Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues...

Oscilacoes

PENDULOSMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

15 de marco de 2013

R.R.Pela Oscilacoes

Oscilacoes

Roteiro

1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Roteiro

1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Sistemas que vibram: constituem uma classe deproblemas que e muito comum e muito importante.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Carros (um carro vibra por causa do motor e, tambem, porcausa da superfıcie da estrada)

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Acionamento de discos de computadorAtomos em redes cristalinas

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Cordas de violinosMaquina rotativa (ligeiramente desbalanceada)

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Linhas de transmissao (vibracao induzida pelo vento)Asas de avioes (“flutter”)

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Introducao

Estruturas de edifıcios (comportamento de estruturassujeitas a terremotos)

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Classificacoes

Movimento oscilatorio: surge como uma resposta a umaperturbacao na presenca de forcas restauradoras.Ha dois tipos de vibracoes: livres e forcadas.

A vibracao livre ocorre quando o movimento e mantido poruma forca restauradoraA vibracao forcada e causada por uma forca externaperiodica ou intermitente aplicada ao sistema

As vibracoes podem ser tanto amortecidas quantonao-amortecidas. As vibracoes nao-amortecidascontinuam indefinidamente, pois os efeitos de atrito saodesprezados na analise.Como as forcas de atrito internas e externas estao semprepresentes, os movimentos oscilatorios sao na realidadeamortecidos.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Sistema Massa-Mola

Usando a 2a. Lei de Newton

Mx = −kx

x+k

Mx = 0

A equacao do movimento da massa euma EDOLH de 2a. ordem.Esta mesma equacao poderia ser obtidaatraves do princıpio de conservacao daenergia:

Mx2

2+kx2

2= cte

derivando,

Mx+ kx = 0

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Sistema Massa-Mola

A solucao geral desta EDO e: x(t) = a cos(wt) + b sin(wt),

sendo w =

√k

M.

Esta funcao pode ser escrita de forma equivalente como:

x(t) = A cos(wt+ ϕ)

x(t) = A sin(wt+ φ) = A cos(wt+ φ− π

2

)O movimento de um oscilador (como este) se chamamovimento harmonico simples (MHS).

O perıodo do MHS e: T =2π

w= 2π

√M

k, ao passo que a

frequencia e f =1

T=

w

2π=

1

2π

√k

M.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Sistema Massa-Mola

As constantes A e φ dependem das condicoes iniciais

x(0) = x0, x(0) = v0

A =

√x2

0 +(v0

w

)2

φ e tal que sinφ =x0

Ae cosφ =

v0

wA.

A constante A fornece a amplitude de oscilacao do MHS.Por outro lado, o termo wt+ φ e chamado de fase doMHS. Em t = 0, a fase e o proprio φ (que pode, por isso,ser chamado de fase inicial)

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Sistema Massa-Mola

A energia cinetica da massa (ao longo do tempo) vale:

Ec =Mv2

2=MA2w2

2cos(wt+ φ)

A energia potencial e:

Ep =kx2

2=kA2

2sin2(wt+ φ) =

MA2w2

2sin2(wt+ φ)

Ja a energia mecanica (que e constante) vale:

Emec =MA2w2

2

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Sistema Massa-Mola

Alem do valor instantaneo da energia cinetica e da energiapotencial, e interessante tambem obter um valor medio.No caso de uma grandeza periodica f(t), denomina-se ovalor medio de f o valor:

f = 〈f〉 =1

T

∫ t0+T

t0

f(t)dt

Para a energia cinetica e potencial, pode-se mostrar que:

Ec = Ep =MA2w2

4=Emec

2

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo de Torcao

Consideremos uma barra horizontalsuspensa em equilıbrio por um fio vertical.Se defletimos a barra no plano horizontal deum angulo ϕ, o fio reage com um torquerestaurador:

τ = −kϕ

k e o modulo de torcao do fio, que dependedo seu comprimento, diametro e material

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo de Torcao

Se I e o momento de inercia da barra em relacao ao eixovertical, a equacao de movimento e:

−kϕ = Iϕ

ϕ+k

Iϕ = 0

w =

√k

I

Sistemas deste tipo sao empregados em instrumentos delaboratorio muito sensıveis, como o galvanometro e abalanca de torcao utilizada na experiencia de Cavendish.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo Simples

−Mg sin θ = MLθ

θ +g

Lsin θ = 0

Infelizmente, nao ha solucao analıtica paraesta equacao (a EDO e nao-linear).Para angulos pequenos: sin θ ∼= θ.

θ +g

Lθ = 0

Pode-se reconhecer que: w =

√g

Le

T = 2π

√L

g. Esta solucao e valida para

“pequenas oscilacoes” (pequenas amplitudesde oscilacao).

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo Simples

No caso de “grandes amplitudes”, o movimento nao eharmonico.Mas vejamos como obter o perıodo nesses casos.Suponhamos que o pendulo e abandonado (do repouso)de um angulo θ0. Usando conservacao de energia, temos:

−MgL cos θ0 = −MgL cos θ +ML2θ2

2

AteT

4, podemos dizer que θ = −

√2g

L(cos θ − cos θ0)

12 .

LogoT4∫

0

dt = −

√L

2g

0∫θ0

dθ

(cos θ − cos θ0)12

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo Simples

T = 2

√L

g

θ0∫0

dθ

(sin2( θ02 )− sin2( θ2))12

sendo sinα =sin( θ2)

sin( θ02 )

∆=

sin( θ2)

k, T = 4

√L

g

π2∫

0

dα

(1− k2 sin2 α)12

como (1− k2 sin2 α)−12 = 1 +

1

2k2 sin2 α+

3

8k4 sin4 α+ . . .

substituindo na integral, temos:

T = 2π

√L

g

[1 +

1

4sin2 θ0

2+

9

64sin4 θ0

2+ . . .

]

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Pendulo Fısico

Seja s a distancia do CM a O. Assim:

τ = −Mg sin θs

τ = Iθ

θ +Mgs

Isin θ = 0

Note que o pendulo composto equivale a um

pendulo simples de comprimento l =I

Ms.

Por isso, o ponto C (distando l de O ealinhado com o CM e O) e chamado decentro de oscilacao do pendulo fısico.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Exemplo

Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Solucao

Considerando um angulo θ:

(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ

subsectionθ ∼= θ,

θ +

(g

2a+

k

4M

)

T = 2π

(g

2a+

k

4M

)− 12

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de 5,00 kg. Se a mola tem uma rigidezk = 200 N/m, determine o perıodo natural de vibracao dosistema.

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Solucao

Ec =Mx2

2+I0

2

(x

r

)2

I0 =mr2

2

∴ Ec =x2

2

(M +

m

2

)Ep =

1

2k(x+ x2

0)−Mgx

E =x2

2

(M +

m

2

)+

1

2k(x+ x0)2 −Mgx

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Solucao

Derivando em relacao a t:

0 = xx(M +

m

2

)+ k(x+ x0)x−Mgx(

M +m

2

)x+ k(x+ x0)−Mg = 0

Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg

k(M +

m

2

)y + ky = 0

Portanto:

w0 =

√k

M + m2

= 4,00 rad/s

T =2π

w0= 1,57 s

R.R.Pela Oscilacoes

OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Desafio

Considere uma barra delgada de comprimento L que seencontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determine operiodo de pequenas oscilacoes da barra.

R.R.Pela Oscilacoes