Cap 6 tema 1 (Porto Editora) · Capítulo 6 1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão) 2 Pág. 180

Capítulo 6 1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)

_______________________________________________

1.

3.

Pág. 175

______________________________________________

Pág. 177

Pág. 178

2.1 a)

b)

c)

d)

2.2 a)

b)

c)

d)

Pág. 176

_______________________________________________

4.1


2

Pág. 180

______________________________________________

6.2

7.1

9.1

4.2

6.1

6.3

_______________________________________________

Pág. 181

8

5

______________________________________________

Pág. 179

7.2

Pág. 182

_______________________________________________

Pág. 183


3

Pág. 1841.

2.

9.2

9.3

_______________________________________________


4

Pág. 185

______________________________________________

7.

3.

5.

4.

6.

_______________________________________________

8.

8.1


5

9.18.2

9.

10.

8.3

9.2

10.2

10.1


6

10.3

11.

12.

Capítulo 6 2. Generalização da noção de ângulo. Razões trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)

1.

2.5

Pág. 188

______________________________________________

2.4

Pág. 189

2.6

1.1

1.2

2.1

2.2

2.3


_______________________________________________

2.7

6.1

______________________________________________

Pág. 198

3.

5.1

Pág. 1944.1

4.2

4.3

4.4

Pág. 195

______________________________________________

5.

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7


7.2

______________________________________________

Pág. 200

6.2

Pág. 199

_______________________________________________

1.

7.1


4

6.

2.

4.

5.

3.

7.

8.


______________________________________________

9.1

12.

Pág. 201

9.3

10.3

10.1

11.1

11.

13.

9.2

9.4

10.2

11.2

14.


15.

16.

17.

Capítulo 63. Funções trigonométricas como funções reais de

variável real. Utilização das funções trigonométri-cas na modelação de situações reais

_______________________________________________

1.1

2.

Pág. 209

Pág. 213

Pág. 214

_______________________________________________

3.

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.8

1.7

_______________________________________________

1. Pág. 216



2.

7.

Pág. 217

2.1 b)

3.

4.

5.

6.2

6.3

_______________________________________________

6.1



9.3

8.

9.2

9.1

Capítulo 6 4. Equações trigonométricas. Fórmulas trigonométricas

1.1 Pág. 220 1.2

_______________________________________________

2.1 Pág. 221

2.2

2.3

_______________________________________________

3.1 a) Pág. 222


3.1 b)

3.3

3.2


4. Pág. 224 5.

_______________________________________________

6. Pág. 225

6.1

6.2

4.1

4.2

4.3

4.4


Pág. 228

7.2

_______________________________________________

8.1 Pág. 229

8.2

8.3

_______________________________________________

6.3

6.4

7.1

7.2

8.4


Pág. 232

10.2

_______________________________________________

11. Pág. 233

12.1

12.2

_______________________________________________

8.5

9.1

10.1

13.2

9.2

_______________________________________________

Pág. 23413.1 1 cos44sin sin

8 2 2

21 2 2 2 222 4 2

πππ

− = = =

− − −= = =

1 cos4 4cos cos

8 2 2

21 2 2 2 22

2 4 2

Alternativamente, pode-se determinar cos a partir8

do resultado obtido na alínea anterior. Assim, recorrendoà fórmula fundamental da trigonome

πππ

π

+ = = =

+ + += = =

2 2

tria tem-se:

sin cos 18 8

2 2Como sin ,vem:

8 2

π π

π

+ =

−=


15.2

_______________________________________________

16. Pág. 237

17.1

17.2

_______________________________________________

13.3

14.1

2

2

2 2

2

2 2cos 1

2 8

2 2 4 2 2cos 1 cos

8 2 8 4

2 2 2 2cos cos

8 4 8 2

π

π π

π π

− + = − − + ⇔ = − ⇔ =

+ + ⇔ = ⇔ =

( ) ( )( )( )

( )( )

2

22

1 cos44tan tan

8 2 1 cos4

21 2 2 2 22 22

2 2 2 2 2 2 212

2 2 2 222 2

πππ

π

− = = = +

− − −−= = = =

+ + −+

− −= =−

2 2

2

2 2

1 cossin2 2

Considerando que:

3sin cos 1 e sin , vem:2

3 1 1cos 1 cos cos

2 4 2

3 1Uma vez que , então cos .

