Inequacõestrigonoinenricast

Ìoda inêquação em quo Íigura umaÍunçáo trigonométricacom arco desconhecido deno-mina-sê Inequação trigonomótÍicá.

Assim, são inêquações trigonométricas:

t )senx>f

z)cosx<f

3) 2 sên1( senx>O

4)tgx<1

RESOLUCAO DE I N EQUACOES TRIGONOMETRICAS

Vejamos alguns exemplos.

19 exemplo: Resolvêr a inequação sen x > 0, parâ 0 < x < 2Í.

Resolúção:

Observando o ciclo trigonométíico ou o gráficq temos:

senx>0 - 0<x<í

Fesposfa. S = [x(lRl0 < x < Í]

99

ffiêffiffiffi

È

I N EQUACAO TR IGONOMETR ICA

í

29 exemplo: Resolver a inequaçáo sên x >

Resolução:

2\r2 |2)

Observando o ciclo trigonomélÍico ou o gráfico, temos:

sènx> -+ - o<x<+ ou! <x<2rResposfai S = Ix€R O<,, . f ;ouf ; .*<zo1

39 exemplo: Resolver a inequação cos x < -f , com O ç x g 2tr.

Resolução: Utilizando-so somente a representação no ciclo trigonométrico, vêm:

Da Íigura, temos:

.cosx < + - ï .* .1

Resposta. S = {xcn; i . r . 7," I' ( 4 4)

4? exemplor Determinaro conjunto solução da inequação 2 sen2x + senx _ 1 > O.

Re6olução: Fazendo-se 2 senA + senx - 1 = O, veml

""n* = 1

-1 +a,--- 2Sen X = __: .

4\senx = -1

, 't22 ,com0<x<2Í.

senx<1

t rx<R

ou""nrt ]

ì

t

FesposÍa.' S =

100

. ï

t-

[ "e nr; . " . f j

.i

,:iiri

z:.-. .4'l.i:t/ \:j' \I

"" ,/

2 -,,'

59 exemplo: Resolver a inequação tg x > Vg paraO < x < 2Í.

Resoluçáo:

Obsêruando ográficqvemos quea soluçãoda inê-quaÇao e:

, . 3rtgx>v3á â-.* . â ouË <x<-ã'

t r

/qesposÍa. S = t Ãt 1- l<x <; ou-t <x<+llx € R +

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Resoh,a as seguintes inequaçôes trigonométd.cas, no intenalo 0 < x < 2Í:

a)2senx> - l

l )cosx>]

c)rgx>l

d) lsenxl<|

e) 0 < senx < I

r t " . " . t>+

, para

- f3, pa.a

EXERCÍCIOS DE FI

159 ksolva a inequação."r '* t f , "orn

0<x<2Í.

ló0 Resolr,a a inequação cos x 2o<x<2Í.

lól ResoÌu a inequação rg x >0<x<2r.

ló2 (Fatec.SP) R€solva a ineqüâção0 < I + 2cos2\ < 16+ l,pârâo < x < Í.

lóil oetermine

O < x < 2'r tal que tg lx + +l> 0.\ ' /

ló4 Detemine d para que a equaçãox, + V2r( + cosá = 0, como < d < Í, nãoadmita Íaízes reafu.

ló5 (Fei-SP) R€solva a inequaçâosenx+sen2x-coa2x>O.

2 G'fÀ-.SP)Resolvaainequaçãqcoqr0 < x < 2Í4senl - 2(l + V2)senx + V2 < 0.

3Sendo0 < x < 2T, resolva a iíequação4smx.cosx- l<0.

4 Ache o conjunto solução da inequação2senh + senx - I \n

lóó (Fatec-SP) Resohe a inequâção

-õì2x- < 2tgx

ló7 runjcampsP) fuhe os !"lor€s de x, com 0o << x < 360p, taisque2co*x + 5senx - 4 > 0.

ló8Resotra a inequâçâo. com 0 < x < 2r:senx > cosx.

ló9 (Fuv€st-SP) Resoha a iDequação| .li

? < send.cos0 < ï ,seDdoo<d<n. e d em radianos.

