OSCILACOES˜ FORCADAS Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr ...rrpela/downloads/fis26/FIS26-2013-aula12.pdf · Este tipo de soluc¸ao˜ e conhecido como onda harm´ onicaˆ (onda monocromatica

Ondas

OSCILACOES FORCADASMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

23 de maio de 2013

R.R.Pela Oscilacoes

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Roteiro

1 OndasOndas UnidimensionaisEquacao de Ondas UnidimensionaisOndas HarmonicasOndas em cordasInterferencia

R.R.Pela Oscilacoes

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Ondas UnidimensionaisEquacao de Ondas UnidimensionaisOndas HarmonicasOndas em cordasInterferencia

Roteiro

1 OndasOndas UnidimensionaisEquacao de Ondas UnidimensionaisOndas HarmonicasOndas em cordasInterferencia

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Ondas transversais numa corda

Consideremos uma perturbacao que se propaga ao longo doeixo x, no sentido positivo. Num certo t (fixado), y(x, t) tera oaspecto de uma certa funcao f(x). Num outro instante t′, oaspecto sera o mesmo de f(x), porem deslocado para adireita, de modo que podemos afirmar que:

y(x, t′) = f(x− v(t′ − t))R.R.Pela Oscilacoes

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Ondas transversais numa corda

De forma geral, podemos dizer que:

y(x, 0)∆= f(x)

y(x, t) = f(x− vt)Esta e uma onda progressiva para a direita, que sepropaga com velocidade v. No caso de uma ondaprogressiva que se propaga para a esquerda comvelocidade v, temos, analogamente:

y(x, t) = g(x+ vt)

Numa corda, e possıvel que coexistam tanto ondasprogressivas para a direita como para a esquerda, demodo que a solucao geral e:

y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)R.R.Pela Oscilacoes

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Equacao de Ondas Unidimensionais

Dada a semelhanca entre as ondas e o MHS, esperamosque a equacao de onda seja de 2a ordem, mas agora setrata de uma EDP, ja que y depende de x e t.Num primeiro momento, faremos uma deducao intuitivadesta EDP (depois ela sera obtida a partir das leis daMecanica)

y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)

∂2y

∂2x= f

′′(x− vt) + g

′′(x+ vt)

∂2y

∂2t= v2

[f

′′(x− vt) + g

′′(x+ vt)

]∂2y

∂2x=

1

v2

∂2y

∂2tR.R.Pela Oscilacoes

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Ondas Harmonicas

Um caso particular de solucao da equacao de ondas equando a funcao f(x) tem a forma cossenoidal

f(x) = A cos

(2πx

λ+ δ

)∆= A cos(kx+ δ)

Nesse caso:

y(x, t) = A cos(kx− kvt+ δ) = A cos(kx− ωt+ δ)R.R.Pela Oscilacoes

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Ondas Harmonicas

y(x, t) = A cos(kx− kvt+ δ) = A cos(kx− ωt+ δ)

Este tipo de solucao e conhecido como onda harmonica(onda monocromatica – uma unica frequencia) que sepropaga para a direita.Tambem e possıvel ter uma onda harmonica sepropagando para a esquerda:

y(x, t) = A cos(kx+ ωt+ δ)

A grandeza k =2π

λe conhecida como numero de onda, e

ω e a frequencia angular.

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Ondas Harmonicas

Ha uma relacao entre ω e k:

ω = kv ou ainda 2πf =2π

λv

v = λf

O argumento do cosseno ϕ(x, t) = kx− ωt+ δ econhecido como fase da onda, ao passo que δ e chamadade constante de fase.A funcao y(x, t) tambem pode ser escrita na formacomplexa como:

y(x, t) = Re[Aei(kx−wt+δ)

]R.R.Pela Oscilacoes

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Ondas numa corda

Aplicando a 2a lei de Newton para este elemento etomando a direcao y:T sin θ(x+ ∆x)− T sin θ(x) = (∆m)ay

ay =∂2y

∂t2

(x+

∆x

2, t

)R.R.Pela Oscilacoes

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Ondas numa corda

Considerando θ pequeno (ligeiro deslocamento):

sin θ(x) ∼= tan θ(x) =∂y

∂x(x, t)

sin θ(x+ ∆x) ∼= tan θ(x+ ∆x) =∂y

∂x(x+ ∆x, t)

Sendo µ a densidade linear

T

[∂y

∂x(x+ ∆x, t)− ∂y

∂x(x, t)

]= (µ∆x)

∂2y

∂t2(x+

∆x

2, t)

No limite em que ∆x→ 0:

∂2y

∂x2(x, t) =

µ

T

∂2y

∂t2(x, t)

