kwwxm#mrwmwffiww

Considere o arco x indicado no ciclo trigonométrico da figura.

O ponto M é determinâdo pêlas coordenadâs cos x e sen x, islo é:

M (cos x, sen x)

FortarÌtg qualquêr ponto da circunferêncìa é dado atíâvés das razões tíigonomé-tricas dos arcos a e b, positivos ou negativos.

€n*gmmff'ffiffi*rffiffis.1

Atéo momentq estudamos as funções trigonométíicâs reterentês a um únicoarco.ta unidade demonstraremos novas fórmulas trigonométÍicas dos ârcos da forma:

(a + b). (a - bl,2a e; '

ìnicialmente,vamos mf,strarque as Íóímulas sãoverdadeiras paravalores positivos, culasoma pertence ao primeiroquadrântê ê, depoiq generalizá.las, de moda que possamos aplicá_las a dois valoíes auaisqueí

Nes-

INTRODUCAO

69

FORMULAS DA ADICAO

. Cálculo de sên (a + b)

. Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuia soma ainda pêrtence ao pri_mêiro quadrante, ou seja:

0.^. ï , o. b.+ , O<a+b<+-tt ,.=

Observando a figura, lemos:

{ân0ulos agudos dê tadosperpendictrlâres)

. FS =oR-eFS = FO(lados opostos de um relângulo)

(1) No triângulo retângulo OPD (P é reto), temos:

sen(a+b)= = =:u =pD =pS+SO=6q159UL' ']

(2) No triângulo retângulo OQR (Q é reto), temos:ÃD-

sena=*+QR=OR.sênaL'H

(3) No tíiângulo Íetânguto DSR (S é rêto), temos:

cosd = cosa =:^ i =SD = DR.cosaUH

(4) Dessê modq a igualdade O podê seí êscritalsen (a + b) = õFi .sena + DR .cosa

(5) No triângulo retânguto ORD (Ê é reto), temos:

nÈNsenb=: j ' senb = - : í " =DR = senb

ôD1aìp õE-

cosD = =- -cosb= "" ,OB = cosboDl

(6) Dessê modq â igualdadê @ podê ser escritajsên(a + b) = cosb sena + senb.cosaou arnoa:

I

70

. Cálculo de sen (a - b)

Obsêruêmos que:

(a-b)=la+( b) lsen (-b) = sen bcos (-b) = cos b

Da Íórmula da somâ, temos:

sen (a - b) = sen [a + (-b)] = sên a . cos ( b) + sen( b) .cosa

Dâí:

sen(a - b) = sena. cosb - senb. cosa

Vejâmos âlguns exemplos.

'19 exemplo: Calcular sen 105o.

Resol uçáo: Transtormandq temos:

sen 105ô = sen (45ô + 600)

Aplicando-sê â fóímula do seno de uma soma, vêm:

sen (45o + 60o) = sen 45o . cos 60o + 6en 600 cos 45o

sên(45o+60ô) =+ + -+ +sên (45ó + 600) = + - fsên {45o + 600) = *to*

aesoosta: Ej&

29 exempfo: Sendo sen,, = j f """nv

=t ,o<x,v <! ,calcular o valor de sên (x y).

Resolução: Cálculo de cos x:. 144sen2x+cos2x=t = l f f i +cosl= 1

. co"*=9-13

Cálculo de cos y:

sen2ytcosl=1r

Cálculo de sen (x - y):senü - y) = senxcosy - cosxseny=

_12.3 5 4 _ 36-13 5 13 5 -ô516

t

71

f

9+cos2v=1

cosv = 9

_20_1665 -65

Bêsposta:

39 exomplo: Sendo x + y = + e sên y =

], calcr-rtar sen x, com 0 < x, y < f

Resolução: l1 l se x +V =ft - t= +

, y+senx="""$ -V)

(2) desenvolvêndq temos:

senx = senÉ -v) =senf .cosy cos-f .seny.