170 Guvesr-SP) No inErvalo 0 < r < 4. d*termine o conju[to solução:a) da €quação sen 2x cosx = 0;b) da inequaçõo sen 2x - cos x > 0.

171 Seja a funçãof(x) - (VTcosx + l) (2setr x - 1.), definidaem 0 < x < 2Í. DeteÍmineà demodo quese tenha f(x) > 0.

ì

101

ffiwwwffiwmffim MwKw&ffi wxgex$wm rywm$mrynxffitr

O ob,etivo da Trigonometria é a .esolução completa dê triângulos pelo cálculo.Observe o lriângulo representado na figurâ â seguir:

Utilizarêmos a sêguinte convenção:

ângulos: letras maiúscutas Â, ô, ô;lados íespeclivamênie opostos: letras minúsculas â, b, c.

Todo triângulo é formado por seis êlementos pdncipais ê um secundáÍio

Resolver um triângulo é determinaros seus seis elementos principais por meio oos ete.mentos dados ou conhecidos.

Nêste capítulo estudaremos três relações entre os elemêntos dê um triângulot a lel dossènos, a lei dos co.senos e o leotoma da ãÍea.

102.

{

ElementosPrincipais

sêcundário

3 lados: â, b, c3 ângulos internos: Â, Ê, Ô

área: S

INTRODU

LEI DOS SENOS

O tÍ iângulo ABC abaixo está inscrito numa ciÍcunterência de raio R.

Ít

. Traçamos o diâmeiro BD.

^;èç^.A:=1 eD=+ =A = D

(Â e Ò sáo ângulos inscíitos.). O triângulo BCD é reÌângulo (está inscrito numa se-

micircunf erência) de hipotenusâ BD

\2)No À relângulo BCq temos:

senÓ=+=senA=*=

No ^

retângulo ACE, lemos:

senÊ=+=senÊ=+

2F=

. Traçamos o diâmetÍo AE.

cA -- cA= 2 -rr=E

(Ê e Ê são ângulos inscritos.). O triângulo ACE é retângulo (está inscrito numa sê-

micircunÍerência) de hipotênusa AE.

(3)

. Traçamos o diâmetro AF.ââ.c =Ë eÊ =+ -Ò=

(Ô e Ê sâo ângulos inscritos.). O triângulo ABF é retângulo (está inscrito numa se-

micircunÍêrênciaì de hiootenusa AE ffiffiffiffiffi

Observe, agora:

103

No triânguio rêtângulo ABE temos:

senÊ=+ +sênÔ=+ +

Comparando âs relações (1), (2) e (3), temos:

Daí a lei dos senos:

Exemplo: No triângulo seguinte, calcular âs medidas x e y indicadâs.

Resolução: A medida do 39 ângulo é 3Oo, pois 180o - (i35" + rSo; = 36"

Usando a lêidos senos: "-=: = ---+: =--- - - - - - - - - - - - sên30o sen 1350 -

Como sen 30o = +. sen 135o = + e sên 15" =remos:

+E =È =ÉE

, l2xx1=.tZ=Z=t)x=z

= f t1 =y=o-r

r v

sen 15o.t6 t2

4'

+ = 6:E'+24

Re9posta: x = 2ey = 16- t

104

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM

'l Dado o triângulo da figum, calcule x e t

2 \um rÍ iánguÍo ABC. B I0. . b " ; ,

c - ' " 2

' - .Caiculeasmedidardo(ánBU

losÂeô.

= 4m,BC = Jme

4 Determine o. ángulo, B e a de um rr iánsul

ABC. Dara o auâl À - l5'. ,en Á - '-' .

sen c =; .

5 (Fuv€st-SP)Em umiriângulo ABColado ABmede4\[e o;nguìoC. opo' Ìo ao lado qB rnede 45' . Determine o raio da ciÌcünferênciq quecircunscreve o triângulo.

