Atividades de Reforço em Cálculo - WordPress Institucional · Exemplo. Considerando o triângulo abaixo, determine as razões trigonométricas pedidas (a) ... Tabela das trigonométricas

Instituto de Física e Matemática

Pró-reitoria de Ensino

Universidade Federal de Pelotas

Funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas

Atividades de Reforço em CálculoMódulo de

2018/1

Aula 01

GAMAGrupo de Apoio em

Matemática

Projeto

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Cateto Adjacenteao ângulo 𝛼

Vértice 𝐴 Vértice 𝐶

Cateto Oposto ao ângulo 𝛼

Vértice 𝐵Hipotenusa

Ângulo interno relativo ao vértice 𝐶

Considere o triângulo retângulo a seguir

Ângulo reto

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

Ângulo interno relativo ao vértice 𝐵

Cateto Adjacente ao ângulo 𝛽

Cateto Opostoao ângulo 𝛽


sin 𝛼 =𝑐

𝑎

Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa

sin𝛽 =𝑏

𝑎

cos 𝛼 =𝑏

𝑎

Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa

cos 𝛽 =𝑐

𝑎

tan𝛼 =𝑐

𝑏

Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente

tan𝛽 =𝑏

𝑐

cot 𝛼 =𝑏

𝑐

Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto

cot 𝛽 =𝑐

𝑏

sec 𝛼 =𝑎

𝑏

Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente

sec 𝛽 =𝑎

𝑐

csc 𝛼 =𝑎

𝑐

Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto

csc 𝛽 =𝑎

𝑏

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

𝛼 + 𝛽 = 90∘

𝛽 = 90∘ − 𝛼

sin𝛼 = cos 𝛽

sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)

cos 𝛼 = sin 𝛽

cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)


sin 𝛼 =𝑐

𝑎

Razão SenoDivisão do cateto oposto pela hipotenusa

sin𝛽 =𝑏

𝑎

cos 𝛼 =𝑏

𝑎

Razão CossenoDivisão do cateto adjacente pela hipotenusa

cos 𝛽 =𝑐

𝑎

tan𝛼 =𝑐

𝑏

Razão TangenteDivisão do cateto oposto pelo cateto adjacente

tan𝛽 =𝑏

𝑐

cot 𝛼 =𝑏

𝑐

Razão CotangenteDivisão do cateto adjacente pelo cateto oposto

cot 𝛽 =𝑐

𝑏

sec 𝛼 =𝑎

𝑏

Razão SecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto adjacente

sec 𝛽 =𝑎

𝑐

csc 𝛼 =𝑎

𝑐

Razão CossecanteDivisão da hipotenusa pelo cateto oposto

csc 𝛽 =𝑎

𝑏

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎𝛽

𝛼

𝛼 + 𝛽 = 90∘

𝛽 = 90∘ − 𝛼

sin𝛼 = cos 𝛽

sin 𝛼 = cos(90∘ − 𝛼)

cos 𝛼 = sin 𝛽

cos 𝛼 = sin(90∘ − 𝛼)


Exemplo. Considerando o triângulo abaixo, determine as razões trigonométricas pedidas

(a) sin 𝛼

𝐴

𝐵

𝐶𝑥

35𝛽

𝛼

32 + 𝑥2 = 52

9 + 𝑥2 = 25

𝑥2 = 16

𝑥 = 4(c) tan𝛼

(d) sec 𝛼

(b) cos 𝛼

(e) sin𝛽

(g) cot 𝛽

(h) csc 𝛽

(f) cos 𝛽

Solução:(a) sin 𝛼

(c) tan𝛼

(b) cos 𝛼

(d) sec 𝛼

(e) sin𝛽

(g) cot 𝛽

(h) csc 𝛽

(f) cos 𝛽

3

5

4

5

3

4

5

4

4

5

3

5

3

4

5

4


Observações Importantes

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎

𝛼

cot 𝛼 =1

tan𝛼

sec 𝛼 =1

cos𝛼

csc𝛼 =1

sin 𝛼

tan𝛼 =sin 𝛼

cos 𝛼

cot 𝛼 =cos𝛼

sin 𝛼

sin 𝛼

cos 𝛼=

𝑐𝑎𝑏𝑎

=𝑐

𝑎⋅𝑎

𝑏=𝑐

𝑏= tan 𝛼

pois:

cos 𝛼

sin 𝛼=

𝑏𝑎𝑐𝑎

=𝑏

𝑎⋅𝑎

𝑐=𝑏

𝑐= cot 𝛼

pois:

1

tan 𝛼=1𝑐𝑏

=𝑏

𝑐= cot 𝛼

pois:

1

cos 𝛼=1

𝑏𝑎

=𝑎

𝑏= sec 𝛼

pois:

1

sin 𝛼=1𝑐𝑎

=𝑎

𝑐= csc 𝛼

pois:


Observações Importantes

𝐴

𝐵

𝐶𝑏

𝑐𝑎

𝛼

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2Teorema de Pitágoras:

𝑏2

𝑎2+𝑐2

𝑎2=𝑎2

𝑎2

𝑏

𝑎

2

+𝑐

𝑎

2

= 1

cos2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1

Dividindo ambos os lados por 𝑎2:

Propriedades das potências:

pois:

Portanto:

1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼

cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼

𝑏2

𝑏2+𝑐2

𝑏2=𝑎2

𝑏2

1 +𝑐

𝑏

2

=𝑎

𝑏

2

1 + tan2 𝛼 = sec2 𝛼

Dividindo ambos os lados por 𝑏2:


Portanto:

𝑏2

𝑐2+𝑐2

𝑐2=𝑎2

𝑐2

𝑏

𝑐

2

+ 1 =𝑎

𝑐

2

cot2 𝛼 + 1 = csc2 𝛼

Dividindo ambos os lados por 𝑐2:


Portanto:

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1

Ou seja:

