Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos:

BC = hipotenusa, BC = a

AC = cateto, AC = b

AB = cateto, AB = c

90ºCB ˆˆ

AC = cateto oposto ao ângulo

AB = cateto adjacente ao ângulo

AC = cateto adjacente ao ângulo

AB = cateto oposto ao ângulo

B

B

C

C

Então:

ab

B senhipotenusa

B a oposto cateto

BCAC

B sen ˆˆ

ˆ

ac

B cos hipotenusa

B a adjacente catetoBCAB

B cos ˆˆ

ˆ

cb

B tgB a adjacente cateto

B a oposto catetoABAC

B tg ˆˆ

ˆˆ

Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos:

BC = hipotenusa, BC = a

AC = cateto, AC = b

AB = cateto, AB = c

90ºCB ˆˆ

AC = cateto oposto ao ângulo

AB = cateto adjacente ao ângulo

AC = cateto adjacente ao ângulo

AB = cateto oposto ao ângulo

B

B

C

C

E também:

ac

C senhipotenusa

C a oposto cateto

BCAB

C sen ˆˆ

ˆ

ab

C cos hipotenusa

C a adjacente catetoBCAC

C cos ˆˆ

ˆ

bc

C tgC a adjacente cateto

C a oposto catetoACAB

C tg ˆˆ

ˆˆ

Apresentaremos agora alguns exemplos de

Problemas e Aplicaçõesque demonstram a importância dessas

razões trigonométricas em nosso dia a dia

Problemas resolvidos

Problema 1

Uma pessoa está distante 80 m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? Dado: tg 16º = 0,28.

x = cateto oposto ao ângulo de 16º

80 = cateto adjacente ao ângulo de 16º

m 22,40x80x

0,2880x

16º tg

Resposta: A altura do prédio é aproximadamente 22,40 m.

Problema 2

Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?

Dados: sem 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27.

• Cálculo da altura x em relação ao solo:

m 540x000 2x

0,27000 2x

15º tg

• Cálculo da distância percorrida y:

m 076,9 2y0,26540

yy

5400,26

yx

15º sen

Resposta: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2 076,9 m

Problema 3 Dois observadores, A e B, vêem um balão, respectivamente, sob

ângulos visuais de 20º e 40º, conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A e B é de 200 m, calcule h.

Dados: tg 20º=0,364 e tg 40º= 0,839.

Indicaremos a distância BH como y, portanto AH = 200 - y

• Cálculo pelo ângulo de 20º:

h0,364y72,8y200

h0,364

y200h

20º tg

• Cálculo pelo ângulo de 40º:

h0,839yyh

0,839yh

40º tg • Cálculo de y:

0,839y = 72,8 – 0,364y

1,203y = 72,8

y = 60,515

• Cálculo de h:

h = 72,8 – 0,364 . 60,515 ou h = 0,839 . 60,515

h = 50,77 m

Resposta: O balão está a uma altura (h) de aproximadamente 50,77 m.

Aplicações

Situações reais, que devem ser resolvidas com base nos problemas resolvidos já apresentados.

Tabela importante:

Aplicação 1

O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo que ligue o pé da árvore ao topo da encosta?

Aplicação 2

Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma?

Aplicação 3

Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz?

Mais Aplicações:Será importante a consulta à tabela abaixo

Bibliografia:

• GIOVANNI, J.R., BONJORNO, J.R., GIOVANNI Jr., J.R. Matemática Completa: Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: FTD, 2002.

• DANTE, L.R. Matemática, volume único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.

• http://trigonometriaemfoco.blogspot.com/2009/04/atividades-envolvendo-as-razoes.html