Fourier de f(x) = |senct>x|. 6.3. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da fu^á/

f(x), periódica de período 2L, e da função </(.v) = f{x + a), OÍVJÍ tt é uma constante?

6.4. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da f«**Ç*o f{x) e da função g{x) = f(x) + k'l

6.5. Quais as relações entre os coeficientes de Fourier das fuflç&o /, g e <xf + Pg, onde a e /? são constantes?

6.6. Mostre que, se a função / for periódica de período 2L, enfewa^ função g(x) — /(fcx), onde k é uma constante positiva, será pericÁA de período 2L/fc.

6.7. Qual é a relação entre os coeficientes de Fourier da função •ftò pe­riódica de período 2L, e da função g(x) =/(fex), onde k £ uma. constante positiva?

6.8. Seja /': R - » R uma função absolutamente integrável e períojea de período fundamental 2L, e seja T um período qualquer (jiaõ necessariamente, o fundamental) de / . Mostre que

2 fr 11 x 2 m c x j «. 2 fT ri \ J

a» = y / ( x ) c o s - = - < & > 6, = y /(x)sen-y-íic 4.

J "3"

\\a a série de Fourier da função s

f(x) = 2x, -% < x < n e periódica de período 27i.

^6.10-1 Escreva a série de Fourier da função f(x) = x, 0 < x < 2n

e periódica de período 2n. r 7.1. Os números de Bernoulli são definidos a partir do desenvolviwxwh?-

em série de Taylor da função x/(e*-l):

í-i „ I n

^ - 5 »

a r r f S 1 € P SERVIÇO DE BIBLIOTECA

2 3 8 [ Capítulo 6 ]

EXERCÍCIOS D O CAPÍTULO 6 | 2.11 Sendo a > 0 uma constante, mostre que f

f Jo

e "*cos (£x) dx =

e ajcsen (Çx) dx =

a* + 7 Í '

a 2 + ^

2.2j Calcule as transformadas de Fourier das funções 1, se | x | < a, (i) Ufl(x) =

(ii) f(x) = «

x > a; (a > 0) (função pulso)

se x < a, (a > 0)

(a > 0)

|0, se •i_M,

a 0, se | x | > a;

(iii) / ( x ) - e-"W(a > 0); /• x ti \e~"X' Se X > °' ( 1 V ) / W = {0, se x < 0 ; (v) f(x) = e - " 2 (a > 0).

\\e a função / ( x ) cuja transformada de Fourier é / (£) . 2.4. Mostre que a transformada de Fourier F(£) será uma função real

quando, e apenas quando, f(x) for par, i.e., / ( x ) = / ( - x ) . 2.5. Mostre que a transformada de Fourier F(£) será imaginário puro

se, e só se, f{x) for ímpar, i.e., / ( x ) = - / ( - x ) . 2.6. Seja / : [0, oo) <*-» R uma função JSP1. Defina

(i) a transformada-co-seno de Fourier, /•OO

Fc(£) = cos(x!j)/(x)í/x; Jo

(ii) a transformada-seno de Fourier, sen(x£) / (x)áx.

o Mostre que, estendendo / como uma função par, temos

e que, estendendo / como função ímpar, temos

\\a F(£,) a transformada de Fourier de / ( x ) . Mostre que (i) <F

(ii) & (iii) & (iv) ,F

A-x)](í) - Fi-Í), í\x%P) = F ( - &

X

(í) - aF(a£) (a > 0).

(V) ^ [ / ( X ) € " ' « ] ( £ ) = F(í - c) (C 6 R), \ J Calcule as transformadas de Fourier das funções contínuas ab£i/<^

( i ) e - ( x - 3 ) » / 2 ) ( U ) e ~ ( 2 * + l ) > .

!

1, se x = 2, 0, se | x - 2 | > l , seccionalmente linear.

2.9.\e as transformadas de Fourier das funções (i) e~'1 x 1 cos ( cx ) , (ii) e-ax% sen ( cx ) , (a > 0).

2.10J Mostre que ^ [ / ( x ) cos ( c x ) ] = y [ F ( £ - c ) + F({ + c ) ]

e

^ [ / ( x ) sen ( c x ) ] - - i - [F(£ - c) - F(í + c ) J

2.11. Calcule as integrais (i) I <?"" i A | cos ( cx )dx , (ii) I e~ax*cos {cx)dx.

/»0O

Jo 0

3.1. Se ja / : R -+ R uma função de classe C1 , c o m / e / ' em SC1. Supoftat. que f(x) -» 0, quando | x | -» oo. Mostre que

[̂/'Ka = Í Í ^ [ / ] ( Í ) .

3.2. Mostre, através de um exemplo, q u e / s e r contínua e .S?1 em IR f\à>£ implica que f(x) -* 0, quando | x | -* oo.

2 4 0 [ Capítulo 6 ]

[3.3] Calcule as integrais xe~ax2sen (bx)dx f

Jo

í Jo

(a > 0, be\ x e ax cos (bx)dx

3.4. Se j a / : uma função SP tal que

Mostre que I f(t)dt

f(x) dx = 0.

Usando as ideias do Exercício 3.1 e 3.3, faça um estudo de integrais da forma J»00

e ax cos (bx)dx e /•OO

x", Jo

e ax sen (bx) dx,

3.6. onde a, b > 0 e n > 0 inteiro. Mostre que se / : IR -> C for seccionalmente contínua e jSf1 em R, então

/ ( x + 0) + / ( x - 0 ) 1 2n .

eixiF(í)dL

3.7.

3.8.

onde F designa a transformada de Fourier de / Mostre que, se / : R -* C for contínua e jSf1 em R, e se F designar sua transformada de Fourier, então

e, daí, conclua que =/w-

Use o Exercício 3.7 para calcular as transformadas de Fourier das funções

sen ax 1 - cos ax 1

Calcule as integrais senax cos (bx) dx, (

a2 + x2

Jo cos (bx) dx.

]J3.10^ Usando os resultados dos exercícios anteriores, (não esqueça í> Exercício 3.7) faça uma tabela de funções e respectivas transformadas de Fourier, do tamanho compatível com seu entusiasmo e ener̂ íA.

3.11. Se ja / : R -» C uma função de íf e F{Ç) sua transformada de Foui1«c. Defina o n-ésimo momento de / como

f (x) dx. ÍQO

- OO

(i) nn = J~2K i"F(n)(0). Mostre que

(ii) V 2 K F ( Í ) = I H r > A -

n = 0 " !

3.12. Seja <jo: R -> R uma função de y , tal que <p(x) > 0 e J"^ <p(x)dx « í Mostre que

/ ( x ) = Í cp(t) dt

é uma função de distribuição (no sentido da Teoria das P r o b t b o -lidades), i.e.,

lim f(x) = 0, lim f(x) = 1, / é não-decrescente, fé contínua à direita (no caso presente, contínua).

3.13. A função característica da função de d is t r ibuição/ do Exercício 3 i i é definida pela expressão

F ( í )= I e^xdf(x) e**df{x) - co

ou F ( { ) = ?'Çx <p(x) dx.

Interprete a Expressão (ii) do Exercício 3.11, neste caso. 3.14. Seja / : [0, co) -» R uma função contínua e JSf1 em (0. oo). EstencU •§

como função ímpar e denomine esta extensão de / Mostre J * [ / ] é uma função ímpar. Use esse fato e os Exercícios 2.6 e 3.4 para provar que

/ ( x ) = — I Fs(0 sen (£x) d?, x > 0.