(3) cálculo do cos yl

senfo+cos!=r * f + cos,y = t

cosv = Ë

Substituindo. temos: s.^, = E .E

aesoosta: \-Q

Ít

=+ * =* i*

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcule:

a) sen 75' c) sen 15'

u*.("+;) or*"( i -*)

2 Sabendoeuesenx = rI, com0 < x < f ,

"acutesen[f *).

3 Apücando as fórmulas de adição, calcule:.)*'+ (r"ç.+ =+ .+)o*"f (r"e"f =^-+)

4 Simplifique a exprcssão:y = sen (135' + x) + sen (135 - x)

5 Sejam a um arco do l: quadÉnte e É um ar-co do 29 quadÉÍÌte, tais que cos o - 0,8 esen B = 0'6. Calcule sen (a + P).

72

ó Usando as fórmuÌas da ediçâo, mostÍe que:a)sen(Í+x)= -senx

rr '* (; -,.) : "o.,7 Demonstre a identidade:

setra.seno - c) + senb.sen(c a) ++ senc.sen(a - b) :0

8 Sabendo que x * t = * "

senx = f , como < x < f , calcule:

a) cos y b)tgx

9 Dados sen a = -1, u. ]* ,u\ ,"

teu : f , r < ]", f [, cac,rresen (a - b).

I

. Cálculo dê cos (a + b)

Na unidade 4 deste

sen l- tl =

"o" "

"o" (; ")

= ""n,.

Daí podêmos êscrever:

cos(arb) = senp - ta+ ot l

cos(â.r b) = senp -a-ol

cos(a + b) =""" [ {1 -") -o]

Desênvolvendo pela fórmula já estudada, temos:

volume, estudamos que:

+ arcos complementares

t Í

cos(a + b) =

-"(+

-a), cosu-seno.cos$ -a),-

Ecosâ -- f*

Daí:cos (a + b) = cos a cos b sen b sen a, ou

. Cálculo de cos (a - b)Vamos Íecodar que:

cos (a - b) = cos [a + {-b)]sen (-b) = sên bcos (-b) = cos b

Da fórmula da soma, têmos:

cos (a b) = cos [a + (-b[ = cosa cos(-b) sena sen(-b)

Vejamos alguns exemplos.'l?.exemplo: Calcular cos 15o

Besoluçáo: Transformandq temog:cos 135o = cos (90" + 45')

Aplicando a Íórmula de co-seno de uma soma, temos:

cos (90" + 45") = cos 90o . cos 45o sen 90o . sên 45o" , .Jzcos(90" + 45") =0.ï 2

cos{go'+ 45o) = - ia

_tt;Resposlâ: --:í

Daí:

I

29 exêmplo: sendo cos(3r a) = f ,ae 3ro,ecos(f . t) = +,calculâr cos (a - b).

Resoluçáo: Sabemos que:

cos (3Í a) = cos (Í - â) = -cos a e "o".

= -f

cos (1 +r) = senbrsenb=-+

Utilizando-se a relaçáo fundamental, vêm:

sen2a + cos2a = r -

senra + f = t

sena = t f

comoa(39Qjsena= -.122

sen2b+cos2b=t =f , + cosru = r,4coso= =Ë

Como b c 49Q-coso=f

Fortanlo:

cOS (a - b) = cos a . cOS b + sêna senb

cos(a b)=l+l +.( 9) ( -+)cos (a b) = -+í . # -"o",u- b) = 3\aõ4!2

3.12 4,121-

b<49Q,

t - r

Resposta:

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

a) cos 75'

I Usando as fórmulas da âdiçàq calcÌrle: 4 Qual a foÍma mais simples ala expÍessãocosx.cos(r x) ,

/ l - ìsenx.cosr _

- l5 Demonstre que

cos(a - b) - cos (a + b) _._ksen (a + b) + sen (â - b)