ó O úiângulo ABC é inscrito a uma circunfeÉn'ciaderâioR = 2, comomostrãa fieuraseguin-re. Se s çn à ,en B, c" l (ule o \alor dc 5.

a

No  retângulo BCH, temos:a'z=h'?+(c m)2

No A retângulo ACH, temos:b2=h2 +m2)h2=b2 m2

Substituindq temosla2-b2_m2 +(c m)r+ à2-b2+c2_2.c.m

No ^

retângulo ACH, temos:

cosA=ï=m=b.cosA

Substituindo, temos:a2 =l>2 + c2 2 b c cosÂ

Í

Sejâ um ìr iângulo ABC qualquer e consìderemos o ângulo  quando:

. O tÍiângulo ABC é acutângulo

LEr DOS CO-SENOS

h

1800

E

. O tÌiângulo ABC á obtusángulo e  é obruso

No  retânoulo BCH, temos:a2=h2+(c+m),

No a retângulo ACH, temos:l>2=h2+m2-h2=b2- m2

Substituindo, temos:a2 - to2 - m2 + (c + m)2

- a2 = b2 + c2 + â.c.m

No A retângulo ACH, temos:cos ( ' Í80' Â)= cosÂ=f *m= g çs5A

Substituindq temos:a2=b2+c2 +2.c ( b.cosA)

For extensão, a lei dos co-senos, também, permite escrever:

Êxêmplo: Dois lados consecutivos de um paralelogíamo medem 6 cm e216cm. Sê cada ânguloaquoo oo paratetogramo mede 30o. calcular as medidas das djagonais.

.Fesolução: . Cálculo da medida d1 da diagonat meno.:

d:, = 62 - e,fs), - 2 . 6 . 2!6. cos3ood1 =3a + e--24\5.+d?=s6+tz-soa1 =edr = 2r€ cm

Í

t

tIIt

Da demonstraçáo Íêita, podemos dizeí que:

106

. Cálculo da medidad2 da diagonal maior:

dl= 6'? +

d; =36+

o! =so+

d7=at

(2{3)2 2 6 2,riJV3

cos 150'

12

- 24t3 l

+36

t fdz = 2'tT cm

Respostar As diagonais medêm 2Ì6 cm lmenod ê 2úJ cm (maior).

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Num Lriàngulo ABC, b - 4 m. c = r6m e = 30'. Calcule a rnedida a.

2 Calculea medjda c indicada na ligura. <aben-doquea:4b:3\ tee=45' .

A

@ \um paralelogmmo. dois lados conçecuritosmedem 7 cm e 4 cm e a diagonal menor medeJ37 cm. CaÌcule as medidas dos âneulos dessepamÌeÌogÌamo.

ó (\ unesp, Prove que náo è po\sivel con\ ru ir umtriângulo de lados a = 2eb = I, demaneÍaque o ângulo comprcendido entre os Ìados a ec tenha medida igual a 45o.

TNum ldângulo ABC temos: a = I + V3,b - 2eC - 30' . Calcule o perrmetro de"etÍiângìlo.

8 L m tr iángLrto inscÍ i to numacircunÍerencia deraio igual a l0 cm determina, nesta, três arcoscujo.comprimenro. \ào prcporcionai' aos nú-meros3,4e5.

3 No triângnlo ABc da figum, calcule cos o.

c

4 ConsideÍe o triângulo de lados indicadosfiguÍa.

x2+x+i

CaÌcule a m€dida do ângúo d.

DeteÍmine:

â) os ângulos do triângulo;b) os Ìados do triânguL;-

I (Jnicamp-SP) A água utiÌizada na casa de um\irioécaptadae bombeâdado do para uma cai-xâ{':igüaa 50m de disúncia. Acâsaeúi a 80 mdedistâÌcia da caixa-d'ág!a eo àngulo forma-do pelas d ireçõeò ca i,\a-d ásu â-bomba e cai,\a-d'água-casa é de 600 . S€ se pretende bombearágua do mesmo ponto de capÌação até a câ(4.quanÌo\ metrcs de encandmenro 'ão necessãrios?