Razões trigonométricas especiais

sin 30∘ =1

2

cos 30∘ =3

2

tan 30∘ =3

3

12 = ℎ2 +1

2

2

ℎ2 = 1 −1

4ℎ =

3

2

sin 60∘ =

321

=3

2

cos 60∘ =

121=1

2

tan 30∘ =

12

32

=1

2⋅2

3=

1

3=

3

3

Considere o triângulo equilátero de lado unitário abaixo:

Razões trigonométricas para 𝟑𝟎∘ e 𝟔𝟎∘

sin 30∘ =

121=1

2cos 30∘ =

321

=3

2

tan 60∘ =

3212

=3

2⋅2

1= 3

1 1

1

60∘ 60∘

60∘

13

2

1

2

60∘

30∘

1

2

1

2

1 1

60∘ 60∘

30∘

sin 60∘ =3

2

cos 60∘ =1

2

tan 60∘ = 3

ℎ =3

2

ℎ

Razões trigonométricas especiais

sin 45∘ =2

2

cos 45∘ =2

2

tan 45∘ = 1

𝑎2 = 12 + 12

Considere o triângulo retângulo isósceles abaixo:

Razões trigonométricas para 𝟒𝟓∘

sin 45∘ =1

2=

2

2

𝑎 = 2

𝑎1

1

45∘

45∘

𝑎2 = 2

𝑎 = 2

(teorema de Pitágoras)

cos 45∘ =1

2=

2

2

tan 45∘ =1

1= 1

1

22

2

3

2

3

2

2

2

3

3

Tabela das trigonométricas especiais

30∘ 45∘ 60∘

1 3

Seno

Cosseno

Tangente

1

2

O ciclo trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário (𝑟 = 1) com centro na origem do plano cartesiano.

Cada ponto 𝑃 sobre esta circunferência determina um ângulo 𝑥 = 𝐴𝑂𝑃.

Fixe os pontos 𝑂(0,0) e 𝐴(1,0).

Estes ângulos podem ser medidos no sentido positivo (anti-horário) ou negativo (horário).

Assim, a circunferência é chamada de Ciclo Trigonométrico.

𝑥𝑟 = 1

𝑥𝑟 = 1

Sentido positivo

Sentido negativo

𝑂

𝐴

𝑃

𝑂

𝐴

𝑃

𝜋

2

5𝜋

3

Arcos e Ângulos no Ciclo Trigonométrico

Exemplo: Complete a tabela

30∘ 45∘ 60∘ 90∘ 120∘ 135∘ 150∘ 180∘

210∘ 225∘ 240∘ 270∘ 300∘ 315∘ 330∘ 360∘

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6𝜋

Graus

Radianos

Graus

Radianos7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3𝜋

22𝜋

11𝜋

6

7𝜋

4

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋0∘

90∘

180∘

270∘

360∘

𝜋 ⟷ 180∘Conversão

grausradianos

Trigonometria no Ciclo Trigonométrico

Note que, cada arco 𝑥 está associado a um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) no plano,chamado de extremidade do arco 𝑥.

Arco

𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥

𝑥

𝑟 = 1

𝑂

𝐴𝑎

𝑏

𝑃(𝑎, 𝑏)

Abscissa Ordenada

O arco de 90∘ está associado à

extremidade (0,1)


extremidade (1,0)


extremidade (0,−1)


extremidade (−1,0)

0∘

90∘

180∘

270∘

360∘

30∘

Imagem dos arcos especiais no ciclo

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

3

2,1

2

3

2

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

−3

2,1

2

−3

2, −

1

2

3

2, −

1

2

30∘

30∘30∘

5𝜋

6−

3

2,1

2

7𝜋

6−

3

2, −

1

2

11𝜋

6

3

2, −

1

2

𝜋

63

2,1

2

Extremidade do arco

𝜋

6

e de seus correspondentes nos demais quadrantes:

1

2

3

21

2

1

2

1

2

45∘


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

2

2,2

2

2

2

2

2

3𝜋

4

5𝜋

47𝜋

4

−2

2,2

2

−2

2, −

2

2

2

2, −

2

2

45∘

45∘45∘

3𝜋

4−

2

2,2

2

5𝜋

4−

2

2, −

2

2

7𝜋

4

2

2, −

2

2

𝜋

42

2,2

2

Extremidade do arco

𝜋

4


2

2

2

22

22

2

60∘


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

1

2,3

2

3

2

1

2

2𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

−1

2,3

2

−1

2, −

3

21

2, −

3

2

60∘

60∘

60∘

2𝜋

3−1

2,3

2

4𝜋

3−1

2, −

3

2

5𝜋

3

1

2, −

3

2

𝜋

31

2,3

2

Extremidade do arco

𝜋

3


3

2

1

23

23

2

Arcos côngruos

Dois arcos 𝛼1 e 𝛼2 são ditos côngruos ou congruentes se ambos possuem a mesma extremidade (mesma abscissa e mesma ordenada) no ciclo trigonométrico.

Note que, no ciclo trigonométrico, nada impede que um arco seja maior que uma volta completa, tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo.

Por exemplo, o arco de 390∘ é um arco equivalente a uma volta completa (360∘) mais um arco de 30∘.

30∘

390∘

Note que os arcos de 30∘e de 390∘

determinam a mesma extremidade no ciclo!

Isto significa, em outras palavras, que 𝛼1 e 𝛼2 se diferenciam apenas por um certo número de voltas completas.

Solução:

Arcos côngruos

Note que, fixando um arco 𝛼0, a expressão geral que define todos os demais arcos congruentes a 𝛼0 é dada por

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)

Arcos dados em graus

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)

Arcos dados em radianos

Exemplo. Em cada caso, determine a expressão geral do arco dado.

(a) 150∘ (b) 4𝜋

3

(a)

150∘ + 𝑘 ⋅ (360∘)

(b) 4𝜋

3+ 𝑘 ⋅ 2𝜋 =

4𝜋

3+ 2𝑘𝜋

Número de voltas completas


Menor determinação positiva

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (360∘)


Primeira determinação positiva

0∘ ≤ 𝛼0 < 360∘

Arco dado em graus

𝛼 = 𝛼0 + 𝑘 ⋅ (2𝜋)



0 ≤ 𝛼0 < 2𝜋

Arco dado em radianos

A menor determinação positiva de um arco 𝛼 é o menor arco, congruente a 𝛼 tal que 0∘ ≤ 𝛼 < 360∘ (graus) ou 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋 (radianos) .

Nas expressões acima, 𝑘 é um número inteiro 𝑘 ∈ ℤ .

𝑘 > 0 indica 𝑛 voltas no sentido anti-horário (sentido positivo do ciclo);

𝑘 < 0 indica 𝑛 voltas no sentido horário (sentido negativo do ciclo).

Menor determinação positiva

Exemplo. Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco.

Solução:

(a) 390∘ (b) 840∘ (c) −120∘ (d) 17𝜋

6

(a) 390∘ = 30∘ + 1 ⋅ (360∘)


Uma volta no sentido anti-horário

(b) 840∘ = 120∘ + 2 ⋅ (360∘)


Duas voltas no sentido anti-horário

(c) −120∘= 240∘ − 1 ⋅ (360∘)


Uma volta no sentido horário

(d) 17𝜋

6=5𝜋

6+ 1 ⋅ (2𝜋)


Uma volta no sentido anti-horário

(e) −21𝜋

4=3𝜋

4− 3 ⋅ (2𝜋)


Três voltas no sentido horário

(e) −21𝜋

4

Exercícios Propostos

Exercícios

1) Em cada caso, determine os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝑧.

Resp.: 𝑥 =

10 3

3𝑦 = 4 2

𝑧 = 10

2) Determine o valor de 𝑥.

𝑥 =3 2

2(1 + 3)

Exercícios

3) Considerando o arco 𝑥 representado no ciclo trigonométrico abaixo, determine e represente no ciclo os arcos e as respectivas coordenadas correspondentes ao arco 𝑥 nos demais quadrantes:

𝛼∘0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝑥

𝑎, 𝑏

𝑏

𝑎

𝜋 − 𝑥

𝜋 + 𝑥2𝜋 − 𝑥

−𝑎, 𝑏

−𝑎,−𝑏 𝑎, −𝑏

𝛼∘

𝛼∘𝛼∘

𝜋 − 𝑥 −𝑎, 𝑏

𝜋 + 𝑥 −𝑎,−𝑏

2𝜋 − 𝑥 𝑎,−𝑏

𝑥 𝑎, 𝑏

𝑏

𝑎

𝑏𝑏

Correspondente de 𝑥 no segundo quadrante

Correspondente de 𝑥 no terceiro quadrante

Correspondente de 𝑥 no quarto quadrante

Exercícios

4) Em cada caso, encontre a menor determinação positiva do arco dado.

(a) 2205∘ (b) −840∘ (c) −1440∘ (d) 9𝜋 (e) −37𝜋

345∘ 240∘ 0 𝜋

5𝜋

3

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2018/1

Aula 02


Matemática

Projeto

Seno e cosseno no ciclo trigonométrico

Lembre que, para cada arco 𝑥, o ciclo trigonométrico associa um ponto 𝑃(𝑎, 𝑏) do plano cartesiano, chamado de extremidade do arco 𝑥.

𝑃 𝑎, 𝑏Extremidade do arco 𝑥

sin 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥 sin 𝑥 =𝑏

1= 𝑏

cos 𝑥 =𝑎

1= 𝑎

1

𝑥

cos 𝑥

sin 𝑥

1

𝑥

𝑎

𝑏𝑃 cos 𝑥 , sin 𝑥

Extremidade do arco 𝑥

cos 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1 𝑥

𝑏

𝑎

A abscissa de 𝑃 é igual ao cosseno do arco 𝑥 e a ordenada de 𝑃 é igual ao seno do arco 𝑥.

Seno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

seno

−1

2

seno

1

2

seno

−1

2seno

5𝜋

6

1

2

7𝜋

6−1

2

11𝜋

6−1

2

𝜋

6

1

2

Arco𝝅

𝟔Valor do seno

Arco


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

3𝜋

4

5𝜋

4

7𝜋

4

2

2

2

2

seno

−2

2

seno

2

2

seno

−2

2

seno

3𝜋

4

2

2

5𝜋

4−

2

2

7𝜋

4−

2

2

𝜋

4

2

2

Arco𝝅

𝟒Valor do seno

Arco

2

2

2

2

2

2


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

2𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

3

2

3

2

3

23

2

3

2

seno

−3

2

seno

3

2

seno

−3

2

seno

2𝜋

3

3

2

4𝜋

3−

3

2

5𝜋

3−

3

2

𝜋

3

3

2

Arco𝝅

𝟑Valor do seno

Arco

Função seno

GEOGEBRA - Seno

Função seno

Gráfico da função seno

Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = sin 𝑥

é chamada de função seno.

Domínio

𝐷(𝑓) = ℝ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Função seno

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

1

22

2

3

2

𝑥

sin 𝑥

Primeiro quadrante

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

3

2

2

2

1

2

𝑥

sin 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

−1

2 −2

2−

3

2

𝑥

sin 𝑥

Terceiro quadrante

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

2−

2

2−1

2

𝑥

sin 𝑥

Quarto quadrante

sin 0 = 0

sin𝜋

2= 1 sin 𝜋 = 0

sin 2𝜋 = 0

sin3𝜋

2= −1

Técnicas para esboço de gráficos

𝑓(𝑥) = 𝑎 sin 𝑚𝑥 + 𝑛 + 𝑏

Alonga ou comprime verticalmente o gráfico.

Inverte verticalmente o gráfico se 𝑎 < 0.

Desloca verticalmente o gráfico.

Alonga ou comprime horizontalmente o gráfico.

Inverte horizontalmente o gráfico se 𝑚 < 0.

Desloca horizontalmente o gráfico.

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período da função

Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + 3

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em três unidades para cima.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 + 3

Deslocamento vertical para cima

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = 2,4 𝑃 𝑓 = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

4

2

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

1

3

−1


Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 1

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em uma unidade para baixo.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 1𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento vertical para baixo

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −2,0 𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = sin 𝑥

𝑦 = 3 sin 𝑥

Alongamento vertical do gráfico da função seno pelo fator 3.

