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Lista – Razões e Equações Trigonométricas - Prof. Gaspar

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1. (Fgv 2010) No intervalo [0, π], a equação 2

1senx

sen x 88 4

admite o seguinte número de raízes: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 2. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555°, é correto afirmar. a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55° b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75° c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195° d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115° e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195

°

3. (Ufpb 2010) Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma

superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa.

No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de

comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme

ilustrado na figura a seguir.

De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:

a) 2 m

b) 2 2 m

c) 3 2 m

d) 4 2 m

e) 5 2 m

4. (Pucrj 2010) O valor decos45 sen30

é :cos60

a)

2 1 b) 2 c)

2

4

d)

2 1

2

e) 0


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5. (Uemg 2010) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do

ângulo A F̂ B é igual a 30º.

Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a

a) 200 3.

b) 100 2.

c) 150 3.

d) 250 2. 6. (G1 - cftmg 2011) Na circunferência abaixo, o ponto M representa a imagem de um arco de medida, em radianos, igual a

a) 56

3

π

b) 7

4

π

c) 5

6

π

d) 21

5

π

7. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a figura.

Dados: 3

sen 60º2

; 1

cos 60º2

; tg 60º 3 .


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A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é a) 600 dam b) 12.000 m

c) 6.000 3 dm

d) 600.000 3 cm

8. (Fgv 2012) No intervalo 0,4 ,π a equação 3 2sen x 2sen x 5senx 6 0 tem raízes cuja soma é:

a) 2 b) -2 c) 6

d) 2

π

e) 3π 9. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo

α mede 5

6

π radianos.

A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é

a) 26 3.

b) 3.

c) 3

.2

d) 3

.3

10. (G1 - ifce 2012) O valor de cos (2 280°) é

a) 1

.2

b) 1

.2

c) 2

.2

d) 3

.2

e) 3

.2


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11. (G1 - ifal 2012) Considerando-se o arco trigonométrico 23

rad,3

πα assinale a alternativa falsa.

a) 1380 .α b) α dá três voltas e para no 4° quadrante. c) sen sen 60 .α

d) cos cos 60 .α

e) α dá três voltas e para no 1° quadrante. 12. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.

O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma

distância BR de medida 6 2 metros.

Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-

se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 13. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.

Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?

a) 60 ( 3 + 1)

b) 120 ( 3 – 1)

c) 120 ( 3 + 1)

d) 180 ( 3 – 1)

e) 180 ( 3 + 1)


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14. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.

Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:

a) 80 3 1,5

b) 80 3 1,5

c) 160 3

1,53

d) 160 3

1,53

15. (Ifsp 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa

circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5 cm.π A medida do ângulo central ˆAOB,

correspondente ao arco AB considerado, é a) 120°. b) 150°. c) 180°. d) 210°. e) 240°. 16. (Ucs 2014) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em

função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por 2 (t 105)

T(t) 14 12sen .364

π

Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de a) julho. b) setembro. c) junho. d) dezembro. e) março.


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17. (Ufjf-pism 2 2015) No processo de calcular o ângulo x formado entre duas avenidas transversais, um engenheiro

obteve a seguinte equação 3sen x sen x. Sabendo que x não excede 180 , é CORRETO afirmar que:

a) x 1 b) x 0 c) x 1

d) x2

π

e) 3

x2

π

18. (Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal

pode ser descrito pela função x

P(x) 8 5cos ,6

π π

onde x representa o mês do ano, sendo x 1 associado ao

mês de janeiro, x 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x 12 associado ao mês de dezembro. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado). Na safra, o mês de produção máxima desse produto é a) janeiro. b) abril. c) junho. d) julho. e) outubro. 19. (Espcex (Aman) 2015) O valor de cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15 é

a) 2.

b) 1.

c) 0. d) 1.

e) 1

.2


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Gabarito: Resposta da questão 1: [B]

8

1

483

senx

xsen

8

12

3 223

senx

xsen

3.sen2x = 2senx –

1

4(.4)

12.sen

2x = 8senx – 1

12.sen

2x - 8senx + 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:

senx = 1

2 ou senx =

1

6

Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no intervalo dado.