ó (FEI-SP) câlcule:t - \L = sen(; + xrsenír+x) +

+ cos (f + x)cos (,r - x)

7 Sendoxe y arcos do I9 quadrante, sen x = *e cos y =

i , calcule o Ìâ1or de cos (x - y).

b) cos 15'

c)cosf (*** =-ã, -+)

2 Usando as fórmulâs da adiçãq mostrc quea) cos (Í x) = -cosxb) cos (2r - x) = cos x

c) cos [Ë + Ì) = senx

3Dadocosx = ] , cotno < r < f ,

ۉ1cule:

a)cos(f r ì or* . ( . -*)

@--

I

Vamos, entáq desenvoìvêr o 29 membro:

r. /â r hì - iglj tç9!! 1,!9!ji-90s acosa.cosb-sena senb

Dividindo o 29 membro por cos a cos b, temos:

seai a cos b sen b cos a@_q9!i r!9!I

'.,, . n,r9 tc .r ot =

coaã . cosT-- senã . s s_ rv \o r u/

cosa cosE - cosa cosF

. Cálculo de tg (â + b)

èôn /â r -.sâbemos que tg (a + b) = l:!-19-^^- ,- r u/

cos (a + D)

tangente, ou seja:

. paralodoa t+ +kr

.paratodob * i +x"

. Cálculo d€ tg (a - b)

íÍ

2+1T

.T

sena , senocosa - cosbr sena sênb'- cosâ cos5

1570

Vamos lembrar que tg (- b) = -tg h,^ " , !sl_ b)ts (â - b) = ts [a + { bI = ---Ì"ÌË .ìôi.Tj--

Daí leremos: tg(a - b) =

Estarelaçãoéválidapaíaosvaloresdea,bea-bquepêdêncemaodominiodaÍunçáotangêntq como já vimos anleiiormente.

Exemplo: Sabendo que tg a = f e tg b =

S, calcular tO (a + b).

Êesotuçâo: ts (a + b) = T*áJ++

Substituindo, temos:a.a

ts(a + b) = :- 'ï'510

Besposta: ã

3ìõ4rEd

como jffi = tg u " #ï* = ts b, temos:

tg(a + b) =

Esta relaçáo é válidâ para os valores dê a, b ê a + b que pêítêncêm ao domínio da tunção

. para todo {â +b)++ + k1l

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Calcule:a) rs 15' b) tc (j- + _i,

2 euc-sP) se ts (x + y):33etsx = 3,câÌcule tg y.

ì .! t sab€ndo que cos x = Í . com 0 < r <i ,

cacute te (f + x).

4 Demonstre a identidade:

teÍ45' a)= ] tsa- | + tga

5 Sabendo qúe tg o = * " ,r B = -*,

câlcule:

a)rgíp.+A b) ts(a - B)

ó Qual o valor de tg à de modo que

tg (45o + x) + rg (x - 45o) = 2, como.^. t ,

7 Suponha x e y númercs rears, iais que:

ts(x-y)=i ïetgx. tgy=ICalcule o móduÌo de número S-= tg Xr+ tg y.

8 Sex + y = + eBy = 2,calculeoÌ"lordetg x.

9 Sabendo qu€ sen (x + 5") = * ,

"o-x € ìr,Ét. calcutetc(i + x.f.

lO Sabendo que ts a : I, rc b = + e

tgc = -1, calcuìe tg (a + b, c).

t

Este ìtem é apenas uma aplìcação das fôrmulas da soma (a + b) dê dois arcos. Nestasoma faíemos b = á, obtendo o arco duplo 2a.

. Cálculo de sen 2â

Sabêmos que sen (a + b) = 5sn6.cosb + senb.cosa.