2 2 2Assim, tem-se que:

11

3 32sin2 2 4 2

3Como , a s

4 2 4

xx

x x x

x x x

x x

x

x

ππ

ππ

−= ±

+ = = −

− + = ⇔ = ⇔ = ±

< < = −

− − = ± = ± = ±

< <3

olução é .2

15.1

2 2

2

2 2

1 coscos

2 2Considerando que:

3sin cos 1 e sin , vem:

2

3 1 1cos 1 cos cos

2 4 2

3 1Uma vez que , então cos .

2 2 2Assim, tem-se que:

11

1 12cos2 2 4 2

3Como , as 4 2 4

xx

x x x

x x x

x x

x

x

ππ

ππ

+= ±

+ = = −

− + = ⇔ = ⇔ = ±

< < = −

+ − = ± = ± = ±

< < 1 1soluções são e .2 2

Nota: Por lapso, a solução que consta do manual não está correcta.

−

Pág. 236( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

sin 2 cos 3

5 5sin cos

2 21 1

sin 5 sen sin 5 +sen2 21 1

sin 5 sin2 2

x x

x x x x

x x x x

x x

× =

− + = × =

= − = − =

= + −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cos 2 cos 5

7 3 7 3cos cos

2 21

cos 7 cos 321 1

cos 7 cos 32 2

x x

x x x x

x x

x x

× =

− + = × =

= + =

= +

( ) ( )

( ) ( )

sin 3 sin 6 0

9 3sin cos 0

2 29 3

sin 0 cos 0, pois cos cos2 2

9 3,

2 2 222

, 9 3 3

x x

x x

x x

x xk k k

kx k x k

α α

ππ π

πππ

+ =

− ⇔ × = ⇔ = ∨ = − =

⇔ = ∨ = + ∈

⇔ = ∨ = + ∈

¢

¢

( )cos cos 2 0

32cos cos

2 23

cos 0 cos 02 2

3,

2 2 2 22

2 , 3 3

Então, se:

1 33

03

3 1

2Logo, no inter

x x

x x

x x

x xk k k

kx x k k

k x x

k x x

k x x

π ππ π

πππ π

ππ

ππ

π π

+ =

− ⇔ ×

⇔ = ∨ − =

⇔ = + ∨ − = + ∈

⇔ = + ∨ = − − ∈

= − → = − ∨ = −

= → = ∨ = −

= → = ∨ = −

¢

¢

valo , , as soluções são:

, , e .3 3

π π

π ππ π

−

− −

( )cos sen 2 0

cos cos 2 02

32 22cos cos 02 2

3cos 0 cos 0

2 4 2 43

, 2 4 2 2 4 2

22 ,

2 2 3

Então, se:7 5

22 6

x x

x x

x x

xx

xxk k k

kx k x k

k x x

π

π π

π π

π π π ππ π

ππ ππ

π π

+ =

⇔ + − =

− + − ⇔ × =

⇔ − + = ∨ − =

⇔ − + = + ∨ − = + ∈

⇔ = − − ∨ = + ∈

= − → = ∨ = −

¢

¢

3 1

2 6

02 25 7 12 6

Logo, no intervalo , , as soluções são:

5, , e .

6 2 6 2

k x x

k x x

k x x

π π

π π

π π

π π

π π π π

= − → = ∨ = −

= → = − ∨ =

= → = − ∨ =

−

− − −


1. Pág. 238

2.