Alongamento vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3] 𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) =1

2sin 𝑥

Compressão verticalmente o gráfico da função seno pelo fator 1

2.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 =1

2sin 𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Compressão vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1

2,1

2𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = − sin 𝑥

Reflete o gráfico da função seno em relação ao eixo horizontal.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = −sin 𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Reflexão em relação ao eixo horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 +𝜋

2

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋

2para a esquerda.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 +𝜋

2𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento horizontal para a esquerda

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 𝜋

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a direita.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 − 𝜋𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Deslocamento horizontal para a direita

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = sin 2𝑥

Compressão horizontal do gráfico da função seno pela metade.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin 2𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Compressão horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = sin𝑥

2

Alongamento horizontal do gráfico da função seno em dobro.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin𝑥

2𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Alongamento horizontal

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 4𝜋


Solução:

𝑓(𝑥) = sin −𝑥

Reflexão do gráfico da função seno em relação ao eixo vertical.

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = sin −𝑥𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Reflexão em relação ao eixo vertical

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = −1,1 𝑃 𝑓 = 2𝜋

Exemplo. Esboce o gráfico da função

Solução:

𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

𝑦 = sin 𝑥 𝑦 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

Exemplo

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

2

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

1

3

−1

𝑓 𝑥 = 2sin 𝑥 + 𝜋 + 1

Deslocamento horizontal do gráfico da função seno em 𝜋 unidades para a esquerda.

Alongamento vertical do gráfico da função seno em dobro.

Deslocamento vertical do gráfico da função seno em 1 unidade para cima.

Função cosseno

GEOGEBRA - Cosseno

Função cosseno

Gráfico da função cosseno

Definição. A função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = cos 𝑥

é chamada de função cosseno.

Domínio

𝐷(𝑓) = ℝ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = [−1,1]

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

Cosseno dos arcos notáveis

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

6

5𝜋

6

7𝜋

6

11𝜋

6

3

2

cosseno

3

2

cosseno

−3

2

cosseno

−3

2

cosseno

5𝜋

6−

3

2

7𝜋

6−

3

2

11𝜋

6

3

2

𝜋

6

3

2

Arco𝝅

𝟔Valor do cosseno

Arco

3

2

3

2

3

2

3

2


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

4

3𝜋

4

5𝜋

4

7𝜋

4

2

2

cosseno

2

2

cosseno

−2

2

cosseno

−2

2

cosseno

3𝜋

4−

2

2

5𝜋

4−

2

2

7𝜋

4

2

2

𝜋

4

2

2

Arco𝝅

𝟒Arco

Valor do cosseno

2

2

2

2

2

2

2

2


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

3

2𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

1

2cosseno

1

2

cosseno

−1

2

cosseno

−1

2

cosseno

2𝜋

3−1

2

4𝜋

3−1

2

5𝜋

3

1

2

𝜋

3

1

2

Arco𝝅

𝟑Arco

Valor do cosseno

1

2

1

2

1

2

1

2

Função cosseno

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

2

2

2

1

2

𝑥

cos 𝑥

Primeiro quadrante

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−1

2 −2

2−

3

2

𝑥

cos 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

−3

2−

2

2−1

2

𝑥

cos 𝑥

Terceiro quadrante

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

1

22

2

3

2

𝑥

cos 𝑥

Quarto quadrante

cos 0 = 1

cos𝜋

2= 0

cos 2𝜋 = 1

cos3𝜋

2= 0

cos 𝜋 = −1

Exemplo. Esboce o gráfico da função

Solução:

𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1

𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = − cos 2𝑥 − 1

Exemplo

Compressão horizontal do gráfico da função cosseno pela metade.

Reflexão do gráfico da função cosseno em relação ao eixo vertical.

Deslocamento vertical do gráfico da função cosseno em 1 unidade para baixo.

𝑓 𝑥 = −cos 2𝑥 − 1

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

−2

−3


Exercícios

e) 𝑦 = 3 cos 2𝑥 +𝜋

2

d) 𝑦 = 3 sin 2𝜋𝑥

c) 𝑦 = −3 cos(0,5𝑥)

b) 𝑦 = 2 sin 4𝑥

a) 𝑦 = 2 + sin 𝑥

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T),

amplitude (A), domínio e imagem das funções:

𝑇 = 2𝜋 𝐴 = 1 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [1,3]

𝑇 =𝜋

2𝐴 = 2 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−2,2]

𝑇 = 4𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

𝑇 = 1 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

𝑇 = 𝜋 𝐴 = 3 𝐷 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−3,3]

Monitorias!!














2018/1

Aula 03


Matemática

Projeto

Tangente no ciclo trigonométrico


Eixo das tangentes

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥tan 𝑥 =

𝑚

1= 𝑚

𝑚 1

𝑚

𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏tan 𝑥

𝑥


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6−

3

3

7𝜋

6

3

3

11𝜋

6−

3

3

𝜋

6

3

3

Arco Valor da tangente

3

3

3

3

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes nos demais quadrantes.


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4−1

5𝜋

41

7𝜋

4−1

𝜋

41


1

1

Arco𝝅

𝟒e de seus correspondentes nos demais quadrantes.


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

2𝜋

3− 3

4𝜋

33

5𝜋

3− 3

𝜋

33


3

3

Arco𝝅

𝟑e de seus correspondentes nos demais quadrantes.

Função tangente

GEOGEBRA - Tangente

Função tangente

Definição. A função 𝑓 dada por

𝑓 𝑥 = tan 𝑥

é chamada de função tangente.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Período

𝑃(𝑓) = 𝜋tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

Lembre que: Assíntotas

𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função tangente𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = tan 𝑥

Função tangente

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

31 3

𝑥

tan 𝑥

Primeiro quadrante

A tangente não está definida(Assíntota vertical)

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

−3

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−3

3−1− 3

𝑥

tan 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3

31 3

𝑥

tan 𝑥

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

3−1− 3

𝑥

tan 𝑥

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

tan 0 = 0

tan 2𝜋 = 0

tan 𝜋 = 0

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função

Solução:

𝑓(𝑥) = tan𝑥 + 1

Deslocamento vertical do gráfico da função tangente em uma unidade para cima.