È

107

ÁREA DE UM TRIÂNGULo

Consideremos:

. O tr iângulo acutângulo ABC da f igura seguinte:

Substituindo (2) em (1), temos:

sabemos que: S = # Al

No triângulo retângulo AHC (H é rêtouÌemos:

senô = f + h = b senô(2)

Substituindo (2) em {1), têmosl

t

Lr ì - ._ â.{b.senô)"-- . , - -

. O tí iângulo obtusângulo ABC (Ô é obtuso) da f igura sêguintê:

Sabemos que S = # A,No triângulo retângulo AÉÍC (Ê é reto)l

sen(1800 - Ôl = -fi - senc = fh = b.senÔ

.= 1-,ü

ou ìtS = 1516 cm2

c a (b senC) _2

ê_ a o.sênuv_j

Das demonstracões Íêitâs. temosl

c- b.c.senÂ"- T

ExoÍhplo: Num tíiân9ulo ABC, dois lados medem 1O cm e 6 cm ê Íormam entre si um ânoulode 60'. Câlcular a área do tr iângulo ABC.

Feso/uçãor Supondo b = 10cm,c = 6cmeÁ = 60ô, temos:

b.c.senÂ

Aesposla. S =2

1519 cm2

+S= 10'6 Sen60o =S

Num tí iânguloqualquêí â áreaé igualao sêmiproduto das medidas dedois tados peloseno do ângulo formâdo por esses lados.

Entãq por extensáo, podemos escrever:

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

I Ache a árca do triângulo da figua.

2 Qual é a #ea de um pamlelo8mmo no quâldoi'lados coÍLsecutivos medem 7 cm e 5 cm, sâben-do-se que eles formâm Ìrm ângulo de 120'?

172 Ache a medìda do ángulo à indìcado na l i -gura.

| 73 No tÌiângulo isósceìes da figuÍa, calcuÌe cos a.

174 Num triâryuÌo ABC-temos AC : 3 m,BC = 4meo = BAC.

3 çqlcule a área-do triângulo ABC, sendoAB =4cm,A=30"eC=45".

4 Num tíânsulo ABC, b = \f:, c = r''e

S = 19 . Calcule a medida do áneulo Á.

5 Qualéa áred de um ü iárBUlo i .ó,cele' no qualcada lado conB Uenlc mcdc l0 rm e o ánúloadjacente à base mede ?5o?

ó I Inalclr O perímerro de um Indngulo eqúrlate-ro ABC medeoOcm. Prolonsa^e a ba.e BC e'obre o prolongamenro româ .e Cç Ir cn .I iga-,eoponro ç ao poFlo \4. meiodo l ldo AB.N è a inrenecçào do ìado AC com s\í . adìcüì.a área do quadrilátero BCMN.

a) Se AB = 3 m, calcule cos (!.b) Se 6 = AÊC, oposto ao lado Ac, for 60",

calcule sen c.

175 NuÍÍ I Íiánsulo i.o.celes, a ba'e mede \ eLddâìado congr uenre mede ). Sc o ánBuìo oJìo.roà base mede 1200, caÌcule y cm tunção de x.

l7ó rMdck-sP, Dors lado\ con'ecurivo. de um_ pâralcìogmmo medem 8 me l2meÍormam

um ângulo de 60'. Calcül€ as dìagonais.

l77os tados de um triângulo formam umaprogressão aritméÌica de razâo I e o major;nguloéo dobro do menor. Derermineo\aìodos Ìados desse triângulo.

178 Numlosaneo ABCD a soma das medidas dosângÌlos obtusos Pé o triplo dasomadas medidas dos ângulos aaüdos o.

Sabendo que a sua diagonal menor m€ded cm, câlcule:

a) as medidas de a e É;b) a medida de süa aresta x.