18.1

18.2

3sin sin

3 2

2 33 32sin cos2 2 2

32sin cos

6 6 2

3 32sin

6 2 2

3 3sin sin

6 6 22 32

2 2 , 3 6 3

2 2 , 6 2

x x

x

x

x

x x

k x k k

k x k k

π

π π

π π

π

π π

ππ ππ π

π ππ π

+ + >

+ − ⇔ × > ⇔ + × − >

⇔ + × >

⇔ + > ⇔ + >

⇔ + < + < + ∈

⇔ + < < + ∈

¢

¢

sin cos 1sin cos 1 sin cos 1

sin sin 1 sin sin 12 2

22 22sin cos 12 2

22 2 2sin cos 12 2

2sin cos 14 4

2sin

x x

x x x x

x x x x

x

x

x

π π

π π

π π

π π

− >⇔ − > ∨ − < −

⇔ − + > ∨ − + < −

− + ⇔ × > ∨

− + ∨ × < −

⇔ − × + > ∨

∨ − cos 14 4

2cos 1 2cos 14 4

2 2cos cos

4 2 4 23 5

2 24 4 4

2 2 , 4 4 4

2 22

2 0 2 , 2

x

x x

x x

k x k

k x k k

k x k

k x k k

π π

π π

π π

π πππ π

π π ππ π

ππ π π

ππ π

× + < − ⇔ − + > ∨ − + < −

⇔ + < − ∨ + >

⇔ + < + < + ∨

∨ − + < + < + ∈

⇔ + < < + ∨

∨ − + < < + ∈

¢

¢

Então, se:3 5 1 22 2

0 02 25 3 1 5 22 2

Logo, no intervalo , , tem-se que:

, 0 ,2 2

k x x

k x x

k x x

S

π π π π

π ππ

π π π π

π π

π ππ

= − → − < < − ∨ − < < −

= → < < ∨ − < <

= → < < ∨ < <

− = − ∪

Então, se:11 3

16 2

06 213 5

16 2

Logo, no intervalo , , tem-se que:

,6 2

Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está correcta.

k x

k x

k x

S

π π

π π

π π

π π

π π

= − → − < < −

= → < <

= → < <

− =

( )cos 03

2 2 , 2 2

(B)

x

x k x k k

απ

α π α π π

=

⇔ = + ∨ = + ∈ ¢

3.

4.

5.


8.1

8.2

9.

_______________________________________________

10.

6.

Pág. 239

6.1

6.2

7.1

10.1


11.2

12.

10.2

13.

11.

11.1 ( )cos sen 2 0

cos cos 2 02

32 22cos cos 02 2

3cos 0 cos 0

2 4 2 43

, 2 4 2 2 4 2

22 ,

2 2 3

Então, se:7 5

22 6

x x

x x

x x

xx

xxk k k

kx k x k

k x x

π

π π

π π

π π π ππ π

ππ ππ

π π

+ =

⇔ + − =

− + − ⇔ × =

⇔ − + = ∨ − =

⇔ − + = + ∨ − = + ∈

⇔ = − − ∨ = + ∈

= − → = ∨ = −

¢

¢

3 12 6

02 2

k x x

k x x

π π

π π

= − → = ∨ = −

= → = − ∨ =


5 7 1

2 6Logo, no intervalo , , as soluções são:

5 , , e .6 2 6 2

k x xπ π

π π

π π π π

= → = − ∨ =

−

− − −

Capítulo 6 5. Resolução de triângulos. Fórmulas dosco-senos e dos senos

_______________________________________________

Pág. 246

4.2

_______________________________________________

1.

3.

( )( )

$$

$

$

$

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

1

4 9 2 4 9cos42º

16 81 72 cos42º

16 81 72 cos42º

6,6

mede, aproximadamente, 6,60 cm.