Onda unidimensional com v =√T/µ

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Solucao geral

Consideremos a mudanca:{r = x− vts = x+ vt

∂y

∂t=∂y

∂r

∂r

∂t+∂y

∂s

∂s

∂t=∂y

∂r(−v) +

∂y

∂s(+v)

∂2y

∂t2= (−v)

(∂2y

∂r2

∂r

∂t+

∂2y

∂r∂s

∂s

∂t

)+ (v)

(∂2y

∂r∂s

∂r

∂t+∂2y

∂s2

∂s

∂t

)Analogamente:

∂2y

∂x2=∂2y

∂r2+ 2

∂2y

∂r∂s+∂2y

∂s2

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Solucao geral

Substituindo:∂2y

∂r∂s= 0 ∴

∂

∂r

∂y

∂s= 0

∴∂y

∂s= G(s) ∴ y =

∫G(s)ds+ f(r) = g(s) + f(r)

y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)

como ja tınhamos visto antes de forma intuitiva.A solucao geral pode ser particularizada sob as condicoesiniciais: y(x, 0) = y0(x)

∂y

∂t(x, 0) = y1(x)

Estas condicoes iniciais especificam f(x) e g(x) a menos,possivelmente, de uma constante aditiva.

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Exemplo

Suponha que a corda sofra um deslocamento inicial y0(x) eseja solta do repouso.

f(x) + g(x) = y0(x) − f ′(x) + g′(x) = 0

∴ g(x) = f(x) + C

∴ 2f(x)+C = y0(x) ∴ f(x) =y0(x)

2−C

2∴ g(x) =

y0(x)

2+C

2

y(x, t) =1

2[y0(x− vt) + y0(x+ vt)]

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Intensidade

Uma onda transporta energia. Mas a que taxa?Consideremos que um agente externo esteja transferindoenergia a corda atraves da movimentacao de um elementode massa na posicao x.

Para ondas progressivas, a potencia transferida e:

P = Fy∂y

∂t= −T ∂y

∂x

∂y

∂t

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Intensidade

No caso de uma onda harmonica

P = ωkTA2 sin2(kx− ωt+ δ) = µvw2A2 sin2(kx− ωt+ δ)

Em geral, mais importante que o valor instantaneo de P , emais importante saber o valor medio, que e chamado deintensidade I da onda (unidimensional).

I = P =1

T

∫ t′+T

t′P (x, t)dt

I =µvω2A2

2

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Ondas no mesmo sentido

Como a equacao de ondas e linear, qualquersuperposicao de ondas (que sao solucao da EDP)tambem e uma solucao valida.A superposicao de ondas e um fenomeno conhecido comointerferencia.Vamos estudar esse fenomeno para o caso de ondasprogressivas harmonicas.Consideremos duas ondas progressivas se propagandopara a direita:

y1 = A1 cos(kx− wt+ δ1) = Re[A1e

ikxe−iwteiδ1]

y2 = A2 cos(kx− wt+ δ2) = Re[A2e

ikxe−iwteiδ2]

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A superposicao destas duas ondas resulta em:

y = Re[ei(kx−wt)(A1e

iδ1 +A2eiδ2)]

A1eiδ1 +A2e

iδ2 e um numero complexo que podemos escrevercomo Aeiδ

A2 = (A1eiδ1 +A2e

iδ2)(A1e−iδ1 +A2e

−iδ2)

A2 = A21 +A2

2 + 2A1A2 cos(δ1 − δ2)

Assim:

y(x, t) = Re[Aei(kx−wt+δ)

]= A cos(kx− wt+ δ)

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Intensidade da onda resultante

I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos(δ1 − δ2)

Nem sempre a intensidade de duas ondas em processo deinterferencia e igual a soma das intensidades individuais.A intensidade e maxima quando:

δ1 − δ2 = 2mπ m = 0,±1,±2, ...

Imax = (√I1 +

√I2)2

Nesse caso, a interferencia e construtiva. Do contrario, aintensidade e mınima (interferencia destrutiva) quando:

δ1 − δ2 = (2m+ 1)π m = 0,±1,±2, ...

Imin = (√I1 −

√I2)2

Para valores intermediarios de δ1 − δ2, a intensidade variaconforme a figura seguinte.

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Para valores intermediarios de δ1 − δ2, a intensidade variaconforme a figura seguinte.

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Ondas em sentidos opostos

Para o caso de ondas de mesma amplitude se propagando emsentidos opostos

y1 = A cos(kx− ωt)

y2 = A cos(kx+ ωt)

A superposicao destas duas ondas resulta em:

y = 2A cos kx cosωt

que e uma solucao que nao se propaga (onda estacionaria).As ondas componentes tem fluxos de energia iguais econtrario, que se cancelam na resultante, de modo que o fluxomedio de energia se anula neste caso.

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