Exemplos

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋

𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 + 1

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Exemplo. Esboce o gráfico, determine o domínio, a imagem e o período e as assíntotas da função

Solução:

𝑓(𝑥) = tan 𝑥 +𝜋

2Deslocamento horizontal do gráfico da função tangente em uma

𝜋

2unidades para a esquerda.

𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = tan 𝑥 +𝜋

2

Exemplos

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ 𝑃 𝑓 = 𝜋

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

𝑥

Cotangente no ciclo trigonométrico


Eixo das cotangentes

cot 𝑥 =𝑚

1= 𝑚

𝑥

𝑚

𝑥

1

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

cot 𝑥

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6− 3

7𝜋

63

11𝜋

6− 3

𝜋

63

Arco Valor da cotangente 3

Arco𝝅


cot𝜋

6=

1

tan𝜋6

=1

33

=3

3= 3


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4−1

5𝜋

41

7𝜋

4−1

𝜋

41

Arco Valor da cotangente11

Arco𝝅


cot𝜋

4=

1

tan𝜋4

=1

1= 1


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

35𝜋

3

2𝜋

3−

3

3

4𝜋

3

3

3

5𝜋

3−

3

3

𝜋

3

3

3

Arco Valor da cotangente3

3

Arco𝝅


3

3

cot𝜋

3=

1

tan𝜋3

=1

3=

3

3

Função cotangente

GEOGEBRA - Cotangente

Função cotangente


𝑓 𝑥 = cot 𝑥

é chamada de função cotangente.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Período

𝑃(𝑓) = 𝜋cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥


𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função cotangente𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = cot 𝑥

Função cotangente

𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

3

313

𝑥

cot 𝑥

Primeiro quadrante

A cotangente não está definida(Assíntota vertical)

𝑦

𝑥𝜋

2𝜋

1

−13𝜋

2

2𝜋

2

−2

−3

3

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

−3

3−1 − 3

𝑥

cot 𝑥

Segundo quadrante

7𝜋

6

5𝜋

4

4𝜋

3

3

313

𝑥

cot 𝑥

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

−3

3−1 − 3

𝑥

cot 𝑥

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

tan𝜋

2= 0

cot𝜋

2= 0


Exercícios

a) 𝑦 = tan 2𝑥 + 1

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o

domínio e imagem das funções:

𝑇 =𝜋

2𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠

𝜋4+𝑘𝜋2; 𝑘 ∈ ℤ 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

d) 𝑦 =1

2cot 𝑥 − 𝜋

c) 𝑦 = cot 𝑥 +𝜋

2

b) 𝑦 = 2 tan 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋6+𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ ; 𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Monitorias!!














2018/1

Aula 04


Matemática

Projeto

Secante no ciclo trigonométrico


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚

𝑥

1

𝑚

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

sec 𝑥

sec 𝑥 =Cateto adjacente

Hipotenusa=𝑚

1= 𝑚


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

6−2 3

3

7𝜋

6−2 3

3

11𝜋

6

2 3

3

𝜋

6

2 3

3

Arco𝝅


Arco Valor da secante

2 3

3

sec𝜋

6=

1

cos𝜋6

Lembre que:

2 3

3

=1

32

=2

3=2 3

3


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

4− 2

5𝜋

4− 2

7𝜋

42

𝜋

42

Arco𝝅



2

sec𝜋

4=

1

cos𝜋4

Lembre que:

2

=1

22

=2

2= 2


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

3 5𝜋

3

2𝜋

3−2

4𝜋

3−2

5𝜋

32

𝜋

32

Arco𝝅



2

sec𝜋

3=

1

cos𝜋3

Lembre que:

2

=1

12

= 2

Função secante

GEOGEBRA - Secante

Função secante


𝑓 𝑥 = sec 𝑥

é chamada de função secante.

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋sec 𝑥 =1

cos 𝑥


𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Gráfico da função secante𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

𝑦 = sec 𝑥

Função secante

Relação gráfica entre as funções secante e cosseno

𝑓 𝑥 = sec 𝑥 =1

cos 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Onde o cosseno cresce, a secante decresce, e vice-versa;

Onde o cosseno se anula, a secante não está definida;

O sinal da secante acompanha o sinal do cosseno, em cada quadrante.

Observações Importantes:

𝑥

Cossecante no ciclo trigonométrico


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

𝑚

0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋𝑟 = 1

𝑎

𝑏

𝑥

csc 𝑥

csc 𝑥 =Cateto oposto

Hipotenusa=𝑚

1= 𝑚

𝑚

1

𝑥


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

65𝜋

6

7𝜋

6 11𝜋

6

5𝜋

62

7𝜋

6−2

11𝜋

6−2

𝜋

62

Arco𝝅

𝟔e de seus correspondentes

Arco Valor da cossecante

csc𝜋

6=

1

sin𝜋6

Lembre que:

2

=1

12

= 2

2

nos demais quadrantes.


0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

43𝜋

4

5𝜋

4 7𝜋

4

3𝜋

42

5𝜋

4 − 2

7𝜋

4− 2

𝜋

42


csc𝜋

4=

1

sin𝜋4

Lembre que:

2

2

=1

22

=2

2= 2

Arco𝝅



0

𝜋

2

𝜋

3𝜋

2

2𝜋

𝜋

32𝜋

3

4𝜋

3

5𝜋

3

2𝜋

3

2 3

3

4𝜋

3−2 3

3

5𝜋

3−2 3

3

𝜋

3

2 3

3


csc𝜋

3=

1

sin𝜋3

Lembre que:

2 3

3

2 3

3

Arco𝝅


=1

32

=2

3=2 3

3

Função cossecante

GEOGEBRA - Cossecante

Função cossecante


𝑓 𝑥 = csc 𝑥

é chamada de função cossecante.

