MATEMAacuteTICA PROFordf DHEYZA MENDONCcedilA

PROF JADER NETO1ordm ANOENSINO MEacuteDIO

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

2

Unidade IVTrigonometria

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

3

Aula 23Conteuacutedos

bull Relaccedilotildees meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo bull Razotildees trigonomeacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

4

Habilidades bull Reconhecer o seno cosseno e a tangente como razotildees

entre os lados de um triacircngulo retacircngulo bull Aplicar as razotildees trigonomeacutetricas do triacircngulo retacircngulo

na resoluccedilatildeo de problemas envolvendo seno cosseno e tangente

AULA

5

Relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo RetacircnguloAs relaccedilotildees meacutetricas relacionam as medidas dos elementos de um triacircngulo retacircngulo (triacircngulo com um acircngulo de 90ordm)

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

2

Unidade IVTrigonometria

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

3

Aula 23Conteuacutedos

bull Relaccedilotildees meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo bull Razotildees trigonomeacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

4

Habilidades bull Reconhecer o seno cosseno e a tangente como razotildees

entre os lados de um triacircngulo retacircngulo bull Aplicar as razotildees trigonomeacutetricas do triacircngulo retacircngulo

na resoluccedilatildeo de problemas envolvendo seno cosseno e tangente

AULA

5

Relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo RetacircnguloAs relaccedilotildees meacutetricas relacionam as medidas dos elementos de um triacircngulo retacircngulo (triacircngulo com um acircngulo de 90ordm)

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

3

Aula 23Conteuacutedos

bull Relaccedilotildees meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo bull Razotildees trigonomeacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

4

Habilidades bull Reconhecer o seno cosseno e a tangente como razotildees

entre os lados de um triacircngulo retacircngulo bull Aplicar as razotildees trigonomeacutetricas do triacircngulo retacircngulo

na resoluccedilatildeo de problemas envolvendo seno cosseno e tangente

AULA

5

Relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo RetacircnguloAs relaccedilotildees meacutetricas relacionam as medidas dos elementos de um triacircngulo retacircngulo (triacircngulo com um acircngulo de 90ordm)

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

CONTEUacuteDOS E HABILIDADES

4

Habilidades bull Reconhecer o seno cosseno e a tangente como razotildees

entre os lados de um triacircngulo retacircngulo bull Aplicar as razotildees trigonomeacutetricas do triacircngulo retacircngulo

na resoluccedilatildeo de problemas envolvendo seno cosseno e tangente

AULA

5

Relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo RetacircnguloAs relaccedilotildees meacutetricas relacionam as medidas dos elementos de um triacircngulo retacircngulo (triacircngulo com um acircngulo de 90ordm)

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

5

Relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo RetacircnguloAs relaccedilotildees meacutetricas relacionam as medidas dos elementos de um triacircngulo retacircngulo (triacircngulo com um acircngulo de 90ordm)

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

6

Os elementos de um triacircngulo retacircngulo estatildeo apresentados abaixo

A

CB

c b

a

m n

h

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

7

Onde

bull a medida da hipotenusa (lado oposto ao acircngulo de 90ordm) bull b cateto bull c cateto bull h altura relativa agrave hipotenusa bull m projeccedilatildeo do cateto c sobre a hipotenusa bull n projeccedilatildeo do cateto b sobre a hipotenusa

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

8

Semelhanccedila e Relaccedilotildees MeacutetricasPara encontrar as relaccedilotildees meacutetricas utilizaremos semelhanccedila de triacircngulos Considere os triacircngulos semelhantes ABC HBA e HAC representados nas imagens

B H CC

A A

c b hb

a nB H

A

ch

m

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

9

Como os triacircngulos ABC e HBA satildeo semelhantes (Δ) ABC - Δ HBA) temos as seguintes proporccedilotildees

a

a

a

c

c

c

h

m

a h = b c

c2 = a m

=

=

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

10

Usando que ΔABC - Δ HAC encontramos a proporccedilatildeo

a bb h b2 = a n=

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

11

Da semelhanccedila entre os triacircngulos HBA e HAC encontramos a proporccedilatildeo

h mn h h2 = m n=

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

12

Temos ainda que as somas das projeccedilotildees m e n eacute igual agrave hipotenusa ou sejaa = m + n