Determinação de :

12 13 19 2 13 19cos

13 19 12cos

2 13 19386

cos494

38,6º

Determ

BC

BC

BC

BC

BC

B

B

B

B

B

−

= + − × ×

⇔ = + − ×

⇔ = + − ×

⇔ ≈

= + − × ×

+ −⇔ =

× × ⇔ =

⇔ ≈

$$

$ $

$

$

2 2 2

2 2 2

1

inação de :

19 12 13 2 12 13cos

12 13 19cos cos 0,1538

2 12 1348

cos312

98,9º

C

C

C C

C

C

−

= + − × ×

+ −⇔ = ⇔ ≈ −

× ×− ⇔ =

⇔ ≈

4.1

Pág. 242

$$ $ $

$$

Determinação de :

180º=

180º 50º 39º

91º

Determinação de :

8,2 sin39º8,25,16

sin39º sin91º sin91º

Determinação de :

8,2 sin50º8,2 6,28sin50º sin91º sin91º

Perímetro do triângul

C

A B C

C

C

AC

ACAC AC

BC

BC BC BC

+ +

⇔ = − −

⇔ =

×= ⇔ = ⇔ ≈

×= ⇔ = ⇔ ≈

( )o

8,2 5,16 6,2819,64

Com aproximação às décimas do centímetro, operímetro do triângulo é 19,6 cm.

P

P AB AC BC

P

P

= + += + +=

$

$

$

$$

$ $

$$ $ $

$ $ $$ $ $

Determinação de : 4 5

sin42º sin5 sin42º

sin4

sin 0,836

Há duas soluções para :

56,7º ou 123,3º

Determinação de :

180ºSe:

56,7º 180º 42º 56,7º 81,3º

123,3º 180º 42º 123,3º 14,7º

A

A

A

A

A

A A

C

A B C

A C C

A C C

=

×⇔ =

⇔ ≈

= =

= + +

= → = − − ⇔ =

= → = − − ⇔ =

2.

Pág. 245

_______________________________________________

Pág. 244

$ ( )$

1

Cálculo auxiliar

sin 0,669

56,8º

A

A

−=

⇔ ≈

$

$$

$$

$ $

$$ $ $

$ $ $$ $ $

$

Determinação de :6 5

sin52º sin5 sin52º

sin6

sin 0,657

Há duas soluções para :

41º ou 139º

Determinação de :

180ºSe:

41º 180º 52º 41º 87º

139º 180º 52º 139º 11º

Como 11º é imp

C

C

C

C

C

C C

A

A B C

C A A

C A A

A

=

×⇔ =

⇔ ≈

= =

= + +

= → = − − ⇔ =

= → = − − ⇔ = −

= −$ $

$

( )

ossível, tem-se que

87º e 41º.

Determinação de :

6 sin87º6 7,60sin52º sin52ºsin

Perímetro do triângulo

5 6 7,60 18,60O perímetro do triângulo é, aproximadamente, 18,60 cm.

A C

BC

BC BC BCA

P

P AB AC BC

P P

= =

×= ⇔ = ⇔ ≈

= + += + + ⇔ =

$ $

$ $

( )

Determinação de :Se:

4 sin81,3º481,3º 5,91

sin42º sin42ºsin

4 sin14,7º414,7º 1,53

sin42º sin42ºsin

Perímetro do triângulo

Se:

5,91 5,91 4 5 14,91

1,53 1

AB

ABC AB AB

C

ABC AB AB

C

P

P AB AC BC

AB P P

AB P

×= → = ⇔ = ⇔ ≈

×= → = ⇔ = ⇔ =

= + +

= → = + + ⇔ =

= → =

i

i

ii ,53 4 5 10,53Com aproximação às centésimas do centímetro, o períme-tro do triângulo é 14,91 cm ou 10,53 cm.

Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está correcta.

P+ + ⇔ =

( )( )

2 2 2

2

8 20 2 8 20 cos45º

64 81 320 cos45º

145 320 0,7071

15,4184Resposta: (C).

AC

AC

AC

AC

= + − × × ×

⇔ = + − ×

⇔ ≈ − ×

⇔ ≈

1.

( ) ( ) $

$ $

$ $ $

2 22

1

337 7 9 2 2 7 9 2 cos

1126 2 cos 49 162 337 cos

2

2 2cos cos 45º

2 2

Resposta: (A).

B

B B

B B B−

= + − × × ×

−⇔ × = + − ⇔ =

⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

2.


_______________________________________________

Pág. 2477.

9.

3.

5.

6.

20sin30º sin120º

12020 sin30º 2

sin120º 32

2011,55

3Resposta: (B).