Fazendo b = a, temos: sen (a + a) = sena cosa + sêna.cosa

. Cálculo de cos 2a

Sabêmos que cos (a + b) = cosa.cosb - s,ena.senbFâzendo b = a, temos:cog(a + a) = cosa.cosa - sena.sena

Daí:

Daí:

. Cálculo de tg 2a

Sabemos quê tg (a + b) = -r+t:lthFazendo b = a. temos: to(a + a) = , t-qa+lga

- l rga.rga

tg2a= 2Ìga1 - tg2a

FORMU LAS DA MU LTI PLICACAO

76

uat:

Vejamos alguns exemplos.

19 exsÍnplo: Conhecendo-se sen â = +, O < a < +, câlcular:

a) sen 2a b) cos 2a c) tg 2a

Resolução: a) sen2a + cos2a = t - f; + cos'?a = 1

cos'a = $ - "o"" = f

sen2a = 2sena cosa=sen2a =, + + =sen2a =

b) cos2a = 1 - 2sen2a, "o"2"

= r - z. ( f ) 'cos2a=t- f i - "o"zu=-*

cìtoa = j9!3cos a

, l^ ^to2a=-7ft - ' to2a=

Resposta: alff;b) -*rO ?

2? exemplo: Dados sên a = { esen O =

},com O < a,b <f ,calcular cos(2a + b).

Besolução: Desênvolvendo cos (2a + b), temos:cos (2a + b) = cos2a.cosb sen2a.sen bNesta igualdade, precisamos conheceÍ:

(1) cos 2a - cos 2a = 1 - 2sen2a - cos 2a = 1 z. I -"" tzu=tr

Í24E t

qA

t^4-"----iF =

(2) cos b * sen2 b .r cos'z f =rrd + cos2b = 1

"o:'b = i*

comoo<b.ã -"o"0= - í i * =- f

(3) sen 2a + sen 2a = 2sena.cosa

sen2a + cos2a = f - f, + cos2 a = 1 * cos, a = f,

comoo<a.Ë-"or"=t í+= fsen2a=2 + + - senza= vj

Substituindq temos: cos {2a + b) = cos 2a cos b - sen 2a . sen b,

cos(2â+b)=+ +-+ +

8

-

24

.EÉ .Ncos(2a+b)=- i9 -Ë - cos(2a + b) =

\,i15 -: \,9

'/ì5 !C

-Respogta:

77

r-*-

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

| (Faap-SP) Catcule sen 2x, se sen l =é um arco do 29 quadmnte.

2 (Cescem-SP) Sendo 0 ( 49 quadÉnte e

cose = +, caìculecos 26.

3 sentro sen o = t , "o o <. <| ,

carcur€sen(+ + 2a).

4 Sabendo que cos x : ] ecosy = s.

com0 < x,y < +, calculecos(x + 2y).

5 Resolva os pÍoblemas:

a) Dada tg x = + , calcule t8 2x e cotg 2x.

b) Sabendo que tg 2a : l, calcule tg a-

ó (FEI-sP) se sen x - s6s1= |,

cacute

7 (FEI-SP) Calcule seÍ12x, sabendo qnetgx + cotg x = 3.

8 Sabendo que a é üm ângulo do terceiro

quadrante e ts a = f, calcule sen (2a) e

cos (2a).

9ttaap-Set Se a e b sáo ãngulos posiüvosinlerior€: a 180'. caicuie s€n 2a e cos 2b, sabendo

ou.r""u = - f e"o ' t = | .

lO €aap-sP) se tg a = ].r*u

= $,

calcuje rs(a | 2b). Suponha 0 < a. b < +

l l tvack SPlSergr merg2\ = lm,m > 0,caÌcule o \,alor do ângulo agudo x.