Resposta da questão 2: [E]

Dividindo 4555° por 360° obtemos quociente 12 e resto 235° Concluímos, então que o arco tem extremidade no terceiro quadrante.

Dividindo 4195° por 360 obtemos quociente 11 e resto 235° Concluímos, então que 4555° é côngruo de 4195° Logo a resposta E é a correta. Resposta da questão 3: [B]


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2 2 2x x 2

sen 30o =

2L 2. 2

L

x 2 Resposta da questão 4: [A]

12

2

1

)12(2

1

2

1

2

1

2

2

Resposta da questão 5: [A]

tg 30o = mxx

x3.200

3

3.600

600


56 54 2

3 3 3

π π π

Logo, sua primeira determinação positiva é 2 4

23 3

π π

π (terceiro quadrante).

Resposta da questão 7: [D] h = altura.

o hsen60

12

3 h

2 12

h 6. 3km = 600.000 3cm

Resposta da questão 8: [E] Sabendo que senx = 1 é uma das raízes da equação polinomial na incógnita senx, temos:

23 2 senx 1 sen x – senx – 6 0sen x 2sen x 5senx 6 ,0 logo:

5senx 1 x ou x

2 2

senx 3 (não convém) ou senx 2 (não convém)

π π

Portanto, a soma pedida é 3 .π

Resposta da questão 9: [B]


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AB = 5 3

cos6 2

π

AC = 5 1

sen6 2

π

Portanto:

3AB 2 3.

1AC

2

Resposta da questão 10: [A] 2280° = 360°.6 + 120°

Logo, cos (2 280°) = cos 120° = 1

.2

Resposta da questão 11: [E]

23 53 2

3 3

π πα π

[A] Verdadeira, pois 23 23 180

13803 3

πα

.

[B] Verdadeira, pois 23 5

3 23 3

π πα π .

[C] Verdadeira, pois 3

sen sen 602

α

.

[D] Verdadeira, pois 1

cos cos 602

α .

[E] Falsa, pois dá três voltas e para no 4º quadrante. Resposta da questão 12: [B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2h h (6 2) , logo h = 6.


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No triângulo APR, podemos escrever:

htg30

h AB

3 6

3 AB 6

18 6 3AB

3

18 3 18AB

3

AB 4,2

e 4 < 4,2 < 5. Resposta da questão 13: [B]

Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.

Queremos calcular PQ.

Como PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo, AQ 240 QG 240 PQ.

Portanto, do triângulo APQ, vem

PQ 3 PQtgQAP

3AQ 240 PQ

(3 3)PQ 240 3

240 3PQ

3 3

240 3 3 3PQ 120( 3 1) m.

3 3 3 3



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H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos:

H 1,5 3 H 1,5sen60 H 80 3 1,5 m

160 2 160

Resposta da questão 15: [B]

Medida do arco em rad: 5

rad.6

π

5rad 150°.

6

π

Resposta da questão 16: [A] A temperatura média máxima ocorre quando

2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen

364 364 2

2 (t 105)2k

364 2

t 105 91 364k

t 196 364k, k .

π π π

π ππ

Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja,

no mês de julho. Resposta da questão 17: [D]

Sendo 0 x ,π temos


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3 2

2

2

senx sen x senx (1 sen x) 0

senx cos x 0

senx 0

ou

cos x 0

x .2

π

Resposta da questão 18: [D]

A produção é máxima quando preço é mínimo, ou seja, quando x

cos 1.6

π π

O menor valor positivo de x para

o qual se tem o preço mínimo é tal que

x xcos cos 2k

6 6

x 12k 7, k .

π π π ππ π π

Portanto, para k 0, segue que x 7, e o mês de produção máxima desse produto é julho

Resposta da questão 19: [C]

cos165 sen155 cos145 sen25 cos35 cos15

cos15 sen25 cos35 sen25 cos35 cos15 0

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