È

2\2m

109

r

179 Um nario na'ega no rumo F ( le,re, quanoouma luz é observada na maÌcação 60. NE.Após navegar I J00 merros. a luzpas5a a servista aos 45'NE, conforme indica a figum.Delermine a menoí distància a que o na! iopassará da lü2, se o rumo for mantido,Dado sen l5o = 0,26.

182 Ache a área do ^

ABC quando A -AB = 6eAC = 5.

| 83 (Mapofei-SP) As diagonais de um paÍaleto,gramo medeÌn l0me20melormam um â, 'gÌrÌo de 60'. Ache a área do paÉlelogramo.

| 84 Num triânguÌo ìsósceles de base 6 cÍrì, ô ângu-10 oposto à base mede 120" . Calcule a área dotrìâneulo (Sugestão: usando a lei dos senos,caÌcÌ e a medida de cada Ìado congruente)

185 Considere os rriângulos Tr e'1, abai\o indi-cados. Se a área do triângnlo Tr é 3 m,, qualserá a área do tdângulo T2?

L( luz)

t

80 Na figuÍa indicada,Dados:

BÂc = 30.BD - 6úmAB = 6m

calcule x e i.

l8l se;a o triânsulo da figura,+ V3eA = 45'-

onde b = ri6

4 Calcule a medida do lado a e os ângulos Ê

b) Calcule o raio R do cin:ulo circunscrito ea área S do triângulo.

110

IABUA DG RAZOES ÍRIGONOI/IËÌ[ICAs

1oò

110120130140

16"17"18ô

.19020.

22a23

25"

2702802s"300

34035"

360

38"39"40.

430

45a

0,0170,0350,0520,0700,087

0,1050,1220,1390,1560,174

0,1910,208o,225o,2420,259

o,2760,2920,3090,3260,342

0,3580,3750,3910,4070,423

0,4380,4540,4690,4850,500

0,5150,5300,5450,559o,574

0,5880,6020,6160,6290,643

0,6560,6690,6820,6950,707

1,0000,9990,9990,9980,996

0,9950,9930,9900,9880,985

0,9820,978o,9740,9700,966

0,9610,9560,9510,9460,940

0,934o,927o,9210,9140,906

0,8990,8910,8830,8750,866

0,8570,8480,8390,8290,819

0,8090,7990,788o,7770,766

o,755o,7430,7310,7190,707

o,o170,0350,0520,0700,087

0,1050,1230,1410,1580,T76

0,1940,2134,2310,2490,268

0,2870,3060,325o,3440,364

0,384o,404o,4240,4450,466

0,4880,5100,5320,554o,577

0,6010,6250,6490,6750,700

4,7274,7540,7810,8100,839

0,8690,9000,9330,9661,000

46.

48.49.50.

5to52053.540550

56"57.58"59"60"

61062.63.64.65.

66"67"68"690704

714724734

750

76.

74.790800

8'1.82"83"84"85"

860a7a88089.

0,7'190,7310,7 430,7550,766

o,7770,7880,79S0,80s0,819

0,8290,8390,8480,8570,866

0,8750,8830,8910,8990,906

0,9140,9210,9270,9340,940

0,9460,9510,9560,9610,966

0,9700,9740,9780,9820,985

0,9880,9900,9930,9950,996

0,9980,9990,9991,000

0,6950,6820,6690,6560,643

0,6290,6160,6020,5880,574

0,5590,5450,530

0,500

0,4850,4690,4540,4380,423

0,4070,391o,3750,358.o,342

0,3260,3090,292o,2760,259

o,242o,2250,2080,1910,17 4

0,1560,1390,1220,1050,087

0,0700,0520,0350,017

1,0361,0721,11 11,1501,192

1,2351,2801,V71,3761,428

1,4831,5401,6001,6641,732

1,8041,881

2,0502,145

2,246

2,4752,605

2,9043,0783.2713,4473,732

4,0114,3324,705

6,3147,1158,1449,514

11,430

14,30119,08128,63657,290

t t l

ì -