12 Sabendo que tg (a +b) = 4úgaJi-2,calcul€:

a) tg2b

4'"

r

b)tg(a - b)

13 Prove a idenrjdade 2^ - .o," r - ,n

"ÍE 2x

l4 vostre que:

a)sen3a:3sena - 4sen3ab)cos3a - 4cos3a - 3cosa

Jtsa-tdacl Ig ra = '-------------- -I _ Jtg-a

Sugestão: Faça 3a = 2a + a

ì-rc òe cos x = 7 . calcule cos 4x.

ló Simplifique a expÌessãoy : cos'z (â + b) + cos'(a b)

cos 2a cos 2b

| 7 Sabendo que oa B e T são ângnlos internos deum triângulo, mostre qüe:

cos2a + cos2É + cos27 ++ 2 cos d . cos 6 . cos 'Y = I

Vamos estuda( agora, as Íórmulas quê nos pêrmitem calcular s€n ã . cos áe tg ã , senoo dado um número real a.

. Cátcuto do cos â

sabendo que a = + + f , temos:cosa = cos$

cos a = cos2ã - sen'+

t

FORMULAS DA DIVISAO

7A

Çomo sen'ã = Ì - cos'ã. lemos:

cosa = cos' t ( i cos'z â )- cosa: cos'?â t + cos' f

cos a = 2cosrâ j

cos'?f = 1 t-eesa

T

. cátcuto da tg â

Sabemos que:

sen 4ts i=

-

- cos ã

_-I l !s!"- - \ 2 '

t

='F-

. Cátcuto do sên ã

sabêmosque:cosa = "o"

( f *â) =*fâ sen'?f

Comocos2f = 1 - sen2ã, temos:

cosa=1 sen'?f -sen' ! -cosâ= 1 zsen2 !

sen,] = J-_-9993

cos +

79

senf = +

F*ï-

l

:]

i

II

I

J

r=+ =+

Vejamos alguns exemplos.

í9 êxemplo: Dado cos a = f, com O < a < â, calcular cos â

Resotuçâo: *"i = t1F - cosf =

- sen fsen f

c9s â

- sen f

c.omoo < a < 4. entãosen4 = ̂ E- "u22Ì6

Besposta:

39 êxemplo: Câlcular cos 15o.

Pesotuçáo: sabemos que 15o = ï" -

a = so'

,T. v3\ l ' - T\2

costs.= + J2J€

"osts.= út€

-"o"rs"=úâ€

Resposta:

80

-"f = t.çffcomoo<a<â,êntãocosf =

AesOosta: ff

29 ex€mplo: Dâdo sên a = f , catcutar sen f , com o < a < f

.

Resotuçâo: *"; = a /t1""*

Vamos, êntãq calcular cos a:

cos2 a = 1-.sen2a-cos'a = I f ,

"o" " =f

Substituindq lemos:

= r [t;eu - cos r5o = Ì 2

cos 15o = .t - cos' lso = .t l2+E-

!----

t

- * ! -6-

4

'1 ll3

-

3----

3-156

t

49 exemplo: Dado tg â , câlcular tg a.

Resotução: a = $ + | - tga =

rga =

tga =

- ,u2

,n(â.â)

r^â , .^â'ez - 'ez1-ts+ rc+

- ,^a

1_ ts"+ 1

Bespostar lg a =,_,v2

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Da.locosa = j, corno < a < f ,

catcule cos f .

2 Calcule cos 22' 30'.

3 Resolva os problemas:

a)Secosâ=j,comO<a<f,

calculesen+.

b) Dado s€n a =! ,* o<"<i ,

calcule sen f .

4.rcle o mlor ae sen f .

Sugestão: faça á

=

5 (Ufes-ES) Sabendo que sen 6 -

0 € 29 qüadrante, calcule tg +

ó Sabenao que cos fa; sen fb) cos *

c) tgã

\22

a_g.2

7 Resolva os problemas:

a) sets+ = ] , deterrnine te a.

b) Dada tg; , calcule sen a.

8 (Mauá-sP) Dados sen o = t,; . e.",

caìcule A = 25 sen 2e + Vro sen; .