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

13

Teorema de PitaacutegorasA mais importante das relaccedilotildees meacutetricas eacute o Teorema de Pitaacutegoras Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relaccedilotildees encontradas anteriormente

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

14

Vamos somar a relaccedilatildeo bsup2 = a n com csup2 = a m conforme mostrado abaixo

b2 + c2 = a n + a mb2 + c2 = a (n + m)

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

15

Como a = m + n substituindo na expressatildeo anterior temos

a2 = b2 + c2

Assim o Teorema de Pitaacutegoras pode ser enunciado como

bull A hipotenusa ao quadrado eacute igual agrave soma dos quadrados dos catetos

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

16

B 9 3 C

A

x

y

ExemploEncontre o valor de x e y na figura abaixo

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

17

A

B24

12

yC

1 A medida da altura relativa agrave hipotenusa de um triacircngulo retacircngulo eacute 12 cm e uma das projeccedilotildees mede 9 cm Calcule a medida dos catetos desse triacircngulo

2 Calcule o valor de y

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

18

Razotildees trigonomeacutetricas no triacircngulo retacircnguloNo triacircngulo retacircngulo temos as relaccedilotildees

Senα = Cosα = Tgα =CO CA COCAh h

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

19

Temos tambeacutem uma tabela com os principais acircngulos de seno cosseno tangente

30ordm 45ordm 60ordm

Seno

Cosseno

Tangente 1 3

1

1

2

2

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

20

1) Observe o triacircngulo retacircngulo a seguir Em relaccedilatildeo a esse triacircngulo determine

a) sen30ordm cos30ordm tg30ordmb) o acircngulo αc) sen α cos α tg α

3

30ordmB

A

C

α

33

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

21

ResoluccedilatildeoInicialmente determinamos a medida de AC utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a = AC = b = AB = 3c = BC = 3

asup2 = bsup2 + csup2asup2= 3sup2 + (3 )sup2asup2 = 9 + 9 3asup2 = 9 + 27asup2 = 36a =a = 6

3

3

36

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

22

Agora temos as trecircs medidas do triacircngulo retacircngulo

63

30ordmB

A

C

hipotenusa

cateto

cateto

α

33

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

23

a) Vamos entatildeo calcular o seno de 30ordm cosseno de 30ordm tangente de 30ordm

Sen 30ordm = hipotenusa 6cateto oposto 3

CO

3 1=Seno 30ordm =

h

6 2Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que seno 30ordm eacute igual a frac12 podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

24

CACos 30ordm =

hipotenusa 6cateto adjacente 3

Cosseno 30ordm =

Simplificando

Cosseno 30ordm =

h

3

3

3 3

6

2 2=

3

1

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que cosseno 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo3

2

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

25

Pela tabela que vimos no iniacutecio da aula temos que tangente de 30ordm eacute igual a podemos entatildeo confirmar que eacute mesmo

Tg 30ordm =

cateto oposto 3cateto adjacente

Tangente 30ordm = = =

33

COCA

33

33 3 3 3

3 33 1

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

26

b) Agora vamos calcular o acircngulo de α (Faacutecil)

α + 30ordm + 90ordm = 180ordmα = 180ordm - 90ordm - 30ordmα = 60ordm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

AULA

27

c) Sen α Cos α Tg αSeno α =

Cosseno α =

Cosseno 60ordm = =

Seno 60ordm =

Tangente α =

Tangente 60ordm =

CO

CA

3 1

CO

3

3 3

3 33

3

1h

h

6 2

CA

6

3

2 2=

=

=

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm

DINAcircMICA LOCAL INTERATIVA

28

Veja o triacircngulo retacircngulo a seguir Utilizando as razotildees trigonomeacutetricas calculea) cateto b

b) seno α

c) cosseno α

d) tangente α

α

b

8 cm

10 cm