BC

BC BC

BC BC

=

××⇔ = ⇔ =

⇔ = ⇔ ≈

$

$

$

$

$

$$

$ $ $$$

1

Determinação de :10 4

sin12ºsin10 sin12º

sin4

sin 0,51910 sin12º

sin4

31,3

Determinação de :

180º

180º 31,317º 12º

136,7

Nota: Por lapso, nenhuma das alternativas

ACB

ACB

ACB

ACB

ACB

ACB

B

ACB B C

B

B

−

=

×⇔ =

⇔ ≈× ⇔ =

⇔ ≈

= + +

⇔ = − −

⇔ ≈

de respostaestá correcta.

4.

( )( )

( )

22 2

2

2 5 2 2 5 cos120º

4 25 20 cos120º

29 20 0,5

6,2449Resposta: (B).

AB

AB

AB

AB

= + − × × ×

⇔ = + − ×

⇔ = − × −

⇔ ≈

C

A B

D

$$$

Sabe-se que:

30º;

32º;

90º e

9 m

D

CBD

BAD

CD

=

=

=

=

$

$ $

Determinação de :

9sin30º sin32º

9 sin30ºsin32º

8,492

Determinação dos ângulos e :

180º 32º 30º 118º

180º 62º

BC

BC

BC

BC

BCD ACB

BCD

ACB BCD

=

×⇔ =

⇔ ≈

= − −=

= −=

i

i

Determinação de :

sin62º sin90º8,492 sin62º

sin90º8,492 sin62º

7,5sin90º

Resposta: (A).

AB

AB BC

AB

AB AB

=

×⇔ =

×⇔ = ⇔ ≈

Determinação da altura do triângulo:

8sin90º sin60º

8 sin60ºsin90º

6,928Determinação da área:

212 6,928

241,6

Com aproximação às décimas do centímetro quadrado,

a área

BD

BD

BD

base alturaÁrea

Área

Área

=

×⇔ =

⇔ ≈

×=

×=

⇔ ≈

2do triângulo é 41,6 cm .

( )2 2 2320 450 2 320 450 cos80º

8 sin60ºsin90º

504,865

Com aproximação às décimas do metro, mede 504,9 m.

AB

AB

AB

AB

= + − × × ×

×⇔ =

⇔ ≈

8.

[ ][ ]

2 2 2

Seja:

a altura do triângulo e

a altura do triângulo .

Determinação de : 12

sin90º sin60º12 sin60º

10,392sin90º

Determinação de :

12 5 2 12 5 cos70º11,312

Determinação da á

x ABD

y BCD

x

x

x x

y

y

y

=

×⇔ = ⇔ ≈

= + − × × ×⇔ ≈

[ ]

[ ] [ ] [ ]

2

rea de :

5 10,392 20 11,312 2 2

139,1

A área do quadrilátero é, aproximadamente, 139,1 cm.

Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está

ABCD ABD BCD

ABD

Área Área Área= +

× ×= +

=

correcta.

10.1

$ $

$ $ ( ) $1

Determinação do ângulo :15 sin27º9 15

sinsin27º 9sin

sin 0,7566 sin 0,7566 49,2º

T

TT

T T T−

×= ⇔ =

⇔ ≈ ⇔ = ⇔ ≈


10.2

$Determinação do ângulo :

180º 27º 49,2º 103,8º

Determinação de :

9sin103,8º sin27º

9 sin103,8ºsin27º

19,3

Com aproximação às décimas do metro, mede 19,3 m.

OST

OST

OT

OT

OT

OT

OT

= − −=

=

×⇔ =

⇔ ≈

$ $ $$( )

( )

Determinação do ângulo :

180º

180º 90º 180º

180º 90º 180º 103,8º 13,8ºCom aproximação às décimas do grau, o ângulo tem amplitude de 13,8º.

OST

POS OPS OSP

OST

POS

= − −

= − − −

= − − −=

Documents

Cap 6 tema 1 (Porto Editora) · Capítulo 6 1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão) 2 Pág. 180