9 Calcul€ o vaÌor de tg 15..

l0 Sauenao que sen í l l"- -"ì - - ! .o'.\z I t

! . u .2r, calcule o vaÌor de cos f

FÓRMULAS DA TRANSFoRM,qçÃo EM PRoDUTo

. Forma fatoÌada da expressão sgn m + sen n

Sabemos que:

sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa{1)sen(a - b) = sena cosb senb. cosa(2)

Fazendo (1) + (2), temos:

sen (a + b) + sên (a b) = 2.sêna.cosb(3)J

Indicando-se: a + b = m =a-b=n

Como: a + b = ma b=n

2a=m+n=a= min

2b=m-n-O= m;n

Substituindo na relaçáo (3), temos:

senm + senn = 2. sen . [+ n . cosjni-n

. Forma fatoíada da expressão sen m - son n

Sabemos quê:

sen(a + b) = sênâ.cosb + sênb.cosa(1)

sen(a - b) = sena.cosb senb.cosa(2)

Fazêndo (1) , (2), temos:

sen (a + b) - sen (a - b) = 2 . sen b cos a (3)

^= ^ïn

"=-

Substituindo na relação (3), temos:

Vejamos alguns êxêmplos.

1? exeíÍplo: Fatorâí (ou transformaí êm produto) a êxprêssão y = sen 4Oo + sen 3Oo.

Resolução: Na expressão dâda, temos: m = 4Oo e n = 3OoAplicando a forma fatoíada de sen m t sen n, temos:

y = sen 4Oo + sên 3Oo = 2. sen 40' + 30o . cos ,Oo :30o -= 2 . sen 35ô . cos 5ô.

Re'posta: y = 2.sen35o.coss..

a2

29 exemplo: Fatoíâr y = 1+ sen 30o.

Re6olução: Lembrando que 1 = sen 90o, temosl

y = sen 9Oo + sen 30o = 2 --- 90o + 30o 90o - 30o"""-

= 2 sen 600 . cos 30oBesposta: y = 2 sên 60o cos 30.

39 exemplo: (FGV-SP) Transformar em produto a expressáo y = sen x cos x.t

Besotuçâo: Já sabemos que cos x = sen {* xì .

Substituindo na expressão dada, temos: y = sen , sen í 1 *ì .\z I

Aplicando a fórmula da fatoraçáo, temos:

Y=2 sên. (á-4 **(+ , )

cos----r

Í

x 4 +xy = 2 sen j-- cos

y=z.sen 2 cosã

x+f -x

/at-y=z ""nl$

-Çl ."os-,L

-7 = v = '4.""n{, f )

y = /. senlx _ |)

Resposta: y=ú sen(x -+

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I llanforme em produo as expressôes:a) sen 4x + sen 2xb) sen 5x - sen xc) sen 55' + sen 35'

2 Fatorc a expressão y = I + sen x.

3 T|ansforme em produto as expressões:a) sen 3x + sen 5xb) sen ?x - sen xc) 1 sen 2x

4 (Mack-SP) Transforme em prcduto a exFessãoy = sen(135' + x) + sen (135" - x).

5 Simplifique:

a)sen+ +sen+b) sen 105' sen 15'

ó Tlansforme em prcduto:

a)sen(x+m)+senxb)sen(x+m)-senxc) sen 7x cos 3x

7SiÍnptifique y = s€n 30" sen 80'sen l0' + sen 40'

8 Tlansforme em uma aalição:sen 2x cos 3x.

È

83

r''-

. FoÍmâ Íatoaada da gxpr€ssão cos m + cos n

Sabemos que:

cos(a+b)=cosa cosb - sena senb(1)cos(a-b)=cosa cosb + sena senb(2)

Fazendo (1) + (2), temos:

cos(a + b) + cos(a b) = 2.cosa.cosb(3)

Como: a + b = ma-b=n

- m+n"= 2- f

m-n

- m+n"=-

. m-n2

(3), lemos:

Substituindo na relaçâo (3), temos:

Forma íalorada da €xpressão cos m - cos n

Sabêmos que:

cos (a + b) = cosa cosb - sena.senb(1)cos(a- b) = cosa cosb + sena senb(2)

Fazendo ('l) 12), temos:

cos{a + b) - cos(â b) = -2 . sen a . sen b (3)

C,omo: a + b = m -a-o=n

Subslituindo nâ relação

19 exêmplo: Fatorar a oxpressão A = sen 4x t sen 2x + sen 7x - sen x.