Gráfico da função cossecante𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Domínio

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Imagem

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ − (−1,1)

Período

𝑃(𝑓) = 2𝜋csc 𝑥 =1

sin 𝑥


𝑥 = 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

𝑦 = csc 𝑥

Função cossecante

Relação gráfica entre as funções cossecante e seno

𝑓 𝑥 = csc 𝑥 =1

sin 𝑥

𝑦

𝑥𝜋

2

𝜋

1

−1

3𝜋

2

2𝜋−𝜋

2

−𝜋−3𝜋

2

−2𝜋 5𝜋

2

3𝜋

2

−2

−3

3

Onde o seno cresce, a cossecante decresce, e vice-versa;

Onde o seno se anula, a cossecante não está definida;

O sinal da cossecante acompanha o sinal do seno, em cada quadrante.

Observações Importantes:


Exercícios

1) Esboce o gráfico das funções trigonométricas, e determine o período (T), o

domínio e imagem das funções:

a) 𝑦 = sec 2𝑥 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

4+

𝑘𝜋

2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 𝜋

c) 𝑦 = −sec 𝑥 +𝜋

2

b) 𝑦 = 2 sec 3𝑥 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝜋

6+

𝑘𝜋

3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

2𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−2,2)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)

f) 𝑦 = 2 − csc(𝑥)

e) 𝑦 = −csc(2𝜋𝑥)

d) 𝑦 = 3 csc(3𝑥) 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘𝜋3; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 =

2𝜋

3𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−3,3)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠𝑘2; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 1 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (−1,1)

𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ𝑇 = 2𝜋 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ− (1,3)

Monitorias!!














2018/1

Aula 05


Matemática

Projeto

Função exponencial

Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

é chamada de função exponencial de base 𝒂.

Exemplos. São exemplos de funções exponenciais:

𝑦 = 2𝑥

função exponencial de base 2

𝑦 = 3𝑥


𝑦 = 10𝑥


𝑦 = 𝜋𝑥

função exponencial de base 𝜋

𝑦 =1

2

𝑥

função exponencial

de base 1

2

𝑦 = 𝑒𝑥

função exponencial de base 𝑒

O número 𝑒 acima é um número irracional (assim como o 𝜋, por exemplo) chamado de número de Euler. O valor aproximado de 𝑒 com três casas decimais é 2,718.

𝑓(𝑥) = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

7

8

3

2

−4 4

4

Gráfico

𝑓 −3 = 2−3 =1

23=1

8

𝑓 −2 = 2−2 =1

22=1

4

𝑓 −1 = 2−1 =1

21=1

2

𝑓 0 = 20 = 1

𝑓 1 = 21 = 2

𝑓 2 = 22 = 4

𝑓 3 = 23 = 8

−1,1

2

1,2

2,4

3,8

0,1−2,1

4−3,1

8

Exemplo. Esboce o gráfico da função𝑓(𝑥) = 2𝑥

Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)

Solução: Determinando alguns pontos do gráfico de 𝑓, tem-se:

GráficoExemplo. Esboce o gráfico da função


𝑓(𝑥) =1

2

𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

7

8

3

2

−4 4

4

−1,21,1

22,1

4 3,1

80,1

−2,4

−3,8

𝑓 −3 =1

2

−3

= 23 = 8

𝑓 1 =1

2

1

=1

2

𝑓 2 =1

2

2

=1

4

𝑓 3 =1

2

3

=1

8

𝑓 0 =1

2

0

= 1

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

𝑓 −2 =1

2

−2

= 22 = 4

𝑓 −1 =1

2

−1

= 21 = 2

Obs.: 𝑎 =1

2(decrescente)

Gráfico, domínio e imagem

Primeiro caso: 𝑎 > 1

𝑦

𝑥

Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1

𝑦

𝑥

𝐷 𝑓 = ℝ 𝐷 𝑓 = ℝ

crescentedecrescente

Em ambos os casos (crescente ou decrescente), reta 𝑦 = 0 é chamada de assíntota horizontal do gráfico da função.

O gráfico de uma função exponencial pode assumir dois formatos distintos:

Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (0,1) e (1, 𝑎) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois

𝑓 0 = 𝑎0 = 1 ⟹ 0,1 ∈ 𝑓 𝑓 1 = 𝑎1 = 𝑎 ⟹ 1, 𝑎 ∈ 𝑓

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗ .

−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3

Gráfico

Exemplo. Esboce os gráficos das funções

(c) 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥

(d) 𝑓 𝑥 =1

4

𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥

Solução: Em cada caso, tem-se

1,3

0,1

(a)

𝑓 0 = 30 = 1 𝑓 1 = 31 = 3

𝑎 > 1crescente

𝑓 0 = 40 = 1 𝑓 1 = 41 = 4

1,4

0,1

(b) 𝑎 > 1crescente

−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3−1

𝑦

𝑥1 2 3

1

2

−1−2

3

4

5

−3

Gráfico


(c) 𝑓 𝑥 =1

3

𝑥

(d) 𝑓 𝑥 =1

4

𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥(a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥


1,1

3

0,1

(c)

𝑓 0 =1

3

0

= 1

0 < 𝑎 < 1decrescente

1,1

4

0,1

(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente

𝑓 1 =1

3

1

=1

3𝑓 0 =

1

4

0

= 1 𝑓 1 =1

4

1

=1

4


Exercícios

1) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota horizontal.

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

Exercícios


𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝑦 = 2𝑥 + 2

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = (2,+∞)

Assíntota: 𝑦 = 2

(a) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥 𝑦 = 2

Exercícios


𝑦 = 3𝑥 − 1

𝑦 = 3𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = (−1,+∞)

Assíntota: 𝑦 = −1

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = −1

Exercícios


𝑦 = 2𝑥−1

𝑦 = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ+∗


(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟏

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = 0

Exercícios


𝑦 = 4𝑥+2 𝑦 = 4𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ



(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙+𝟐

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = 0

Exercícios


𝐷 𝑓 = ℝ

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ−∗


(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙

(f) 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

𝑦 = −2𝑥

𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑥1 2 3−2−3

1

−1

−3

2

3

4

−1

−2

−4

−4 4

𝑦 = 0

Exercícios

𝑦 = 2−𝑥


𝑦 = 2𝑥

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

5

−1

1

6

3

2

−4 4−1

4

𝐷 𝑓 = ℝ



(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 2

(b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 1

(c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−1

(d) 𝑓 𝑥 = 4𝑥+2

(e) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

(f) 𝒇 𝒙 = 𝟐−𝒙

𝑦 = 0

Exercícios

4) A função exponencial é injetora? É sobrejetora? É bijetora? Justifique.

2) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.

(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 5 e 𝑔 𝑥 = 3𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 2𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 2 ⋅ 3𝑥 + 5

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 5𝑥2+3𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 22𝑥 − 2𝑥

3) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.

a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−2𝑥+1 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑓2 𝑥 = 3𝑥

b) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥 𝑓2 𝑥 = 2𝑥

5) Esboce o gráfico das funções inversas das seguintes funções exponenciais:

𝑓 𝑥 =1

2

𝑥

(b)(a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥

Dica para a questão 05: Utilize o método da reflexão em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares!

Monitorias!!














2018/1

Aula 06


Matemática

Projeto

Logaritmos

Definição. Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 e 𝑎 ≠ 1, o número 𝑥 quesatisfaz a equação exponencial

𝑎𝑥 = 𝑏

é chamado de logaritmo de 𝒃 na base 𝒂.

Exemplo. Resolva a equação exponencial

3 = log2 8.

𝑥 = log𝑎 𝑏.

2𝑥 = 8.

2𝑥 = 8 ⟹ 2𝑥 = 23 ⟹ 𝑥 = 3.

portanto, se diz que 3 é o logaritmo de 8 na base 2, ou seja,

Notação:

Da definição acima segue que

log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑏.O logaritmo é a solução de uma equação exponencial!!

Solução: Neste caso, igualando as bases, tem-se:

Logaritmos

2𝑦 = 64 ⟹ 2𝑦 = 26 ⟹ 𝑦 = 6

Exemplo. Calcule log2 64.

Solução: Usando a definição de logaritmo, tem-se

Portanto,

Resolvendo a equação 2𝑦 = 64, tem-se

log2 64 = 𝑦 ⟺ 2𝑦 = 64.

log2 64 = 6.

log𝑏 𝑎 = 𝑦 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑎, então

Exemplo. Calcule log4 0,25.


log4 0,25 = 𝑦 ⟺ 4𝑦 = 0,25 ⟺ 4𝑦 =1

4⟺ 4𝑦= 4−1 ⟺ 𝑦 = −1.

Portanto, log4 0,25 = −1.

Logaritmos



log2 1 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 2𝑥 = 20 ⟺ 𝑥 = 0.

Portanto, log2 1 = 0.



log5 5 = 𝑥 ⟺ 5𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = 1.

Portanto, log5 5 = 1.

Observações.

log10 𝑎 = log 𝑎

Quando a base do logaritmo é 10, se escreve log 𝑎 para representar log10𝑎

log𝑒 𝑎= ln 𝑎

Quando a base do logaritmo é 𝑒, se escreve ln 𝑎 para representar log𝑒𝑎

Logaritmos

Propriedades decorrentes da definição.

log𝑏 1 = 0

(pois 𝑏0 = 1, para qualquer base 𝑏)

O logaritmo de 𝟏, em qualquer base, é sempre igual a 𝟎

log𝑏 𝑏 = 1

(pois 𝑏1 = 𝑏, para qualquer base 𝑏)

O logaritmo de um número na própria base, é sempre igual a 𝟏

Exemplos.

log2 1 = 0 log5 1 = 0

log 1 = 0ln 1 = 0

Exemplos.

log2 2 = 1 log5 5 = 1

ln 𝑒 = 1 log 10 = 1

Função logarítmicas

Definição. Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, a função 𝑓 ∶ ℝ+∗ → ℝ dada por

𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥

é chamada de função logarítmica de base 𝒂.

Exemplos. São exemplos de funções logarítmicas:

𝑦 = log2 𝑥

função logarítmica de base 2

𝑦 = log3 𝑥

função logarítmicade base 3

𝑦 = log 𝑥

função logarítmicade base 10

𝑦 = log𝜋 𝑥

função logarítmicade base 𝜋

𝑦 = log12𝑥

função logarítmica

de base 1

2

𝑦 = ln 𝑥

função logarítmicade base 𝑒


Obs.: 𝑎 = 2 (crescente)Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se:

𝑓(𝑥) = log2 𝑥

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

1

8,−3

1

4,−2

1

2, −1

1,02,1

4,2

8,3𝑓1

8= log2

1

8= − 3

𝑓1

4= log2

1

4= − 2

𝑓1

2= log2

1

2= − 1

𝑓 1 = log2 1 =0

𝑓 2 = log2 2 =1

𝑓 4 = log2 4 =2

𝑓 8 = log2 8 =3

𝑓(𝑥) = log2 𝑥


Obs.: 𝑎 =1

2(decrescente)

Solução: Destacando alguns pontos do gráfico, tem-se: 𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

1

8, 3

1

4, 2

1

2, 1

1,0

2, −1

4,2

8,3

𝑓(𝑥) = log12𝑥

𝑓(𝑥) = log12𝑥

𝑓1

8= log1

2

1

8=3

𝑓1

4= log1

2

1

4=2

𝑓1

2= log1

2

1

2=1

𝑓 1 = log121 =0

𝑓 2 = log122 = − 1

𝑓 4 = log124 = − 2

𝑓 8 = log128 = − 3

Gráfico, domínio e imagem

O gráfico de uma função logarítmica pode assumir dois formatos distintos:

Primeiro caso: 𝑎 > 1

𝑦

𝑥

Segundo caso: 0 < 𝑎 < 1

𝐷 𝑓 = ℝ+∗

𝐷 𝑓 = ℝ+∗

crescente

decrescente

Em ambos os casos (crescente ou decrescente), a reta 𝑥 = 0 é chamada de assíntota vertical do gráfico da função.