Resoluçâoi A = sen 4x + sen 2x + sen 7x sen x

A = 2sen3r f ?L .

"os 4*

t 2, + z sen Z;_ìL

A = 2 sen 3x . cos x + 2 sen 3x cos4xA = 2 sen 3x (cos x + cos 4x)

A = 2 sen 3x 2 cos 4x i

x 665 4x:-ì!

A = 4s€n3x."o"$ . "o"f

Resposta: A = 4 sen 3x . "o" $

. "o" $

u

t

29 êxêmplo: Fatorar a expressão A = cos 6x + cos 2 x.

Resotuçáo: cos 6x +cos2x = 2cosll + 2x "- 6x 2x

cos 6x + cos 2x = 2 . cos 4x cos 2x

Rêsposta: A = 2cos4x.cos2x

39 exemplo: simptificaí a êxprêssão y - cos 19: + cos =59:cos 40o - cos 50.

Resoluçáot cos 4oo + cos 50ô = 2. co. 40o + 50o -- 40o - 50',__

= 2.cos45o cos(-5o) = 2 cos 45ô .cos50

cos 40o _ cossoo = _2.se- 40'+ 50o . ̂ ^^ 40. 50ó

= -2 sen 45o ::" {:91 = 2 sen 45o . sen 50

sen 5o

Substituindo, têmos:

v=ff i Ím=

Fesposla. cotg 5o

= çqq!: = coÌs 5"

r,

a) cos 70o + cos 20o

b) cos 2x + cos !

c) cos 45o - cos 25o

2 Ìïalsforme ern produrocos (5x + 2) - cos 3x

3 Fatore a erpressâo y = cosx + 1.

4 Usando a5 tórmula5de faroraçáo. simplifique aexprcssão: . cosx + cosv

- cosx - cosy

5 Simplifique a expressâo:

.. cos 70" + cos 20"

.' s€n 70' - G"-0'

y = sen 2x + sen 4x + sen 6x + sen 8x.

7 Simplifique a expÌessão:

sen óx + sen 2xcos 6x cos 2x

8 TÌansforme em produto a

expressão: y = senrx senz 3x.

9 TÌansforme em produto:

I + cos 2x + cos 3x + cos 5x.

l0 Transforme em uma soma:

a) sen 2x sen 4xb) cos 4x . cos lox

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I TÌansforme em produto as €xpÌessões: ó Fatore a expressão:

85

8t sâo dados sen a = f "- 't

= |,*-

0<a,b<+.Determine:

a) sen (a b) b) cos (a + b)

82 €EI-SP) Calcul€ sen 15. + cos 15".

83 Simplifique a expÍessâo:y = cos (180' - x) - 5 sen (270' + x) r+ 4 cas (180' + x)

84 Demonsrn as identidades:

a)sen(a + b) sen (a - b) = sen'za sen'?bb)cos(a +b) cos (a - b) = cos2a qen'?b

85 Demonstre que

.o. ' , , .o. í* * 4ì * * ,L, a-" ì - o.\ l / \ J /

8ó Simplifique:

'."Í+ *ì *.o.í-! - 'ì\o / \J l

87 uostre quesen (30' + a) + cos (60' + (}) = cos (t.

E8 G,EI-SP) Sendo ts A : 2 e ts B = 1,ache rg (A - B).

89 Sabendo que Ìs A = x. ts B = !

e N = tg (A - B), calcule o valorde 20 N, quando x = 10.

90 São dados sena : mecos a : n, com

O<a< L Determine em luncào de m(n:

a) sen (f - a)

bt cos l* + al\z I

ot8[a - ï l

t r òaDe-se que sen x = Í eseny =

ã.com0 < x. v < +. Calcule enlào:

a) sen (x + y) d) cotg (x - y)b) cos (x - y) e) sec (x + y)c) tg (x + y) f) cosec (x - y)

86

93 Sabendo que

sen(Í- + x. f = É,comx€aea.e

tg(92 - y) = f , comy e19 Qcàcute:

a) sen (x + y.)b) cos (x - y)c)tg(x + y)d) cote (x + y)

94 Dernonstre que:

sen\ 'çeny-; lcosí ì - ] ) cos{\ ty, l .

95 Calcute o valor de A, sabendo queA = Gena + s€nb) '?+ (cosa + cosb)2e

a-b-*.

9ó Calcul€ o valor de M, sabendo que

M = (sen x - cos y)2 + (sen y - cos x), e

x+v=+

97 Conhecenr lo sen a = T , i .^ . , ,

calcule sen 2a e tg 2a.

98 sarenaocue,ena - ] ,com0 < a < fcaÌcule cos 2a e sec 2a.

99 1uF-cE) Se sen x + cosx = l-, calculesen 2x.

100 Sabendo que tg x = j, calcuÌe ts 2x ecotS 2x.

l0l O4auá-sP) Dado s€n "

= *-ot ,

caÌcule cos 2x.

l02sesenx = f " . "nv

= * , - - .

cos(Zx + y). Supoúa0 < r, y < f .

l03Dadossena = ] esent : ] , "o-

0 < a,b < f, calcule o valor de

cos (2a + 2b).

92 Dernonstre que

ts (45o + x) =

t

t-

llr4 Demorutre as identidades:a)sen2x.cotgx = cos2x + I

u) cos za = -l l4lI + tg. a

c) I + tga. te2a = sec2a

105 sâbendo quea = send + sen2a e b: cosd + cos2d,demonstre que a2 + b'? : 2 (1 + cos s).

l0óoadocos x = f , calcute senf ,

cos] etcf .

l0TSesena = f ,""-0. a < f , calcule

ovalordesenf + cos f.

108 saunao oo" "".' f = lE

e a € lÍ, + [, câlcule o valor de

cos (2a) + sen a.

l0gsetef - *n,ou.cu..o.* = ffi .

l l0oaaatgf =

ll3 Os ângulos o e B penencem a dois quadramesnão cons€cutivos.

secoso = - , esen p = i . catcule:

â, sen (d + 6) dt cos 3

b) cos (d p) e) ïc2 Qc) sen 2 t3 1) s€c (d p)

ll4 Fatore as expressões:a.) y = sen 2x + cosxb)y = senx + 2 sen5x + sen9x I

ll5 tITA-SP) fÌaJìslormeem produroae\píe\sào:y = s€n 3x + senr,

lló 1Ìansforme em produto a €xpr€ssãocos 70' - sen 60..

I | 7 Sabendo que cos 10. = 0,9848, calcule ovalor de cos 70o + cos 50o.

ll8 nove quecos 40' + cos 80" + cos t60o = 0.Sugeslão: Transforme primeiro em pÍodutocos 40o + cos 80o.

ll9 Qual a exprusão que se obtém fatorando+e

v_ sena sen D ?' cosa + cos b

| 20 Thnsforme em produtocosx+cos4x+cos2x..

l2l Iìansforme em uma adiçao:a) 2 sen 5x cos xb) - 2 sen 7x sen 3x

| 22 (PUC-SP) Transforne €m produtosena + 2sen2a + sen 3a.

t

It , calcule o raLor de

lll Secos0 = f,, calcule o vaÌor rle M, sendo

M=16 sen; senË.

ll2 (PUc-sP) Calcule Í sabendo que

y=cosË.cosj l

a7