𝑦

𝑥

Observação: Para esboçar o gráfico de uma função 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 , basta identificar o comportamento do gráfico (crescente ou decrescente) e lembrar que os pontos (1,0) e (𝑎, 1) sempre pertencem ao gráfico destas funções, pois

𝑓 1 = log𝑎 1 = 0 ⟹ 1,0 ∈ 𝑓 𝑓 𝑎 = log𝑎 𝑎 = 1 ⟹ 𝑎, 1 ∈ 𝑓

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.

Gráfico


(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1

4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥


(a)

𝑓 1 = log3 1 = 0

𝑎 > 1crescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

3,1

𝑓 3 = log3 3 = 1

(b)

𝑓 1 = ln 1 = 0

𝑎 > 1crescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

𝑒, 1

𝑓 𝑒 = ln 𝑒 = 1

Gráfico


(c) 𝑓 𝑥 = log13𝑥 (d) 𝑓 𝑥 = log1

4𝑥(b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥(a) 𝑓 𝑥 = log3 𝑥


(c)

𝑓 1 = log131 = 0

0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

1

3, 1

(d) 0 < 𝑎 < 1decrescente𝑦

𝑥3 4 5−1

−3

1

1

2

3

−1 2

−2

1,0

1

4, 1

𝑓1

3= log1

3

1

3= 1 𝑓 1 = log1

41 = 0 𝑓

1

4= log1

4

1

4= 1

Gráfico

Em outras palavras, função exponencial de base 𝑎

é bijetora, e sua função inversa é a função logarítmica de base 𝑎.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑓:ℝ ⟶ ℝ+∗

𝑓−1 𝑥 = log𝑎 𝑥 𝑓−1: ℝ+∗ ⟶ℝ

Observação: A inversa da função exponencial de base 𝑎 é a função logarítmica de mesma base.

Observação: Lembre que existe simetria , em relação à reta 𝑦 = 𝑥, entre os gráficos de uma função 𝑓 e de sua inversa 𝑓−1.

Exemplo. Em cada caso, determine a função inversa da função dada.

(a) 𝑓 𝑥 = log5 𝑥 (b) 𝑓 𝑥 = 4𝑥


(a) 𝑓−1 𝑥 = 5𝑥

(b) 𝑓−1 𝑥 = log4 𝑥

A inversa da função logarítmica de base 5 é a função exponencial de base 5.

A inversa da função exponencial de base 4 é a função logarítmica de base 4.

Gráfico

Exemplo. Determine a função inversa da função exponencial

𝑦

𝑥1 2 3 4 5

1

2

−1

−2

−1−2

3

4

5𝑦

𝑥1 2 3 4 5

1

2

−1

−2

−1−2

3

4

5𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥𝑦 = 2𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑓 𝑥 = 2𝑥

Solução: A função inversa da função exponencial é a função

𝑓−1 𝑥 = log2 𝑥

Esboce os gráficos de 𝑓 e 𝑓−1.


Exercícios

2) Em cada caso, esboce o gráfico da função dada e determine o domínio, a imagem e a equação da assíntota vertical.

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2

Exercícios


(a) 𝒇 𝒙 = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = ℝ+

∗

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0

𝑦 = 1 + log2 𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios


(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = ℝ+

∗

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ


𝑦 = 2 log2 𝑥

𝑦 = log2 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios


(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 − 𝟐)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (2, +∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ


𝑦 = log3(𝑥 − 2)

𝑦 = log3 𝑥

𝑥 = 2

Exercícios


(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝒇 𝒙 = 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝒙 + 𝟏)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (−1,+∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = −1

𝑦 = log3(𝑥 − 2)

𝑦 = log3 𝑥

𝑥 = −1

Exercícios


(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧𝒙

(f) 𝑓 𝑥 = − ln(−𝑥)

𝑦

𝑥3 4 5 6 7−1

−3

−4

1

1

2

3

8−1

4

2

−2𝐷 𝑓 = (0, +∞)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ


𝑦 = − ln 𝑥

𝑦 = ln 𝑥

𝑥 = 0

Exercícios


(a) 𝑓 𝑥 = 1 + log2 𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = 2 log2 𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = log3(𝑥 − 2)

(d) 𝑓 𝑥 = 2 + log3(𝑥 + 1)

(e) 𝑓 𝑥 = − ln 𝑥

(f) 𝒇 𝒙 = − 𝐥𝐧(−𝒙)

𝐷 𝑓 = (−∞, 0)

𝐼𝑚 𝑓 = ℝ

Assíntota: 𝑥 = 0𝑥 = 0

𝑦

𝑥1 2 3−2−3

1

−1

−3

2

3

4

−1

−2

−4

−4 4

𝑦 = ln 𝑥

𝑦 = − ln(−𝑥)

Exercícios

3) Determine o domínio das seguintes funções:

(b) 𝑓 𝑥 = log(𝑥2 − 1)

(a) 𝑓 𝑥 = 1 + 3 log2(𝑥 − 5)

(c) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥2 − 𝑥 − 12) + ln(𝑥 + 2)

4) Em cada caso, determine a composta 𝑓𝑜𝑔.

(a) 𝑓 𝑥 = log2(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 12 − 3𝑥

(b) 𝑓 𝑥 = log5(𝑥) e 𝑔 𝑥 = 5𝑥

(c) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 e 𝑔 𝑥 = log5(𝑥)

(d) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥2+ 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = log2(12 − 3𝑥)

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥

𝐷 𝑓 = (5, +∞)

𝐷 𝑓 = −∞,−1 ∪ (1, +∞)

𝐷 𝑓 = (4, +∞)

5) Em cada caso, escreva a função dada como uma composta de duas funções.

a) 𝑓 𝑥 = log(𝑥3 + 2𝑥) 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 𝑓2 𝑥 = log(𝑥)

b) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑓 = 𝑓2𝑜𝑓1 𝑓1 𝑥 = ln 𝑥 𝑓2 𝑥 = 𝑥

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